GIẢI TÍCH - ĐỀ 4 docx

Đề 4:
Câu 1. Cho hàm
2 2
( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + −
. Tính
2
(0,0)d f
f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y)
f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2
f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2
f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y)
f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10
 d
2
f(0,0)=2dx
2
-4dxdy+10dy
2
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
3 2
12 8 .z x y x y= + −
Điểm dừng:
 x=2, y=-4
A=z’’
xx
=6xy+24 B=z’’
xy
= C=z’’
yy
=0
Δ=AC-B

2
= -9 =-144<0
 z(x,y) ko có cực trị
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
2 5 8 (3 1)
1 5 9 (4 3)
n
n
n
∞
=
× × −
∑
× × −
L
L
= =3/4 <1

1
2 5 8 (3 1)
1 5 9 (4 3)
n
n
n
∞
=
× × −
∑
× × −

L
L
hội tụ theo tc D’alembert
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3
1
( 1) ( 1)
2 ( 1)ln( 1)
n n
n
n
x
n n
∞
=
− +
∑
+ +
= =1/8
=> -8<x+1<8 => -9<x<7
x=-9: phân kỳ theo tc tích phân
x=7: hội tụ theo tc Leibnitz
 Miền hội tụ (-9,7]
Câu 5. Tính tích phân
)2222
ln(. yxyx
D
++
∫∫
dxdy với D là miền 1

≤
x
2
+y
2
≤
e
2
x=rcosφ, y=rsinφ
)2222
ln(. yxyx
D
++
∫∫
dxdy = )rdr = (2/9e
3
+1/9)
Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye
y
. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi
phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích phân
[ ]
∫
+
L
dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()(
trong đó L là
đường cong có phương trình: 4x
2
+9y

2
=36, chiều ngược kim đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2).
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó
 = => h(y) =y+c
h(1)=1 => c=0
 h(y)= y
[ ]
∫
+
L
dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()(
=
= = -2e
2
+2
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
2z x y+ + =
nằm trong hình paraboloid
2 2
z x y= +
.
S là phần mặt
2 2
2z x y+ + =
nằm trong hình paraboloid
2 2
z x y= +
.
D=pr

xOy
S, D={x
2
+y
2
1}
S= dxdy= dxdy= rdr= -1)
Câu 8. Tính
2 2 2
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
, với S là nửa dưới mặt cầu
2 2 2
2+ + =x y z z
, phía trên.
2 2 2
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
= dydz+ dydz+ dydz
dydz= +
= - + =0
Tương tự dydz=0
dydz =
2
rdr =
I= =

Đề 5
Câu 1. Tính
2
f
x y
∂
∂ ∂
, với
3
( ) sin ;
2

= = +


= +


x
f f u u u
u xy e
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện:
2 2 2 2
( , ) 2 12 ; 4 25f x y x xy y x y= + + + =
L(x,y,λ)= 2x
2
+12xy+y
2
+λ(x
2

+4y
2
-25)

 x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 v x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4
d
2
L= (4+2λ)dx
2
+ (2+8λ)dy
2
+ 24dxdy
x
2
= -4y
2
+25 => 2xdx=-8ydy
x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 =>d
2
L>0
 f(x,y) đạt cực tiểu tại (3,-2), (-3,2)
x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 => d
2
L<0
 f(x,y) đạt cực đại tại (4,3/2), (-4,-3/2)
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
3
3
1
2

2
1
n
n
n
n
n
∞
=
 
+
∑
 ÷
−
 
= = 8 >1

3
3
1
2
2
1
n
n
n
n
n
∞
=

 
+
∑
 ÷
−
 
phân kỳ theo tc Cauchy
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi:
)1ln()1(
)5(2)1(
11
1
++
−−
++
∞
=
∑
nn
x
nnn
n
= = 2
=> -1/2<x-5<1/2 => 9/2<x<11/2
x=9/2: phân kỳ theo tc tích phân
x=11/2: hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ (9/2,11/2]
Câu 5. Tính tích phân
(
)

dxdyyxarctg
D
∫∫
+
22
với D là hình tròn: x
2
+y
2

≤
3
I=
(
)
dxdyyxarctg
D
∫∫
+
22
= = 2 = 2
Câu 6. Chứng tỏ tích phân
[ ]
(1 ) (1 )
x y
C
I e x y dx x y dy
−
= + + + − −
∫

không phụ thuộc đường đi. Tính tích phân I
với C là phần ellipse
2 2
1
9 4
x y
+ =
từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.
=
[ ]
(1 ) (1 )
x y
C
I e x y dx x y dy
−
= + + + − −
∫
= + = -3e
3
+ 2e
-2
Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi
2
2 , 1, 0, 3y x y z z x= − = = =
, lấy phần
0.z ≥
V= = 2 = 2 =2 = 3/2
Câu 8. Tính
( )
2

2 3= + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z dxdy
, với S là phần mặt phẳng
4+ + =x y z
nằm trong hình trụ
2 2
2x y y+ =
, phía trên.
( )
2
2 3= + + +
∫∫
S
I xdydz y z dxdz z dxdy
=
=
=
x=rcosφ, y-1=rsinφ
I=
=
=
= =
Đề 6
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) =
32
3
yx
e

. Tính dz(1,1) và
)1,1(
2
yx
z
∂∂
∂
dz = 6xy
3
dx + 9x
2
y
2
dy => dz(1,1) = 6edx+9edy
6xy
3
= 18xy
2
+ 6xy
3
3x
2
y
2
= 18xy
2
+ 18x
3
y
5

=>
)1,1(
2
yx
z
∂∂
∂
= 36e
Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x
3
+ y
3
+ 3x
2
- 3xy +3x-3y +1
Điểm dừng:  x=0, y=1 v x=-1,y=0
A= z’’
xx
=6x+6 B=z’’
xy
=-3 C=z’’
yy
=6y
Δ=AC-B
2
=36(x+1)y-9
x=0, y=1 => Δ=27>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại (0,1)
x=-1,y=0 => Δ=-9<0 => ko có cực trị
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
2

1
1 4 9
(4 3)!!
n
n
n
∞
=
× ×
∑
−
L
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n
n
n
nn
x
n
)1(
1.4
3.)1(
0
3
2
1
−
+
−
∑

∞
=
+
+
ρ= = =3/4
=> -4/3<x-1<4/3 => -1/3<x<7/3
x= -1/3: phân kỳ
x= 7/3: hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ (-1/3,7/3]
Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
4
D
I x y dxdy= − −
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
1,x y y x+ = ≤
2 2
4
D
I x y dxdy= − −
∫∫
= =
Câu 6. Tính tích phân
2 2
( ) ( )
C
I x y x y dx y x xy dy= + − + − −
∫

, với C là nửa bên phải của đường tròn
2 2
4 ,x y y+ =
chiều kim đồng hồ.
2 2
( ) ( )
C
I x y x y dx y x xy dy= + − + − −
∫
= -
= - 8= 12
Câu 7. Tính tích phân đường loại một I= , với C là nửa trên đường tròn
2 2
2+ =x y y
.
x=rcost, y=rsint => r= 2sint
I= = = 4
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính
( ) (2 )= + + − +
∫Ñ
C
I x y dx x z dy ydz
, với C là giao của
2 2 2
4+ + =x y z
và
0x y z+ + =
, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
S là mặt giao của C là giao của
2 2 2

4+ + =x y z
và
0x y z+ + =
( ) (2 )= + + − +
∫Ñ
C
I x y dx x z dy ydz
= (S có n=( )
= = = - S = - = -4