Giải tích hàm nâng cao2. potx

Giải tích hàm nâng cao

41
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

Giả sử C là tập hợp lồi, mở, chứa véctơ khơng của khơng gian
định chuẩn E.
Bổ đề 1 (dung lượng của tập hợp lồi)
1
( ) ( ) inf{ 0, }
x E p x x C
 

    
Khi đó hàm p thỏa
2) ( ) ( ) ( )
p x y p x p y
  
1) ( ) ( ), 0
p x p x
  
 
3) tồn tại sao cho:
M
) ( ) 0 ( ) || ||
) { : ( ) 1}
a x E p x M x
b C x E p x
   
  

42
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

Chứng minh bổ đề 1
1) ( ) ( ), 0
p x p x
  
 
Nếu 0 và , ta có
y x
 
 
( ) inf{ 0: }
y
p y C


  
inf{ 0: }
x
C



  
'
'
inf{ 0: }
y
C



  
'
'
inf{ 0: }
y
C
 

  
( )
p x


vậy ( ) ( )
p x p x
 


44
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

, , 0. Từ (1) và (3b), ta có
x y E

 
2) ( ) ( ) ( )
p x y p x p y
  

(1- )
Suy ra, ( t [0,1])
( ) ( )
tx t y
C
p x p y
 
   
 
1
( ) ( ) 1
( ) ( )
x
p p x
p x p x
 
 
 
( )
x
C
p x

 

và
( )
y
C
p y




( )
chọn
( ) ( ) 2
p x
t
p x p y




 
ta có
( ) ( ) 2
x y
C
p x p y



 
( ) ( ) ( ) 2
p x y p x p y

    
( ) ( ) ( )
p x y p x p y
   

46
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

Chứng minh bổ đề 2
Xét dung lượng của .
p C
1) Giả sử 0
C

0
: , ( )
g G R g tx t
 
Kiểm tra ( ) ( )
g x p x

0
Xét
G Rx

Theo đònh lý Hahn-Banach, tồn tại tr
ên , khuyếch của
f E g
sao cho ( ) ( ) ( ),
x E f x p x
  
liên tục do bổ đề 1, 3a)
f

0
và ( ) 1.
f x

Từ bổ đề1, 3b) suy ra ( ) ( ) 1
x C f x
  

47
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của
không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu
phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng.
Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ nhất)


48
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

Chứng minh Đặt C = A\B.
1) Kiểm tra C lồi 2) Kiểm tra C mở
3) Kiểm tra
0
C

Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho
( ) ( ) 0
z C f z
  

( , ) ( ) ( )
x A y B f x f y
    
Cố định , với
R


sup ( ) inf ( )
y B
x A
f x f y



 
Khi đó siêu phẳng của phương trình tách A và B theo
nghĩa rộng.
{ ( ) }
f x



49
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của
không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu
phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng.
Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ hai)

50
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

(0, )
B B B


 
Chứng minh
Vôùi 0, ñaët (0, )
A A B

 
  
1) Kiểm tra lồi.
vaø
A B
 
2) Kiểm tra mở, không trống.
vaø
A B
 
3) Kiểm tra rời nhau.
vaø
A B
 
Khi đó tồn tại siêu phẳng của phương trình tách A và
B theo nghĩa rộng.
{ ( ) }
f x



( , , (0,1)) ( ) ( )
x A y B z B f x z f y z
  
       
( ) || || ( ) || ||
f x f f y f
  
    
Vậy tách A và B theo nghĩa hẹp.
{ ( ) } ; 0
f x f

 

51
3. Định lý Banach - Steihauss.

Cho X là không gian mêtrix đủ, không trống.
Bổ đề Baire
Giả sử là dãy các tập hợp đóng sao cho


1
n
n
x

1

n
n
X X




Khi đó tồn tại sao cho
0
n
0
int 0.
n
X


52
3. Định lý Banach - Steihauss.

Cho E, F là hai không gian Banach. là họ các toán tử
Định lý Banach - Steihauss
tuyến tính liên tục từ E vào F sao cho


i
i I
T

Khi đó
sup|| ( ) || .

i
i I
T x

 
( , )
sup|| || .
i L E F
i I
T

 