Giai tich 11 Nang cao

Chơng 3:
Dãy Số. Cấp số cộng và cấp số nhân
A. Mục tiêu:
Trên cơ sở những kiến thức về hàm số đã học ở lớp 10, giới thiệu về dãy số, tiếp đến là
hai dãy số đặc biệt: Cấp số cộng và cấp số nhân. Giới thiệu phơng pháp chứng minh
bằng quy nạp toán học
B. Nội dung và mức độ:
- Phơng pháp quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề chứa biến là số tự nhiên và dùng
quy nạp không hoàn toàn để phát hiện quy luật của dãy số
- Dãy số trình bày theo quan điểm hàm số với đối số là số tự nhiên
- Hai dãy số đặc biệt: Cấp số cộng và cấp số nhân. Các định nghĩa, số hạng tổng quát,
tính chất các số hạng, tổng của n số hạng đầu. áp dụng phơng pháp quy nạp toán học
trong chứng minh.
- Bổ sung một số kiến thức để học sinh tự học: phơng pháp suy luận, dãy Phi-bô-na-xi,
dãy số trong hình bông tuyết Vôn - kốc của hình học Fractal
C. Yêu cầu và mức độ đạt đợc:
- Nắm vững nội dung các bớc tiến hành của phơng pháp quy nạp toán học. Biết cách
chứng minh các bài toán bằng quy nạp toán học
- Nắm vững các khái niệm về dãy số: Định nghĩa, cách cho dãy số, biểu diễn hình học
của dãy số, tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số.
- Nắm vững định nghĩa, tính chất các số hạng, các công thức về số hạng tổng quátm
tổng của n số hạng đầu của của cấp số cộng và cấp số nhân. Biết vận dụng các công
thức và tính chất để giải các bài toán về cấp số cộng và cấp số nhân.
- Tự đọc và tự học các mục Bạn có biết và bài đọc thêm ở cuối chơng
Tiết 47 : Đ
1
Phơng pháp quy nạp toán học ( 2 tit)
A - Mục tiêu:
- Nắm đợc nội dung của phơng pháp quy nạp toán học
- áp dụng đợc vào bài tập
B. Ph ơng tiện thực hiện : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài

học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A
C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.
D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ: * HS: Xét tính đúng sai của mệnh đề: a) Nếu a > b thì a
n
> b
n
, b)
Nếu a > b > 1 thì a
n
> b
n
3. Bài mới
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- TRả lời câu hỏi của giáo - Nêu bài toán:
I - Phơng pháp quy nạp
Lớp Ngày dạy Sĩ số
11A
viên.
- Dùng máy tính bỏ túi tính 3
n
và 100n + 7 để so sánh và đa
ra kết luận với n = 1, 2, 3, 4,
5.
- Nêu đợc: Phép thử không
phải là chứng minh muốn
chứng tỏ một mệnh đề chứa

biến là đúng thì phải chứng
minh đợc nó đúng trong mọi
trờng hợp, ngợc lại để chứng
tỏ mệnh đề sai, thì chỉ cần chỉ
ra một trờng hợp là sai là đủ.
- Đọc sách giáo khoa.
- Nêu đợc các bớc chứng
minh.
- Thực hiện yêu cầu của GV
+ Ta thấy (3) đúng khi n = 1
+ Với n = k + 1 thì ta có (3):
1
3
+ 2
3
+ ... + k
3
+ (k + 1)
3
=
4
)2()1(
22
++
kk
Tiếp tục đọc SGK.
+ Hãy kiểm tra khi n = 1?
+ Có thể kiểm tra (1) đúng với
mọi n không?
Cho mệnh đề chứa biến: p(n)

= 3
n
< 100n + 7 Chứng
minh rằng mệnh đề đúng với
n = 1, 2, 3, 4, 5.
- Hớng dẫn học sinh lập bảng
và dùng máy tính bỏ túi tính
toán so sánh, đa ra kết luận
- ĐVĐ: Có thể khẳng định
p(n) đúng với mọi giá trị n
N* hay không ? Tại sao ?
Để chứng minh một mệnh đề
chứa biến n N* là đúng với
mọi n mà không thể trực tiếp
đợc, ta phải làm nh thế nào ?
- Tổ chức cho học sinh đọc
sách giáo khoa phần Phơng
pháp quy nạp Toán học
- Nêu các bớc chứng minh
bằng phơng pháp quy nạp
Toán học ?
+ Hãy kiểm tra khi n = 1?
+ Giả sử (3) đúng khi n = k
Hãy thiết lập công thức khi n
= k + 1 và chứng minh công
thức đó?
Toán học:
* Các bớc chứng minh bằng
quy nạp:
- Để chứng minh mệnh đề

chứa biến A(n) là đúng với
mọi n nguyên dơng ta thực
hiện nh sau:
+ Chứng minh A(n) là một
mệnh đề đúng khi n = 1
+ Với k là số nguyên dơng tuỳ
ý, xuất phát từ giả thiết A(n)
là mệnh đề đúng khi
n = k. chứng minh A(n) cũng
là mệnh đề dúng khi
n = k + 1
2. Ví dụ áp dụng
* Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi số
nguyên dơng n ta luôn có:
1
3
+ 2
3
+ ... + n
3
=
4
)1(
22
+
nn
4. Củng cố: + Cách chứng minh bằng quy nạp toán học?
+ Làm các bài tập sau:
* Bài 1: Chứng minh rằng S

n
= 1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n 1)
2
+
với n N*
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Với n = 1 ta có S
1
=
1(1 1)
1
2
+
=
đúng
- giả sử đúng với n = k 1, tức là:
Hớng dẫn học sinh thực hiện
từng bớc quy nạp:
- Thử với n =1 ?
- Thế nào là đúng với n = k ?
- Phải chứng minh đúng với
S
k
= 1 + 2 + 3 + ... + k =
k(k 1)
2
+
là đẳng thức đúng.
Ta phải chứng minh S

k + 1
=
(k 1)(k 2)
2
+ +
. Thật vậy,
ta có: S
k + 1
= 1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1 )
= S
k
+ ( k + 1 )
=
k(k 1)
2
+
+ ( k + 1 ) =
(k 1)(k 2)
2
+ +

n = k + 1 có nghĩa là chứng
minh đẳng thức nào ?
- Củng cố các bớc chứng minh
bằng phơng pháp quy nạp
5. Về nhà: Học bài. Làm bài tập trong SGK.
Ngày soạn:
Tiết 48 : Phơng pháp quy nạp toán học (tt)
A - Mục tiêu:
- áp dụng đợc phơng pháp quy nạp toán học vào giải toán

- Hiểu rõ bản chất của phơng pháp
B. Ph ơng tiện thực hiện : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài
học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A
C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.
D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ:
* HS1: Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n N*:
a) 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 =
n(3n 1)
2
+
b)
n
n n
1 1 1 1 2 1
2 4 8 2 2

+ + + ììì+ =
c) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2
=

n(n 1)(2n 1)
6
+ +
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Với n = 1, ta có đẳng thức đúng
Giả sử đẳng thức đúng với n = k 1, tức là:
2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) =
k(3k 1)
2
+
là một
đẳng thức đúng.
Ta chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức
là phải chứng minh:
2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) + [ 3( k + 1 ) - 1 ]
- Gọi học sinh lên bảng thực hiện
bài tập đã chuẩn bị ở nhà.
- Nêu câu hỏi:
Nội dung của phơng pháp chứng
minh quy nạp Toán học ?
- Hớng dẫn học sinh giải bài tập 1
phần b, c.
Lớp Ngày dạy Sĩ số
11A
=
(k 1)(3k 4)
2
+ +
Thật vậy: 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) + ( 3k + 2 )
=

k(3k 1)
2
+
+ ( 3k + 2 ) =
k(3k 1) 2(3k 2)
2
+ + +
2
3k 7k 4
2
+ +
=
=
(k 1)(3k 4)
2
+ +
( đpcm )
3. Bài mới:
* Bài 1: Chứng minh rằng 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n - 1 ) = n
2
với n N*
( Tổng của n số lẻ đầu tiên )
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Đặt S
n
= 1+3+5+...+(2n-1)
Thử với n = 1: S
1
= 1 = 1
2

đúng
- Giả sử đúng với n = k 1,
tức là:S
k
= 1+3+5+...+(2k-
1) = k
2
là một đẳng thức
đúng. Ta phải chứng minh
S
k + 1
= ( k + 1 )
2

- Trả lời câu hỏi của GV:
+ Với n = 1 thì:
1
2
= 1 =
3
)11.4(1
2


+ Với n = k + 1 thì ta có:
1
2
+3
2
+...+(2k-1)

2
+
(2(k+1)-1)
2
=
[ ]
3
1)1(4()1(
2
++
kk

- Lên bảng chứng minh
tiếp.
+ Trình bày đợc:
Với n = 3 thì (*) đúng.
Giả sử công thức đúng với
n = k tức 2
k
> 2k + 1.
Ta chứng minh công thức
đúng với n = k + 1:
Thật vậy:
2
k + 1
= 2. 2
k
> 2.k (do gt).
Mặt khác 2.k = k + k nên:
2

k + 1
=2. 2
k
>2.k =k+k k+1
Hớng dẫn học sinh thực
hiện bài toán bằng phơng
pháp quy nạp, nêu đợc các
bớc quy nạp
Viết đợc các đẳng thức:
S
1
= 1
2
, S
k
= k
2
,
S
k + 1
= ( k + 1 )
2
+ Hãy kiểm tra khi n = 1?
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Hãy thiết lập
công thức
+ Hãy thiết lập công thức
khi n = k + 1 và chứng
minh công thức đó?
+ Xét tính đúng sai của

công thức với n = 3.
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Hãy thiết lập
công thức
+ Hãy thiết lập công thức
khi n = k + 1 và chứng
minh công thức đó?
2. Một số ví dụ áp dụng
* H2:
Chứng minh rằng
1+3 + 5 + ... + (2n -1)=n
2

với mọi số nguyên dơng n.
* H3:
Chứng minh rằng
1
2
+ 3
2
+ ... + (2n - 1)
2
=
3
)14(
2

nn

với mọi số nguyên dơng n.

* Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi
số nguyên dơng n

3 ta
luôn có:
2
n
> 2n + 1 (*)
- Trình bày đợc:
+ Với n = 1 ta có 12 chia
hết 6 là một mệnh đề đúng
+ Giả sử mệnh đề đúng với
n = k 1 tức là k
3
+ 11k
chia hết cho 6 ta phải c/m
mệnh đề đúng với n = k +1
tức là:
( k + 1 )
3
+ 11( k + 1 )
M
6.
Thật vậy:
( k + 1 )
3
+ 11( k + 1 ) = k
3

+ 3k
2
+ 3k + 1 + 11k + 11
= ( k
3
+ 11k ) + 3( k
2
+ k +
4 )
=(k
3
+11k)+3[k(k+1)+2]
M
6
do giả thiết quy nạp
k
3
+11k
M
6, k( k + 1)+2
M
2
a) Lập bảng tính và so sánh
để kết luận đợc: 3
n
> 8n
với n N* và n 3.
b) Dùng PP quy nạp để
chứng minh nhận định trên.
- Thử với n = 3, thấy đúng.

- Giả sử mệnh đề đúng với
n = k 3, tức là: 3
k
> 8k
Ta phải chứng minh mệnh
đề đúng với n = k + 1, tức
là 3
k + 1
> 8(k + 1 ). Thật
vậy:
Ta có 3
k + 1
= 3.3
k
> 3.8k =
8( k + 1 ) + 16k - 8
= 8( k + 1 ) + 8( 2k - 1 ) >
8( k + 1 ) do 8( 2k + 1 ) > 0
với mọi k 3.
- Phát vấn: Nêu các bớc
chứng minh quy nạp ?
+ Xét tính đúng sai của
công thức với n = 1.
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Hãy thiết lập
công thức
+ Hãy thiết lập công thức
khi n = k + 1 và chứng
minh công thức đó?
- Hớng dẫn học sinh lập

bảng so sánh trong các tr-
ờng hợp
n = 1, 2, 3, 4, 5
n 3
n
? 8n
1
3 < 8
2 9 < 16
3
27
>
24
4 81 > 32
5
243
>
40
Bài 1: Chứng minh rằng
với n N* thì n
3
+ 11n
chia hết cho 6.
Bài 2:
Cho 3
n
và 8n với n N*
a) So sánh 3
n
và 8n khi n =

1, 2, 3, 4, 5.
b) Dự đoán kết quả tổng
quát và chứng minh bằng
phơng pháp quy nạp.
4. Củng cố:
+ Cách chứng minh bằng quy nạp toán học?
+ Làm bài 4, 5, 6, 7 (SGK T100)
* Bài 1: Chứng minh rằng một đa giác lồi n cạnh ( n 4 ) có thể chia thành n - 2 tam
giác bằng các đờng chéo không cắt nhau.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Đọc, nghiên cứu và thảo luận theo nhóm đợc
phân công.
- Trả lời câu hỏi của giáo viên
- Trình bày lời giải của bài toán
- Phân nhóm học sinh, đọc nghiên
cứu bài toán
- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của
học sinh.
- Củng cố phơng pháp chứng minh
bằng quy nạp
* Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1
1
n 1 n 2 3n 1
+ + ììì+ >
+ + +
với n N*
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Đặt S
n

=
1 1 1
n 1 n 2 3n 1
+ + ììì+
+ + +
thì ta có:
S
1
=
1 1 1 13
1
2 3 4 12
+ + = >
là một bất đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k 1, tức là ta có:
S
k
=
1 1 1
1
k 1 k 2 3k 1
+ + ììì+ >
+ + +
là bđt đúng ta
chứng minh
S
k + 1
=
1 1 1
1

(k 1) 1 (k 1) 2 3(k 1) 1
+ + ììì+ >
+ + + + + +
là bất đẳng thức đúng. Thật vậy:
S
k + 1
=
1 1 1 1
k 2 k 3 3k 3 3k 4
+ + ììì+ +
+ + + +
= S
k
-
1 1 1 1
k 1 3k 2 3k 3 3k 4
+ + +
+ + + +
= S
k
+
2
(3k 2)(3k 3)(3k 4)+ + +
> 1
- Hớng dẫn học sinh thực hiện
giải toán bằng phơng pháp quy
nạp
- Hớng dẫn học sinh viết đúng
S
1

. S
k
, S
k+1
.
* Bài 3: Chứng minh rằng với n N* ta có:
a) n
3
+ 3n
2
+ 5n
M
3
b) 4
n
+ 15n - 1
M
9
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Với n =1 ta có n
3
+ 3n
2
+ 5n = 9
M
3
Giả sử với n = k 1, ta có k
3
+ 3k
2

+ 5k
M
3. Ta
chứng minh với n = k + 1, tức là:
( k + 1 )
3
+ 3( k + 1 )
2
+ 5( k + 1 )
M
3. Thật vậy:
( k + 1 )
3
+ 3( k + 1 )
2
+ 5( k + 1 ) = k
3
+ 3k
2
+ 5k
+ 3k
2
+ 9k + 9 = ( k
3
+ 3k
2
+ 5k ) + 3( k
2
+ 3k +
3) chia hết cho 3

[ vì k
3
+ 3k
2
+ 5k
M
3 và 3( k
2
+ 3k + 3)
M
3 ]
b) Đặt S
n
= 4
n
+ 15n - 1 với n = 1, S
1
= 18
M
9
Giả sử với n = k 1, ta có S
k
= k
4
+ 15k - 1
M
9.
Ta phải chứng minh S
k + 1
= 4

k + 1
+ 15( k + 1) - 1
M
9.
Thật vậy S
k + 1
= 4(k
4
+ 15k - 1) - 45k + 18
- Gọi 2 học sinh lên bảng thực
hiện bài tập đã chuẩn bị ở nhà
- Củng cố phơng pháp chứng minh
bằng quy nạp
= 4S
k
- 9( 5k - 2 )
M
9 ( đpcm )
* Bài 4:
Chứng minh bất đẳng thức x
1
+ x
2
+ ... + x
n
n, n N*; x
1
, x
2
,,,,x

n
> 0 và x
1
.x
2
...x
n
= 1.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Với n = 1 thì x
1
= 1, bất đẳng thức xảy ra dấu =

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k 1, tức là:
x
1
+ x
2
+ ... + x
k
k, k N*; x
1
, x
2
,,,,x
k
> 0 và
x
1
.x

2
...x
k
= 1. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng
với n = k + 1, tức là phải chứng minh:
x
1
+ x
2
+ ... + x
k
+ x
k + 1
k + 1 với k N*;
x
1
, x
2
,,,,x
k
, x
k + 1
> 0 và x
1
.x
2
...x
k
x
k + 1

= 1. Thật vậy:
+ Nếu x
1
= x
2
= ... = x
k
= x
k + 1
= 1 thì:
x
1
+ x
2
+ ... + x
k
+ x
k + 1
= k + 1 > 1 đúng
+ Nếu k + 1 số nói trên khác 1 thì tồn tại hai số
sao ch một số lớn hơn 1 còn một số nhỏ hơn 1.
Không làm mất tính tổng quát, giả sử x
k
> 1 còn
x
k + 1
< 1, ta có:
x
1
.x

2
...x
k
x
k + 1
=(x
1
.x
2
...
xk - 1
) (x
k
x
k + 1
) = 1
áp dụng giả thiết quy nạp cho k số dơng: x
1
, x
2
, ...
x
k - 1
, và (x
k
x
k + 1
) ta có bất đẳng thức:
x
1

+ x
2
+ ... + x
k
.x
k + 1
> k hay
x
1
+ x
2
+ ... + x
k - 1
> k - x
k
.x
k + 1
. Từ đó:
x
1
+ x
2
+ ... + x
k
+ x
k + 1
> k - x
k
.x
k + 1

+ x
k
+ x
k + 1

= ( k + 1 ) + ( x
k
- 1 )( 1 -x
k + 1
) > k + 1
do ( x
k
- 1 )( 1 -x
k + 1
) > 0
- Hớng dẫn học sinh giải bài toán
- Phân biệt đợc các bớc quy nạp
5.C ng c :
- Nhc li phng phỏp chng minh bng quy np
- Học bài. Làm hoàn thành bài tập trong SGK và SBT>
- Đọc trớc bài: Dãy số.
E. Rỳt kinh nghim:




Tun 19
Ngày soạn:
Tiết 49 Dãy số ( 2 tit)
A - Mục tiêu:

- Nắm đợc định nghĩa, cách cho và cách biểu diễn hình học của dãy số
- áp dụng đợc vào bài tập
B. Ph ơng tiện thực hiện : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài
học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A
C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.
D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ:
HS: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2, ta có các bất đẳng thức:
a) 3
n
> 3n + 1 b) 2
n
- n >
3
2
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
a) Với n = 2, ta có 3
2
= 9 > 3.2 + 1 = 7 là một bất
đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k 2, tức là:
3
k
> 3k + 1 là một bất đẳng thức đúng k 2
Ta chứng minh với n = k + 1 thì:
3
k + 1

> 3( k + 1 ) + 1 =3k + 4. Thật vậy, ta có:
3
k + 1
= 3.3
k
> 3( 3k + 1 ) ( theo gt quy nạp )
= 9k + 3 = 3k + 4 + ( 6k - 1 ) > 3k + 4
( do k là số tự nhiên 2 thì 6k -1 11 > 0 )
b) Với n = 2, ta có 2
2
- 2 = 2 >
3
2
là một bất đẳng
thức đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k
2, tức là: 2
k
- k >
3
2
là một bất đẳng thức đúng
k 2
Ta chứng minh với n = k + 1 thì:
2
k + 1
- ( k + 1 ) >
3
2
. Thật vậy, ta có:
2(2

k
- k ) = 2
k + 1
+ 2k > 3 ( theo gt quy nạp )
Hay 2
k + 1
- ( k + 1 ) - k + 1 > 3
2
k + 1
- ( k + 1 ) > k + 2 > 2 >
3
2
do k 2.
- Uốn nắn cách trình bày của học
sinh.
- Củng cố về phơng pháp quy nạp
toán học.
- Hớng dẫn thực hiện phần b)
Lớp Ngày dạy Sĩ số
11A
3. Bài mới:
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Tính toán và ghi kết quả vào
bảng:
n 1 2 3 4 5
f(n)
1
2
1
5

1
10
1
17
1
26
- Đọc, nghiên cứu phần định
nghĩa về dãy số của SGK. Cho
ví dụ về dãy số và đọc đợc số
hạng tổng quát của dãy số đã
cho.
- Tính đợc:
;
1000
1
;
100
1
;
10
1
999
999
=
==
u
uu
- Thực hiện yêu cầu của giáo
viên.
- Đọc nghiên cứu VD2 (SGK

T102) và trả lời câu hỏi
của giáo viên.
Đọc, nghiên cứu phần cách
cho dãy số bằng công thức
của số hạng tổng quát SGK.
Cho ví dụ về cách cho này.
- Tịnh đợc:
;
225
83
25
8
3333
==
uu
Đọc, nghiên cứu phần cách
cho dãy số bằng công thức
- Hớng dẫn học sinh dùng
máy tính bỏ túi để tính toán
và ghi kết quả vào bảng cho
sẵn.
- Nhận xét tập xác định của
hàm đã cho. Đặt y
n
= f(n)
( hay u
n
= f(n) ) ta có các giá
trị y
1

, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
.
- Cho học sinh đọc, nghiên
cứu định nghĩa về dãy số ở
trang 101 - SGK.
- Phát vấn kiểm tra sự đọc
hiểu của học sinh
- Nêu VD1 sau đó cho HS
thực hiện VD1?
+ Hãy nêu và xác đinh số
hạng thứ 9, 99, 999?
+ Hãy nêu VD về dãy số cho
dới dạng khai triển và tổng
quát và tìm số hạng thứ 10,
100 của dãy đó?
- Hãy nêu sự khác nhau giữa
dãy số hữu hạn và dãy số vô
hạn?
- Hãy đọc và nghiên cứu VD2
và nêu số hạng đầu và cuối
của dãy số đó.
- Một dãy số đợc xác định khi
nào? Cho VD

- Cho học sinh đọc, nghiên
cách cho dãy số bằng cho
công thức của số hạng tổng
quát ở trang 103
- Phát vấn kiểm tra sự đọc
hiểu của học sinh
- Yêu cầu HS thực hiện H2?
Hãy xác định số hạng thứ 33,
333?
- Cho học sinh đọc, nghiên
I. Định nghĩa và ví dụ:
Cho hàm số f(n) =
2
1
n 1+
với
n N*. Hãy tính f(1), f(2),
f(3), f(4), f(5).
* Định nghĩa:
Một hàm số u xác định trên
tập hợp các số nguyên dơng đ-
ợc gọi là một dãy số vô
hạn(hay gọi là dãy số)
- Mỗi số hạng của hàm số u
gọi là một số hạng của dãy số,
u(1): là số hạng thứ nhất, u(2)
là số hạng thứ hai....
+ Kí hiệu: u = u(n)
u
n

: số hạng tổng quát của dãy.
+ Khai triển: u
1
, u
2
, u
3
...
* Chú ý: Dãy số có hữu hạn số
hạng: u
1
, u
2
, u
3
..., u
m
u
1
: Số hạng đầu
u
m
: Số hạng cuối.
II - Cách cho dãy số:
1 - Dãy số cho bằng công
thức của số hạng tổng quát:
2. Dãy số cho bằng công
thức truy hồi:
truy hồi ở trang 103 - SGK.
Cho ví dụ về cách cho này.

- Trả lời câu hỏi của GV?
Đọc, nghiên cứu phần cách
cho dãy số bằng mô tả ở trang
104 - SGK. Cho ví dụ về cách
cho này.
- Trình bày đợc:
+

BAM
n
vuông tại M
n
u
n
= AM
n
= ABsinABM
n
= 2OAsin
n
AOM
n

sin2
2
=
cách cho dãy số bằng công
thức truy hồi ở trang 103
- Phát vấn kiểm tra sự đọc
hiểu của học sinh

- Thực hiện H3?
- Cho học sinh đọc, nghiên
cách cho dãy số bằng mô tả ở
trang 104
- Phát vấn kiểm tra sự đọc
hiểu của học sinh
- Thực hiện H3?
+ Nhận xét gì về tam giác
BAM
n
?
+ Tìm công thức của số hạng
tổng quátcủa dãy số (u
n
)
2. Diễn đạt bằng lời cách xác
đinh mỗi số hạng của dãy
số:
4. Củng cố: - So sánh dãy số hữu hạn và vô hạn? - Cách cho một dãy số?
+ Bài 1: Cho dãy số ( u
n
) xác định bởi:

1
2
1
3
5
3 2 2 , 2

=


=


=

n n n
u
u
u u u n N n
a) Tính u
9
và u
33
?
b) Tính tổng của 33 số hạng đầu tiên và tích của 9 số hạng đầu tiên của dãy đã cho ?
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Học sinh thực hiện:
Sau đó ấn = khi thấy xuất hiện D = 9 thì đọc:
u
9
= 19, S
9
= 99 và P
9
= 654729075 ấn tiếp =
cho đến khi hiện D = 33 thì đọc u
33

= 67, S
33
=
1155
Chú ý: Có thể dùng dãy phím lặp đẻ giải bài tập
này: Gán A = 3, B = 5 rồi ghi vào màn hình:
C = 3B - 2A - 2: A = 3C - 2B - 2: B = 3A - 2C - 2
và ấn: = = = ... = ta đợc các giá trị của các
số hạng u
1
, u
2
, ... , u
n
.
- Hớng dẫn học sinh sử dụng máy
tính để tính toán:
Gán A = 3 ( số hạng u
1
). B = 5 ( số
hạng u
2
)
C = 8 ( Tổng của u
1
và u
2
)
D = 2 ( Biến đếm )
E = 15 ( Tích của u

1
và u
2
)
Ghi vào màn hình: D = D + 1: A =
3B - 2A - 2: C = C + A: E = EA: D
= D+1: B = 3A - 2B -2: C = C+B:
E = EB.
- Củng cố khái niệm về dãy số
5.Cng c:
- Nhc li cỏc ni dung va hc
- Cỏc cỏch thnh lp dóy s.
-Học bài và hoàn thành bài tập trong SGK, SBT.
E. Rỳt kinh nghim:


..

Tun 20
Ngày soạn:
Tiết 50 : Dãy số ( TIP THEO)

A - Mục tiêu: - Nắm đợc k/n dãy số tăng, giảm, bị chặn
- áp dụng đợc vào bài tập
B. Ph ơng tiện thực hiện : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài
học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A
C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.
D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ: HS1 làm bài tập: Cho dãy ( u
n
), biết rằng:
( )
1
2
1 2
1
5
2
1
3 , 3
2


=



=



=


n n n
u
u

u u u n N n
a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số ?
b) Viết và chứng minh công thức của số hạng tổng quát u
n
?
HD: a) Tính 5 số hạng đầu và ghi vào
bảng
b) Dự đoán u
n
=
1
1
2 3
2
+


n
n
= 4 -
1
3
2
n
và dùng PP chứng minh quy nạp để chứng minh:
Với n = 1, ta có u
1
= 4 -
1 1
3

2

= 4 - 3 = 1 hệ thức đúng
Giả sử hệ thức đúng với n = k 1, tức là ta có: u
k
= 4 -
1
3
2
k
là một dẳng thức đúng
k1 Ta cần chứng minh hệ thức đúng với n = k + 1. Tức là phải chứng minh: u
k + 1
= 4
-
3
2
k
Thật vậy, theo công thức của dãy số và theo gt qui nạp, thì: u
k + 1
=
Lớp Ngày dạy Sĩ số
11A
n 1 2 3 4 5
u
n
1
5
2
13

4
29
8
61
16
( )
1
1 2
1 1 3 3
3 3 4 4
2 2 2 2
k k
k k
u u




=
ữ ữ



=
1 2 1
1 9 3 1 3
12 4 8
2 2 2 2 2
k k k

+ =
ữ ữ

=
3
4
2
k

( đpcm )
3. Bài mới:
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
Xét hiệu u
n + 1
- u
n
= 1 -
1
1n +
- 1 +
1
n
=
1
( 1)n n +
>
0 với mọi n * nên ta có
u
n
< u

n + 1
với mọi n N*
Xét hiệu v
n
- v
n + 1
= ( 2 -
3n ) - [ 2 - 3( n + 1 ) ]
= - 1 < 0
Nên v
n
>v
n + 1
với mọi nN*
- TRả lời đợc câu hỏi của
GV.
- Trao đổi thảo luận và lên
bảng trình bày lời giải.
- Trả lời đợc:
Khẳng định đúng: b, c, d, e.
- Gọi một học sinh lên bảng
thực hiện bài toán.
- Thuyết trình về định nghĩa
dãy số tăng, dãy số giảm :
Dãy số đơn điệu
- Dãy (u
n
) là dãy đơn điệu
tăng, dãy ( v
n

) là dãy đơn
điệu giảm.
- Nhận xét về sự tăng giảm
của dãy số sau: (u
n
) = n + 1
và (u
n
) = - n + 1
- Nếu dãy số không tăng thì
giảm. Nếu dãy số không
giảm thì tăng đúng hay sai?
- Hãy đọc và nghiên cứu
VD6 và thực hiện H5?
- Đặt vấn đề: Cho dãy số:
(u
n
) =
n
1
. Tính u
1
đến u
9
Từ đó chứng minh u
n


1
- Nêu VD7 và yêu cầu HS

lấy thêm một số VD khác?
- Thực hiện H6
+ Nhắc lại định nghĩa dãy
số và chọn khẳng định
đúng?
III. Dãy số tăng, dãy số
giảm
Cho các dãy số ( u
n
) với u
n

= 1 -
1
n
và (v
n
) với v
n
=2-3n.
Chứng minh rằng: u
n
< u
n + 1

và
v
n
> v
n + 1

với mọi n N*
* Định nghĩa:
- Dãy số (u
n
) gọi là tăng nếu
với mọi n ta có:
u
n
< u
n+1
- Dãy số (u
n
) gọi là giảm
nếu với mọi n ta có:
u
n
>u
n+1
* Chú ý:
- Dãy số (u
n
) gọi là tăng nếu
với mọi n ta có:
1
1
<
+
n
n
u

u
- Dãy số (u
n
) gọi là giảm
nếu với mọi n ta có:
1
1
>
+
n
n
u
u
IV Dãy số bị chặn:
* Định nghĩa:
- Dãy số (u
n
) gọi là dãy số
bị chặn trên nếu tồn tại một
số M:

n

N
*
ta có: u
n


M

- Dãy số (u
n
) gọi là dãy số
bị chặn dới nếu tồn tại một
số m:

n

N
*
ta có: u
n



m
- Dãy số (u
n
) gọi là dãy số
bị chặn nếu nó vừa bị chặn
trên và vừa bị chặn dới hay
tồn tại một số M, một số m:

n

N
*
ta có: m

u

n


M
4. Củng cố:
- Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm? dãy số bị chặn trên, bị chặn dới? dãy số bị
chặn?
* Bài tập 1: Chứng minh rằng dãy ( u
n
) với u
n
= n - 2
n
là dãy giảm còn dãy ( v
n
) với
v
n
= na
n
( a 1 ) là dãy số tăng.
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Xét hiệu u
n + 1
- u
n
= n + 1 - 2
n + 1
- n + 2
n

= 1 - 2
n
< 0 do n N*
- Xét
1
1
( 1) ( 1)
n
n
n
n
u
n a n a
u na n
+
+
+ +
= =
> 1
do a 1 còn n N*. Suy ra: v
n + 1
> v
n
n N*
Gọi 2 học sinh thực hiện giải
bài toán
( mỗi học sinh giải một
phần )
Thuyết trình ( nêu ví dụ ):

Không phải mọi dãy dều tăng
hoặc giảm, có nhiều dãy số
không đơn điệu
* Bài tập 2: Cho dãy số ( u
n
) với u
n
=
2 1n
n

. Chứng minh rằng 0 < u
n
< 2 n N*
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- n N* thì 2n - 1 > 1 > 0, nên u
n
> 0 n N*
- Xét hiệu u
n
- 2 =
2 1n
n

- 2 =
1
n

< 0 n N*
nên ta có 0 < u

n
< 2 n N*
- Gọi một học sinh lên bảng thực
hiện bài tập. Các học sinh còn lại
thực hiện giải bài tập tại chỗ
- Thuyết trình định nghĩa về dãy
số bị chặn trên, chặn dới và dãy
số bị chặn
5. Về nhà: - Học bài. Làm bài tập: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 (SGK T106, 109)
E. Rỳt kinh nghim:



Ngày soạn:
Tiết 51 Luyn tp Dãy số
A - Mục tiêu:
- Rèn luyện kĩ năng tính toán và chứng minh một dãy số là tăng, giảm, bị chặn
- áp dụng đợc vào bài tập
B. Ph ơng tiện thực hiện :
- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx -
500MS, fx - 570MS, fx - 500A
C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và
giải quyết vấn đề, luyện chữa.
D - Tiến trình bài học :
1. ổ n định tổ chức :

2. Kiểm tra bài cũ:
- HS1: Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm? dãy số bị chặn trên, bị chặn dới? dãy số bị
chặn?
- HS2: Làm bài tập: Chứng minh rằng dãy số ( u

n
) với u
n
=
+
2
1
n
n
n N* là một dãy
bị chặn
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Do n N* nên u
n
=
+
2
1
n
n
> 0 u
n
bị chặn dới
- Lại có
+
= =
+ + +
2 2
2 2 2
1 2 1 ( 1)

0
2 1 1 1
n n n n
n n n
n N* nên dãy u
n
bị chặn trên.
- Do đó dãy đã cho là dãy bị chặn
- Gọi một học sinh lên bảng
thực hiện bài tập. Các học sinh
còn lại thực hiện giải bài tập
tại chỗ
- Củng cố về dãy bị chặn
3. Bài mới:
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt
- Trả lời đợc:
.- Dãy số (u
n
) tăng nếu với

n thì u
n
< u
n+1
hay
1
1
<
+
n

n
u
u
- Dãy số (u
n
) giảm nếu với

n thì: u
n
> u
n+1
hay
1
1
>
+
n
n
u
u
- Yêu cầu HS hệ thống lại
kiến thức: dãy số là tăng,
giảm, bị chặn
- Trao đổi thảo luận và lập
dãy số?
- Lên bảng trình bày bài
A. Kiến thức:
1. Dãy số tăng, giảm
2. Dãy số bị chặn trên, bị
chặn dới, bị chặn?

B. Bài tập:
* Bài 11: ( SGK T106 )
Lớp Ngày dạy Sĩ số
11A
- Trình bày đợc:
Với n
*
N

ta có:
u
n+1
= A
n+1
B
n+1
=
2
1
2
1
)()(
++
+
nnnn
BBBA
=
1)1(
2
+

nn
BA
=
1)1(
2
+
n
u
- Trình bày đợc:
+ Với n=1 thì u
1
=1= 2
1+1

- 3
công thức đúng với n = 1.
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Ta có:
u
k+1
= 2u
k
+3 = 2(2
k+1

3)
+3
= 2
(k+1)+1

3
Vậy (1) đúng với

n


N*
- Trình bày đợc:
u
n-1
u
n
=






+

+
23
1
53
1
5
3
nn
<0

Mà: u
n
=
)23(3
5
3
2
+
+
n
suy
ra
1,1
3
2
<
nu
n
. Vậy dãy
số giảm và bị chặn.
- Trình bày đợc:
u
n-1
u
n
= (n+1).2
n
> 0,

n

1 nên dãy số là tăng.
+ Với n=1 thì
u
1
= 1 = 1 + (1 - 1)2
1
công thức đúng với n = 1.
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Ta có:
u
k+1
= u
k
+ (k + 1)2
k

= 1 + (k 1)2
k
+ (k + 1)2
k
= 1 + k.2
k+1
Vậy (1) đúng với

n


N*
- Trình bày đợc:

+ Với n = 1 ta có u
1
= 1.
+ Bàng quy nạp chứng minh
đợc u
n
= 1 với

n

1.
toán đã chuẩn bị ở nhà?
+ Xét tính đúng sai của
công thức với n = 1.
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Hãy thiết lập
công thức?
+ Hãy thiết lập công thức
khi n = k + 1 và chứng minh
công thức đó?
- Dựa vào định nghĩa dãy số
tăng, giảm, bị chặn.
+ Xét hiệu: u
n-1
u
n
?
+ Từ đó kết luận?
- Xét hiệu: u
n-1

u
n
?
+ Từ đó nhận xét và kết
luận?
- Hãy c/m bằng quy nạp.
+ Xét tính đúng sai của
công thức với n = 1?
+ Giả sử công thức đúng
khi n = k. Hãy thiết lập
công thức?
+ Hãy thiết lập công thức
khi n = k + 1 và chứng minh
công thức đó?
- Với n = 1 công thức có
đúng không?
- Hãy chứng minh u
n
= 1
với mọi n?
- Tính s
n + 3
so sánh với s
1

- Từ đó lết luận bài tập?
* Bài 12: ( SGK T106 )
Cho dãy số (u
n
) xác định

bởi: u
1
= 1, u
n
= 2u
n-1
+3 với

n

2. Bằng phơng
pháp quy nạp chứng minh
với

n

1 ta có: u
n
=
2
n+1

3 (1)
* Bài 14: ( SGK T106 )
Chứng minh dãy số (u
n
) với
u
n
=

23
32
+
+
n
n
là một dãy số
giảm và bị chặn.
* Bài 16: ( SGK T106 )
Cho dãy số (u
n
) xác định
bởi: u
1
= 1, u
n+1
=u
n
+(n+1).2
n
với

n

1.
a) Chứng minh dãy số (u
n
)
là một dãy số tăng.
b) Chứng minh với

n

1 ta có: u
n
= 1 + (n - 1).2
n

(1)
* Bài 17: ( SGK T106 )
Cho dãy số (u
n
) với: u
1
= 1,
u
n+1
=
1
2
2
+
n
u
với

n

1.
Chứng minh dãy số (u

n
) là
một dãy số không đổi (dãy
số có tất cả các số hạng đều
bằng nhau)
* Bài 18: ( SGK T106 )
Cho dãy số (s
n
) với