Giải tích hàm nâng cao1. doc

Giải tích hàm nâng cao

31
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.

Bài tập 7
Cho v là một véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh
rằng
 

*
,|| || 1
|| || sup | ( )|
f X f
v f v
Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1.

32
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.

Bài tập 8
Cho x, y là hai véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng
minh rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định
trên E ta đều có f(x) = f(y) thì x = y.
Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1.

34
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.

Cho họ véctơ độc lập tuyến tính của không
gian định chuẩn E, là những số thực. Chứng minh

rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho
Bài tập 10
  
( 1,2, , ) ( ) .
k k
k m F x c

1 2
{ , , , }
m
M x x x
1 2
, , ,
m
c c c

35
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.

Giải
Tương tự hoàn toàn, ta tìm được
1 2
( ) , ,
m
L M x x
 
Xét
1 1
( , ( )) 0
d x L M


vì M độc lập tuyến tính nên
*
1 1 1 1 1
( ) ( ) 1; ( ) 0
f E f x f L
   
Theo hệ quả 3,
    
*
: ( ) 1; ( ) 0; 2,3, ,
k k k k k
f E f x f L k m
Khi đó phiếm hàm cần tìm là
1 1 2 2

m m
f c f c f c f
    

36
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

Định nghĩa
{ | ( ) }
H x E f x R

   
Một siêu phẳng là tập hợp có dạng
trong đó f là dạng tuyến tính.

Cho phiếm hàm tuyến tính f thỏa:
ví dụ
   
(1,1,1) 1; (1,0,1) 2; (1,1,0) 1
f f f
Khi đó các siêu phẳng là những
mặt phẳng.
3
{ | ( ) }
H x R f x R

   

37
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

Định nghĩa
( 0 1; , ) (1 ) .
x y C x y C
  
      
Một tập hợp C trong không gian tuyến tính X được gọi là lồi
nếu
Tập hợp các điểm có dạng:
(1 ) ; 0 1
a b
  
   
được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm a và b.
Một tập hợp được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối

hai điểm bất kỳ của nó.

38
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

1) Trong R
3
, hình tứ diện, hình lập phương, hình cầu là những
tập hợp lồi.
ví dụ
2) Trong không gian tuyến tính định chuẩn mỗi hình cầu tâm a,
bán kính r là một tập hợp lồi.
Hướng dẫn.
 
     
( , ( , )) || (1 ) ||
x y B a r x y a
   
        
|| ( ) (1 )( ) || || || (1 ) || ||
x a y a x a y a
 
   
(1 )
r r r

40
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

Cho A và B là hai tập hợp con của không gian định chuẩn E.

Ta nói siêu phẳng tách A và B theo
Định nghĩa
{ | ( ) }
H x E f x R

   
nghĩa rộng, nếu
( ) ( ) ( ) ( )
x A f x x B f x
 
      
Ta nói siêu phẳng tách A và B theo
Định nghĩa
{ | ( ) }
H x E f x R

   
( ) ( ) ( ) ( )
x A f x x B f x
   
        
nghĩa chặt, nếu sao cho
0

 