Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối pot

Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối

Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối
• Định nghĩa 1:Xét một phép thử, Ω là không gian biến cố sơ cấp liên kết với
phép thử.Ánh xạ X: Ω R được gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu
nhiên.
• Định nghĩa 2: X là đại lượng ngẫu nhiên . F(X) là hàm phân phối của đại
lượng ngẫu nhiên X được xác định:


( ) ( : ( )
F X P X x
 
  
; viết tắt F(X)= P(X<x), x thuộc R
•Tính chất :
1 2 1 2
1)0 ( ) 1, .
2) ( ) ( ) ( )
3) ; ( ) ( )
4) lim ( ) 0; lim ( ) 1
i
x x
F X x R
P x F F
F F
F X F X
x x x x x

     
 
   
   
  
 
 




• Định nghĩa 3: Đại lượng
ngẫu nhiên X gọi là đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc
nếu miền giá trị của nó là tập
hữu hạn hay vô hạn đếm
được .
•Bảng phân phối xác suất:
X x
1
x
2
… X
n
P(X) P(x
1
) P(x
2
) … P(x
n

)
a-P(x
1
)+P(x
2
)+ … +P(x
n
) =1
Định nghĩa 4 : Hàm phân phối ( hàm tích lũy )
( ) ( )
x i x
F X x P X x i

  

•Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
•Định nghĩa 5: X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất
F(X) . Nếu tồn tại một hàm số f(x) xác định sao cho :
thì X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục và f(x) gọi
là hàm mật độ xác suất.
( , )
 
( ) ( )
x
F X f t d t
 



Tính chất của hàm mật độ f(x)

1)0 ( ),
2) ( ) 1
3) , ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
f x x R
f x dx
a b P a x b f x dx F b F a


  

     


1
. ( )
n
i
x i P x i


Các tham số đặc trưng cơ bản của xác suất:
1) Kỷ vọng toán
Định nghĩa 6:
• X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì E(X)=
• X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:
( ) . ( )
E X x f x dx








Các tham số đặc trưng cơ bản của xác suất:
2) Phương sai
Định nghĩa 7:
• X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc E(X) là kỳ vọng thì
D(X) = E { X- E(X)}
2
= E(X
2
) –E(X)
2
• X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:
2
( ) ( ) . ( ) ;
( )
E X a D X f x d x
x a
 
 
  



1) Gieo 10 lần một đồng tiền cân đối đồng chất. X là
số lần xuất hiện mặt sấp trong 10 lần gieo.Tìm phân

phối xác suất của X. Tính P(0≤ x≤ 8)
Hướng dẫn : Xác suất xuất hiện mặt sấp là 0,5; gieo 10
lần được xem là 10 phép thử Bernoulli. Bài toán
thỏa mãn điều kiện của Bernoulli với n=10; p=0,5
và q=0,5. Áp dụng công thức ta có:
P(X)=
P(1≤ x )= 1- P( x<1)=1- 0,5
10
P(0≤ x≤ 8)= 1- (p( x=9) + P(x=10))=1-11.0,5
10
1 0
1 0
1 0 1 0
0 ,5
k k
k k
k x k x
p q
C C

 

 



2) Bắn liên tục vào một mục tiêu. Bắn đến trúng đích thì dừng.
Gọi X là số viên đạn cần bắn để lần đầu tiên trúng đích. Xác suất
trúng đích là 0,2. Tìm phân phối xác suất. Viết hàm phân
phối.Tính xác suất P( x≥ 2), P(x < 3).

Hướng dẫn:
* Miền giá trị của biến ngẫu nhiên X là D=(1,2,…); ta biết xác
suất trúng là p= 0,2 trượt 0,8
* Ta gọi X là biến cố bắn đến viên thứ k thì trúng đính:
P(k)=q
k-1
.0,2= 0,8
k-1
.0,2 ( k=1,2,…).
*Hàm phân phối xác suất của X là :
F(X) =
*P(x>2) =1- ( P(1)=1-0,2= 0,8 ; P( x<3) = P(1) +P(2) =0,2
+0,8.0,2= 0,36
1
0, 2. ;
0,8
k
k x
x R





X -2 0 2
P(x) 1/6 2/3 1/6
3) Biến ngẫu nhiên X có phân phân phối xác suất ( bảng 3) viết hàm
phân phối của X .Tính xác suất P ( -1 ≤ x < 1)
Hướng dẫn : Từ định nghĩa của hàm phân phối ta có
0 nếu x < -2

1/6 nếu -2 ≤x <0
5/6 nếu 0 ≤ x ≤ 2
1 nếu x> 2
F(X) =
Áp dụng tính chất của hàm phân
phối xác suất ta có
P ( -1 ≤ x < 1) = F(1) – F(-1)
=5/6- 1/6 =2/3
Bàng 3



12) Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ
f(X) =
0 nếu x< 1
ax
2
nếu 1 ≤ x≤ 3
0 nếu x>3
Tìm a; xác suất P(- 1 ≤ x≤ 2)
Giải
Theo tinh chất của hàm
mật độ :
1 3
1 3
3 3
2 3 3
1
1 1
1 ( )

( ) ( ) ( )
( ) .
3
( 9 1 / 3 ) 1 3 / 2 6
/
f x d x
f x d x f x d x f x d x
a
f x d x d x
a a
a x x
 
 
 
 
 
  
  
    

  
 

24) Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ
f(X)=
-x/4 nếu 0 ≤ x ≤ 2
0 nếu 2 < x hoặc x< -2
x/4 +1/2 nếu -2 ≤ x ≤ 0
Tìm E(X); và D(X)
Hướng dẫn :

0 2
2 0
2
0 2 2
2
2
2 0 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
( ) ( ) 0
4 2 4 2 2
/
E X xf x dx xf x dx xf x dx
x x
x dx x dx xdx
x

 

 
  
      
  
  
Áp dụng công thức tìm được D(X) =2/3