Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sự mở rộng vạch phổ do ảnh hưởng của va chạm" ppt

37
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006


Sự mở rộng vạch phổ do ảnh hởng của va chạm

Phạm Khắc Lu
(
a
)



Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi khảo sát phổ huỳnh quang cộng hởng của hệ
nguyên tử hai mức năng lợng khi kể đến ảnh hởng của sự va chạm. Chúng tôi coi
ảnh hởng của sự va chạm nh là ảnh hởng của thăng giáng ngẫu nhiên và đa ra
ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi coi thăng giáng do va chạm ngẫu nhiên là thăng
giáng độ lệch tần số có dạng nhiễu điện tín.

I. Phần mở đầu
Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu ảnh hởng của va chạm lên sự mở
rộng vạch phổ dựa vào phơng trình Bloch quang học hiệu dụng với thăng giáng
ngẫu nhiên là nhiễu telegraph. Trong thực tế trờng laser không hoàn toàn đơn
sắc và hệ lợng tử có thể suy biến, vì vậy tiến triển theo thời gian của các biến số
động lực của hệ nguyên tử đợc mô tả bởi phơng trình [2]
(
)
( )( )
[ ]
( ) ( )( )

[ ]
( )
tVtXMiMtVtXiM
dt
tdV
xs
==
,
(
1
)

ở đây V
(
t
)
là vectơ Bloch, - iM
s
là ma trận chứa các thành phần không đổi của các
thông số về độ lệch tần , về tần số Rabi liên quan đến cờng độ trờng ngoài
và hệ số Einstein A đặc trng cho sự suy giảm tự phát; M
x
là ma trận của nhiễu
do va chạm, phụ thuộc vào nguồn nhiễu và tính chất của nhiễu.
Khi biết đợc M
x
ta sẽ giải đợc phơng trình
(
1
)

và tìm đợc sự phụ thuộc
của mật độ công suất phổ huỳnh quang vào nhiễu. Mô hình nhiễu phản ánh
chính xác ảnh hởng của va chạm bao nhiêu thì kết quả tính đợc các gần với
kết quả thực nghiệm bấy nhiêu.
II. Phơng trình quang học Bloch hiệu dụng với thăng giáng
ngẫu nhiện là nhiễu Telegraph
Khi chiếu một chùm laser vào vật chất ở pha khí, các nguyên tử khí này có
sự va chạm ngẫu nhiên làm cho nguyên tử bị kích thích nên trạng thái năng
lợng thay đổi dẫn đến tần số bức xạ thay đổi theo thời gian. Do sự va chạm
ngẫu nhiên đã làm cho tần số bức xạ của nguyên tử thăng giáng nên ta có thể nói
ảnh hởng của sự va chạm lên các biến số của nguyên tử nh là ảnh hởng của
một nhiễu. Nh vậy khi có ảnh hởng của sự va chạm thì tần số bức xạ của
nguyên tử ở thời điểm t đợc tính theo công thức

=

0
+ X
(
t
)
; X
(
t
)
mô tả thăng
giáng của va chạm của các nguyên tử. Kết quả việc lấy trung bình thống kê các
phơng trình của các biến số ngẫu nhiên theo thời gian phụ thuộc vào tính chất
của các loại nhiễu và nguồn nhiễu mà ta đang khảo sát.

Nhận bài ngày 05/8/2004. Sửa chữa xong 10/12/2005


38

Phạm Khắc Lu, Sự mở rộng vạch phổ , tr. 37-45









Loại nhiễu đơn giản nhất mà ngời ta thờng khảo sát là nhiễu trắng
(
white
noise
)
đó là loại nhiễu thay đổi theo thời gian thoả mãn điều kiện về giá trị trung
bình
(
)
(
)
(
)
(
)

ttDtXtXtX

==

2'.;0
,
ở đây D là hệ số khuyếch tán của khí nguyên tử
Trong vài chục năm lại đây, trong một số công trình [3] , thay cho nhiễu
trắng ngời ta khảo sát một mô hình nhiễu khác gọi là nhiễu telegraph. Đó là
nhiễu thay đổi theo thời gian, biên độ nhận hai giá trị a, - a và thoả mãn điều
kiện về giá trị trung bình
( ) ( ) ( )









==
c
tt
atXtXtX

'
exp'.;0
2
,

(
2
)


trong đó a là biên độ nhiễu,

c
là thời gian kết hợp nhiễu. Nhiễu này còn đợc gọi
là nhiễu điện tín.
Nghiệm của phơng trình
(
1
)
có dạng
(
xem [4]
)

( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )

+=

t
t
xs
tiM
dssVMsXstiMVetV

s
'
.exp0.
.
(
3
)

Lấy trung bình hai vế của phơng trình
(
1
)
thì

(
)
(
)
(
)
(
)
tVtXMtViMtV
xs
.+=
.
(
4
)

Đặt

(
)
(
)
(
)
tVtXtY .=
.
(
5
)

t

a

0


-
a

Hình 2

2>

1>

Hình 1


=

0
+ X(t)
E
2




E
1


39
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006


Từ các công thức
(
3
)
,
(
4

)
và
(
5
)
ta có
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )

=
t
xs
dssVsXtXiMstiMtY
0
.exp
.
(
6
)

Khi nhiễu ngoài là nhiễu telegrap, thay
(
2
)
vào
(
6
)
ta đợc

( ) ( ) ( ) ( )








=
t
x
c
s
dssViMstiMatY
0
2
.
1
exp

.
(
7
)

Thay
(
4
)

vào
(
7
)
cho ta
( ) ( ) ( ) ( )







=
t
x
c
sxs
dssVMstiMMatViMtV
0
2
.
1
exp

.
(
8
)

Từ
(
7
)
và
(
8
)
ta có hệ phơng trình

(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )

+=
=
.
1
.
.
2
tYiMtVMiatY
tYiMtViMtV
c
sx
xs

&
&

(
9
)

Với điều kiện đầu t = 0 thì Y
(
t=0
)
= 0, V
(
t=0
)
= V
(

0
)
, khi đó phơng trình đối
với ảnh Laplace của
(
9
)
có dạng
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )















+=
=
.
~
1

~~
.
~
.
~
0
~
.
2
zYiMzVMiazYz
zYiMzViMVzVz
c
sx
xs


(
10
)

Khử
(
)
tY
~
ta thu đợc

( ) ( )

1

.
~
0
2












++
++=
x
c
s
xs
M
iMz
a
MiMzzVV


(
11

)

Thực hiện phép biến đổi Laplace ngợc ta có
( ) ( )

++
++
= 0
.
1
1
1
.
2
2
.
V
M
iMz
MaiMz
e
i
dz
tV
x
c
s
xs
tz

.
(
12
)

Khi chỉ quan tâm đến động học gần trạng thái dừng hoặc khi các thời gian
tham gia trong hiện tợng đủ dài để Y
(
t
)
giảm chậm hơn so với
(
)
tV
, trong công
thức
(
9
)
ta có thể làm gần đúng đoạn nhiệt, nghĩa là ta đặt
(
)
0=tY
&
, từ đó ta có

40

Phạm Khắc Lu, Sự mở rộng vạch phổ , tr. 37-45

( ) ( )
tVM
iM
a
tY
x
c
s
.
1
2

+
= .
(
13
)

Thay
(
13
)
vào
(
9
)
ta đợc
( ) ( )

tVM
iM
MaiMtV
x
c
s
xs












+
+= .
1
1
2

&
.
(
14
)

Đặt

x
c
s
x
M
iM
Ma

1
1
2
+
=
.
(
15
)

Từ đó suy ra

(
)
(
)
(
)
tViMtV

s

=
&
.
(
16
)

gọi là ma trận suy giảm ngẫu nhiên, phụ thuộc vào tính chất thăng giáng
của các đại lợng ngẫu nhiên mà ta khảo sát sự biến thiên của chúng. Dới ảnh
hởng của các thăng giáng, các thời gian hồi phục sẽ phụ thuộc vào dạng ma
trận này. Phơng trình
(
16
)
gọi là phơng trình quang học Bloch hiệu dụng.
Khi

c
0 nhng a
2

c
dần tới một hằng số, ta đặt a
2

c
= D = const thì
2

2
2
11
x
xcx
x
cs
c
x
DM
MMa
M
iM
Ma ==








+
=



.
Khi đó ta có

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
tVDMiMtViMtV
xss
2
+==
&
.
(
17
)

Khi biết đợc ma trận suy giảm ngẫu nhiên ta tính đợc phổ công suất
huỳnh quang cộng hởng tơng ứng.
2.1. Biểu thức ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có thăng giáng độ
lệch tần số
Sự thăng giáng độ lệch tần số xuất hiện có thể do trờng ngoài hoặc do sự
thăng giáng tần số chuyển của nguyên tử. Sự va chạm ngẫu nhiên giữa các khí
nguyên tử gây nên sự thăng giáng độ lệch tần số, thăng giáng cờng độ, thăng
giáng vận tốc pha Trong bài này chúng tôi chỉ xét ảnh hởng của thăng giáng
độ lệch tần số lên mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng. Ta tìm biểu
thức của ma trận suy giảm ngẫu nhiên của thăng giáng độ lệch tần số. Từ biểu

thức (15) ta đặt
M
X
= iaM
x
.


(
18
)


41
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006


Khi đó

X
c
s
X
M
iM
M

+
=

1
1
.
(
19
)

Từ phơng trình
(
2
)
và
(
19
)
ta đặt: 1/T
2
= A/2; 1/T
1

= A. Vì 1/T
2
, 1/T
1
, A là
các đại lợng đều đặc trng cho tốc độ suy giảm tự phát của các thông số của hệ
lợng tử, theo [4] ta có
iM
s
=















A
A
A
0
2

0
2
,
(
20
)

M
X
= ia











000
001
010
.
(
21
)

Từ

(
19
)
ta tính đợc ma trận suy giảm ngẫu nhiên













=
000
0
0
2221
1211
,
(
22
)

với
c

1
=
;
( )
P
A
A
a
+






+
=

2
2
11
;
(
23
)

( )
P

A
A
a
2
2
22
2
++






+
=

;
(
24
)

(
)
P
A
a
+
=

2
12
;
(
25
)

(
)
P
A
a
+
==

2
1221
;
(
26
)

( )






+++

+






+=
22
22
2
A
A
A
P

.
(
27
)

Ta xét trờng hợp khi

2
A
>>

và

>>

, trong trờng hợp này từ các công
thức
(
23
)

(
27
)
ta thu đợc

42

Phạm Khắc Lu, Sự mở rộng vạch phổ , tr. 37-45


0
2112
=
;
22
2

11
1
c
c
a


+

;
c
a

2
22
.
(
28
)

Nh vậy từ
(
28
)
ta thấy
11
và
22
đều tỉ lệ với a
2

tức là tỉ lệ với bình phơng
cờng độ nhiễu, ngoài ra
11
còn phụ thuộc vào tần số Rabi của trờng tới.
Trong chế độ trờng mạnh

c
>> 1 nhng cha đủ phá huỷ môi trờng và
tơng tác vẫn là tuyến tính
(
E
0
< 10
8
V/cm [2]
)
thì
11
0 ,
c
a

2
12
.
Khi đó ta có

c
a
A

T

2
2
2
+= , A
T
=
1
1
.
(
29
)

Điều này có nghĩa là nhiễu của độ lệch tần chỉ ảnh hởng tới thời gian hồi
phục ngang T
2
mà không ảnh hởng đến thời gian hồi phục dọc T
1
.
Từ
(
2
)
ta đợc
c
a
TT

2
12
2
11
= .
Sự xuất hiện kết hợp đặc biệt này của a và

c
khi 0 có thể hiểu một cách
dễ dàng đối với nhiễu của độ lệch tần số khi ở giới hạn
c
0, nhng a
2

c
dần tới
một giá trị hữu hạn D. Trong trờng hợp này nhiễu telepraph trở thành nhiễu
trắng với hằng số khuyếch tán D và tơng ứng, phù hợp với kết quả đã biết [5]

11
=
12
= a
2

c
= D.
(
30
)

Kết quả này hoàn toàn phù hợp với trờng hợp khi xét thăng giáng là nhiễu
trắng của độ lệch tần số
D
A
T
DA
T
+=+=
2
1
;
1
21
.
III. Mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng khi có
thăng giáng độ lệch tần số
3.1. Mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng
Để tính mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng bằng hàm tơng
quan ta đa ra vector Bloch với 4 thành phần [4]
V
(
t
)
=
(
V
1
, V
2

, V
3
, V
4
)
,
(
31
)

trong đó
V
1
=

21
(
t+

)

12
(
t
)
; V
2
=

12

(
t+

)

12
(
t
)
; V
3
= W
(
t+

)

12
(
t
)
; V
4
=

12
(
t
)
,

(
32
)

V
1
, V
2
, V
3
, V
4
là nghiệm của phơng trình
(
1
)
ứng với điều kiện 1/T
2
= A/2; 1/T
1
= A.
Trong trạng thái dừng, giải phơng trình trên và sử dụng và phép chuyển ảnh
Laplace ta có nghiệm

43
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006


( ) ( ) ( )

dVeVM
iMz
MaiMzzV
zr
x
c
s
xs




=












++
+=
0
1

2
0.
1
1
.
~
.
(
33
)

Ta đã biết mật độ phổ công suất S
(

)
liên quan đến hàm tơng quan của
trờng điện từ
(
xem [1]
)

S
(

)
~ I = E*E ~

21

12

~ V
1
(

)
.
(
34
)

Từ định lý Wiener Kintchine ta có
( ) ( )



dVtiS
1
0
exp
2
)(


=
.
(
35
)

Sử dụng phép chuyển ảnh Laplace ta đợc

( ) ( )


iz
zVS
=
=
~
Re2
.
(
36
)

3.2. Mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng khi có thăng
giáng độ lêch tần số
Từ phơng trình
(
1
)
và
(
32
)
với cách chọn W
eq
= -1 ta có hệ phơng trình

=
+=








=

+






=
.0
22

22
4
21433
322
311
V
d
d
ViViAVAVV
d
d
V
i
V
A
iV
d
d
V
i
V
A
iV
d
d

(
37
)

Điều kiện ban đầu đợc chọn là
V
(

=0
)
=
(
1, 0, 0, 0
)
.
(
38
)

Trực tiếp tính toán ta thu đợc
( )
( )
( ) ( )
[ ]
AzAz
A
z
A
z
Az

A
z
zV
++






++






++






++

++

++
=
12
2
21
2
2211
2
11
1
22
22
~
.
(39)

Theo
(
36
)
ta tính đợc mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng.
Xét trờng hợp khi cha có thăng giáng (
11
=
22
=
12

=
21
= 0) đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc của mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng vào sự
thay đổi của cờng độ trờng ngoài có dạng hình 3. Từ đồ thị ta có nhận xét: khi
không có ảnh hởng cờng độ trờng ngoài ( = 0) đồ thị mật độ phổ công suất

44

Phạm Khắc Lu, Sự mở rộng vạch phổ , tr. 37-45


chỉ có một đỉnh. Với những giá trị khác ( 0) đồ thị có thêm hai đỉnh phụ. Các
đỉnh chính và đỉnh phụ này thay đổi theo giá trị của . Chẳng hạn với = 3 và
= 6 ta có hai đỉnh phụ tại các giá trị +3 và -3, +6 và -6 tơng ứng trên trục
hoành. Từ độ thị chúng ta thấy tỉ lệ độ cao của đỉnh chính và đỉnh phụ là 3:1.
Hình 4 là đồ thị của phổ công suất huỳnh quang cộng hởng với các giá trị của a.
Ta thấy dới ảnh hởng của các thăng giáng độ lệch tần số với các giá trị khác nhau
của biên độ nhiễu a, đồ thị mật độ phổ công suất huỳnh quang cộng hởng cũng
có một đỉnh chính và hai đỉnh phụ phụ thuộc vào độ lớn của a. Kết quả này phù
hợp với các công trình của Mollow [6].

IV. Kết luận
Trong bài báo này chúng ta đã khảo sát sự mở rộng vạch phổ do ảnh hởng
của va chạm khi xem va chạm nh là nhiễu thăng giáng độ lệch tần số có dạng
nhiễu điện tín. Kết quả cho thấy dới tác dụng của trờng ngoài
(
không quá lớn
)

các vạch phổ bị tách thành 3 gồm 1 đỉnh chính và 2 đỉnh phụ, tỉ lệ giữa các
cờng độ đỉnh chính và các đỉnh phụ là 3:1 phù hợp với kết quả của Mollow.








Hình 3.
Đờng 1 ứng với: a = 3, A = 1, 1/

c
= 10, = 0
Đờng 2 ứng với: a = 3, A = 1, 1/

c
= 10, = 3
Đờng 3 ứng với: a = 3, A = 1, 1/

c
= 10, = 6.

Hình 4.
Đờng 1 ứng với: a = 0, A = 1, 1/

c
= 10, = 7
Đờng 2 ứng với: a = 10, A = 1, 1/

c
= 10, = 7
Đờng 3 ứng với: a = 15, A = 1, 1/

c
= 10, = 7.
Đờng 1

Đờng 2

Đờng 3

Đờng 1

Đờng 3

Đờng 2

Đờng 1

Đờng 2

Đờng 3


45
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006



Tài liệu tham khảo

[1] Trần Bá Chữ, Laser và quang phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002.
[2] Nguyễn Huy Công, Lý thuyết lợng tử ánh sáng, Giáo trình dùng cho Cao học
Chuyên ngành Quang học, Đại học Vinh, 2000.
[3] Đinh Xuân Khoa, Đinh Văn Hoàng, Quang phổ học laser, Giáo trình dùng cho
Cao học Chuyên ngành Quang học, Đại học Vinh, 1997.
[4] Lê Văn Vinh, Khảo sát ảnh hởng của các thăng giáng ngẫu nhiên lên một số
thông số đặc trng của hệ lợng tử trên cơ sở phơngtrình Bloch quang học hiệu
dụng, Luận án Tiến sỹ, 2003.
[5] N. H. Cong and D. X. Khoa, Communication in physics, N
0
1
(
1998
)
, 55-64.
[6] J. H. Eberly and K. WoKiewicz. Phis. Rev. A. Vol. 32, N
0
2
(

1983
)
, pp. 992.


SUMMARY

line Broadening due to influence of collisions
In this paper, the line broadening due to influence of collisions was
investigated. We described the collisions using a stochastic model for the line
broadening oparato. Resonance fluorescence in the presence of stochastic
collision was derived and discussed.


(
a
)
Khoa Vật lý, trờng đại học Vinh