ôn tập bất phương trình, phương trình và hệ phương trình 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (361.44 KB, 25 trang )
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
1/ Giải bpt:
( )
2
4x 3 x 3x 4 8x 6− − + ≥ −
Giải: BPT
( )
(
)
2
4 3 3 4 2 0x x x⇔ − − + − ≥
2 2
4 3 0 4 3 0
3 4 2 3 4 2
x x
x x x x
− ≥ − ≤
⇔ ∨
− + ≥ − + ≤
Hệ thứ nhất
2
3 3
3
4 4
3 4 4 0 3
x x
x
x x x x
≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ ≥
− + ≥ ≤ ∨ ≥
.
Hệ thứ hai
2
3 3
3
0
4 4
4
3 4 4 0 3
x x
x
x x x
≤ ≤
⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤
− + ≤ ≤ ≤
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là
[
)
3
0; 3;
4
∪ +∞
2/ Giải bpt:
1 1
2 3 5 2x x x
≤
+ − − −
,(1)
Giải: ĐK :
( )
1 1 5
2 0;3 0;5 2 0; 2 3 2; ;
2 2 2
x x x x x x
+ ≥ − ≥ − > + ≠ − ⇔ ∈ − ∪
÷ ÷
(*)
+) Nếu
1
2 3 0 2 3
2
x x x x x+ − − < ⇔ + < − ⇔ <
với (*)
1
2
2
x⇒ − ≤ <
thì (1) luôn đúng
+) Nếu
1 5
2 2
x< <
2 3 0x x⇒ + − − >
(1) ⇔
2 3 5 2x x x+ − − ≥ −
⇔
( )
( ) ( )
2
2 3 5 2 2 3x x x x x x+ − − ≥ − ⇔ ≥ + −
( ) ( )
2 2
3
2 3 2 6 0 2
2
x x x x x x x
−
⇔ ≥ + − ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥
mà
1 5
2 2
x< <
⇒
5
2
2
x≤ <
Vậy tập nghiệm của (1) là
1 5
2; 2;
2 2
S
= − ∪
÷ ÷
3/ Giải bpt:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x
+ + + ≥ + + +
.
Giải: ĐK:
1x
≥ −
BPT
( ) ( )
( ) ( )
3 2 1 2 1 3 2 1 1 3 1 1 0x x x x x x x x x x
⇔ + + + ≥ + + + ⇔ + − − + + − ≥
( ) ( )
1 1 2 3 0x x x⇔ + − − + ≥
1 1 0 1 1 0
( ) ( )
2 3 0 2 3 0
x x
I II
x x x x
+ − ≥ + − ≤
⇔ ∨
− + ≥ − + ≤
Hệ (I)
2 2
0
1 1 0 0
1
3
4 3 4 3 0
1
2 3
4
x
x x x
x
x x x x
x x
x x
≥
+ ≥ ≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥
≥ + − − ≥
≤ − ∨ ≥
≥ +
Hệ (I)
1 0
1 1
2 3
2 3
x
x
x x
x x
− ≤ ≤
+ ≤
⇔ ⇔
≤ +
≤ +
1 0x
⇒ − ≤ ≤
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là
[ ] [
)
1;0 1;− ∪ +∞
4/ Giải bpt:
2 2
3 2 2 3 1 1x x x x x− + − − + ≥ −
Giải: Tập xác định: D =
{ }
[
)
1
; 1 2;
2
−∞ ∪ ∪ +∞
• x = 1 là nghiệm
• x
≥
2: BPT
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 1 1 1x x x x x⇔ − − − − − ≥ −
⇔
2 1 2 1− ≥ − + −x x x
vô nghiệm
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
• x
1
2
≤
: BPT
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 1x x x x x⇔ − − − − − ≥ − −
⇔
2 1 1 2− + − ≥ −x x x
⇔ ⇔
x
1
2
≤
⇒ BPT có tập nghiệm S=
{ }
1
; 1
2
−∞ ∪
5/ Giải bpt :
2
2
1 3
1
1
1
x
x
x
> −
−
−
Giải: ĐK:
( )
2
1 0 1;1x x− > ⇔ ∈ −
BPT
( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 2
0
0
1 3 1 1 2 3 1
2 9 1
x
x
x x x x x x
x x x
≤
>
⇔ > − − + ⇔ − > − ⇔
− > −
4 2
2 2
0
0
0
1
0
0
0
2
1 4
2
10 13 4 0
;
2 5
5
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
≤
≤
≤
< <
>
⇔ ⇔ ⇔
>
− + >
< >
>
Vậy bất phương trình có tập nghiệm:
1 2
1; ;1
2 5
S
= − ∪
÷ ÷
6/ Giải pt:
231034 −=−− xx
Giải: PT
( )
2
2
10 3 0
10
2
3
2 0
4 3 10 3 ;(*)
4 3 10 3 2
x
x
x
x x x
x x
− ≥
≤ ≤
⇔ − ≥ ⇔
− = −
− − = −
Với
10
2
3
x≤ ≤
thì (*)
( )
( )
2
2 4 3 2
4 9 10 3 8 16 27 90 0x x x x x x x⇔ − = − ⇔ − + + − =
( )
3 2
3 5 30 0 3; 2x x x x x x
⇔ − − + + = ⇔ = = −
với đk trên suy ra pt có nghiệm duy nhất x = 3.
7/ Giải bpt :
21412
33
≥++− xx
Giải: Đặt
3
3
12 12t x x t= − ⇔ = −
, ta có bpt:
3 33 3 3 2 3
26 2 26 2 26 8 12 6t t t t t t t t+ − ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ − + −
2
3
2 3 0 1 3 1 12 3 1 12 27 15 13t t t x x x⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
8/ Giải bpt :
2
12 1 36x x x+ + + ≤
Giải: ĐK:
1x
≥ −
. Đặt
2
1 1; 0t x x t t= + ⇒ = − ≥
. Ta có BPT:
( ) ( )
2
2 2
1 1 12 36t t t− + − + ≤
( )
4 2 3 2
12 36 0 2 2 3 36 0 2 0 2t t t t t t t t t
⇔ − + − ≤ ⇔ − + + + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤
1 3x
⇒ − ≤ ≤
9/ Giải pt:
)1(2)1(
2323
xxxx −=−+
Giải: ĐK:
[ ]
1;1x ∈ −
. PT đã cho
(
)
2 2 2
1 1 1 1 . 2x x x x x x
⇔ + − − − = −
Đặt
2
2 2 2 2
1
1 1 2 1 1
2
t
t x x t x x x x
−
= + − ⇒ = + − ⇒ − =
. Ta có pt :
2 2
1 1
1 . 2
2 2
t t
t
− −
− =
( )
3 2 2
2. 3 2 0 2 2 2 1 0t t t t t t
⇔ + − − = ⇔ − + + =
2; 2 1; 2 1t t t⇔ = = − + = − −
+)
( )
2
2 2 2 2
2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 0
2
t x x x x x x x x x= ⇒ + − = ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ =
(TM)
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
+)
( )
2 2
2
2
2 1 0
2 1 1 2 1 1 2 1
1 2 1
x
t x x x x
x x
− + − ≥
= − + ⇒ + − = − + ⇔ − = − + − ⇔
− = − + −
( )
2
1 2
1 2
1 2 1 2 2
1 2 1 2 2
2
2 1 1 2 0
2
x
x
x
x x
x
≤ −
≤ −
− − − +
⇔ ⇔ ⇔ =
− ± − +
+ − + − =
=
(TM)
+)
2
2 1 1 2 1t x x= − − ⇒ + − = − −
, vô nghiêm vì
2
1 1 1x x x≥ − ⇒ + − ≥ −
Vậy pt đã cho có hai nghiệm
2
2
x =
và
1 2 1 2 2
2
x
− − − +
=
10/ Giải pt:
044321112
3
2
=−−+− xxx
Giải: PT đã cho
2
3
2 11 21 3 4 4x x x⇔ − + = −
; Ta có
2
3
2 11 21 0, 4 4 0 1x x x x x− + > ∀ ⇒ − > ⇒ >
Đặt
3
3
4
4 4 ; 0
4
t
t x x t
+
= − ⇒ = >
. Ta có pt:
( ) ( )
2
3 3
4 4
2. 11 21 3 0
16 4
t t
t
+ +
− + − =
( )
6 3 5 4 3 2
14 24 96 0 2 2 4 6 12 48 0t t t t t t t t t
⇔ − − + = ⇔ − + + − − − =
( ) ( )
4 3 2
2 2 4 12 18 24 0 2 3t t t t t t t x
⇔ − − + + + + = ⇔ = ⇒ =
11/ Giải bpt:
( )
( )
2
3 1 1 2 3 4x x x x+ − − + + − ≥
Giải: Điều kiện
1≥x
.
Nhân hai vế của bpt với
3 1 0x x+ + − >
, ta được
BPT
( )
( )
2 2
4. 1 2 3 4. 3 1 1 2 3 3 1x x x x x x x x⇔ + + − ≥ + + − ⇔ + + − ≥ + + −
2 2 2 2
2
2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 4 0
2
x
x x x x x x x x
x
≤ −
⇔ + − + + − ≥ + + + − ⇔ − ≥ ⇔
≥
Kết hợp với điều kiện
1x ≥
ta được
2x ≥
12/ Giải pt:
2 1 3 2 4 3 5 4x x x x− + − = − + −
Giải: ĐK:
1
2
x ≥
.
PT trên
4 3 2 1 5 4 3 2 0x x x x⇔ − − − + − − − =
2 2 2 2
0 1
4 3 2 1 5 4 3 2
x x
x
x x x x
− −
⇔ + = ⇔ =
− + − − + −
13/ Giải bpt:
1 1x x x+ − − ≤
Giải: ĐK:
[ ]
1;1x ∈ −
. BPT
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1 1 2 1 1 , 2x x x x x x x x x⇔ + − − ≤ + + − ⇔ ≤ + + −
- Nếu
(
]
( )
2 2
0;1 , 2 2 1 1 4 2 2 1 1 1x x x x x∈ ⇔ ≤ + + − ⇔ ≤ + − ⇔ − ≥
vô nghiệm
- Nếu x = 0
( )
2⇒
đúng
- Nếu
[
) ( )
2
1;0 , 2 2 1 1 1 1x x x x∈ − ⇔ ≥ + + − ⇔ − ≤
đúng
[
)
1;0x∀ ∈ −
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là đoạn
[ ]
1;0−
14/ Giải pt:
3
4 1 3 2 .
5
x
x x
+
+ − − =
Giải: §iÒu kiÖn:
2
.
3
x ≥
Ph¬ng tr×nh đã cho
4 1 3 2 3
5
4 1 3 2
x x x
x x
+ − + +
⇔ =
+ + −
⇔
4 1 3 2 5x x+ + − =
v× x + 3 > 0
XÐt f(x) =
3
4 1 3 2, .
5
x x x+ − − ≥
f’(x) =
4 3
0
2 4 1 2 3 2x x
+ >
+ −
nªn f ®ång biÕn.
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
V f(2) = 5 nªn phà ¬ng tr×nh: f(x) = 5 ⇔ f(x) = f(2) ⇔ x = 2 (tháa mãn). VËy nghiÖm duy nhÊt x = 2.
15/ Giải bpt:
(
)
( )
522141522
222
+−≤++++−+ xxxxxxxx
Giải: BPT
(
)
( )
0
5212
1232
)1(522
22
2
2
≤
+−++
−+
+++−+⇔
xxx
xxx
xxx
(
)
( )
0
5212
)13(12
)1(522
22
2
≤
+−++
−+
+++−+⇔
xxx
xxx
xxx
( )( )
(
)
0547521252214)1(
0
5212
)13(2
522)1(
22222
22
2
≤+−++−+++−+++⇔
≤
+−++
−
++−++⇔
xxxxxxxxx
xxx
xx
xxx
101 −≤⇔≤+⇔ xx
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T =
(
]
1;−∞−
.
16/ Giải bpt :
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − ≥ − − − − +
Giải: ĐK:
2
2
2
2
7 13 7 13
3 7 3 0
6 6
5 37
2 0
2 2
6
3 5 1 0
2
5 37 5 37
3 4 0
6 6
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x x
x x
− +
≤ ∨ ≥
− + ≥
+
− ≥
≥
⇔ ≤ − ∨ ≥ ⇔
− − ≥
≤ −
− +
≤ ∨ ≥
− + ≥
Bpt
2 2 2 2
3 7 3 3 5 1 3 4 2 0x x x x x x x⇔ − + − − − + − + − − ≥
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
4 2 6 3
0
3 7 3 3 5 1 3 4 2
2 3
2 0
3 7 3 3 5 1 3 4 2
2 0 2
x x
x x x x x x x
x
x x x x x x x
x x
− −
⇔ + ≥
− + + − − − + + −
⇔ − + ≥
− + + − − − + + −
⇔ − ≥ ⇔ ≤
Kết hợp với đk suy ra bpt có tập nghiệm là
(
5 37
; 2 ;2
6
+
−∞ − ∪
17/ Giải bpt:
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − >
Giải: ĐK:
1
;6
3
x
∈ −
BPT
( )
( )
( ) ( )
2
3 5
5
3 1 4 6 1 3 14 5 0 5 3 1 0
3 1 4 6 1
x
x
x x x x x x
x x
−
−
⇔ + − − − − + − − > ⇔ − + − + >
+ + − +
( ) ( )
3 1
5 3 1 0 5 0 5
3 1 4 6 1
x x x x
x x
⇔ − + + + > ⇔ − > ⇔ >
+ + − +
Kết hợp đk suy ra nghiệm của bpt là
5 6x
< ≤
18/ Giải pt:
2
3
5 1 9 2 3 1x x x x− + − = + −
Giải: ĐK:
1
5
x ≥
. PT
2
3
5 1 2 9 2 2 3 5x x x x⇔ − − + − − = + −
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
3
3
2
3
3
1
5 1
1
5 1
1 2 5
2 5; *
5 1 2
9 2 9 4
5 1 2
9 2 9 4
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x x
=
−
−
⇔ + = − + ⇔
− = +
− +
− + − +
− +
− + − +
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
(*) vô nghiệm vì khi
1
5
x ≥
vế trái <5 và vế phải >5
Vậy phương trình đã cho có đúng một nghiệm x = 1.
19/ Gi¶i bpt:
( ) ( )
( )
2
2
9 1 3 7 1 3 4x x x+ < + − +
Giải: §k:
4
3
x ≥ −
§Æt
3 4u x= +
;
0u
≥
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2
3 4 3 7 3; 9 1 3 3 1u x x u x x u⇒ = + ⇒ + = + + = + = −
BPT trë thµnh:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 2
1 3 1 1 1 3 1u u u u u u u− < + − ⇔ − + < + −
( ) ( )
2
2
1 3; 1 1u u u u+ < + ≠ ⇔ <
3 4 1 1x x+ ≤ ⇒ ≤ −
kết hợp đk suy ra bpt có tập nghiệm là
4
; 1
3
− −
20/ Giải pt:
( )
3 2 2
x 8x 13x 6 6 x 3 x 5x 5 0− + + + − − + =
Giải: ĐK:
2
x 5x 5 0− + ≥
Phương trình cho viết lại:
( )
( )
( )
2 2
x 3 x 5x 2 6 x 3 x 5x 5 0− − − + − − + =
( )
2 2
x 3
x 5x 2 6 x 5x 5 0
=
⇔
− − + − + = ∗
Đặt
2
t x 5x 5= − +
thì
( )
∗
suy ra
t 1 x 1, x 4= ⇒ = =
thỏa điều kiện.
Vậy, phương trình cho có nghiệm:
x 1, x 4= =
21/ Giải pt:
2
1 1
2
2
x
x
+ =
−
.
Giải : ĐK:
( 2; 2) \{0}x ∈ −
Pt đã cho
2 2
2 2 2x x x x
⇔ − + = −
Đặt
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2t x x t x x x x t
⇔ = − + ⇒ = + − ⇒ − = −
Ta có pt:
2 2
1
2 2 0
2
t
t t t t
t
=−
= − ⇔ − − = ⇔
=
+) với
( )
2 2
2
2
1 0
1 3
1 2 1 2 1
2
2 1
x
t x x x x x
x x
− − ≥
− −
=− ⇒ − + =− ⇔ − =− − ⇔ ⇔ =
− = − −
+) với
( )
2 2
2
2
2 0
2 2 2 2 2 1
2 2
x
t x x x x x
x x
− + ≥
= ⇒ − + = ⇔ − =− + ⇔ ⇔ =
− = − +
Kết hợp điều kiện ta được: x = 1 và
1 3
2
x
− −
=
22/ Giải pt:
2 2 2
2 3 2 3 9x x x x x+ + + + + =
.
Giải: Đặt
2 2 2 2
3 2 3 2 3t x x t x x x= + + ⇒ = + + +
Ta có pt:
2 2
3
3 9 12 0
4
t
t t t t
t
=
− + = ⇔ + − = ⇔
= −
+) Với
( )
2 2
2
2
3 0
3 3 3 3 3 1
3 3
x
t x x x x x
x x
− ≥
= ⇒ + + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ =
+ = −
+) Với
( )
2 2
2
2
4 0
4 3 4 3 4
3 4
x
t x x x x
x x
− − ≥
= − ⇒ + + = − ⇔ + = − − ⇔
+ = − −
, vô nghiệm
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
23/ Giải pt:
( ) ( )
3 3
2 2
1 1 1 1 2 1x x x x
+ − + − − = + −
Giải: ĐK:
[ ]
1;1x ∈ −
. Đặt
2
1 1 ; 0a x a x a= + ⇒ = + ≥
;
2
1 1 ; 0b x b x b= − ⇒ = − ≥
Ta có hệ
( )
( )
2 2 2 2
2 2
3 3 2 2
2 2
2
1 2 1 2
1 1
a b a b
a b
ab a b ab ab a b a b ab ab
ab a b
+ = + =
+ =
⇔ ⇔
+ − = + + − + + = +
+ − =
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
1
2;
2;
2;
2
1
(1 ) 2 1 (1 ) 2 2 1
2
2
1
2
a
a b a b
a b a b
a b a b
ab a b ab ab ab a b
b
= +
+ = >
+ = >
+ = >
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ + − = + − = =
= −
2
2
x⇒ =
24/ Giải bpt :
2
1 1 2
4
x
x x+ + − ≤ −
Giải: ĐK:
[ ]
1;1x ∈ −
. Khi đó Pbt
( )
2 2
2 2
2
2
1 1 2 2 2 1 2
4 4
x x
x x x
⇔ + + − ≤ − ⇔ + − ≤ −
÷ ÷
Đặt
2 2 2
1 1 ; 0t x x t t= − ⇒ = − ≥
. Ta có BPT:
2
2
4 2
1
2 2 2 14 32 17 0
4
t
t t t t
−
+ ≤ − ⇔ + − + ≥
÷
( ) ( )
2
3 2 2
1 15 17 0 1 2 17 0t t t t t t t
⇔ − + + − ≥ ⇔ − + + ≥
đúng
0t
∀ ≥
Vậy bpt đã cho có nghiệm là
[ ]
1;1x∀ ∈ −
25/ Giải bpt :
2
1 3 2 10 16x x x x− + − ≥ − +
Giải: ĐK:
1x ≥
. Đặt
2
1 1; 0t x x t t= − ⇒ = + ≥
. Ta có bpt:
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 1 10 1 16t t t t+ − ≥ + − + +
( )
( )
2
2 4 2
2
4 3 2
2 4 2
2 0; 0
1
2 2 6 8
2 3 4 4 0; *
2 2 6 8
t t t
t
t t t t
t t t t
t t t t
+ − ≥ ≥
≥
⇔ + − ≥ − + ⇔ ⇔
− − + + ≤
+ − ≥ − +
(*)
( ) ( ) ( )
2 2
3 2 2
1 3 4 0 1 4 4 0 2 0 2 5t t t t t t t t x
⇔ + − + ≤ ⇔ + − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ = ⇔ =
Đáp số: x = 5
26/ Giải bpt:
(
)
2 2
1 1 1 2 1x x x+ − ≥ + −
Giải: ĐK :
[ ]
1;1x ∈ −
.
* Nếu
[ ]
1;0x∈ −
thì bất phương trình nghiệm đúng
[ ]
1;0x∀ ∈ −
* Nếu
[ ]
0;1x∈
thì bất phương trình
(
)
2 2 2 2
1 1 5 4 4 1x x x x+ − ≥ − + −
Đặt
[ ]
2 2 2
1 0;1 , 1t x t x t= − ⇒ = −
, ta có BPT:
( )
2 2
1 1 1 4 4t t t t
+ ≥ − + +
( )
( )
4 3 2 2 2
4 4 3 3 0 1 4 3 0 4 3 0t t t t t t t t⇔ + − − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥
vì
[ ]
0;1t
3
2
t⇒ ≥
2 2
3 1
1
2 4
x x− ≥ ⇔ ≤
mà
[ ]
0;1x∈
1
0;
2
x
⇒ ∈
.
Vậy tập nghiệm của BPT là đoạn
1
1;
2
−
27/ Giải bpt :
3
1
2
>−
−
x
x
x
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Giải: ĐK có nghiệm :
(
)
2
2
2
1 0
1 1
0
1 1 0,(*)
1
x
x x
x
x
x x
x
− >
< − ∨ >
⇔
− >
− − >
−
Khi x > 1,
( )
2 2 2
(*) 1 1 0 1 1 2 1; 2x x x x⇔ − − > ⇔ > − ⇔ < ⇒ ∈
Khi x <-1,
( )
2 2 2
(*) 1 1 0 1 1 2 2; 1x x x x⇔ − − < ⇔ − > ⇔ > ⇒ ∈ − −
Vậy đk có nghiệm là
( ) ( )
2; 1 1; 2x ∈ − − ∪
BPT
2
2 2
2
2
2 2
3 2 3
1
1 1
x x x
x x
x
x x
⇔ − > ⇔ − + >
÷
−
− −
Đặt
2 2 2
1 1; 0t x x t t= − ⇒ = + >
. Ta có bpt:
2 2
2
2
1 1
2 1 3
t t
t
t t
+ +
− + + >
2
2
2
1 1 1 1 1
2 1 0 2 3 0 3t t t t t
t t t t t
⇔ + − + − > ⇔ + − + − > ⇔ + >
÷ ÷ ÷
(vì t >0)
2 2
2
2 2
3 5 3 5 18 6 5 1
1 18 6 5
2 2 4 2
3 1 0
1
3 5 3 5 18 6 5
18 6 5
1
2
2 2 4
t x x x
t t
x
t x x
+ + +
> − > > > +
⇔ − + > ⇔ ⇒ ⇔ ⇔
− − −
< −
< − < <
Kết hợp với đk suy ra tập nghiệm của bpt là
1 1
18 6 5; 1 1; 18 6 5
2 2
− − − ∪ −
÷ ÷
28/ Giải pt:
2 2
2 1 1 3x x x x x+ + + − + =
.
Giải: Ta có
2
2 1 0x x+ + >
và
2
1 0,x x x− + > ∀ ∈ ⇒¡
TXĐ:
¡
Từ pt suy ra
0x >
. Khi đó PT
2 2
1 1 1 1
2 1 3
x x x x
⇔ + + + − + =
. Đặt
1
, 0t t
x
= >
Ta được
2 2 2 2
2 1 3 2 3 1t t t t t t t t+ + + − + = ⇔ + + = − − +
2 2 2 2
2 9 1 6 1 3 1 4t t t t t t t t t⇒ + + = + − + − − + ⇔ − + = −
2 2 2
1
4 0 4
7
9(1 ) 16 8 8 7 0
8
t
t t
t
t t t t t t
=
− ≥ ≤
⇔ ⇔ ⇔
= −
− + = − + − − =
Đối chiếu với t > 0 ta được
1 1t x
= ⇒ =
Thử lại thấy x = 1 thỏa mãn pt. Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 1
Cách khác: PT
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 3
2 1 2 1 1 3 3 3 1
2 1 2 1 1
1
1 2 3 1
3 1
2 3
3,(*)
2 1 2 1 1
2 1 2 1 1
x x x x
x x x x x x
x x x x
x
x x x x
x
x x
x x x x
x x x x
+ − −
⇔ + + − + − + − = − ⇔ + = −
+ + + − + +
=
− + −
⇔ + = − ⇔
+
+ =
+ + + − + +
+ + + − + +
(*) vô nghiệm vì VT<2+1=3
29/ Giải pt
32 4 2
2 1x x x x+ − = +
.
Giải: TXĐ: R
+ Với
0x
=
, pt vô nghiệm
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
+ Với
0x
≠
, chia cả hai vế cho x ta được:
3
1 1
2x x
x x
− + − =
÷
Đặt
3
1
t x
x
= −
, ta được phương trình:
3
2 0t t
+ − = ⇔
1 5
1
2
t x
±
= ⇔ =
30/ Giải pt:
2 3
2 4 3 4x x x x+ + = +
Giải: ĐK :
0x ≥
; PT
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 4 3 4 4 2 3 4x x x x x x x x⇔ + + = + ⇔ + + = +
2
2
1 2 3
4
4
x x
x
x
⇔ + =
+
+
. Đặt
2
0
4
x
t t
x
= ⇒ ≥
+
, ta có pt :
2
1
2 3 1 0 1
2
t t t t− + = ⇔ = ∨ =
+)
2
2
1 1 4
4
x
t x x
x
= ⇒ = ⇔ + =
+
, vô nghiệm.
+)
2 2
2
1 1
4 4 4 4 0 2
2 4 2
x
t x x x x x
x
= ⇒ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ =
+
31/ Giải pt:
x x x x
2 4 2
3
3 1 1
3
− + = − + +
(1)
Giải: Chú ý:
x x x x x x
4 2 2 2
1 ( 1)( 1)+ + = + + − +
,
x x x x x x
2 2 2
3 1 2( 1) ( 1)− + = − + − + +
(1) ⇔
x x x x x x x x
2 2 2 2
3
2( 1) ( 1) ( 1)( 1)
3
− + − + + = − + + − +
.
2 2
2 2
2( 1) 3 1
1
3
1 1
x x x x
x x x x
− + − +
⇔ − = −
+ + + +
.
Đặt
x x
t t
x x
2
2
1
, 0
1
− +
= >
+ +
. Ta được: (1) ⇔
t t
2
3
2 1 0
3
+ − =
⇔
t
t
3
0
2 3
1
3
−
= <
=
⇔
x x
x x
2
2
1 1
3
1
− +
=
+ +
⇔
x 1=
.
32/ Giải bpt :
3 2
3 1 2 3 1x x x− ≤ + +
.
Giải: ĐK: x ≥ 1
BPT
2 2
3 1. 1 ( 1) 2( 1)x x x x x x⇔ − + + ≤ − + + +
⇔
2 2
1 1
3 2
1 1
x x
x x x x
− −
≤ +
+ + + +
Đặt t =
1
1
2
++
−
xx
x
, t ≥ 0, ta ta được bất phương trình:
2
3 2 1t t t≤ + ⇔ ≤
hoặc
2t ≥
+ Với
1t ≤
, ta có:
2 2
2
1
1 1 1 2
1
x
x x x x
x x
−
≤ ⇔ − ≤ + + ⇔ ≥ −
+ +
(luôn đúng)
+ Với
2t ≥
, ta có:
2 2
2
1
2 1 4( 1) 4 3 5 0
1
x
x x x x x
x x
−
≥ ⇔ − ≥ + + ⇔ + + ≤
+ +
(vô nghiệm)
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1.
33/ Giải pt:
2 2
5x 8 8 5( 1). 4x x x+ + = + +
Giải: Nhận xét:
2 2 2
5 8 8 4( 1) ( 4)x x x x+ + = + + +
Pt
2 2 2
4( 1) ( 4) 5( 1). 4x x x x⇔ + + + = + +
⇔
2
2 2
1 1
4 5 1 0
4 4
x x
x x
+ +
− + =
÷ ÷
+ +
. Đặt
2
1
4
x
t
x
+
=
+
Ta có pt
2
4 5 1 0 1 0,25t t t t− + = ⇔ = ∨ =
+)
( )
2 2 2
2
1
1 1 1 4 2 1 4; 1
4
x
t x x x x x x
x
+
= ⇒ = ⇔ + = + ⇔ + + = + ≥ −
+
3
2
x⇔ =
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
+)
( )
2 2 2
2
1 1
0,25 4 4 4 16 32 16 4; 1
4
4
x
t x x x x x x
x
+
= ⇒ = ⇔ + = + ⇔ + + = + ≥ −
+
16 76
15
x
− +
⇔ =
ĐS :
3
2
x =
,
16 76
15
x
− +
=
34/ Giải bpt:
3 2
(3 4 4) 1 0x x x x+ − − + ≤
Giải: Điều kiện :
1x
≥ −
.
Bpt
3 2
3 1 4( 1) 1 0x x x x x⇔ + + − + + ≤
(*)
+) Nếu
1x = − ⇒
(*) nghiệm đúng
+) Nếu
1x > −
, (*)
( ) ( )
3 2
3 2
3
4 0
1 1
x x
x x
⇔ + − ≤
+ +
2
1 0
0
1 1
1
1 0
x
x
x
x x
x
x x
− ≤ <
≥
⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔
+
− − ≤
1 0
0
1 5
1
2
1 5 1 5
2 2
x
x
x
x
− ≤ <
≥
+
⇔ − ≤ ≤
− +
≤ ≤
. Kết hợp
1x > −
ta được
1 5
1
2
x
+
− < ≤
.
Vậy tập nghiệm của BPT là S =
1 5
1;
2
+
−
35/ Giải bpt :
( )
2
4 2
1
1 2 1
x x
x x
−
≥
− − +
Giải: ĐK
( ) ( )
4 2 4 2 4 2
2 1 1 2 1 1 2 2 1 0x x x x x x− + ≠ ⇔ − + ≠ ⇔ − + ≠
đúng
x∀
Xết
( ) ( )
4 2 4 2 4 2
1 2 1 0 2 1 1 2 2 1 0,x x x x x x x− − + < ⇔ − + > ⇔ − + > ∀
Do đó bpt đã cho
( ) ( )
2 4 2 4 2 2
1 2 1 2 1 1x x x x x x x x− ≤ − − + ⇔ − + ≤ + −
(*)
Đặt
2 2 2 4
2 2 2 4
2 2
1 1 2
1
a x a x x
a b x x
b x b x
= − = − +
⇒ ⇒ + = − +
= =
Ta có
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2
2 2
0
2 0
0
0
a b a b ab
a b
a b a b a b
a b
a b
+ ≤ + +
− ≤
+ ≤ + ⇔ ⇔ ⇔ = ≥
+ ≥
+ ≥
2 2
1 5
1 0 1 0; 0
2
x x x x x x
− +
⇒ − = ≥ ⇔ + − = ≥ ⇔ =
Cách khác
( ) ( )
2
4 3 2
4 2 2
2
2
2 2 1 0
2 1 1
(*)
1 0
1 0
x x x x
x x x x
x x
x x
+ − − + ≤
− + ≤ + −
⇔ ⇔
+ − ≥
+ − ≥
36/ Tìm m để phương trình
( )
4 2
3 x 1 m x 1 2 x 1 1
− + + = −
có nghiệm
Giải: ĐK:
1x ≥
PT đã cho
( ) ( )
( ) ( )
4
4
x 1 x 1
x 1
3 x 1 m x 1 2 x 1 x 1 3 m 2
x 1 x 1
− +
−
− + + = − + ⇔ + =
+ +
2 2
3 2 3 2t m t t t m+ = ⇔ − + =
,(*) với
4
1
1
x
t
x
−
=
+
Xét
( ) ( )
( )
2
1 2
; 1 0, 1
1
1
x
g x x g x x
x
x
−
′
= ≥ ⇒ = > ∀ ≥
+
−
. Lập bbt suy ra
( )
1 0 1 0 1x g x t∀ ≥ ⇔ ≤ < ⇔ ≤ <
Ta phải tìm m để (*) có nghiệm
[
)
0;1t ∈
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Xét hàm số
( )
[
) ( )
2
1
3 2 ; 0;1 6 2 0
3
f t t t t f t t t
′
= − + ∈ ⇒ = − + = ⇔ =
Lập bbt suy ra đk phải tìm là
1
1
3
m− < ≤
37/ Giải bpt:
2 2
2 3 5 4 6x x x x x− − + ≤ − −
Giải: ĐK:
2
2
2 0
0 2
5 4 6 0
x x
x x
x x
− − ≥
≥ ⇔ ≥
− − ≥
Bình phương hai vế ta được
2
6 ( 1)( 2) 4 12 4x x x x x+ − ≤ − −
2 2
3 ( 1)( 2 ) 2( 2 ) 2( 1)x x x x x x⇔ + − ≤ − − +
2 2
( 2 ) 2
3 2 2
1 1
x x x x
x x
− −
⇔ ≤ −
+ +
. Đặt
( 2)
0
1
x x
t
x
−
= ≥
+
,
ta được bpt
2
2 3 2 0t t− − ≥
1
2
2
2
t
t
t
−
≤
⇔ ⇔ ≥
≥
( do
0t ≥
)
2
( 2)
2 6 4 0
1
x x
x x
x
−
⇔ ≥ ⇔ − − ≥
+
3 13
3 13
3 13
x
x
x
≤ −
⇔ ⇔ ≥ +
≥ +
( do
2x ≥
) Vậy bpt có nghiệm
3 13x ≥ +
38/ Giải pt:
3
3
1 2 2 1x x+ = −
Giải: Đặt
3
2 1y x= −
. Ta có hệ
( )
( )
3
3
1 2 1
1 2 2
y x
x y
+ =
+ =
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3 2 2
1 2 2 2 0y x x y x y x y xy y x− ⇒ − = − ⇔ − + + + = ⇔ =
(biểu thức trong ngoặc luôn dương).
Thế
y x=
vào (1) suy ra
( )
( )
3 2
1 5
2 1 0 1 1 0 1;
2
x x x x x x x
− ±
− + = ⇔ − + − = ⇔ = =
39/ Giải bpt:
2 2
4 2 2 3x x x x− ≤ + −
Giải: Điều kiện
3x ≤ −
hoặc
1x ≥
. Đặt
( )
2 2 2
2 3, 0 2 3t x x t x t x= + − ≥ ⇒ = − +
BPT đã cho trở thành
( ) ( )
2
2 2 1 0 1 2 1 0t xt x t t x− − − ≤ ⇔ + − − ≤
(
)
(
)
2 2
2 3 1 2 3 2 1 0x x x x x⇔ + − + + − − − ≤
2 2
2 3 2 1 0 2 3 2 1x x x x x x⇔ + − − − ≤ ⇔ + − ≤ +
( )
2
2
2
1
2 1 0
1
2
2
2 1 2 3
3 2 4 0
x
x
x
x x x
x x
+ ≥
≥ −
⇔ ⇔ ⇔ ≥ −
+ ≥ + −
+ + ≥
Kết hợp với điều kiện suy ra BPT có nghiệm
1x ≥
40/ Giải bpt:
( )
2 2
x 41x 4x x 18 3 4 x 2x 44x 18+ − + ≤ + + +
Giải: Đk:
x 0
≥
bpt
⇔
2 2 2
2x 44x 18 x 3x 4x x (3 4 x) 2x 44x 18+ + − − − ≤ + + +
Đặt :
2
t 2x 44x 18= + +
0t
⇒ >
Ta có bpt:
2 2
t x x(3 4 x) (3 4 x )t 0− − + − + ≤
(t x)(t x 3 4 x) 0 t x 3 4 x 0⇔ + − − − ≤ ⇔ − − − ≤
(vì t+x>0 với mọi x
≥
0)
Ta có bpt
2
2x 44x 18 x 3 4 x⇔ + + ≤ + −
2
2(x 3) 32x (x 3) 4 x⇔ + + ≤ + +
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
2 2 2
x 1
2(x 3) 32x ((x 3) 4 x) (x 3 4 x) 0 x 3 4 x 0
x 9
=
⇔ + + ≤ + + ⇔ + − ≤ ⇔ + − = ⇔
=
41/ Giải pt:
2 2
2( 1) 3 1 2 2 5 2 8 5x x x x x x− + + = + + − −
.
Giải: Điều kiện:
1
3
x ≥ −
.
PT ⇔
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
( 1) 2( 1) 3 1 3 1 2 2 2 5 2 2 1 0x x x x x x x x
+ − + + + + + + − + + + + =
( ) ( )
2
2
3 1 1
( 1) 3 1 2 2 1 0 1
2 1 2
x x
x x x x x
x x
+ = +
⇔ + − + + + − + = ⇔ ⇔ =
+ = +
.
42/ Giải pt :
2 2
2 1 2 ( 1) 2 3 0x x x x x x+ + + + + + + =
Giải: Đặt:
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 1
2, 0 2
1
2 3
2 3, 0
2
v u x
u x u u x
v u
v x x
x
v x x v
− = +
= + > = +
⇒ ⇒
− −
= + +
=
= + + >
PT ⇔
( ) ( )
1
( ) 0 0
2 2 2
u v
v u v u v u v u v u
− + + + + + + = ⇔ − =
(biểu thức trong ngoặc vuông dương )
⇔
2 2
1
0 2 3 2
2
v u v u x x x x− = ⇔ = ⇔ + + = + ⇔ = −
Cách khác: pt
( )
2 2
2 1 ( 1) 2 3 0x x x x x x x⇔ + + + + + + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 ( 1) 1 2 2x x x -x -x -x⇔ + + + + + = + +
Xét hàm số
( )
2
1f t t t t= + +
trên tập
R
. Ta có pt:
( ) ( )
1f x f x+ = −
( )
2
2
2
1 1 0,
1
t
f t t t
t
′
= + + + > ∀
+
( )
f t⇒
đồng biến trên R nên
( ) ( )
1
1 1
2
f x f x x x x+ = − ⇔ + = − ⇔ =
43/ Giải bpt:
2 2
35 5 4 24x x x+ < − + +
Giải: BPT
2 2
35 24 5 4x x x⇔ + − + < −
2 2
11
5 4
35 24
x
x x
⇔ < −
+ + +
2 2
11 (5 4)( 35 24)x x x⇔ < − + + +
Từ BPT trên suy ra
5
5 4 0
4
x x− > ⇔ >
Hàm số
2 2
(5 4)( 35 24)y x x x= − + + +
với x> 4/5
y
′
=
2 2
2 2
1 1
5( 35 24) (5 4)( )
35 24
x x x
x x
+ + + + − +
+ +
>0 ,
4
5
x∀ >
⇒
hàm số đồng biến
4
5
x∀ >
mà
( )
1 11y =
Nên BPT trên
( ) ( )
1 1y x y x⇔ > ⇔ >
44/ Giải pt:
5 3
x x 1 3x 4 0
+ − − + =
Giải: ĐK:
1
1 3 0
3
x x− ≥ ⇔ ≤
Xét hàm số
( )
5 3
1
1 3 4;
3
f x x x x x= + − − + ∀ ≤
⇒
( )
1 0f − =
. BPT đã cho
( ) ( )
1f x f⇔ = −
( )
4 2
3 1
5 3 0;
3
2 1 3
f x x x x
x
′
= + + > ∀ <
+
( )
f x⇒
đồng biến
1
3
x∀ ≤
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Nên bpt
( ) ( )
1 1f x f x= − ⇔ = −
ĐS: x = - 1
45/ Giải pt:
3 32 2
3 3
2 1 2 1 2x x x x+ + + = + +
Giải: Đặt
2
1; 2u x v x= + =
, ta có pt
2
3 3 3 3
1
1 1 2 1 0 1;
2
u u v v u v x x x x
−
+ + = + + ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = =
46/ Giải pt:
xxxx −=−+− 52252
23
Giải: ĐK:
5x
≤
pt
3 2
2 5 2 2 5 0x x x x⇔ − + − − − =
. Xét hàm số
( ) ( )
3 2
2 5 2 2 5 ; 5 1 0f x x x x x x f= − + − − − ≤ ⇒ =
Ta có bpt
( ) ( )
1f x f=
( ) ( )
2
1
6 2 5 0; 5
5
f x x x x f x
x
′
= − + + > ∀ < ⇒
−
đồng biến
5x
∀ ≤
Do đó
( ) ( )
1 1f x f x= ⇔ =
ĐS:
1x
=
47/ Giải pt:
3 2
2 3 6 16 2 3 4x x x x− + − + ≥ + +
Giải: ĐK
( )
[ ]
2
3 2
4
4 0 4
4;2
2 2 8 0
2 3 6 16 0 2 0
x
x x
x
x x x
x x x x
≥ −
+ ≥ ≥ −
⇔ ⇔ ⇔ ∈ −
− − − − ≥
− + − + ≥ − ≤
Bpt đã cho
3 2
2 3 6 16 4 2 3x x x x⇔ − + − + − + ≥
(1)
Xét hàm số
( )
[ ]
3 2
2 3 6 16 4 ; 4;2f x x x x x x= − + − + − + ∈ −
( )
1 2 3f⇒ − =
nên
( ) ( ) ( )
1 1f x f⇔ ≥ −
( ) ( )
2
3 2
6 6 6 1
0; 4;2
2 4
2 2 3 6 16
x x
f x x
x
x x x
− + −
′
= − < ∀ ∈ −
+
− + − +
( )
f x⇒
nghịch biến
[ ]
4;2x∀ ∈ −
Do đó bpt
( ) ( )
1 1f x f x≥ − ⇔ ≤ −
kết hợp đk suy ra tập nghiệm của bpt là đoạn
[ ]
4; 1− −
48/ Giải pt:
3 33 2 3 2
2 2 3 1 3 1 2x x x x x x− + − + = + + +
Giải: PT đã cho
3 33 3 2 2 3 2
2 3 1 2 3 1 2 2 2 3 1 2x x x x x x x x x− + + − + = + + + ⇔ − + = +
( )
3 2 2
1 1 1 5
2 3 1 0 2 2 2 0 ;
2 2 2
x x x x x x x x
±
⇔ − − − = ⇔ + − − = ⇔ = − =
÷
49/ Giải pt:
2 2
3 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0x x x x x+ + + + + + + =
Giải: Pt
2 2
3 (2 9 3) (2 1)(2 2 4 4 ) 0x x x x x⇔ + + + + + + + =
(
)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2
3 2 9 3 (2 1) 2 2 1 3 0 (2 1) 2 2 1 3 3 2 3 3x x x x x x x x⇔ + + + + + + + = ⇔ + + + + = − + − +
Xét hàm số
( )
(
)
2
2 3f t t t= + +
trên R, ta có pt:
( ) ( )
2 1 3f x f x+ = −
(*)
( )
2
2
2
2 3 0,
3
t
f t t t
t
′
= + + + > ∀
+
suy ra
( )
f t
đồng biến trên R
Do đó (*)
1
2 1 3
5
x x x⇔ + = − ⇔ = −
50/ Xét xem pt sau có bao nhiêu nghiệm:
5 2
2 1 0x x x− − − =
Giải: PT
( )
2
5
1x x⇔ = +
5
0 0x x⇒ ≥ ⇒ ≥
Khi
( )
2
5
0 1 1 1 1 1 1x x x x x≥ ⇒ + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
Vậy đk để pt đã cho có nghiệm là
1x ≥
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Xét hàm số
( )
5 2
2 1; 1f x x x x x= − − − ≥
Có
( )
( ) ( )
4 4 4 4
5 2 2 2 2 2 2 0; 1f x x x x x x x x
′
= − − = − + − + > ∀ ≥
Lập bbt suy ra pt đã cho có đúng một nghiệm
51/ Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
mxxx =++−− 12213
232
Giải: ĐK:
[ ]
1;1x ∈ −
. Đặt
( )
2 3 2
3 1 2 2 1f x x x x= − − + +
,
( )
'
2
2 3 2 2 3 2
3 3 4 3 3 4
1 2 1 1 2 1
x x x x
f x x
x x x x x x
+ +
= − − = − +
÷
− + + − + +
.
( )
1;1x∀ ∈ −
ta có
2 3 2
3 3 4
3 4 0 0
1 2 1
x
x
x x x
+
⇒ + > ⇒ + >
− + +
.
( )
' 0 0f x x⇒ = ⇔ =
.
Lập BBT suy ra đk phải tìm là m = 1 hoặc
4 2 2m− ≤ < −
52/ Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm thực:
2
2 2( 4) 5 10 3 0x m x m x− + + + − + =
Giải:
PT đã cho
2
2 2( 4) 5 10 3x m x m x⇔ − + + + = −
2 2
3 0
2 2( 4) 5 10 ( 3)
x
x m x m x
− ≥
⇔
− + + + = −
2
3
2 1
2 5
x
x x
m
x
≥
⇔
− +
=
−
Xét hàm số
2
2 1
( )
2 5
x x
f x
x
− +
=
−
2
2
2( 5 4)
'( )
(2 5)
x x
f x
x
− +
⇒ =
−
;
3x ≥
Lập BBT suy ra phương trình có 1 nghiệm khi
{ }
3 (4; )m ∈ ∪ +∞
53/ Tìm m để phương trình:
( )
2
m x 2x 2 1 x(2 x) 0;(1)− + + + − ≤
có nghiệm x
0; 1 3
∈ +
Giải: Đặt
2
t x 2x 2= − +
⇔ t
2
− 2 = x
2
− 2x
Xét
( )
2
2 2; 0;1 3t g x x x x
= = − + ∈ +
( )
2
1
0 1
2 2
x
g x x
x x
−
′
⇒ = = ⇔ =
− +
( )
( )
( )
0 1, 1 3 2, 1 1g g g= + = =
. Vậy
[ ]
0;1 3 1;2x t
∀ ∈ + ⇒ ∈
Bpt (1) ⇔
( ) ( ) ( )
2
2
2
1 2 0 , *
1
t
m t t m f t
t
−
+ + − ≤ ⇔ ≤ =
+
với
[ ]
1;2t ∈
Yêu cầu của đề bài
( )
*⇔
có nghiệm
[ ]
1;2t ∈
[ ]
( )
1;2
axm f t m⇔ ≥
Ta có
( )
[ ]
2
2
2 2
0, 1;2
( 1)
t t
f t t
t
+ +
′
= > ∀ ∈
+
và
( ) ( )
[ ]
( )
1;2
1 2 2
1 , 2 ax
2 3 3
f f m f t= − = ⇒ =
.
Vậy đk phải tìm là m
≤
2
3
54/ Giải hệ pt
2 2
2 3 4 6
4 4 12 3
xy x y
x y x y
+ + = −
+ + + =
Giải: Pt thứ nhất
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 2 0 2 2 3 0y x x x y
⇔ + + + = ⇔ + + =
3
2
2
x y⇔ = − ∨ = −
+Với
2x = −
thế vào (2) suy ra
2
1 7
4 12 7 0
2 2
y y y y
−
+ − = ⇔ = ∨ =
+Với
3
2
y = −
thế vào (2) suy ra
2
4 12 0 6 2x x x x+ − = ⇔ = − ∨ =
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Vậy hệ có 4 nghiệm
1 7 3 3
2; , 2; , 6; , 2;
2 2 2 2
− − − − − −
÷ ÷ ÷ ÷
55/ Giải hệ pt:
+ + =
+ + + =
x x y
x x y xy x
2
3 2 2
5 9
3 2 6 18
Giải: Hệ PT ⇔
y x x
x x x x+
2
4 3 2
9 5
4 5 18 18 0
= − −
+ − − =
( ) ( )
( )
2
2
9 5
1 3 2 6 0
y x x
x x x x
= − −
⇔
− + + − =
⇔
y x x
x
x
x
2
9 5
1
3
1 7
= − −
=
= −
= − ±
⇔
x y
x y
x y
x y
1; 3
3; 15
1 7 ; 6 3 7
1 7; 6 3 7
= =
= − =
= − − = +
= − + = −
56/ Giải hệ pt:
xy
x y
x y
x y x y
2 2
2
2
1 (1)
(2)
+ + =
+
+ = −
.
Giải: Điều kiện:
x y 0+ >
.
(1) ⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
( ) 1 2x 1 0 1 1 2 1 0x y y x y x y x y xy x y
x y
+ − − − = ⇔ + + + − + − + − =
÷
+
⇔
x y x y x y
2 2
( 1)( ) 0+ − + + + =
⇔
1 0 1x y y x+ − = ⇔ = −
(vì
x y 0+ >
nên
x y x y
2 2
0+ + + >
)
Thay vào (2) ta được:
x x
2
1 (1 )= − −
⇔
x x
2
2 0+ − =
⇔
1 0
2 3
x y
x y
= ⇒ =
= − ⇒ =
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).
57/ Giải hệ pt:
( ) ( )
3 1 2 7 2 (1)
2 4 5 (2)
x x y y x
x y x y
+ = − + +
+ + + =
Giải: Điều kiện:
2 0; 4 0x y x y+ ≥ + ≥
(1) ⇔ 3x
2
−7xy + 2y
2
+ x −2y = 0 ⇔
2 0
3 1 0
x y
x y
− =
− + =
+) x−2y = 0 ⇔ x = 2y thế vào (2)
⇒
4 9 5y y+ =
⇔ y = 1
⇒
x = 2 (tm)
+) 3x − y + 1= 0 ⇔ y = 3x+1 , (2) trở thành:
7 1 7 2 5x x+ + + =
⇔
2
1
7
49 21 2 11 7
x
x x x
≥ −
+ + = −
⇔
1 11
17
7 7
17
25
25
x
x
x
− ≤ ≤
⇔ =
=
76
25
y⇒ =
(tm).
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;1) và (x;y) =
17 76
;
25 25
÷
.
58/ Giải hệ pt:
( )
2
2
4 2 2 2
x - y + x + y= y
x - 4x y +3x =- y
Giải: Hệ tương đương
2
2 2 2
(1 2 ) 0 (1)
( ) 3 (1 2 ) 0 (2)
+ + − =
+ + − =
x y x y
x y x y
Thay (1) vào (2) được
( )
2
2 2
1
(1 2 ) 3 (1 2 ) 0 2 (1 2 )(2 ) 0 0; ; 2
2
x y x y x y y x y y− + − = ⇔ − − = ⇔ = = =
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
- Với x = 0 suy ra y = 0
-Với 1-2y = 0 thay vào (1) suy ra
2
1
2
x y
−
= − =
(Vô lí)
- Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2
Hệ có 3 nghiệm (0,0), (1,2), (2,2)
Cách khác: Từ (1)
( )
2
2 2
1
2 0 2 1 ;
2 1 2
+
⇔ − + + = ⇔ − = + ⇔ = ≠
−
x x
x xy x y y x x x y x
x
thế vào pt thứ hai
Suy ra
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
4 2 2 4 2 2 2 2
2
x - 4x +3x = - x +3x 2 1 - 4x 2 1 0
2 1
2 1
+ +
⇔ − + − + + =
−
−
x x x x
x x x x x x
x
x
Ta có các khả năng: +) x = 0 suy ra y = 0
+)
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 4 3 2
x +3 2 1 - 4 2 1 1 0 2 6 5 3 2 0
− + − + + = ⇔ − + − + =
x x x x x x x x x
( ) ( )
( )
2
1 2 2 1 1; 2x x x x x⇔ − − + ⇔ = =
59/ Giải hệ pt:
( )
( )
2 2 2 2
2 1
4 2
x y x y
x y x y
+ − − =
+ + − =
Giải: ĐK:
0, 0x y x y+ ≥ − ≥
.
PT
( )
1 2 4 4x y x y x y x y x y⇔ + = + − ⇔ + = + − + −
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 4 ; 2 4 4y x y y x y y y x⇔ − = − ⇔ − = − ≥ ⇔ = −
thế vào (2)
( )
2
2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 2 4x x x x x x x x x x⇒ + − + − + = ⇔ + − + − = ⇔ + − + − =
2
4 4 2 4x x x⇔ + − + − =
, ( vì
2x y≥ ≥
)
( ) ( )
2
2 2 2
5
4 4 6 4 4 6 ; 6 6 6
2
x x x x x x x x y y⇔ + − = − ⇔ + − = − ≤ ⇔ = ⇒ = ⇒ =
Vậy hệ có một nghiệm
5
; 6
2
÷
Cách khác: Đặt
2 2
;a x y a x y b x y b x y= + ⇒ = + = − ⇒ = −
Thì
( ) ( )
2 2
2 2 4 4
1 1
2 2
x y x y x y a b
+ = + + − = +
60/ Giải hệ pt:
( )
( )
3
1 1
1
2 1 2
x y
x y
y x
− = −
= +
Giải: ĐK :
0xy ≠
;
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 0 0 1 0
x y
x y x y x y
y x xy xy
−
⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − + =
÷
1
x y y
x
⇔ = ∨ = −
- Với
y x=
thế vào (2)
( )
( )
3 2
1 5
2 1 0 1 1 0 1
2
x x x x x x x
− ±
⇒ − + = ⇔ − + − = ⇔ = ∨ =
- Với
1
y
x
= −
thế vào (2)
( ) ( )
3 4 4 2 2
2
1 2 0 2 1 2 1 0x x x x x x x
x
⇒ − = + ⇔ + + = ⇔ − + + + + =
vô nghiệm
(vì vế trái luôn dương)
Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm
1 5
1,
2
x y x y
− ±
= = = =
61/ Giải hệ pt :
2 2
2 2
3 (1)
1 1 4 (2)
x y xy
x y
+ − =
+ + + =
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Giải: (2) ⇔
2 2 2 2 2
2 ( 1).( 1) 14 2 ( ) 4 11x y x y xy xy xy+ + + + = ⇒ + + + =
, (3)
Đặt xy = p.
2
2
11
3
(3) 2 4 11
35/ 3
3 26 105 0
p
p
p p p
p
p p
≤
=
⇔ + + = − ⇔ ⇔
= −
+ − =
+) Nếu p = xy =
35
3
−
thế vào (1)
( )
2
32x y⇒ + = −
vô nghiệm
+) Nếu p = xy = 3 thế vào (1)⇒
2 3x y+ = ±
Với
3
3
2 3
xy
x y
x y
=
⇒ = =
+ =
; Với
3
3
2 3
xy
x y
x y
=
⇒ = = −
+ = −
Vậy hệ có hai nghiệm là:
( ) ( )
3; 3 , 3; 3− −
62/ Giải hệ pt:
( )
x y xy
x y
3 3
2 2
3 4
9
− =
=
Giải: Ta có :
2 2
9 3x y xy= ⇔ = ±
.
• Khi:
3xy = −
, ta có:
3 3
4x y− = −
và
( )
3 3
. 27− =x y
Suy ra:
( )
3 3
;x y−
là nghiệm của phương trình:
2
4 27 0X X+ + =
vô nghiệm
• Khi:
3xy =
, ta có:
3 3
4x y− =
và
( )
3 3
. 27− = −x y
Suy ra:
( )
3 3
; −x y
là các nghiệm của phương trình:
2
4 27 0 2 31X X X− − = ⇔ = ±
Vậy nghiệm của Hệ PT là:
3 3
2 31, 2 31x y= + = − −
hoặc
3 3
2 31, 2 31x y= − = − +
.
63/ Giải hệ pt:
4
3
4
3
y
x y
x
x
y x
y
− =
− =
Giải: ĐK:
0xy ≠
. Hệ đã cho
( )
( )
2
2
3 4 1
3 4 2
x xy y
y xy x
− =
⇔
− =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 4 4 4 0 ; 4x y y x x y x y y x y x− ⇒ − = − ⇔ − + + = ⇔ = = − −
+) y = x thế vào (1)
2
2 4 0 2 2x x x y⇒ + = ⇔ = − ⇒ = −
+) y = - x – 4 thế vào (1)
( ) ( )
2
3 4 4 4 2 2x x x x x y⇒ − − − = − − ⇔ = − ⇒ = −
Vậy hệ đã cho có một nghiệm
( )
2; 2− −
64/ Gi¶i hÖ pt :
=++
=+
2)2(
1
3
22
yyxxy
xyx
y
y
x
Giải: §iÒu kiÖn
0≠xy
. Hệ
3 3
2 2 3
1 (1)
2 2 (2)
x y
x y xy y
+ =
⇔
+ + =
Tõ (1) vµ (2) suy ra
2 2 3 3 3 3 2 2 3
2 2( ) 2 2 0x y xy y x y x x y xy y+ + = + ⇔ − − + =
3 2
2 2 1 0
x x x
y y y
⇔ − − + =
÷ ÷
1
1, , , 2
2
x x
x y x y y x
y y
⇔ = ± = ⇔ = = − =
• Víi
yx =
, thay vµo (1) ta cã
.
2
1
12
3
3
=⇔= yy
• Víi
yx −=
, thay vµo (1) ta cã
( )
101
3
3
=⇔=+− yy
(v« nghiÖm).
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
• Víi
xy 2=
, ta cã
.
9
1
191)2(
3
333
=⇔=⇔=+ xxxx
VËy nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ
( ) ( )
=
=
33
33
9
2
;
9
1
;,
2
1
;
2
1
; yxyx
65/ Giải hệ pt:
x y xy
x y
2 0
1 4 1 2
− − =
− + − =
.
Giải: ĐK :
1
1;
4
x y≥ ≥
Hệ PT ⇔
( ) ( )
x y x y
x y
2 0
1 4 1 2
+ − =
− + − =
⇔
x y
x y
2 0
1 4 1 2
− =
− + − =
⇔
x y
y
4
4 1 1
=
− =
⇔
x
y
2
1
2
=
=
(thỏa mãn)
66/ Giải hệ pt:
x x y xy y
x y x y
3 2 2 3
6 9 4 0 (1)
2 (2)
− + − =
− + + =
.
Giải: -Nếu
0y =
thế vào hệ thấy vô nghiệm
- Nếu
0y ≠
,
( )
3 2
1 6 9 4 0 1 4
x x x x x
y y y y y
⇔ − + − = ⇔ = ∨ =
÷ ÷ ÷
4x y x y= ∨ =
• Với x = y: (2) ⇒ x = y = 2
• Với x = 4y: (2) ⇒
x y32 8 15; 8 2 15= − = −
67/ Giải hệ pt:
2
5 3
x y x y y
x y
+ + − =
+ =
Giải: ĐK: x + y ≥ 0 , x - y ≥ 0, y ≥ 0
PT(1) ⇔
2 2 2 2
2 2 4 2x x y y x y y x+ − = ⇔ − = −
2
2 0 (3)
5 4 (4)
y x
y xy
− ≥
⇔
=
Từ PT(4) ⇔ y = 0 v 5y = 4x
+) Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9 (Không thỏa mãn đk (3))
+) Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có
2 3 1x x x+ = ⇔ =
Vậy HPT có 1 nghiệm
4
( ; ) 1;
5
x y
=
÷
68/ Giải hệ pt:
( )
2
3 2 (1)
2 8 (2)
− =
− =
x y xy
x y
Giải: Điều kiện :
. 0 ;x y x y≥ ≥
Ta có: (1) ⇔
2
3( ) 4 (3 )( 3 ) 0− = ⇔ − − =x y xy x y x y
3
3
y
x y x⇔ = ∨ =
• Với
3x y=
, thế vào (2) ta được :
2
6 8 0 2 ; 4y y y y− + = ⇔ = =
⇒ Hệ có nghiệm
6 12
;
2 4
x x
y y
= =
= =
• Với
3
y
x =
, thế vào (2) ta được :
2
3 2 24 0y y− + =
Vô nghiệm.
Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là:
6 12
;
2 4
x x
y y
= =
= =
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
69/ Giải hệ pt :
( )
( )
2 2
2 2
8 18 36 5(2 3 ) 6 0 1
2 3 30 2
x y xy x y xy
x y
+ + − + =
+ =
Giải: Điều kiện xy
0
≥
.
+) Nếu x = 0 , (1)suy ra y = 0 không thoả mãn pt (2) của hệ.
+) Nếu y = 0 cũng tương tự, vậy xy > 0.
Pt (1) của hệ
⇔
2
2 2
8 18 36 5(2 3 ) 6 2(2 3 ) 12 5(2 3 ) 6x y xy x y xy x y xy x y xy+ + = + ⇔ + + = +
6
2 3 5
2 3 2
6
xy
x y
x y
x y
+
⇔ + =
+
. Đặt
2 3
, 2.
6
x y
t t
xy
+
= ≥
Ta có
2
1 5
2 5 2 0 2
2
t t t t
t
+ = ⇔ − + = ⇔ =
2 3
2 2 3
6
x y
x y
xy
+
⇒ = ⇔ =
thế vào pt (2), suy ra: x = 3 ; y = 2.
70/ Giải hệ pt:
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0
( ) 2 ( )
x y xy y x y
xy x y x y
− + − + =
+ + = +
Giải:
2 2 2 2 2 2
2 2
1
(2) ( ) 2 2 ( )( 1) 2( 1) 0
2
xy
xy x y x y xy x y xy xy
x y
=
⇔ + + = + + ⇔ + − − − = ⇔
+ =
+) Nếu
1
1xy y
x
= ⇔ =
thế vào (1)
1 1
1 1
x x
v
y y
= = −
⇒
= = −
+) Nếu
2 2
2x y+ =
kết hợp với (1) ta có
2 3 2 3 2 2
2 2 2 2
5 4 3 2( ) 0 5 4 3 ( )( ) 0
2 2
x y xy y x y x y xy y x y x y
x y x y
2 2
− + − + = − + − + + =
⇔
+ = + =
2 2
2 2 2 2
1
1 1
5 5
2
1 1
2 2
2
5 5
x x
y x v y x
x x
v
y y
x y
y y
= = −
= =
= = −
⇔ ⇔ ∨ ∨
= = −
+ =
= = −
71/ Giải hệ pt:
x y y
x y x y
3 3 3
2 2
8 27 7 (1)
4 6 ( 2)
+ =
+ =
Giải: Từ (1) ⇒ y ≠ 0. Hệ PT ⇔
( )
3 3 3
3 3 2 2
2 2 3
8x 27 7
8x 27 7 4x 6x
4x 6x
y y
y y y
y y y
+ =
⇒ + = +
+ =
Đặt
t xy
=
, ta có pt :
3 2
9 3 1
8 28 42 27 0 ; ;
2 2 2
t t t t t t− − + = ⇔ = = − =
• Với
t
3
2
= −
: Từ (1) ⇒ y = 0 (loại).
• Với
t
1
2
=
: Từ (1) ⇒
x y
3
3
1
; 4
2 4
= =
÷
• Với
t
9
2
=
: Từ (1) ⇒
x y
3
3
3
; 3 4
2 4
= =
÷
72/ Giải hệ pt:
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
+ + + =
+ = + +
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Giải: Từ hệ PT ⇒
0y ≠
. Khi đó hệ
2
2
2
1
4
.
1
( ) 2 7
x
x y
y
x
x y
y
+
+ + =
⇔
+
+ − =
Đặt
2
1
,
x
u v x y
y
+
= = +
ta có hệ:
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
+ = = − = =
⇔ ⇔
− = + − = = − =
• Với
1
3
u
v
=
⇒
=
2 2 2
1, 2
1 1 2 0
2, 5
3 3 3
x y
x y x y x x
x y
x y y x y x
= =
+ = + = + − =
⇔ ⇔ ⇔
= − =
+ = = − = −
.
• Với
9
5
u
v
=
⇒
= −
2 2 2
1 9 1 9 9 46 0
5 5 5
x y x y x x
x y y x y x
+ = + = + + =
⇔ ⇔
+ = − = − − = − −
, hệ này vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
(1; 2), ( 2; 5)−
Cách khác: Từ (1)
2 2
1 4x y y xy⇒ + = − −
thế vào (2)
73/ Giải hệ pt:
x x y y
x y x y
4 2 2
2 2
4 6 9 0
2 22 0
− + − + =
+ + − =
Giải: Hệ pt ⇔
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y
x y x
− + − =
− + − + + − − =
.
Đặt
2
2
3
x u
y v
− =
− =
, ta có hệ
2 2
4
. 4( ) 8
u v
u v u v
+ =
+ + =
⇔
2
0
u
v
=
=
hoặc
0
2
u
v
=
=
⇒
2
3
x
y
=
=
;
2
3
x
y
= −
=
;
2
5
x
y
=
=
;
2
5
x
y
= −
=
74/ Giải hệ pt:
( )
( )
2 2
2 2
1
1 5
1
1 49
x y
xy
x y
x y
+ + =
÷
+ + =
÷
Giải: ĐK:
0xy ≠
. Hệ
2
2
2 2
2 2
1 1
1 1
5
5
1 1
1 1
49
53
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
+ + + =
+ + + =
⇔ ⇔
+ + + =
+ + + =
÷
÷
Đặt
1 1
;a x b y
x y
= + = +
, ta có
2 2
5 5 7; 2
53 14 2; 7
a b a b a b
a b ab a b
+ = + = = = −
⇔ ⇔
+ = = − = − =
+)
2
2
1
7
7 45
7 7 1 0
2
1
2
2 1 0
2
1
x
a x x
x
x
b
y y
y
y
y
+ =
±
= − + =
=
⇒ ⇔ ⇔
= −
+ + =
+ = −
= −
+)
7 45
2
2
7
1
a
y
b
x
±
= −
=
⇒
=
= −
75/ Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
+ + − =
− =
Giải: từ hệ suy ra
2 2
0; 0y x y> − >
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Đặt
( )
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
; 0
2
2
u x y
u x y u
v u y x y
v x y xy
v x y
= −
= − >
⇒ ⇒ − = +
= + +
= +
⇒
2
1
2
u
y v
v
= −
÷
.
Hệ phương trình đã cho có dạng:
2
12
12
2
u v
u u
v
v
+ =
− =
÷
4
8
u
v
=
⇔
=
hoặc
3
9
u
v
=
=
+)
2 2
4 2 5
4
8 8 3
8
u x y x
x y
v x y y
x y
= − = =
− =
⇔ ⇔ ⇔
= + = =
+ =
(Thỏa mãn)
+)
2 2
3 1 5
3
9 9 4
9
u x y x
x y
v x y y
x y
= − = =
− =
⇔ ⇔ ⇔
= + = =
+ =
(Thỏa mãn)
76/ Gi¶i hÖ pt:
1 1 4
6 4 6
x y
x y
+ + − =
+ + + =
Giải: §iÒu kiÖn: x
≥
-1, y
≥
1Đặt
2
1 1; 0a x x a a= + ⇒ = − ≥
;
2
1 1; 0b y y a b= − ⇒ = + ≥
Ta có hệ
2 2
4
5 5 6,(*)
a b
a b
+ =
+ + + =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
(*) 10 2 5 5 36 2 2 25 5 2 26a b a b a b ab a b a b ab
⇔ + + + + + = ⇔ + − + + + + − =
[ ]
2 2 2 2
16 2 2 25 5 16 2 26 10 105 5 4ab a b ab a b ab ab ab⇒ − + + + − = ⇔ − + = + ⇔ =
4 3
2
4 5
a b x
a b
ab y
+ = =
⇒ ⇔ = = ⇒
= =
77/ Tìm a để hệ sau có nghiệm
1 2
3
x y a
x y a
+ − + =
+ =
Giải: ĐK:
1; 2x y≥ − ≥ −
. Đặt
2
1 1; 0u x x u u= + ⇒ = − ≥
và
2
2 2; 0v y y v v= + ⇒ = − ≥
Ta có hệ
( )
2 2
2
2 2
( )
3 3 3 3
3 3
2 3 3
( )
2 2
u v a u v a
u v a
u v a
a a a a
u v a
u v uv a
uv u v
− = + − =
− =
− =
⇔ ⇔ ⇔
− − − −
+ = +
− + = +
= − = −
u⇒
và
( )
v−
là các nghiệm của pt:
2
2
3 3
0
2
a a
X aX
− −
− − =
(*)
Vì
0; 0u v≥ − ≤
nên (*) phải có hai nghiệm và
2
1 2
3 21 3 21
0 0 3 3 0
2 2
X X P a a a a
− +
≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥
78/ Giải hệ pt:
7 2 5
2 1
x y x y
x y x y
+ + + =
+ + − =
Giải: ĐK:
7 0;2 0x y x y+ ≥ + ≥
Đăt
2
2 2 2 2
2
7
7
7 2
; ; 0; 0
5 5
2
2
a x y
a x y
a b b a
x y a b
b x y
b x y
= +
= +
− −
⇒ ⇒ = = ≥ ≥
= +
= +
Ta có hệ
2 2 2 2
2 2
5
5 3 1
7 2
3 5 8 5 2 2
1
5 5
a b
a b a x
a b b a
a b b b y
b
+ =
= − = =
⇔ ⇔ ⇒
− −
+ − = = =
+ − =
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
79/ Giải hệ pt:
4 3 2 2
3 2
x x y x y 1
x y x xy 1
− + =
− + = −
Giải: Đặt
2
;a x b xy= =
, ta có hệ
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1
1 2 0
1
( ) 1 ( ) 1
a ab b
a b ab a b a b
ab a b
ab a b ab a b
− + =
− + = − + − − =
⇔ ⇔
− + = −
− − = − − − = −
( )
2
2
0; 1
1 0
1; 0
0 1
0; 1 1
2
1; 0 0
2
1
2 3
3
0
a b
a b x
a b
ab xy
a b x
a b
a b y
a b
x
b b
ab
xy
= = −
− = =
= =
= = −
= = − = ±
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇔
= −
= = =
− = −
=
− = −
= −
=
Vậy hệ có nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0)
80/ Giải hệ pt:
4 3 2 2
2
2
2
2 5 6 11 0
3 7 6
7
x x x y x
y
x x
y
+ − + − − =
− −
+ =
−
.
Giải: Đk
7y >
.
Đặt
2
7; 0a y a= − >
, ta có hệ
( )
( )
4 3 2 2
2
2 2 2
2
2
2 5 6 4 0
6 6 4 0
3 6
3 6
x x x a x
x x x x a
a
x x
a x x a
a
+ − + − − =
+ − − − + =
⇔
−
+ =
+ = −
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 2
2
6 4 0
6 4 0
3 6
3 6
x x x x a
b b a
ab a
a x x a
+ − + − + =
− − + =
⇔ ⇔
= −
+ = −
với
2
b x x= +
( )
( )
( )
2
2
2
2
36
13 0,(*)
3 13 0
6
3 6
3
a
b a
a
a b
b
a
− + =
− − + =
⇒ ⇔
− = −
− = −
2
4 2
2
4 2
(*) 13 36 0
3
9
a a
a a
a
a
= =
⇔ − + = ⇔ ⇒
=
=
+)
2
2
7 4
11
2 0
0
0; 1
y
y
a b
x x
x x
− =
= ±
= ⇒ = ⇒ ⇔
+ =
= = −
+)
2
2
4
7 9
3 1
1 5
1 0
2
y
y
a b
x x
x
= ±
− =
= ⇒ = ⇒ ⇔
− ±
+ − =
=
Vậy hệ có nghiệm
( ) ( )
1 5 1 5
0; 11 , 1; 11 , ; 4 , ; 4
2 2
− ± − ±
± − ± −
÷ ÷
÷ ÷
81/ Giải hệ pt:
2 2
2 2
1 1
2 7
6 1
1
x y
x y
x y xy
+ + + =
+ = −
+
Giải: Điều kiện:
0
0
x y
xy
+ ≠
≠
.
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
Hệ tương đương với
( )
2 2
1 1
( ) 2 ( ) 2 2 7
6
x y
x y
xy x y xy x y
+ − + + − =
⇔
+ + = − +
2 2
1 1
( ) 2 ( ) 2 2 7
1 1
6
x y
x y
x y
x y
+ − + + − =
⇔
+ + + = −
÷
÷
.
Đặt
1 1
;x a y b
x y
+ = + =
,
2, 2a b≥ ≥
ta được
2 2
2 2 2 7
6
a b
a b
− + − =
+ = −
2 2 2 2 2 2
4 2 2( ) 4 28
6
a b a b a b
a b
+ − + − + + =
⇔
+ = −
2 2 2 2
( ) 2 2 2( ) 4 4 32
6
a b ab a b a b ab
a b
+ − + − + + + =
⇔
+ = −
2 2
4 68 2
6
a b ab ab
a b
+ − = −
⇔
+ = −
2 2 2 2
4 68 4 4
2
6
a b ab a b ab
ab
a b
+ − = − +
⇔ ≥
+ = −
9
3
6
ab
a b
a b
=
⇔ ⇔ = = −
+ = −
2
2
1
3 5
3
3 1 0
2
1
3 1 0
3 5
3
2
x
x
x x
x
y y
y
y
y
− ±
+ = −
=
+ + =
⇒ ⇔ ⇔
+ + =
− ±
+ = −
=
82/ Giải hệ pt:
=
+
+
=
+
+++
3
1
2
7
)(
3
)(44
2
22
yx
x
yx
yxxy
Giải: ĐK: x + y
≠
0 .
Ta có hệ
⇔
2 2
2
3
3( ) ( ) 7
( )
1
3
x y x y
x y
x y x y
x y
+ + − + =
+
+ + + − =
+
Đặt u = x + y +
1
x y+
;(
2u ≥
) ; v = x – y ta được hệ :
2 2
3 13
3
u v
u v
+ =
+ =
ta được u = 2, v = 1 do (
2u ≥
)
Từ đó ta có
1
2
1 1
1 0
1
x y
x y x
x y
x y y
x y
+ + =
+ = =
+
⇔ ⇔
− = =
− =
83/ Cho hệ PT:
( )
2 2
2 1 2 5 8 0
6 2 6 0
m x my m
x y x y
− + + + =
+ − + + =
Tìm m để hệ có hai nghiệm
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;x y x y
và biểu thức
( ) ( )
2 2
1 2 1 2
A x x y y= − + −
đạt giá trị lớn nhất
Giải: pt thứ nhất là pt của một đường thẳng trên mp Oxy, giả sử là d . PT thứ hai là pt của một đường (C) có
tâm
( )
3; 1I −
, bán kính R = 2 . Để hệ có hai nghiệm
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;x y x y
thì d và (C) phải cắt nhau tại hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;P x y Q x y
. Khi đó
( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2
A x x y y PQ= − + − =
ax PQmax PQ là Am⇒ ⇔ ⇔
đường kính của
(C)
I d
⇔ ∈
⇔
( ) ( )
5
2 1 .3 2 . 1 5 8 0 9 5
9
m m m m m
−
− + − + + = ⇔ = − ⇔ =
84/ Giải hệ p:
2 2
2 2
91 2 (1)
91 2 (2)
x y y
y x x
+ = − +
+ = − +
Giải: Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
2 2 2 2
91 91 2 2x y y x y x+ − + = − − − + −
(*)
+) Nếu x = 2 hoặc y = 2 thay vào hệ trên thấy vô nghiệm
+) Nếu
2; 2x y> >
(*)
2 2
2 2
( )( )
2 2
91 91
x y y x
y x y x
y x
x y
− −
⇔ = + − +
− + −
+ + +
2 2
1
( ) 0
2 2
91 91
x y
x y x y
x y
x y
+
÷
⇔ − + + + =
÷
− + −
+ + +
⇔ x = y (trong ngoặc luôn dương ) thế vào (1) suy ra
2 2
91 2x x x+ = − +
2 2
91 10 2 1 9x x x⇔ + − = − − + −
2
2
9 3
( 3)( 3)
2 1
91 10
x x
x x
x
x
− −
⇔ = + − +
− +
+ +
2
1 1
( 3) ( 3) 1 0
2 1
91 10
x x
x
x
⇔ − + − − =
÷
− +
+ +
⇔ x = 3 (biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm)
Vậy nghiệm của hệ : x = y = 3
Cách khác: (*)
2 2 2 2
91 2 91 2x x x y y y+ + − + = + + − +
Xét hàm số
( )
2 2
91 2 ; 2f t t t t t= + + − + ≥
, ta được pt:
( ) ( )
f x f y x y= ⇔ =
(vì
( )
f t
đồng biến
2t∀ ≥
)
85/ Giải hệ pt:
2 2
2 2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y
+ − + − + =
− + + = + + +
Giải: (1) ⇔ y = 2x + 1 hay y = x + 1
+) y = 2x + 1. Thế vào (2) ta có: f(x) =
1
4 1 9 4 3 3 0; ( )
4
x x x x+ + + + − = ≥ −
⇔ x = 0 (vì f đồng biến trên
1
;
4
− +∞
÷
. Vậy x = 0 và y = 1.
+) y =x + 1. Thế vào (2) ta có:
2
1
3 1 5 4 3 3;( )
3
x x x x x+ + + = − + ≥ −
( )
2
3 5
3 1 1 5 4 2 3 3 1
3 1 1 5 4 2
x x
x x x x x x
x x
⇔ + − + + − = − ⇔ + = −
+ + + +
0
0
3 5
1 3 0,(*)
1
3 1 1 5 4 2
x
x
x
x
x x
=
=
⇔ ⇔
+ + − =
=
+ + + +
(vế trái của (*) là hàm số nghịch biến)
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (0; 1) hay (x; y) = (1; 2).
86/ Giải hệ pt:
4
4
2 2
1 1 2
2 ( 1) 6 1 0
+ + − − + =
+ − + − + =
x x y y
x x y y y
(x, y ∈ R).
Giải: ĐK:
1x ≥
( )
2 2
2 1 6 1 0
+ − + − + =
x y x y y
( )
2
1 4 0
⇔ + − − =
x y y
( ) ( )
2
4 1 *
⇔ = + −
y x y
Vậy:
0
≥
y
(có thể tính denta)
Xét pt thứ hai, đặt
4
4
1 1; 0u x x u u= − ⇒ = + ≥
, ta được:
( )
4 4
2 2 , 0; 0u u y y u y y u+ + = + + ≥ ≥ ⇔ =
4
4
1 1y x x y⇒ = − ⇔ = +
. Thế vào (*) ta có : 4y = (y
4
+ y)
2
= y
8
+ 2y
5
+ y
2
⇔
7 4
0 1
2 4
y x
y y y
= → =
+ + =
⇔
0
1
y
y
=
=
(vì g(y) = y
7
+ 2y
4
+ y đồng biến trên [0, +∞))
Vậy (x; y) = (1; 0) hay (x; y) = (2; 1).
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
87/ Giải hệ pt:
( )
( )
3
3
3 2 8
2 6
x y
x y
− = −
+ = −
Giải: +) Nếu
0x
= ⇒
hệ vô nghiệm
+) Nếu
0x
≠
. Hệ
3
3
3
3
8
3 2
2 2 2
3 3
6
2
y
x
y y y
x x x
y
x
−
− =
− − −
⇔ ⇒ + = + ⇔ =
÷ ÷
−
+ =
Thế vào pt thứ nhất
3 3 2
1
6
2 8 3 4 0
2
x
x x x
x
x
=
−
⇒ − = − ⇔ + − = ⇔
÷
= −
Vậy hệ có nghiệm
( ) ( ) ( )
; 1; 2 , 2;1x y = − −
88/ Tìm m để hệ phương trình:
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 0
x y y x
x x y y m
− + − − =
+ − − − + =
có nghiệm thực
Giải: Điều kiện:
2
2
1 0 1 1
0 2
2 0
x x
y
y y
− ≥ − ≤ ≤
⇔
≤ ≤
− ≥
(1)
3 2 3
3 3 2y y x x⇔ − = − −
( ) ( )
3 2
3 2
3 3y y x x
α α
⇔ − = + − +
Xét
( ) ( )
3 2
3 3 3 2 2 3 2 2
3 2 3 3 2 3 3 3 6 3x x x x x x x x x x x
α α α α α α α
− − = + − + ⇔ − − = + + + − − −
2
3 2
3 3 0
3 6 3 1
3 2
α
α α α
α α
− =
⇒ − = − ⇒ =
− = −
Nên đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t
3
− 3t
2
= y
3
− 3y
2
.
Hàm số f(u) = u
3
− 3u
2
nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1) ⇔ t = y ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔
2 2
2 1 0x x m− − + =
Đặt
2
1v x= −
⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v
2
+ 2v − 1 = m.
Hàm số g(v) = v
2
+ 2v − 1 đạt
0;1 0;1
min ( ) 1; m ( ) 2g v g v= − =
[ ] [ ]
ax
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2
89/ Giải hệ pt:
3 2 3
3 2
6 13 10
2 5 3 3 10 6
x x x y y
x y x y x x y
− + = + +
+ + − − − = − − +
Giải: ĐK:
2 5 0;3 0x y x y+ + ≥ − − ≥
( ) ( )
3
3
1 2 2x x y y⇔ − + − = +
(*)
Xét hàm số
( )
3
f t t t= +
. Ta có
( ) ( )
' 2
3 1 0f t t t f t= + > ∀ ∈ ⇒R
đồng biến trên
R
Do đó (*)
2y x⇔ = −
.Thay
2y x= −
vào (2) ta được :
3 2
3 3 5 2 3 10 26x x x x x+ − − = − − +
3 2
3 3 3 1 5 2 3 10 24x x x x x⇔ + − + − − = − − +
(với
5
1
2
x− ≤ ≤
)
⇔
( ) ( )
( )
( )
2
3 2 2 2
2 12
3 3 3 1 5 2
x x
x x x
x x
− −
+ = − − −
+ + + −
Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884
2
2
3 2
12
3 3 3 1 5 2
x
x x
x x
=
⇔
+ = − −
+ + + −
PT (3) vô nghiệm vì với
5
1
2
x− ≤ ≤
thì
2
12 0x x− − <
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất
2
0
x
y
=
=
90/ Giải hệ pt:
( ) ( )
(
)
3 2 2
2 2 2
4 1 2 1 6
2 2 4 1 1
x y x x
x y y x x
+ + + =
+ + = + +
.
Giải: ĐK:
0x
≥
. Nếu
0x = ⇒
hệ vn
Xét
0x
>
. Từ phương trình thứ 2 ta có
2
2
1 1 1
2 2 4 1 1y y y
x x x
+ + = + +
(1)
Xét hàm số
( )
2
1f t t t t
= + +
có
( )
2
2
2
' 1 1 0
1
t
f t t
t
= + + + >
+
nên hàm số đồng biến.
Vậy
( ) ( )
1 1
1 2 2f y f y
x x
⇔ = ⇔ =
÷
. Thay vào phương trình (1):
( )
3 2
2 1 6x x x x
+ + + =
Vế trái của phương trình là hàm đồng biến trên
( )
0;
+∞
nên có nghiệm duy nhất
1x =
và hệ phương trình có
nghiệm
1
1;
2
÷
.
91/ Giải hệ pt:
( )
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
+ + − − =
+ + − =
Giải: ĐK:
5 3
;
2 4
y x≤ ≤
Đặt
2
5
5 2 ; 0
2
u
u y y u
−
= − ⇒ = ≥
(1) trở thành
( )
( ) ( )
2
3
2 3
5
4 1 3 0 2 2 2
2
u
x x u x x u u u x
−
+ + − = ⇔ + = + ⇔ =
÷
2
2
0
5 4
2 5 2 ; 0
4 5 2
2
x
x
x y y x
x y
≥
−
= − ⇔ ⇔ = ≥
= −
Thế vào (2)
( )
2
2
2 4 2
5 4
4 2 3 4 7 16 24 8 3 4 3 0
4
x
x x x x x
−
⇒ + + − = ⇔ − + − − =
(*) (với đk:
3
0
4
x≤ ≤
)
Xét
( )
4 2
3
16 24 8 3 4 3; 0;
4
f x x x x x
= − + − − ∈
( )
( )
3 2
16 16 3
64 48 16 4 3 0, 0;
4
3 4 3 4
f x x x x x x
x x
′
= − − = − − < ∀ ∈
− −
( )
f x⇒
nghịch biến
3
0;
4
x
∀ ∈
mà
1
0
2
f
=
÷
. Do đó (*) có nghiệm duy nhất
1
2
x =
Vậy hệ có đúng một nghiệm
( )
1
; ;2
2
x y
=
÷
