Dạy khái niệm số phức trong chương trình phổ thông lớp 12

Chuyên đề PPGD GVHD: PGSTS Lê Thị Hoài Châu
DẠY KHÁI NIỆM SỐ PHỨC TRONG
CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG LỚP 12.
I.Lý do chọn đề tài :
1. Trong tất cả các tập hợp số, tập số phức là tập lớn nhất và trừu tượng, nên để
giảng dạy cho học sinh PTTH người giáo viên phải nắm rõ về nó thì mới có
thể giảng dạy một cách hiệu quả. Qua đó giúp học sinh nắm rõ hơn về tập số
phức và ý nghĩa của nó trong việc giải các phương trình bậc 3 trở lên.
2. Mặt khác, tập số phức cũng là tập hợp số mà chỉ trong chương trình phân
ban thí điểm hoặc các tài liệu chuyên toán mới có trong chương trình.
3. số phức thường xuất hiện trong các kì thi học kỳ, tốt nghiệp, đại học, cao
đẳng của học sinh phân ban thí điểm.
4. Học tốt tập số phức ở lớp 12 sẽ giúp cho học sinh học tốt các môn toán cao
cấp ở đại học.
II. Mục đích nghiên cứu:
1. Tìm hiểu lịch sử về số phức nhằm nắm rõ sự hình thành khái niệm số phức
để phục vụ cho việc giảng dạy cho học sinh.
2. Phân tích cách trình bày khái niệm của sách giáo khoa, để đưa ra cách giảng
dạy khái niệm số một cách hiệu quả nhất.
3. Tìm hiểu về phép khai căn bậc hai của số âm, để giải phương trình bậc hai,
bậc ba có biệt số âm.
4. Soạn bài giảng về dạy khái niệm số phức và phép khai căn bậc hai của số âm
để giải phương trình bậc hai và bậc ba.
III. Hệ thống câu hỏi nghiên cứu:
1. Dạy khái niệm số phức cho học sinh phổ thông trung học như thế nào?
2. Phân tích cách trình bày của sách giáo khoa về khai căn các số âm để giải
phương trình bậc 3.
3. Khai thácyếu tố lịch sử của số phức vào việc dạy khái niệm số phức cho học
sinh phổ thông như thế nào?
4. Xây dựng tình huống để đưa khái niệm số phức vào giảng dạy.
IV. Phương pháp nghiên cứu:

1. Nghiên cứu sự trình bày khái niệm số phức trong sách giáo khoa.
2. Nghiên cứu cách trình bày của sách giáo khoa về khai căn bậc hai của các số
âm để giải phương trình bậc ba.
3. Khai thác yếu tố lịch sử của số phức vào việc dạy khái niệm số phức cho
học sinh phổ thông.
4. Xây dựng tình huống để đưa số phức vào giảng dạy.
V. Lịch sử hình thành:
Sinh viên: Đặng Thịnh Tâm, lớp Toán 3C Trang 1
Chuyên đề PPGD GVHD: PGSTS Lê Thị Hoài Châu
- Nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số
phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình Đại số
(Bologne,1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số
phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc 3 và đã đưa ra căn bậc 2 của − 1.
- Nhà toán học người Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng
quát "a+bi" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một
phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra kí hiệu
"i" để chỉ căn bậc hai của -1, năm 1801 Gauus đã dùng lại ký hiệu.
+ Sơ lược về các nhà toán học đặt nền móng cho sự ra đời của số phức.
• N.F.Tartaglia(1499-1557)
- Tương truyền vào những năm đầu thế kỉ XVI, có lẽ trên thế giới chưa ai biết cách
giải phương trình bậc 3. Có nguồn tin nói rằng một giáo sư toán trường ĐH
Bologne (Ý) tên là Scipione del Ferro (1465-1526) đã biết cách giải phương trình
x px q+ =
3
, nhưng ông không hề công bố, người ta nghĩ rằng cách giải của ông
chưa hoàn chỉnh. Mãi đến khi ông sắp qua đời, ông mới truyền lại cách giải (chưa
hoàn chỉnh) cho học trò ông là một nhà toán học ít tài năng tên là Antonio Maria
Fior.
- Nhưng dù có nguồn tin như vậy, Tartaglia vẫn tìm ra cách giải một cách độc lập.
Nhưng Fior không tin, tìm cách giảm uy tín của Tartaglia bèn thách thức

Tartaglia giải 30 phương trình bậc 3 như trên. Ngược lại, Fior cũng nhận thách
thức của Tartaglia là sẽ giải những phương trình bậc 3 do Tartaglia ra.
- Thời bấy giờ, việc giải các phương trình bậc 3 nói trên đều được làm một cách mò
mẫm. Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng hai năm 1535 là hạn cuối cùng của cuộc thi
giữa Tartaglia và Fior thì Tartaglia đã tìm ra cách giải tổng quát 30 phương trình
mà Fior đã ra cho ông trong khi đó thì Fior đang “bí” và chỉ giải được một phương
trình mà thôi vì vậy chỉ sau vài giờ là Tartaglia đã giải xong toàn bộ để lãnh
thưởng là 30 bữa tiệc liên tiếp! Ông giữ kín phương pháp giải, hy vọng còn dự thi
lần nữa để lấy thưởng.
- Cardan (1501-1576) lúc này cũng chưa tìm ra cách giải phương trình bậc 3 trong
trường hợp tổng quát nhất. Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior, Cardan muốn gặp
ngay Tartaglia.
- Tháng 3 năm 1539 nhân gặp Tartaglia ở Milan, Cardan bèn chớp cơ hội nhờ
Tartaglia bày cho mình cách giải tổng quát phương trình bậc 3. Cardan phải thề
Sinh viên: Đặng Thịnh Tâm, lớp Toán 3C Trang 2
Chuyên đề PPGD GVHD: PGSTS Lê Thị Hoài Châu
thốt rằng sẽ không bao giờ truyền cho ai “bí mật” này hoặc công bố trên sách, báo
chí. Nhưng sau đó nghe loáng thoáng rằng giáo sư Scipione del Ferro đã tìm ra
cách giải trước Tartaglia nên Cardan đã không giữ lời hứa với Tartaglia bèn cho
công bố trong tác phẩm của ông là Ars magna vào năm 1545.
- Tartaglia vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt Cardan trong quyển sách
của mình nhan đề New Problems and inventions. Từ đó đã xẩy ra cuộc cải vã
giữa hai người này, và cuộc cải vã này sẽ không có hồi kết thúc nếu như không có
sự xuất hiện công trình nghiên cứu của Bombelli về số ảo. Vì khi đi giải phương
trình bậc 3 cả Tartaglia và Cardan đều chưa biết số phức là gì cho nên nếu gặp
phải căn bậc 2 của số âm thì cả hai đều cho là vô lý.
• G.Cardano(1501-1576)(Cardan)
- Cardan là một nhà bác học người Ý. Ông sinh năm 1501, đạt học vị tiến sĩ y
khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y, mà trở thành thầy giáo dạy toán.
Ông có trên 200 công trình về lĩnh vực Toán học, Y học, Triết học, Thiên văn học,

Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông xuất bản quyển sách “Nghệ thuật lớn của
phép giải các phương trình đại số”. Trong cuốn sách này ông trình bày cách giải
phương trình bậc 3, bậc 4 và đề cạô tới căn bậc hai của số âm. Có thể nói sự nghiên
cứu số phức khởi nguồn từ công trình này.(theo sách giáo khoa giải tích 12 phân
ban thí điểm ban khoa học tự nhiên bộ 2 do Trần Văn Hạo làm tổng chủ biên).
- Công thức Cardan-Tartaglia:
Ba nghiệm của phương trình là
, ,a u v b ju j v c j u jv= + = + = +
2 2

với u và v là hai số phức có dạng:
• R.Bombelli(1526-1573)
- Người ta xem ông là một kỹ sư đồng thời là toán học, nhưng ít ai biết lai lịch
của ông. Sự đóng góp của nhà khoa học người Ý này chủ yếu là hệ thống hoá kiến
thức về các phéo tính số phức. Năm 1560 R.Bombelli viết tác phẩm Đại số trong
đó có điều thú vị là ông xét phương trình bậc 3:
x mx n= +
3
và ông chỉ ra rằng
phương trình trên có 3 nghiệm thực nếu
n m
−
2 3
là âm. Trong trường hợp này công
thức của Tartaglia- Cardan:
- Không dung được vì trong trường hợp này ta gặp phải căn bậc 2 của số âm, là
một trở ngại, vào thời đó chưa ai vượt qua nổi . Với sự sáng tạo của mình Bombelli
vẫn dung công thức trên nhưng tìm cách vượt qua trở ngại đó. Ví dụ với phương
Sinh viên: Đặng Thịnh Tâm, lớp Toán 3C Trang 3
Chuyên đề PPGD GVHD: PGSTS Lê Thị Hoài Châu

trình
x x= +
3
15 4
, ông làm việc với các số có dạng
a b+ −1
như đối với số thực,
ông nhận xét rằng
+ −2 1
là căn bậc 3 của
+ −2 121
và công thức Cardan-
Tartaglia đã cho ông kết quả :x =…=…= 4 là một nghiệm của phương trình
x x= +
3
15 4
, còn các nghiệm khác có được nhờ ba căn bậc 3 của
+ −2 121
. Điều
này đưa Bombelliđến chỗ tìm được các qui tắc tính toán và ông làm dưới dạng.
Piu a meno b piu di meno c meno di meno d
a,b,c,d là nhũng số thực dương, ngày nay ta viết a-b+ic-id và ông khẳng định rằng :
trong một công lý(axiome) báo trước khái niệm độc lập tuyến tính – piu và piudi
meno không cộng được với nhau. Đời sau đánh giá Bombelli là người có công đầu
tiên trong việc tìm hiểu số phức.
VI. Phân tích sự trình bày của sách giáo khoa:
1. Phân tích cách trình bày khái niệm của sách giáo khoa:
- Theo sách giáo khoa phân ban thí điểm ban A bộ 2 trình bày :
+ Hoạt động 1: đặt câu hỏi “Nếu có người hỏi rằng có thể viết 10 thành tổng của hai
số mà tích của chúng bằng 40 được không?”. Để giải bài toán này học sinh phổ

thông đã có công cụ là định lý Viet và giải như sau:
Gọi hai số là x
1
, x
2
, đặt S = x
1
+x
2
, P=x
1
.x
2
thì x
1
, x
2
là nghiệm phương trình:
x Sx P x x− + = ⇔ − + =
2 2
0 10 40 0
(∆ = 25 - 40 = -15 < 0) nên kết luận phương trình
vô nghiệm và không có hai số thỏa mãn đề ra.
+ Hoạt động 2: sách giáo khoa đưa khái niệm số I vào chương trình như sau : Ta đã
biết, trên tập số thực R mọi phương trình bậc nhất đều có nghiệm. Nhưng đối với
phương trình bậc hai, điều đó không còn đúng nữa.
- Phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là:
x + =
2
1 0

- Với mong muốn mở rộng tạô hợp số thực, để mọi phương trình bậc cao đều có
nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiệu là i và coi nó là nghiệm của phương
trình trên. Như vậy
i = −
2
1
.
- Ở hoạt động này sách giáo khoa đã đưa kí hiệu i vào và đặt
i = −
2
1
một cách áp
đặt, cưỡng ép, không chỉ rỏ tại sao lại có số i , tại sao phải đặt số i là như vậy. Và
nếu phải mở rộng tập hợp số nhằm giải phương trình bậc hai thì điều này không cần
thiết vì trên thực tế nếu không đưa số i vào thì ta có thể kết luận phương trình là vô
Sinh viên: Đặng Thịnh Tâm, lớp Toán 3C Trang 4
Chuyên đề PPGD GVHD: PGSTS Lê Thị Hoài Châu
nghiệm với phương trình có biệt số âm, và khi biểu diễn trên hẹ trục toạ độ thì đồ
thị của hàm số đó không cắt trục hoành. Như vậy mục đích của việc đưa số i nhằm
mở rộng tập hợp số của sách giáo khoa là không rõ ràng, không có động cơ. Vậy
động cơ để cần phải đưa số I vào để mở rộng tập số thực là gì? Trong sách giáo
khoa chỉ trình bày phần này ở phần đọc thêm, và phần trình bày này cũng không rỏ
ràng. phần trình bày của sách giáo khoa như sau: Cho phương trình bậc ba
x px q+ + =
3
0
. Nghiệm của nó được cho bởi công thức:
- Cardano đã công bố công thức này vào năm 1545, trong quyển sách “Nghệ thuật
lớn của phép giải các phương trình đại số”.
- Lẽ tự nhiên, ta coi biểu thức trên có nghĩa khi đại lượng

q p
∆ = +
2 3
4 27
là không âm.
đại lượng ∆ cũng được gọi là biệt số của phương trình trên. Tuy nhiên, dễ chỉ ra
những phương trình bậc ba với biệt số ∆ <0, mà vẫn có nghiệm thực. Chẳng hạn xét
phương trình
x x− + =
3
7 6 0
.
- Phương trình này có ba nghiệm là -3,1,2, nhưng biệt số ∆ = -100/27<0.
- Điều đó dẫn đến việc thừa nhận rằng biểu thức:
- Là có nghĩa và các giá của nó là -3,1,2, mặc dù biểu thức này chứa căn bậc hai của
một số thực âm.
- Như chúng ta đã thấy, việc thừa nhận có căn bậc hai của số thực âm, bắt đầu từ
việc đặt
i = −1
, đã dẫn đến sự ra đời của tập số phức.
- Đồng thời với việc sang ra các số phức, người ta chứng minh được rằng môi
phương trình đại số bậc n (n>0) với hệ số phức đều có n nghiệm phức (các nghiệm
không nhất thiết phải phân biệt).
- Trong thực tế thì khái niệm số phức ra đời như phần trình bày về lịch sử hình
thành ở phần trên.
+ Hoạt động 3: căn bậc hai của một số âm. Trong phần này sách giáo khoa trình bày
như sau:
- Thế nào là căn bậc hai của một số thực dương? Đây là câu hỏi ôn tập bài củ,
nhằm giúp học sinh nhớ lại phần kiến thức đã học ở lớp 9.
- Đưa ra khái niệm mới là căn bậc hai của số thực âm tương tự như căn bậc hai

của số thực dương: từ đẳng thức
i = −
2
1
, ta coi i là căn bậc hai của -1. Cũng vậy,
ta coi 2i là một căn bậc hai của -4, 3i là căn bậc hai của -9,…
Sinh viên: Đặng Thịnh Tâm, lớp Toán 3C Trang 5