Định lý Osofsky cho vành nửa đơn

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
PHẠM THỊ KHÁNH LY
ĐỊNH LÝ OSOFSKY CHO VÀNH
NỬA ĐƠN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Bộ môn: Đại số
Cán bộ hướng dẫn
GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT
Huế, tháng 05 năm 2011.
i
LỜI CẢM ƠN
Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường Đại học Sư phạm
Huế, được sự dìu dắt của quý thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được khá nhiều kiến thức
hữu ích về chuyên môn cũng như nghiệp vụ. Khóa luận tốt nghiệp này được xem là
thành quả quan trọng của cả quá trình học tập và rèn luyện.
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ của thầy giáo, GS.
TS. Lê Văn Thuyết, tôi xin gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc.
Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo đã giảng dạy lớp
Toán B khóa 2007 - 2011 của trường ĐHSP Huế, đặc biệt là các thầy cô trong khoa
Toán vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện đề tài.
Cuối cùng, tôi gửi sự trân trọng và lòng biết ơn đến tất cả người thân, bạn bè và
những người đã quan tâm động viên, giúp đỡ cho tôi trong suốt quá trình học tập
vừa qua.
Huế, tháng 05 năm 2011
Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Khánh Ly
ii
MỤC LỤC

Trang phụ bìa i
Lời cảm ơn ii
Mục lục 1
Lời nói đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Bổ đề Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Căn và đế của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Mở rộng cốt yếu và đối cốt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Lũy đẳng và vấn đề linh hóa tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Môđun hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8 Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9 Môđun nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.10 Vành nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Định lý Osofsky cho vành nửa đơn 29
1
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 48
2
LỜI NÓI ĐẦU
Khi nghiên cứu cấu trúc đại số, ta biết rằng nhóm, vành, trường là các cấu trúc
cơ bản nhất và nó có ứng dụng rất rộng rãi. Một trong những lớp vành quan trọng
đó chính là lớp vành nửa đơn. "Vành R được gọi là nửa đơn nếu mọi iđêan phải
(trái) đều là hạng tử trực tiếp cuả R
R
(
R
R)"; chẳng hạn, mọi không gian vectơ đều
là nửa đơn.

Có rất nhiều đặc trưng quan trọng của vành nửa đơn được đưa ra như Định lý
Wedderburn - Artin : "Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp của
một số hữu hạn các vành ma trận trên một thể". Liên hệ với căn Jacobson ta có
định lý sau:"Một vành là nửa đơn nếu và chỉ nếu R là vành Artin phải (trái) và căn
Jacobson J = 0". Vấn đề này là một vấn đề quan trọng thu hút nhiều nhà toán học
nghiên cứu. Cũng như Wedderburn, Artin, Jacobson và các nhà toán học khác cùng
với sự quan tâm của mình thì Osofsky cũng đã nghiên cứu về vành nửa đơn này
và đã đưa ra một tính chất quan trọng thông qua lớp R-Môđun đó là:"Vành R là
nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải (trái) cyclic là nội xạ". Tính chất này rất
quan trọng vì trong phạm trù Mod − R, lớp các R-môđun cyclic là dễ "kiểm soát"
nhất vì mọi R-môđun phải cyclic M đều đẳng cấu với R/I, trong đó I là iđêan phải
nào đó của R. Trong quyển sách [7], tác giả T. Y. Lam đã phát biểu Định lý 2.9
gồm bốn mệnh đề tương đương cho vành R như sau:
1. R là nửa đơn trái;
2. Tất cả các R-môđun trái là nội xạ;
3. Tất cả các R-môđun trái hữu hạn sinh đều nội xạ;
4. Tất cả R-môđun trái cyclic là nội xạ.
Tác giả đã trình bày chứng minh các mệnh đề (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4), nhưng đối
3
với mệnh đề (4) ⇒ (1) thì tác giả đã không trình bày trong quyển sách này vì nhiều
lý do hơn nữa nó khá khó.
Vì vậy, khóa luận này sẽ tổng quan và trình bày lại các tính chất, lý thuyết liên
quan đến môđun nội xạ, vành nửa đơn và cuối cùng là Định lý Osofsky, với mục
đích là khi sử dụng Định lý Osofsky cho vành nửa đơn, độc giả có thể đọc từ đầu
đến cuối khóa luận chứ không cần sử dụng một tài liệu nào khác.
Khóa luận gồm hai chương: chương I trình bày về môđun nội xạ, vành nửa đơn,
chương II tập trung nghiên cứu về Định lý Osofsky và một số ví dụ.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên khóa luận này không tránh
khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô giáo và độc giả đóng góp để cho khóa luận
được hoàn chỉnh hơn.

4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Bổ đề Zorn
Giả sử A là một tập sắp thứ tự, nếu mỗi tập con sắp thứ tự toàn phần của A
đều có cận trên trong A thì A có phần tử cực đại.
1.2 Dãy khớp
Định nghĩa 1.2.1. Một dãy các R-môđun phải và các R-đồng cấu môđun ... −→
M
n−1
ϕ
n−1
−−−→ M
n
ϕ
n
−→ M
n+1
... được gọi là dãy khớp nếu tại mọi M
n
(không kể hai đầu
mút) thõa mãn điều kiện: Imϕ
n−1
= Kerϕ
n
.
Dãy khớp 0 → X
f
−→ Y
g

−→ Z → 0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu: f đơn cấu, g
toàn cấu, Imf = Kerg.
Dãy khớp ngắn các R-môđun phải 0 → A
f
−→ B
g
−→ C → 0 được gọi là chẻ ra nếu
và chỉ nếu Imf = Kerg là một hạng tử trực tiếp của B.
Ví dụ 1.2.1. A, B là các R-môđun trái, 0 → A
f
−→ A × B
g
−→ B → 0 là chẻ ra vì
Imf = A × {0} = Kerg là hạng tử trực tiếp của A × B.
5
1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp
1.3.1 Tích trực tiếp
Định nghĩa 1.3.1. Cho một họ những R-môđun phải {A
i
}
i∈I
với I = ∅. Khi đó
tích Descartes

i∈I
A
i
= {(a
i
)

i
|a
i
∈ A
i
} cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng
theo thành phần:
(a
i
)
i∈I
+ (b
i
)
i∈I
= (a
i
+ b
i
)
i∈I
,
r(a
i
)
i∈I
= (ra
i
)
i∈I

là một R-môđun phải, gọi là tích trực tiếp của họ {A
i
}
i∈I
.
Trường hợp A
i
= A với mọi i ∈ I ta kí hiệu

i∈I
A
i
= A
I
.
Phép chiếu p
j
:

i∈I
A
i
−→ A
j
là một R-đồng cấu với mọi j ∈ I.
1.3.2 Tổng trực tiếp
Định nghĩa 1.3.2. Họ (a
i
)
i∈I

∈

i∈I
A
i
được gọi là có giá hữu hạn nếu a
i
= 0 tất cả
trừ một số hữu hạn.
Định nghĩa 1.3.3 (Tổng trực tiếp ngoài). Môđun con S của

i∈I
A
i
với S = {(a
i
)
i∈I
∈

i∈I
A
i
|(a
i
)
i∈I
có giá hữu hạn} được gọi là tổng trực tiếp ngoài của họ {A
i
}

i∈I
. Kí hiệu
là:

i∈I
A
i
.
Trường hợp A
i
= A với mọi i ∈ I ta kí hiệu

i∈I
A
i
= A
I
.
Với mỗi j ∈ I, đồng cấu
µ
j
: A
j
−→

i∈I
A
i
,
a

j
−→ (a
i
)
i∈I
= (...0, a
j
, 0, ...)
là một phép nhúng.
Khi I hữu hạn thì

i∈I
A
i
=

i∈I
A
i
.
6
Định lý 1.3.1. [1, ĐL 4.2.1] Giả sử M là một R-môđun phải và (M
i
)
i∈I
là họ các
môđun con của M. Xét ánh xạ
α :

i∈I

M
i
−→ M
(m
i
)
i∈I
−→

i∈I
m
i
.
Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
1) α là đẳng cấu.
2) Mỗi phần tử m ∈ M đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng m =

m
i
, m
i
∈ M
i
, trong đó các phần tử (m
i
)
i∈I
có giá hữu hạn.
3) M =


i∈I
M
i
và

i∈I
m
i
= 0 ⇒ m
i
= 0, ∀i ∈ I.
4) M =

i∈I
M
i
và M
i
 
j∈I,j=i
M
j
= 0, ∀i ∈ I.
Định nghĩa 1.3.4 (Tổng trực tiếp trong). Một R-môđun phải M được gọi là tổng
trực tiếp trong của họ {M
i
}
i∈I
những môđun con của nó thỏa một trong các điều
kiện tương đương của định lý trên.

Chú ý: Do tính chất trong Định lý 1.3.1 từ nay về sau thay cho tổng trực tiếp
trong ta chỉ nói đơn giản là tổng trực tiếp cùng với kí hiệu

i∈I
M
i
.
∗ K là môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại
K

≤ M sao cho K ∩ K

= 0 và K + K

= M.
∗ Với mọi K ≤ M luôn tồn tại một môđun con thỏa mãn một trong hai điều
kiện: K ∩ 0 = 0; K + M = M.
1.4 Căn và đế của vành
Định nghĩa 1.4.1. Cho vành R.
7
(a) Iđêan phải I của vành R được gọi là iđêan phải cực đại nếu I = R và mọi
iđêan phải của R chứa I thực sự đều bằng R. Nói cách khác là không có iđêan phải
nào của R chứa I mà khác I và khác R.
(b) Iđêan phải I của vành R được gọi là iđêan phải cực tiểu nếu I = 0 và mọi
iđêan phải của R chứa trong I khác 0 đều bằng I. Nói cách khác là không có iđêan
phải nào của R chứa trong I mà khác I và khác 0.
Định nghĩa 1.4.2. (a) Giao của tất cả các iđêan phải (trái) cực đại của R là một
iđêan phải của R và được gọi là căn phải (trái) của vành R. Kí hiệu: rad(R
R
)(rad(

R
R)).
(b) Tổng của tất cả các iđêan phải (trái) cực tiểu của R là một iđêan phải (trái)
của R và được gọi là đế phải (trái) của vành R. Kí hiệu: soc(R
R
)(soc(
R
R)).
Mệnh đề 1.4.1. [3, ĐL 9.2.2] Cho A là một iđêan phải của vành R. Khi đó các
điều kiện sau là tương đương:
a) A chứa trong rad(R
R
).
b) Với mọi a ∈ A[1 − a khả nghịch phải trong R].
c) Với mọi a ∈ A[1 − a khả nghịch trong R].
Định lý 1.4.2. [4, ĐL 9.2.4] Với R là vành bất kỳ, ta luôn có:
rad(R
R
) = rad(
R
R).
Từ định lý trên ta sẽ gọi chung căn bên trái và căn bên phải của vành R là căn
Jacobson của vành R và thường kí kiệu là:
J(R) = rad(R
R
) = rad(
R
R) = {r ∈ R|1 − r khả nghịch, ∀r ∈ R}.
8
1.5 Mở rộng cốt yếu và đối cốt yếu

Định nghĩa 1.5.1. ∗ K  M được gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M. Kí hiệu:
K 
e
M. Có nghĩa là ∀L  M; K ∩ L = 0 ⇒ L = 0 (hay ∀L = 0, L  M thì
K ∩ L = 0). Lúc đó M được gọi là mở rộng cốt yếu của K.
∗ K  M được gọi là đối cốt yếu (hay nhỏ) trong M. Kí hiệu K  M. Có nghĩa
là ∀L  M; K + L = M ⇒ L = M hay (∀L  M thì K + L = M).
∗ Một mở rộng cốt yếu E của R-môđun M được gọi là mở rộng cốt yếu cực đại
của M, nếu mọi mở rộng thực sự E

của E không thể mở rộng cốt yếu của M.
Nhận xét 1.5.1.
i. Mỗi môđun là một mở rộng cốt yếu của chính nó.
ii. M = 0; K 
e
M ⇒ K = 0.
iii. K  M ⇒ K = M.
iv. E là mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi mỗi phần tử 0 = x ∈
E, ∃a ∈ R để ax ∈ M(ax = 0).
Định nghĩa 1.5.2.
Đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Imf 
e
M.
Toàn cấu g : M → N được gọi là đối cốt yếu nếu Kerg  M.
Ví dụ 1.5.2. Trong vành Z, với n = 0 thì nZ 
e
Z, với n = 0 thì 0  Z và khi đó
0 là môđun con đối cốt yếu duy nhất của Z
Z
.

Thật vậy, giả sử A  Z
Z
thì khi đó A sẽ có dạng mZ hay A = mZ. Nếu m = 0
thì A = 0. Nếu m = 0 thì tồn tại một số nguyên tố p mà (m; p) = 1, khi đó tồn tại
r, s ∈ Z sao cho mr + ps = 1 ⇒ A + pZ = Z. Mà A  Z nên suy ra pZ = Z. Mặt
9
khác, ta có p = 1 ⇒ pZ = Z ⇒ A = 0. Vậy 0 là môđun con đối cốt yếu duy nhất
của Z
Z
.
Mệnh đề 1.5.3. [1, MĐ 2.3] Cho (M
i
)
i∈I
là họ các R-môđun, giả sử với mọi i ∈ I,
E
i
là mở rộng cốt yếu của M
i
. Khi đó

i∈I
E
i
là mở rộng cốt yếu của

i∈I
M
i
.

Chứng minh. Đặt M =

i∈I
M
i
; E =

i∈I
E
i
. Để chứng minh E là mở rộng cốt yếu của
M ta chứng minh với mỗi x ∈ E tồn tại a ∈ R, 0 = ax ∈ M.
Cho x ∈ E; x = (x
1
, ...., x
n
); x
k
∈ E
i
k
; i
1
, ..., i
n
∈ I. Vì E
i
1
là mở rộng cốt yếu
của M

i
1
nên ∃a
1
∈ R sao cho 0 = a
1
x
1
∈ M
i
1
. Xét 0 = a
1
x = (a
1
x
1
, ..., a
1
x
n
) ∈ E.
Nếu a
1
x
1
là thành phần khác 0 duy nhất của a
1
x thì a
1

x ∈ M (điều phải chứng
minh).
Trái lại, giả sử p là số bé nhất sao cho a
1
x
p
= 0 trong dãy a
1
x
2
, ..., a
1
x
n
. Vì E
i
p
mở rộng cốt yếu của M
i
p
nên tồn tại a
p
∈ R sao cho a
p
a
1
x
p
∈ M
i

p
. Lúc này ta cũng
có a
p
a
1
x
1
∈ M
1
. Nếu a
p
a
1
x = (a
p
a
1
x
1
; a
p
a
1
x
p
) thì đó chính là phần tử khác 0 trong
M mà ta cần tìm. Nếu chưa được tiếp tục chọn số q bé nhất sao cho a
p
a

1
x
q
= 0
trong a
p
a
1
x
p+1
, ..., a
p
a
1
x
n
. Tiếp tục quá trình trên ta sẽ chọn được a ∈ R sao cho
0 = ax ∈ M, suy ra E là mở rộng cốt yếu của M. Vậy

i∈I
E
i
là mở rộng cốt yếu của

i∈I
M
i
.
1.6 Lũy đẳng và vấn đề linh hóa tử
Định nghĩa 1.6.1. Cho R là một vành.

1. Phần tử e ∈ R được gọi là lũy đẳng nếu e
2
= e.
10
2. Tập {e
1
, e
2
, ..., e
n
} ⊆ R gọi là hoàn toàn lũy đẳng trực giao từng đôi nếu:
e
i
e
j
=









e
i
nếu i = j
0 nếu i = j
và 1 = e

1
+ e
2
+ ... + e
n
.
3. Lũy đẳng e ∈ R được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu e = 0 và mỗi cặp e
1
và e
2
lũy đẳng trực giao sao cho e = e
1
+ e
2
kéo theo e
1
= 0 hoặc e
2
= 0.
Mệnh đề 1.6.1. [4, MĐ 3.3.8] Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực tiếp
của R
R
nếu và chỉ nếu tồn tại lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR. Hơn nữa nếu e ∈ R
là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy và (1 − e)R là phần phụ của eR nghĩa là:
R
R
= eR ⊕ (1 − e)R.
Chứng minh. Giả sử R
R
= I ⊕ K, K ≤ R

R
khi đó 1 = e + f với e ∈ I, f ∈ K. Tác
động e vào, khi đó ta có e = e
2
+ef ⇒ e −e
2
= ef. Mặt khác e = e
2
+fe ⇒ e −e
2
=
fe. Vậy e − e
2
= ef = fe ∈ I ∩ K, mà I ∩ K = 0 ⇒ e − e
2
= 0 ⇒ e = e
2
. Từ đó ta
có f = fe + f
2
mà fe = 0 ⇒ f = f
2
.
Với mọi x ∈ I ta có x = ex + x − ex = ex + (1 − e)x ∈ I ⊕ K ngoài ra ta
còn có x = x + 0. Do sự biểu diễn duy nhất nên suy ra x = ex ∈ eR. Vì vậy
I ≤ eR ⇒ I = eR. (1 − e)R ∩ eR = 0 và (1 − e)R là phần phụ của eR nên
R
R
= eR ⊕ (1 − e)R.
Định nghĩa 1.6.2 (Linh hóa tử). Cho M

R
và X ⊆ M. Linh hóa tử trái của X
trong R là:
l
R
(X) = {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ X}.
Cho Y ⊆ R. Linh hóa tử phải của Y trong M là:
r
M
(Y ) = {x ∈ M | ax = 0, ∀a ∈ Y }.
11
Khi X = {x} hay Y = {a}, ta viết l
R
(x) hay r
M
(a). Với những linh hóa tử trên
R, nếu không có gì nhầm lẫn, người ta có thể bỏ kí hiệu R trong l
R
, r
R
, mà chỉ viết
là l, r.
Mệnh đề 1.6.2. [2, MĐ 1.2.3] Cho
R
M, X và Y là các tập con của M và A, B là
các tập con của R. Khi đó
1. X ⊆ Y ⇒ l
R
(X) ≥ l
R

(Y ) và A ⊆ B ⇒ r
M
(A) ≥ r
M
(B).
2. X ⊆ r
M
l
R
(X) và A ⊆ l
R
r
M
(A).
3. l
R
(X) = l
R
r
M
l
R
(X) và r
M
(A) = r
M
l
R
r
M

(A).
1.7 Môđun hữu hạn sinh
Định nghĩa 1.7.1. Một R-môđun trái M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một
tập sinh gồm hữu hạn phần tử. Nói cách khác, M là hữu hạn sinh nếu có các phần
tử nào đó s
1
, s
2
, ..., s
n
∈ M sao cho M = Rs
1
+ ... + Rs
n
.
Định lý 1.7.1. [3, ĐL 3.1] Các điều kiện sau là tương đương với môđun M
R
a. M hữu hạn sinh.
b. Với mọi tập f
α
: U
α
−→ M(α ∈ A),với M =

A
Imf
α
, tồn tại một tập hữu
hạn F ⊆ A sao cho M =


F
Imf
α
.
c. Với tập chỉ số (U
α
)
α∈A
và toàn cấu

A
U
α
−→ M −→ 0 tồn tại tập hữu hạn
F ⊆ A và toàn cấu

F
U
α
−→ M −→ 0.
d. Mọi môđun trong Mod-R mà nó sinh ra M thì sinh hữu hạn ra M.
e. Với A là tập nào đó các môđun con của M, nếu

A∈A
A = M thì

F ∈F
F = M
với tập hữu hạn F ∈ A nào đó.
12

Định nghĩa 1.7.2. Một R-môđun trái M được gọi là cyclic nếu M được sinh bởi
một phần tử:
M = {x} = Rx = {rx|r ∈ R}, ∀x ∈ M.
1.8 Môđun nội xạ
Môđun nội xạ là một cấu trúc lớp môđun quan trọng trong đại số, khái niệm
môđun nội xạ được R.Bear giới thiệu vào năm 1940. Sau đây chúng tôi sẽ đề cập
đến lớp môđun này.
Định nghĩa 1.8.1. Cho U
R
là một R-môđun, U được gọi là nội xạ nếu mọi đơn cấu
f : K → M, và mọi R-đồng cấu g : K −→ U, tồn tại một R-đồng cấu h : M −→ U
sao cho g = hf, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán (với dòng trên khớp)
0
K M.
U
✲
❄
g
✲
f
 
 
 
 ✠
h
Ví dụ: 1. Môđun 0 là nội xạ.
2. Môđun Z không nội xạ.
Mệnh đề 1.8.1. [2, ĐL 4.4.6] {Q
i
}

i∈I
họ R-môđun, tích trực tiếp của {Q
i
} là nội
xạ khi và chỉ khi Q
i
nội xạ với mọi i ∈ I.
Chứng minh. Ta xét đơn cấu f : A −→ B. Đặt Q =

i∈I
Q
i
, phép nhúng η
i
: Q
i
−→
Q và phép chiếu π
i
: Q −→ Q
i
.
⇒) Chứng minh Q
i
nội xạ nghĩa là mỗi đồng cấu g
i
: A −→ Q
i
, tồn tại đồng cấu
h

i
: B −→ Q
i
sao cho g
i
= h
i
f, ∀i ∈ I. Giả sử Q nội xạ, đồng cấu g
i
: A −→ Q
i
, ∀i ∈
I. Ta có η
i
g
i
: A −→ Q là đồng cấu. Vì Q nội xạ nên tồn tại đồng cấu h : B −→ Q
13
sao cho hf = η
i
g
i
,∀i ∈ I. Đặt h
i
= π
i
h : B −→ Q
i
, khi đó π
i

hf = π
i
η
i
g
i
= idg
i
= g
i
,
mà π
i
hf = h
i
f nên ta suy ra h
i
f = g
i
, ∀i ∈ I. Vậy {Q
i
}
i∈I
nội xạ.
⇐) Giả sử Q
i
(i ∈ I) nội xạ cần chứng minh Q =

i∈I
Q

i
nội xạ. Lấy g : A −→ Q
đồng cấu R-môđun, cho f : A −→ B đơn ánh. π
i
h đồng cấu thì tồn tại đồng cấu
h
i
: B −→ Q
i
sao cho h
i
f = π
i
g.
Xây dựng đồng cấu h : B −→ Q sao cho π
i
h = h
i
biến mỗi phần tử y ∈ B −→
h
i
(y) ∈ Q. Khi đó ta có h
i
f(x) = π
i
hf(x) = π
i
g(x), ∀x ∈ X ⇒ hf = g. Vậy Q nội
xạ.
Khi nói đên môđun nội xạ thì một tiêu chuẩn rất quan trọng để kiểm tra

tính nội xạ của môđun đó là tiêu chuẩn Bear, tiêu chuẩn này được phát biểu như
sau:
Mệnh đề 1.8.2 (Tiêu chuẩn Bear). Một R-môđun phải Q
R
là nội xạ khi và chỉ
khi mỗi R-đồng cấu f : U −→ Q, (U là iđêan phải của R) luôn tồn tại R-đồng cấu
τ : R → Q sao cho f = τ.ι, trong đó ι : U −→ R là một phép nhúng.
Xem chứng minh [8, Lemma 1.4, page 3].
Mệnh đề 1.8.3. [2, ĐL 11.4] Cho Q là R-môđun phải. Lúc đó các điều kiện sau là
tương đương:
a. Q nội xạ.
b. Mọi dãy khớp ngắn các R-đồng cấu 0 → Q
f
−→ B
g
−→ C → 0 đều chẻ ra.
Chứng minh. ⇒) Xét dãy
0
Q
B C
0.
Q
✲
❄
id
✲
f
✲
g
✲

Tồn tại đồng cấu h: B −→ Q sao cho hf = id. Đặt e = fh, e là tự đồng cấu của
B. Khi đó e
2
= (fh)(fh) = f(hf)h = f(id)h = fh = e. Suy ra e lũy đẳng. Từ
14
đó, ta có B = Ime ⊕ Kere. Mà hf = id nên h toàn ánh ⇒ Ime = Imfh = Imf
⇒ Imf = kerg là hạng tử trực tiếp của B. f đơn ánh ⇒ kerfh = kerh là phần
phụ của Imf. Từ đó suy ra B = Imf ⊕ Kerh. Vậy mọi dãy khớp ngắn các R-đồng
cấu 0 → Q
f
−→ B
g
−→ C → 0 đều chẻ ra.
⇐) Ta có 0 → Q
f
−→ B
g
−→ C → 0 chẻ ra nên khi đó f đơn ánh, g toàn ánh.
Xét đồng cấu id : Q −→ Q, khi đó luôn tồn tại một đồng cấu từ h : B −→ Q để
biểu đồ sau giao hoán
Q
B.
Q
❄
id
✲
f
 
 
 

 ✠
h
Vậy Q nội xạ.
Môđun nội xạ có quan hệ đặc biệt chặt chẽ với một lớp môđun gọi là môđun
chia được mà ta sẽ đưa ra định nghĩa sau đây:
Định nghĩa 1.8.2. Một R-môđun M được gọi là chia được nếu mọi phần tử a ∈ R
không là ước của 0 ta có
aM = {ax, ∀x ∈ M} = M.
Ví dụ 1.8.4. Cho R là miền iđêan chính. Khi đó R-môđun E là nội xạ khi và chỉ
khi E chia được.
Chứng minh. ⇒) Giả sử E là R-môđun nội xạ, x ∈ E, a ∈ R không là ước của 0.
Xét
f : Ra −→ E,
ra −→ rx, ∀x ∈ R.
Khi đó f là ánh xạ và là R-đồng cấu. Theo tiêu chuẩn Bear, tồn tại g : R → E, g
là mở rộng f. Ta có x = f(a) = g(a) = ag(1) ∈ aE. Suy ra E chia được.
15
⇐) Giả sử E chia được. Ta cần chứng minh R-môđun E là nội xạ, có nghĩa là chỉ
cần chứng minh R-đồng cấu f : I → E tồn tại một mở rộng g : R → E với I là
iđêan của R. Do R là miền iđêan chính nên tồn tại a ∈ R không là ước của 0 để
I = Ra. Mặt khác E chia được nên tồn tại y ∈ E sao cho x = ay với x = f(a).
Xét ánh xạ
g : R → E.
b → by, ∀b ∈ R
Khi đó g là đồng cấu và g(ba) = bay = bx = bf(a) = f(ba), ∀b ∈ R (do f đồng cấu).
Suy ra g là mở rộng của f. Vậy R-môđun E là nội xạ.
Chẳng hạn Q
Z
là môđun nội xạ vì Q
Z

chia được.
Định nghĩa 1.8.3. Cho M
R
, đơn cấu µ : M → Q được gọi là bao nội xạ đối với
M nếu Q là môđun nội xạ, còn µ là đơn cấu cốt yếu. Kí hiệu bao nội xạ của M là
E(M).
Ví dụ 1.8.5. ι : Z
Z
→ Q
Z
là bao nội xạ đối với Z
Z
vì Q
Z
là môđun chia được nên
Q
Z
nội xạ và ι là đơn cấu cốt yếu.
Tính chất 1.8.6. [1, HQ 2.6] Cho E mở rộng của R-môđun M. Lúc đó các mệnh
đề sau tương đương:
i. E là bao nội xạ của M.
ii. E là mở rộng cốt yếu cực đại của M.
Định lý 1.8.7. [1, ĐL 2.7] Mọi môđun luôn có ít nhất một bao nội xạ, giả sử E và
E

là những bao nội xạ của M, tồn tại một đẳng cấu f : E → E

sao cho f(x) = x,
∀x ∈ M.
16

Chứng minh. Tồn tại mở rộng F của M; F là R-môđun nội xạ. Ta cần chỉ ra tồn
tại một mở rộng E của M là phần tử cực đại trong tập Ω tất cả các môđun con của
F là mở rộng cốt yếu cực đại của M. Ta sẽ chứng minh E là một mở rộng cốt yếu
cực đại của M, khi đó E chính là bao nội xạ của M.
Thật vậy, cho E
1
là một mở rộng cốt yếu của E. Kí hiệu j : E → F và j
1
: E → E
1
là các phép nhúng tự nhiên. Khi đó, tồn tại mở rộng h : E
1
→ F của phép nhúng
j. Do đó E ∩ kerh = 0, vì E
1
là mở rộng cốt yếu của E nên kerh = 0. Suy ra
h(E
1
) ∈ Ω. Vậy, do E cực đại trong Ω, h(E
1
) = E tức E
1
= E. Điều này chứng tỏ
E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M.
Giả sử E và E

là hai bao nội xạ của M với i : M → E và i

: M → E


là
các phép nhúng tự nhiên. Khi đó theo chứng minh trên, tồn tại một R-đơn cấu
f : E −→ E

sao cho i

= foi, vì f(E)
∼
=
E

; f(E) là môđun nội xạ, do đó sẽ tồn
tại R-môđun con L của E

, sao cho E

= f(E) ⊕ L.
Mặt khác E

là một mở rộng cốt yếu của M và M ⊆ f(E) nên từ f(E) ∩ L =
0 ⇒ L = 0. Vậy f là một đẳng cấu và ta có được điều cần chứng minh.
Nhận xét 1.8.8. Luôn tồn tại E(M) của M sao cho E(M)  E với E là mở rộng
của R-môđun M, suy ra R-môđun M là nội xạ khi chỉ khi E(M) = M.
1.9 Môđun nửa đơn
Đối với mọi không gian vectơ đều có cơ sở và lực lượng của cơ sở là bất biến, một
tập độc lập bao giờ cũng có thể mở rộng được thành một cở sở. Đối với môđun thì
những tính chất đó cũng có thể diễn đạt được đối với môđun sinh ra bởi các môđun
đơn.
17
1.9.1 Môđun đơn

Định nghĩa 1.9.1. Một môđun khác không T
R
là đơn nếu nó không có môđun con
không tầm thường nào.
Nhận xét 1.9.1.
1. Một R-môđun phải T là đơn khi và chỉ khi T
∼
=
R/M với M là iđêan phải
cực đại của R.
2. Ta thấy rằng R
R
là cyclic nên nó luôn tồn tại một iđêan phải cực đại, vì vậy
trong phạm trù Mod-R luôn tồn tại môđun đơn.
Mệnh đề 1.9.2. [1, BĐ 2.2.11] M
R
đơn khi và chỉ khi M = 0 và ∀m = 0, m ∈ M
sao cho M = mR.
Chứng minh. ⇒) Cho M
R
đơn. Với m = 0 ta có m = 1m ∈ mR ⇒ mR = 0, mà
M
R
đơn nên M
R
chỉ chứa các môđun con tầm thường suy ra mR = M.
⇐) Cần chứng minh M = 0; ∀m ∈ M, m = 0 : M = mR ⇒ M
R
đơn. Thật vậy, lấy
A  M; A = 0, 0 = a ∈ A. Ta có aR = M, M = aR  A  M ⇒ A = M. Vậy M

R
đơn.
Định nghĩa 1.9.2. Vành R được gọi là đơn nếu R = 0 và ∀A  (
R
R
R
)[A = 0; A =
R], có nghĩa là R = 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và R.
1.9.2 Môđun nửa đơn
Định nghĩa 1.9.3. i. Cho (T
α
)
α∈A
là tập các môđun con đơn của M, M là tổng
trực tiếp các môđun con đơn này, nghĩa là
M =

A
T
α
(∗).
Khi đó (∗) được gọi là phân tích nửa đơn.
18