Khảo sát tính khả tích Lebesgue

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (376.98 KB, 65 trang )

1

2

LỜI CẢM ƠN
---- – & — ----
Trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn tốt
nghiệp em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, động viên từ
quý thầy cô và bạn bè. Vì vậy, em xin chân thành cảm ơn quý
thầy cô Bộ môn Toán đã truyền đạt cho em những kiến thức

quý báu trong suốt 4 năm học vừa qua. Xin chân thành cảm
ơn Thư viện Khoa Sư Phạm, Trung tâm học liệu Đại học Cần
Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em thực hiện tốt đề
tài.
Em xin chân thành cảm ơn cô Trần Thị Thanh Thúy đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành đề tài.
Xin cảm ơn tập thể lớp SP Toán K 30 đã đóng góp ý
kiến để luận văn được hoàn thành.
Tuy nhiên, do kiến thức có hạn nên luận văn còn nhiều
hạn chế và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các
bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Sinh viên thực hiện

Phan Trần Diễm
3
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

4

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

4. Phạm vi nghiên cứu.........................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu.................................................................2
PHẦN NỘI DUNG..................................................................................3
PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.........................................................3
1. Độ đo trên một đại số tập hợp..........................................................3
1.1. Định nghĩa độ đo........................................................................3
1.2. Một số tính chất của độ đo.........................................................4
2. Độ đo Lebesgue trên R....................................................................5
3. Hàm số đo được…..…..……………………………….……….……5
3.1. Định nghĩa.................................................................................5
3.2. Một số tính chất.........................................................................6
3.3. Các phép toán trên hàm số đo được............................................6
3.4. Khái niệm hầu khắp nơi.............................................................6
3.5. Cấu trúc của hàm đo được..........................................................7
3.6. Sự hội tụ theo độ đo...................................................................8
PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE.......................................................9
1. Các định nghĩa tích phân.................................................................9
1.1. Tích phân của hàm đơn giản, không âm.....................................9
1.2. Tích phân của hàm đo được, không âm......................................11
1.3. Tích phân của hàm đo được bất kỳ.............................................12
2. Các tính chất....................................................................................12
3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân......................................................19
4. Tính liên tục tuyệt đối của tích phân................................................25

5. Mối quan hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Riemann...........26
6. Điều kiện khả tích Lebesgue đối với tích phân trên khoảng vô hạn..27
6
7. Điều kiện khả tích Lebesgue của hàm không bị chặn.......................28
PHẦN III: BÀI TẬP................................................................................29
PHẦN KẾT LUẬN..................................................................................57

TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................58

7
PHẦN MỞ ĐẦU
---- – & — ----
1. Lý do chọn đề tài
Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã bước đầu làm quen với khái niệm tích
phân và những ứng dụng hữu ích của nó. Khi đó, phép lấy tích phân của những hàm
liên tục hoặc gián đoạn tại hữu hạn điểm được thực hiện một cách dễ dàng bằng tích
phân Riemann. Thế nhưng, đối với những hàm gián đoạn tại vô số điểm hoặc tất cả

các điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo một nghĩa nào đó? Đây là một
câu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của em suốt thời phổ thông. Khi bước vào đại
học, em đã có cơ hội để trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue.
Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một môn học, em không có điều kiện để nghiên
cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả tích của loại tích phân này
trong những trường hợp khác nhau. Do đó, em luôn có mong muốn đào sâu hơn về
vấn đề này để bổ sung và hoàn thiện thêm kiến thức của mình. Với những lý do
trên, cùng với sự gợi ý của cô em đã mạnh dạn chọn đề tài này để hoàn thành luận
văn tốt nghiệp của mình.
2. Lịch sử vấn đề
Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng
vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn.
Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann.
Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng được các yêu cầu phát triển
trong các lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử…
3. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống các tính chất của tích phân Lebesgue, tìm hiểu các điều kiện khả
tích (L), xét tính khả tích (L) của các hàm đo được. Nghiên cứu sâu hơn các tính
chất liên quan đến tính khả tích (L).
- Giải một số bài toán về tích phân Lebesgue. Chẳng hạn:
• Tính tích phân (L) bằng cách sử dụng các hàm đơn giản, hàm tương
đương, tính σ_cộng tính, tính chất của độ đo, định lý hội tụ đơn điệu, định lý hội tụ
bị chặn.
• Giải một số bài toán liên quan đến qua giới hạn dưới dấu tích phân.
8
• Giải các bài toán liên quan đến điều kiện khả tích của các hàm đo được.
4. Phạm vi nghiên cứu
Tích phân Lebesgue: các tính chất, các dạng toán liên quan đến tích phân
Lebesgue.
5. Phương pháp nghiên cứu

- Tập hợp, tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài.
- Hệ thống những kiến thức tiên quyết, cơ sở để tiếp cận nội dung chính của đề
tài.
- Kết hợp tự nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

9
PHẦN NỘI DUNG
PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Độ đo trên một đại số tập hợp
1.1. Định nghĩa độ đo

Cho C là một đại số trên X. Hàm tập µ : C " R được gọi là một độ đo trên
C nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
a) µ(A) ≥ 0 , ∀A ∈ C
b) µ(∅) = 0
c) A
n
∈ C,
( )
∈≠∅=∩
∞
=
U
1
,
n
nmn
AmnAA C
( )
∑
∞
=
∞
=
=









⇒
1
1
n
n
n
n
AA µµ
U

(tính σ_ cộng tính)
Khi đó (X, C, µ) được gọi là một không gian độ đo.
+ Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ(X) < + ∞
+ Độ đo µ được gọi là σ_hữu hạn nếu ∃
{ }
n
nN
A
∈
⊂ C
sao cho
U
∞
=
=
1n
n
AX và µ(A

n
) < + ∞, ∀n ∈ N.
Ví dụ:
• X ≠ ∅, C = P (X)
µ(A) = 0 , ∀A ∈ C
và
( )
0,
,
A
A
A
µ
=∅

=

+∞≠∅


là hai độ đo trên C.
• Hàm µ: C " R

( )
AA µa
(trong đó
( )
Aµ bằng card(A) nếu A hữu hạn và bằng ∞+ nếu A vô hạn)
Khi đó µ là độ đo và được gọi là độ đo đếm.
* Độ đo đủ:

Một không gian độ đo (X, C, µ) gọi là đầy đủ nếu mọi tập con của một tập có
độ đo không bất kỳ đều đo được.
10
1.2. Một số tính chất của độ đo
Tính chất 1: Cho (X, C, µ) là một không gian độ đo.
a) A, B ∈ C, B ⊂ A ⇒ µ(B) ≤ µ(A).
b) Nếu {A
n
}
n ∈ N
⊂ C,
1
n
n
A
∞
=
∈
U
C thì µ(
1
n
n
A
∞
=
U
) ≤
1
()

n
n
Aµ
∞
=
∑
.
c) Nếu A
n
∈ C , ∀n, A
1
⊂ A
2
⊂ …,
1
n
n
A
∞
=
∈
U
C thì
( )
n
n
n
n
AA µµ
∞→

∞
=
=








lim
1
U
.
d) Nếu A
n
∈ C , ∀n, A
1
⊃ A
2
⊃…, µ(A
1
) < +∞,
1
n
n
A
∞
=

I
∈ C
thì
( )
n
n
n
n
AA µµ
∞→
∞
=
=








lim
1
I
.
Tính chất 2: Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó:
i) µ(A
i
) = 0,
1

i
i
A
∞
=
∈
U
C
1
()0
i
i
Aµ
∞
=
⇒=
U
.
ii) A ∈ C, µ(B) = 0 ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A).
Tính chất 3:
Giả sử µ: C " R là một hàm tập hợp trên C. Khi đó µ là một độ đo trên C
khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn:
i) µ(∅) = 0
ii) {A
i
}
i∈ N
⊂ C, A ∈ C,
1
i

i
AA
∞
=
⊂
U
và A
i
∩ A
j
= ∅ (i ≠ j) ⇒
1
()()
i
i
AAµµ
∞
=
≤
∑

iii) {A
i
}
i∈ N
⊂ C, A ∈ C,
1
1
()()
ii

i
i
AAAAµµ
∞
∞
=
=
⊂⇒≤
∑U

Tính chất 4:
Cho µ là một hàm tập hợp, không âm, cộng tính trên một đại số C và sao cho
µ(∅) = 0. µ là độ đo trên C nếu thỏa thêm một trong hai điều kiện sau:
i) A
n
∈ C , ∀n, A
1
⊂ A
2
⊂ …,
1
n
n
A
∞
=
∈
U
C ⇒
1

()lim()
nn
n
n
AAµµ
∞
→∞
=
=
U

ii) A
n
∈ C , ∀n, A
1
⊃ A
2
⊃…,
1
n
n
A
∞
=
I
= ∅ ⇒ lim()0
n
n
Aµ
→∞

=
11
2. Độ đo Lebesgue trên R
* Một gian trên R là một tập con của R có một trong các dạng sau: [a,b],
[a,b), (a,b], (a,b), [a, +∞), (a, +∞), (- ∞, b], (- ∞, b).
Khi đó: C =
( )






∈≠∅=∆∩∆∆=⊂
=
U
n
i
jii
NnjiPRP
1
,,
là một đại số.
Trên C ta xây dựng một hàm m : C " R

1
()
n
i
i

PmP
=
=∆
∑
a
Khi đó m là độ đo trên C.
∀A ⊂ R, đặt: µ
*
(A) = inf {
1
1
(),,
iii
i
i
mPPAP
∞
∞
=
=
⊃∈
∑ U
C }.
Gọi L là tập tất cả các tập con A của R sao cho:
µ
*
(E) = µ
*
(E ∩ A) + µ
*

(E ∩ A
C
), ∀E ⊂ R
Gọi
∗
= µµ |L.
Độ đo µ xây dựng theo cách trên gọi là độ đo Lebesgue trên R.
Các tập A ∈ L được gọi là các tập đo được theo nghĩa Lebesgue.
* Ví dụ:
• Tập {a} chỉ gồm một điểm a ∈ R đo được (L) và có độ đo bằng 0.
• Mọi tập con hữu hạn hoặc đếm được của R đều đo được (L) và có độ đo
bằng 0.
∀ a, b ∈ R, a < b, ta có:
µ((a, b)) = µ([a, b)) = µ((a, b]) = µ([a,b]) = b – a
* Tính chất:
i) Độ đo Lebesgue trên R là σ_hữu hạn và là độ đo đủ.
ii) Mọi tập Borel trên R đều đo được (L).
3. Hàm số đo được
3.1. Định nghĩa
Cho (X, F) là một không gian đo được, A ∈ F và f : A " R . Hàm f được gọi
là đo được trên A đối với σ_đại số F nếu:
∀A ∈R: {x ∈ A | f(x) < a} ∈ F (1)
12
Điều kiện (1) tương đương với một trong ba điều kiện sau:
∀A ∈ R: {x ∈ A | f(x) ≤ a} ∈ F
∀A ∈ R: {x ∈ A | f(x) > a} ∈ F
∀A ∈ R: {x ∈ A | f(x) ≥ a} ∈ F
3.2. Một số tính chất
Cho (X, F) là không gian đo được.
a) Nếu f(x) = c = const, ∀x ∈ A, A ∈ F thì f đo được trên A.

b) Nếu f đo được trên A, B ⊂ A và B ∈ F thì f cũng đo được trên B.
c) Nếu f đo được trên A thì ∀a ∈ R: { x ∈ A | f(x) = a } ∈ F.
d) Nếu f đo được trên A thì kf (k ∈ R) cũng đo được trên A.
e) Nếu f đo được trên dãy
{ }
1
n
n
A
∞
=
thì f đo được trên
1
n
n
A
∞
=
U
.
f) Nếu f xác định trên A, µ(A) = 0 và µ là độ đo đủ thì f đo được trên A.
3.3. Các phép toán trên hàm số đo được
• Nếu f đo được trên A thì f
α
(α > 0) cũng đo được trên A.
• Nếu f, g đo được và hữu hạn trên A thì ,.,max{,},min{,}fgfgfgfg± cũng
đo được và nếu g(x) ≠ 0, ∀x ∈ A thì
f
g
cũng đo được trên A.

• f đo được ⇔ f
+
và f
−
đo được (với f
+
= max {f, 0}, f
−
= max {- f, 0}).
• Nếu dãy {f
n
(x)}
n ∈ N
là một dãy các hàm đo được và hữu hạn thì các hàm
sup{f
n
(x)}, inf{f
n
(x)}, lim,lim
nn
ffđo được và nếu tồn tại lim
n
n
ff
→∞
= thì f cũng đo
được.
3.4. Khái niệm hầu khắp nơi
Cho (X, F, µ) là một không gian độ đo.
Một điều kiện α (x) được gọi là thỏa mãn hầu khắp nơi (h.k.n) trên A

nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và α (x) được thỏa ∀x ∈ A\B.
* Ví dụ:
• f : A → R hữu hạn h.k.n trên A nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và f(x) ∈ R,
∀x ∈ A\B.
• Dãy {f
n
(x)} hội tụ h.k.n trên A về f nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và
13
lim()(),\
n
n
fxfxxAB
→∞
=∀∈ .
• f, g bằng nhau h.k.n trên A nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và
{ x ∈ A | f(x) ≠ g(x) } ⊂ B
Hai hàm bằng nhau h.k.n trên A được gọi là tương đương trên A.
Ký hiệu: f ∼ g .
* Nhận xét:
• Nếu f liên tục h.k.n trên A và µ là độ đo đủ thì f đo được trên A.
• Nếu f đo được, µ là độ đo đủ và g ∼ f thì g cũng đo được.
3.5. Cấu trúc của hàm đo được
* Hàm đặc trưng:
Hàm đặc trưng của tập A, kí hiệu
( )
x
A
χ , là hàm số xác định như sau:

()




∈
∉
=
Ax
Ax
x
A
,1
,0
χ

* Hàm đơn giản:
Một hàm f :
RA →
được gọi là hàm đơn giản trên A nếu f đo được và f
nhận hữu hạn các giá trị hữu hạn.
Giả sử f là hàm đơn giản trên A.
Giá trị f(A) = { a
1
, a
2
,…,a
n
} ⊂ R
Đặt A
i
= {x ∈ A | f(x) = a

i
}, 1,in=
Khi đó: A
i
∩ A
j
= ∅ (i ≠ j) và
1
n
i
i
AA
=
=
U

Ta có:
1
i
n
iA
i
faχ
=
=
∑
(*)
Mọi hàm f có dạng (*) với các A
i
rời nhau đôi một và

1
n
i
i
AA
=
=
U
đều là các
hàm đơn giản trên A.
* Cấu trúc của hàm đo được:
ü Nếu f là hàm đo được trên A thì tồn tại dãy {f
n
} các hàm đơn giản sao cho:
( ) ( )
Axxfxf
n
n
∈∀=
∞→
,lim .
ü Nếu f là hàm đo được, không âm thì tồn tại một dãy các hàm đơn giản {f
n
}
thỏa:
14
• 0 ≤ f
1
≤ f
2

≤ …..
• f
n
(x) " f(x) khi n " ∞, ∀x ∈ A
3.6. Sự hội tụ theo độ đo
Định nghĩa: Cho dãy {f
n
}
n ∈ N
, f đo được trên A. {f
n
}
n ∈ N
được gọi là hội tụ
theo độ đo µ về f trên A nếu:

{ }
( )
0:lim()()0
n
n
xAfxfxεε
→∞
∀>∈−≥=.
Kí hiệu:
n
ff
µ
→ .
Tính chất: Cho µ là độ đo.

i) Nếu
n
ff
µ
→ trên A, µ đủ và f ∼ g thì
n
fg
µ
→ trên A.
ii) Nếu
n
ff
µ
→ và
n
fg
µ
→ trên A thì f ∼ g.
iii) Nếu {f
n
} đo được và
n
ff
µ
→ trên A thì tồn tại dãy con
{ }
k
n
kN
f

∈
hội tụ
h.k.n về hàm f.
iv) Cho dãy {f
n
(x)} đo được, hữu hạn và hội tụ h.k.n trên tập A đo được, có
độ đo µ(A) < +∞. Với mỗi
0ε >
tồn tại một tập đo được B ⊂ A sao cho µ(A\B) < ε
và {f
n
(x)} hội tụ đều trên B. (định lý Egorov)

15
PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE
1. Các định nghĩa tích phân
1.1. Tích phân của hàm đơn giản, không âm
Cho không gian (X, F, µ), A ∈ F.
Nếu f là một hàm đơn giản, không âm trên A có dạng
1
i
n
iE
i
faχ
=
=
∑

(E

i
đo được, E
i
∩ E
j
= ∅, ∀i ≠ j,
U
n
i
i
EA
1=
= ) thì tích phân của f trên A theo độ đo µ
được định nghĩa là:

( )
i
n
i
i
A
Eafd µµ
∑
∫
=
=
1

Nếu A = X, ta qui ước viết
∫

X
fdµ
là
∫
µfd
* Một số tính chất
1) Tích phân của hàm đơn giản, không âm được xác định một cách duy nhất.
2) Nếu f và g là các hàm đo được, đơn giản, không âm, ,0αβ≥ thì:
()fgdfdgdαβµαµβµ+=+
∫∫∫

Chứng minh:
Giả sử f và g có biểu diễn tiêu chuẩn là:
1
i
n
iE
i
faχ
=
=
∑
,
1
j
m
jF
j
gbχ
=

=
∑
với
( )
jiFFEEFEX
jiji
m
j
j
n
i
i
≠∅=∩∅=∩==
==
,,
11
UU

Ta có:
() ()
( )
( )
ji
FE
n
i
m
j
jiji
babaxgxf

∩
= =
∑∑
+=+=+ χβαβαβα
1 1

Khi đó:
11
1111
1111
11
()()()
()()
(())(())
()()
nm
ijij
ij
nmnm
iijjij
ijij
nmmn
iijjij
ijji
nm
iijj
ij
fgdabEF
aEFbEF
aEFbEF

aEbFfdgd
αβµαβµ
αµβµ
αµβµ
αµβµαµβµ
==
====
====
==
+=+∩
=∩+∩
=∩+∩
=+=+
∑∑
∫
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑
∫∫

3) Nếu f ≤ g thì fdgdµµ≤
∫∫
.
16
4) Cho f là một hàm đơn giản, không âm và {A
n
} là một dãy tăng trong F,
1
n
n

XA
∞
=
=
U
. Khi đó:
n
A
fdfdµµ→
∫∫
khi ∞→n .
Chứng minh:
Giả sử f có biểu diễn tiêu chuẩn là:
i
E
m
i
i
af χ
∑
=
=
1

Do đó:
( )
ni
m
i
iA

A
AEadffd
n
n
∩==
∑
∫∫
=
µµχµ
1

Với mỗi i, ta thấy
( ) ( )
∞→→∩ nkhiEAE
ini
µµ
Suy ra:
( )
∫
∑
∫
=→
=
µµµ fdEafd
i
m
i
i
A
n

1
khi ∞→n
5) Nếu {f
n
} là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, lim
n
n
ff
→∞
= và f là hàm
đơn giản thì lim
n
n
fdfdµµ
→∞
=
∫∫
.
Chứng minh:
f
n
≤ f
n + 1
, ∀n ⇒
1nn
ff
+
≤
∫∫
, ∀n

Do đó:
n
f α→
∫
, với α ∈ [0, + ∞)
Vì {f
n
} đơn điệu tăng nên
n
ff≤
∫∫
, ∀n. Do đó: α ≤ f
∫
(1)
Chọn hàm đơn giản s: 0 ≤ s ≤ f và c = const sao cho 0 ≤ c ≤ 1.
Đặt A
n
= { x ∈ X | f
n
(x) ≥ cs(x) }, n = 1, 2,…
Ta có:
∫∫∫
≥≥
nn
AA
nn
sdcdfdf µµµ
Cho n → ∞, ta được: α ≥ lim
n
n

A
csdµ
→∞
∫

Cho c → 1: α ≥ µds
∫
(với mọi hàm đơn giản s, 0 ≤ s ≤ f).
Do đó:
∫
≥ fα (2)
Từ (1) và (2) ta được: .lim µα dff
n
n
∫∫
∞→
==
17
6) Cho {f
n
} là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, f là hàm đơn giản không
âm.
i) Nếu lim
n
n
ff
→∞
≤ trên X thì lim
n
n

fdfdµµ
→∞
≤
∫∫

ii) Nếu lim
n
n
ff
→∞
≤ trên X thì lim
n
n
fdfdµµ
→∞
≤
∫∫
.
Chứng minh:
i) Ta có: lim
n
n
ff
→∞
≤ và {f
n
} đơn điệu tăng nên f
n
≤ f, ∀n.
Do đó:

n
fdfdµµ≤
∫∫

Cho ∞→n , ta được: lim
n
n
fdfdµµ
→∞
≤
∫∫
.
ii) Lấy α ∈ [0, 1), đặt A
n
= { x ∈ X | α f(x) ≤ f
n
(x) }.
Ta có: A
n
∈ F,{A
n
} là dãy tăng và
1
n
n
XA
∞
=
=
U

Ta có: ()()
n
An
fxfxαχ≤ ,
Xx∈∀

Vì vậy:
( )
µµχαµαµα dfdxffdfd
n
n
A
n
n
∫∫∫∫
∞→∞→
≤== limlim
Cho 1α
−
→ , ta được: lim
n
n
fdfdµµ
→∞
≤
∫∫
.
7) Cho {f
n

}, {g
n
} là hai dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng trên X. Nếu
limlim
nn
nn
fg
→∞→∞
= trên X thì limlim
nn
nn
fdgdµµ
→∞→∞
=
∫∫
.
Chứng minh:
∀k = 1, n , ta có: lim
kn
n
gf
→∞
≤ trên X ⇒ lim
kn
n
gdfdµµ
→∞
≤
∫∫
.

Cho k " ∞, ta được: limlim
kn
kn
gdfdµµ
→∞→∞
≤
∫∫
.
Tương tự, ta có: limlim
nk
nk
fdgdµµ
→∞→∞
≤
∫∫
.
Vậy µµ dgdf
k
k
n
n
∫∫
∞→∞→
= limlim .
1.2. Tích phân của hàm đo được, không âm
Định nghĩa:
Nếu f: A " R là một hàm đo được, không âm thì tích phân của hàm f được
định nghĩa là:
∫
A

fdµ
= sup {
ϕϕµϕ ,0| fd
A
≤≤
∫
là hàm đơn giản}

18
Tính chất:
i) 0, ≥∀=
∫∫
cfccf
ii)
∫∫
≤⇒≤≤ gfgf0
Thật vậy:
Vì gf ≤ nên nếu ϕ là hàm đơn giản sao cho f≤ϕ thì ta cũng có g≤ϕ .
Do đó:
{ } { }
∫∫∫∫
=≤≤≤= ggff ϕϕϕϕ supsup
iii) Nếu BAf ⊂≥ ,0 , A, B là hai tập đo được thì
∫∫
≤
BA
fdfd µµ
.
Thật vậy:
Nếu BA ⊂ thì với ϕ là hàm đơn giản thỏa f≤≤ ϕ0 thì

∫∫
≤
BA
dd µϕµϕ
.
Do đó:
∫∫
≤
BA
fdfd µµ

1.3. Tích phân của hàm đo được bất kỳ
Định nghĩa:
Cho f là một hàm đo được có dấu tùy ý trên A.
Nếu ít nhất một trong hai tích phân µdf
A
∫
+
và µdf
A
∫
−
hữu hạn thì tích phân
của hàm f trên A được định nghĩa là:
µµµ dfdfdf
AAA
∫∫∫
−+
−=

Nếu µdf
A
∫
hữu hạn thì ta nói hàm f khả tích trên A.
Khi X = R, F = L thì tích phân định nghĩa như trên được gọi là tích phân
Lebesgue. Ký hiệu: µdfL
A
∫
)( .
2. Các tính chất
2.1. Nếu f đo được trên A và µ(A) = 0 thì 0
A
fdµ=
∫
.
2.2. Nếu f đo được, giới nội trên A và µ(A) < +∞ thì f khả tích trên A.
2.3. Tính cộng tính
Nếu A ∩ B = ∅ thì
ABAB
fff
∪
=+
∫∫∫

19
Hệ quả:
i) Nếu tồn tại
A
f

∫
, E ⊂ A, E đo được thì cũng tồn tại
E
f
∫
. Nếu f khả tích trên
A thì f cũng khả tích trên E.
ii) Nếu µ(B) = 0 thì
ABA
ff
∪
=
∫∫

2.4. Tính bảo toàn thứ tự
• Nếu f ∼ g trên A thì
AA
fg=
∫∫
. Đặc biệt: nếu f = 0 h.k.n trên A thì 0
A
f =
∫
.
• Nếu f ≤ g trên A thì
AA
fg≤
∫∫
. Đặc biệt: nếu f ≥ 0 trên A thì 0
A

f ≥
∫
.
Hệ quả: Nếu f khả tích trên tập A thì f hữu hạn h.k.n trên A.
2.5. Tuyến tính
•
( )
Rcfccf
AA
∈=
∫∫

• ()
AAA
fgfg+=+
∫∫∫
(vế phải phải có nghĩa).
2.6. Khả tích
• Nếu
A
f
∫
có nghĩa thì
AA
ff≤
∫∫
.
• f khả tích trên A ⇔ f khả tích trên A.
• Nếu f ≤ g h.k.n trên A và g khả tích thì f cũng khả tích trên A.
• Nếu f, g khả tích thì f ± g cũng khả tích.

Nếu f khả tích và g bị chặn thì f.g khả tích.
2.7. Cho f là hàm khả tích. Khi đó ∀ε > 0, tồn tại hàm đơn giản ϕ sao cho
A
fdϕµε−<
∫
.
Chứng minh:
• f đo được, không âm và
A
fdµ <+∞
∫
⇒ ∃{ϕ
n
} là dãy hàm đơn giản, không
âm, đơn điệu tăng và lim
n
n
fϕ
→∞
= trên X và lim
n
n
AA
dfdϕµµ
→∞
=
∫∫

⇒ ∃n ∈ N sao cho:
n

AAA
fddfdµεϕµµ−<≤
∫∫∫

20
⇒ ()
nn
AA
fdfdϕµϕµε−=−<
∫∫

• Nếu f khả tích thì :
A
fdµ
+
<+∞
∫
và
A
fdµ
−
<+∞
∫

⇒ ∃ϕ
1
, ϕ
2
sao cho:
1

2
A
fd
ε
ϕµ
+
−<
∫
và
2
2
A
fd
ε
ϕµ
−
−<
∫

• Đặt: ϕ = ϕ
1
- ϕ
2
⇒
12
()
AA
fdffdϕµϕϕµ
+−
−≤−+−

∫∫

12
AA
fdfdϕµϕµε
+−
≤−+−<
∫∫

2.8. Tính σ_cộng tính
Cho một không gian độ đo (X, F, µ), f là một hàm đo được trên X.
∀A ∈ F ta định nghĩa: ()
A
Afdφµ=
∫
. Khi đó: φ là σ_cộng tính trên F.
Tức là: Nếu ∈=
∞
=
n
n
n
AAA ,
1
U
F,
( )
mnAA
mn

≠∅=∩ thì
() ( )
∑
∞
=
=
1n
n
AA φφ
(hay
∑
∫∫
∞
=
=
1n
AA
n
ff ).
Chứng minh:
* Nếu f = χ
E
, với E ∈ F thì
( )
Aφ =
E
A
dχµ
∫
=

( )
AE ∩µ
Vì µ là σ_cộng tính nên φ là σ_cộng tính.
* Trường hợp f là hàm đơn giản, không âm:
Giả sử:
() ()
XExaxf
n
k
kE
n
k
k
k
==
=
=
∑ U
1
1
,χ .
Khi đó:
() ( )
AEafA
k
n
k
k
A
∩==

∑
∫
=
µφ
1
.
Do
U
∞
=
=
1i
i
AA nên:
( )
Aφ

















∩=
∞
=
=
∑ U
1
1
i
ik
n
k
k
AEa µ

( )








∩=
∞
=
=

∑ U
1
1
i
ik
n
k
k
AEa µ

( )
( )
jiAAdoAEa
ji
i
ik
n
k
k
≠∅=∩∩=
∑∑
∞
==
,
11
µ
21

( )

( )
∑
∑
∫
∑∑
∞
=
∞
=
∞
= =
=
=
∩=
1
1
1 1
i
i
i
A
ik
i
n
k
k
A
fd
AEa
i

φ
µ
µ

* Trường hợp f là hàm đo được, không âm
Giả sử ϕ là một hàm đơn giản, không âm sao cho ϕ ≤ f.
Do chứng minh trên, ta có:
∑
∫∫
∞
=
=
1k
AA
k
dd µϕµϕ
Do đó:
( )
∑∑
∫∫
∞
=
∞
=
=≤
11 k
k
k
AA
Afdd

k
φµµϕ
Mà sup{0
AA
fddfµϕµϕ=≤≤
∫∫
, ϕ là hàm đơn giản}
Nên
( )
∑
∫
∞
=
≤
1k
k
A
Afd φµ
hay
1
()()
k
k
AAφφ
∞
=
≤
∑
(1)
• Nếu ∃k

o
sao cho φ(
o
k
A ) = + ∞ thì φ(A) = + ∞
(vì φ(A) ≥ φ(A
k
), ∀k
Khi đó: φ(A) =
1
()
k
k
Aφ
∞
=
∑
+∞= .
• Giả sử φ(A
k
) < +∞, ∀k.
Ta chứng minh: φ(A) ≥
1
()
k
k
Aφ
∞
=
∑

bằng phương pháp quy nạp.
ü Với k = 2,vớiε > 0, chọn hàm đơn giản ϕ sao cho: ϕ ≤ f
và
11
AA
dfdϕµµε≥−
∫∫
,
22
AA
dfdϕµµε≥−
∫∫

Ta có: φ(A
1
∪ A
2
) =
121212
12
()()2
AAAAAA
fddddAAµϕµϕµϕµφφε
∪∪
≥=+≥+−
∫∫∫∫

⇒ φ(A
1
∪ A

2
) ≥ φ(A
1
) + φ(A
2
).
ü Giả sử với k = n, ta có:
1
1
()()
n
n
kk
k
k
AAφφ
=
=
≥
∑U
.
ü Ta chứng minh mệnh đề đúng với k = n + 1.
22
1
1
111
11
111
()()()()()()()
nnn

nn
kknknknk
kk
kkk
AAAAAAAAφφφφφφφ
+
+
+++
==
===
=∪≥+≥+=
∑∑UUU

Vậy
1
1
()()
n
n
kk
k
k
AAφφ
=
=
≥
∑U
, ∀n
Vì
1

n
k
k
A
=
U
⊂ A nên φ(A) ≥
1
()
n
k
k
Aφ
=
∑

Cho n → ∞, ta được: φ(A) ≥
1
()
k
k
Aφ
∞
=
∑
(2)
Từ (1) & (2), suy ra: φ(A) =
1
()
k

k
Aφ
∞
=
∑
.
* Trường hợp f là hàm đo được, có dấu tùy ý, ta phân tích fff
+−
=−, sau
đó áp dụng kết quả trên cho hai hàm không âm ,ff
+−
.
• Từ tính chất trên ta suy ra: nếu f là hàm đo được, không âm thì
()
A
Afdφµ=
∫
là một độ đo. Hàm
( )
Aφ được gọi là tích phân bất định của f.
Áp dụng tính chất của độ đo, ta có thêm một số tính chất cho tích phân.
Chẳng hạn như: Nếu A
n
↑, A
n
đo được,
U
∞
=
=

1n
n
AA và f là đo được không âm thì:
∫∫
∞→
=
n
A
n
A
fdfd µµ lim
2.9. Bất đẳng thức Tchebychev
Cho f(x) ≥ 0 khả tích trên A và c > 0 là một số dương bất kỳ.
Khi đó: µ({ x ∈ A | f(x) ≥ c }) ≤
1
()
A
fxd
c
µ
∫
.
Chứng minh:
Đặt B = { x ∈ A | f(x) ≥ c}
Khi đó:
\
()()()()()
ABABB
fxdfxdfxdfxdcBµµµµµ=+≥≥
∫∫∫∫

Do đó:
() ()
µµ dxf
c
B
A
∫
≤
1
.
23
2.10. Sau đây là một vài tính chất của tích phân các hàm đo được không âm
j Cho f không âm, khả tích trên A,
( )
0>Aµ . Khi đó:

⇔=
∫
0
A
f
f = 0 h.k.n trên A.
Chứng minh:
( )
⇒
• Nếu f là hàm đơn giản, không âm:
i
E
n

i
i
af χ
∑
=
=
1
thì:

()
{ }( )
000 =>∈⇔=
∫
xfAxfd
A
µµ
.
0=⇔ f h.k.n trên A.
• Giả sử f đo được, không âm.
Khi đó tồn tại {f
n
} đơn giản, không âm, đơn điệu tăng sao cho:
ff
n
n
=
∞→
lim
Do đó:
nfffd

A
n
A
n
n
A
∀=⇔=⇔=
∫∫∫
∞→
,00lim0µ
.
nAtrênnkhf
n
∀=⇔ ,..0
Vậy Atrênnkhf ..0= .
( )
⇐ Giả sử: f = 0 h.k.n trên A.
Khi đó với mọi hàm đơn giản f≤≤ ϕϕ 0, thì nkh ..0=ϕ trên A.

⇒
Atrênnkha
i
E
n
i
i
..0
1
=
∑

=
χ
⇒
với mỗi
( )
⇒



=
=
0
0
i
i
E
a
thìi
µ
( )
∑
∫
=
==
n
i
ii
A
Ea
1

0µϕ

Theo định nghĩa tích phân của hàm không âm,
ta có: 00sup =










≤≤=
∫∫
ff
AA
ϕϕ
Vậy
⇔=
∫
0
A
f
f = 0 h.k.n trên A.
Có thể chứng minh các chiều
( ) ( )
⇐⇒ và của tính chất trên theo cách khác
như sau:

24
( )
⇒ Giả sử
0=
∫
A
f

• Cách 1:
Đặt
()






>∈=
n
xfAxB
n
1

Ta có:
()
{ }
0
1
≠∈==
∞

=
xfAxBB
n
n
U

Giả sử
( )
0>Bµ . Khi đó:
( )
0:0 >>∃
N
BN µ .
Ta có:
( )
0
1
>≥
∫
N
B
B
N
fd
N
µµ
Điều này mâu thuẫn với: ≤
∫
N
B

fdµ
0=
∫
A
fdµ
(mâu thuẫn)
( )
0=⇒ Bµ . Vậy f = 0 h.k.n trên A.
• Cách 2:
Đặt A
n
= { x ∈ A | f(x) ≥
1
n
}
Ta có:
( )
0
1
=≤
∫
A
n
fdA
n
µµ
. Do đó:
( )
nA
n

∀= ,0µ
Mặt khác: { x ∈ A | f(x) ≠ 0 } =
1
n
n
A
∞
=
U

Vì vậy: µ({ x ∈ A | f(x) ≠ 0 } = 0 .
Điều này chứng tỏ f = 0 h.k.n trên A.
( )
⇐ Xét {f
n
} là một dãy bất kỳ các hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng
và lim
n
n
ff
→∞
= trên A.
Ta có: f
n
= 0 h.k.n trên A, ∀n ∈ N ⇒ 0,
n
fdnµ =∀
∫

Do đó: 0lim ==

∫∫
∞→
µµ dffd
n
n
.
k f khả tích và f(x) > 0 h.k.n trên A. Nếu 0
A
fdµ=
∫
thì µ(A) = 0.
Chứng minh:
Đặt A
1
= { x ∈ A | f(x) > 0 }
A
2
= { x ∈ A | f(x) ≤ 0 }
25
Khi đó: A
1
∩ A
2
= ∅, A
1
, A
2
∈ F.
Do f(x) > 0 h.k.n trên A nên µ(A
2

) = 0
Ta có: f > 0 trên A
1
và
1
0
AA
fdfdµµ==
∫∫
nên f = 0 h.k.n trên A
1

⇒ µ(A
1
) = 0.
Vậy: µ(A) = µ(A
1
) + µ(A
2
) = 0.
l f đo được trên A và 0
E
fdµ=
∫
, ∀E ⊂ A, E đo được. Khi đó f = 0 h.k.n trên A.
Chứng minh:
Đặt: A
1
= { x ∈ A | f(x) > 0 } ∈ F
A

2
= { x ∈ A | f(x) < 0 } ∈ F
Theo giả thiết:
1
0
A
fdµ=
∫
⇒ µ(A
1
) = 0 (do f > 0 trên A
1
)
Ta có:
2
0
A
fdµ=
∫
. Thay f bởi – f, ta được:
A
2
= { x ∈ A | - f(x) > 0 } ∈ F
Do đó, từ
2
()0
A
fdµ−=
∫
⇒ µ(A

2
) = 0.
Vậy µ{ x ∈ A | f(x) ≠ 0} = µ(A
1
) + µ(A
2
) = 0.
Do đó, f = 0 h.k.n trên A.
3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân
Cho dãy hàm đo được {f
n
}. Nếu
( ) ( )
∞→→ nkhixfxf
n
thì có thể
() ()
∞→→
∫∫
nkhixfxf
n
hoặc
() ()
∞→→
/
∫∫
nkhixfxf
n
.
Xét ví dụ sau:

Cho
( ) ( )
.....,2,1,
1
,0
==






nxnxf
n
n
χ
Ta có:
( )
Rxnkhixf
n
∈∀∞→→ ,0 .
Nhưng: 001lim =≠=
∫∫
∞→
RR
n
n
ddf µµ

Khảo sát tính khả tích Lebesgue

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về