Một lớp các phương pháp giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
*** ***
LÊ VĂN HIỆP
MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG PHÁP
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành Lý Thuyết Tối Ưu Và Hệ Thống
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
NĂM 2009
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
*** ***
LÊ VĂN HIỆP
MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG PHÁP
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU
Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu và hệ thống
Mã số: 60 46 20
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS Trần Thị Huệ Nương
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
NĂM 2009
LỜI CÁM ƠN
Lời trước tiên trong luận văn này tôi muốn gửi lời cám ơn chân thành nh ất đến
PGS.TS Trần Thị Huệ Nương - người đã tận tình giúp đỡ và chỉ dẫn tôi rất nhiều để
hoàn tất luận văn này.
Tôi xin cám ơn Th.S Nguyễn Thành Ngọc Bảo đã hỗ trợ tôi hoàn thiện luận văn
này. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cám ơn chân thành nh ất của tôi đến với ba má và anh
chị trong gia đình đã đôn đốc và hỗ trợ về mặt tinh thần cho tôi trong quá trình th ực hiện
luận văn này.

Tôi xin cảm ơn phòng quản lý và đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học Tự
Nhiên đã tạo nhiều thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn
này.
Cuối cùng tôi xin cám ơn các b ạn khoa Toán Tin và các b ạn cao học khóa 16
chuyên ngành lý thuyết tối ưu trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, chia sẻ và
đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành tốt luận văn này.
TP.Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2009
Lê Văn Hiệp
Trang 1

MỤC LỤC
Danh mục các ký hiệu

3
Mở đầu

5
CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian

7
1.2 Các định nghĩa

7
1.3. Giới thiệu bài toán tối ưu nhiều mục tiêu

12
1.4. Các khái niệm tối ưu

13

1.4.1 Tối ưu Pareto

13
1.4.2 Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu

15
1.4.3 Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường

17
CHƯƠNG II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU
2.1 Phương pháp ràng buộc

24
2.2 Phương pháp tổng trọng số

25
2.3 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu 2 mục tiêu

26
2.3.1 Khái niệm cơ sở

26
2.3.2 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được dành cho bài toán 2 mục tiêu

28
2.4 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán tối ưu đa mục tiêu

30
2.4.1 Giới thiệu phương tổng trọng số chấp nhận được

30
2.4.2 Các khái niệm cơ sở

32
2.4.3 Các thủ tục của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục tiêu

34
2.5 Thuật toán di truyền tối ưu nhiều mục tiêu

40
2.5.1 Giới thiệu thuật toán di truyền (Genetic Algorithm)

40
2.5.2 Thuật toán di truyền

40
2.6 Thuật toán di truyền giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu

46
2.6.1 Thuật toán MOGA (Multi-Objective Genetic Algorithm)

46
2.6.2 Nghiệm ưu việt ( Elite)

48
Trang 2

2.6.3 Tập lưu trữ nghiệm ưu việt (External)

49
2.6.3.1 Thuật toán SPEA

49
2.6.3.2 Thuật toán SPEA2

50
2.6.3.3 Thuật toán NSGA (
Nondominated Sorting Genetic Algorithm )

53

2.6.3.4
Thuật toán NSGA-
II

55
2.6.4

Khoảng cách quy tụ

56
2.6.5
Thuật toán tính khoảng cách quy tụ

58

2.7 So sánh ưu điểm và khuyết điểm của các thuật toán di truyền đa mục tiêu

59

2.8. Giải bài toán với thuật toán SPEA2

60
2.9 Tính toán số

63
CHƯƠNG III ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN
TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU GIẢI BÀI TOÁN
QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ
3.1 Mô hình quản lý danh mục đầu tư

66
3.1.1 Giới thiệu danh mục đầu tư

66
3.1.2 Mô hình toán học

67
3.2 Quản lý tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch cố định

77
3.2.1 Giới thiệu mô hình

77
3.2.2 Mô hình toán học

78
3.2.3 Thuật toán di truyền dựa trên thuật toán NSGA-II

80

3.2.4 Thuật toán GA dựa trên NSGA-II và Genocop

82
3.3 Quản lý và tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch biến đổi

86
3.3.1 Giới thiệu quản lý và tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch biến đổi

86
3.3.2 Quản lý danh mục đầu tư nhiều mục tiêu

87
3.3.3 Áp dụng thuật toán di truyền vào bài toán quản lý danh mục đầu tư

90
3.3.4 Chiến lược tiến hóa

92
Kết luận

96
Tài liệu tham khảo

98
Trang 3

Danh mục các ký hiệu
f = (f
1
(x),f

2
(x)) : Vector hàm mục tiêu.
x = (x
1
,…,x
n
) : Vector biến quyết định
n
i
: Số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i
l
i
: Chiều dài của đoạn thứ i.


: Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước
C : Hệ số nhân.
P
1
, P
2
: Điểm cuối của đoạn.


: Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đền nón 



∆x


, ∆x

: Kích thước của lưới
f(x,p) : Hàm mục tiêu của vector x và vector tham số cố định p
p : Vector các tham số cố định
g(x,p) : Vector ràng buộc bất đẳng thức với tham số p
h(x,p) : Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p
,  : Vector trọng số

̅

: Hàm mục tiêu được chuẩn hóa


: Điểm utopia


: Điểm nadir

∗
: Điểm anchor thứ i
N
E
: Số lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các nghiệm không trội.
N
P
: Số lượng cá thể trong quần thể/kích thước tập P.
k : Tham số của mật độ tính toán:  =




+ 


n
u
: Số nghiệm trội hơn nghiệm
u

S
u
: Tập nghiệm trội bởi nghiệm u

P
0
, P
t
: Quần thể ban đầu và tại thế hệ thứ t

Q
t
: Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong P
t

Trang 4

F
j

: Biên chứa các nghiệm không trội. Với j=1,…,R



: Lợi nhuận khi đầu tư vào loại chứng khoán thứ i,  ∈ .


= 

= (

) : Kỳ vọng của 

.


: Phương sai của 




: Hiệp phương sai giữa 

à 

.
   : Vector giá trị kỳ vọng của 


Γ ∈ 


: Ma trận hiệp phương sai của 

.
,  : Tập các chứng khoán mà các nhà đầu tư định đầu tư vào với số vốn là C.


: Số lượng tối thiểu của loại cổ phiếu thứ j.


: Chi phí tương ứng có liên quan với loại chứng khoán thứ j


: Giá của loại chứng khoán thứ j tại thời điểm niêm yết trên sàn giao dịch.


: Giá mua thấp nhất cho loại chứng khoán j.
(

), () : Kỳ vọng về lợi nhuận của danh mục đầu tư.
() : Rủi ro của danh mục đầu tư được tính bằng phương sai .

Trang 3

Danh mục các ký hiệu
f = (f
1
(x),f
2
(x)) : Vector hàm mục tiêu.
x = (x

1
,…,x
n
) : Vector biến quyết định
n
i
: Số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i
l
i
: Chiều dài của đoạn thứ i.


: Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước
C : Hệ số nhân.
P
1
, P
2
: Điểm cuối của đoạn.


: Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đền nón 



∆x

, ∆x

: Kích thước của lưới

f(x,p) : Hàm mục tiêu của vector x và vector tham số cố định p
p : Vector các tham số cố định
g(x,p) : Vector ràng buộc bất đẳng thức với tham số p
h(x,p) : Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p
,  : Vector trọng số

̅

: Hàm mục tiêu được chuẩn hóa


: Điểm utopia


: Điểm nadir

∗
: Điểm anchor thứ i
N
E
: Số lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các nghiệm không trội.
N
P
: Số lượng cá thể trong quần thể/kích thước tập P.
k : Tham số của mật độ tính toán:  =



+ 


n
u
: Số nghiệm trội hơn nghiệm
u

S
u
: Tập nghiệm trội bởi nghiệm u

P
0
, P
t
: Quần thể ban đầu và tại thế hệ thứ t

Q
t
: Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong P
t

Trang 4

F
j

: Biên chứa các nghiệm không trội. Với j=1,…,R




: Lợi nhuận khi đầu tư vào loại chứng khoán thứ i,  ∈ .


= 

= (

) : Kỳ vọng của 

.


: Phương sai của 




: Hiệp phương sai giữa 

à 

.
   : Vector giá trị kỳ vọng của 


Γ ∈ 

: Ma trận hiệp phương sai của 

.

,  : Tập các chứng khoán mà các nhà đầu tư định đầu tư vào với số vốn là C.


: Số lượng tối thiểu của loại cổ phiếu thứ j.


: Chi phí tương ứng có liên quan với loại chứng khoán thứ j


: Giá của loại chứng khoán thứ j tại thời điểm niêm yết trên sàn giao dịch.


: Giá mua thấp nhất cho loại chứng khoán j.
(

), () : Kỳ vọng về lợi nhuận của danh mục đầu tư.
() : Rủi ro của danh mục đầu tư được tính bằng phương sai .

Trang 5

MỞ ĐẦU

Trong cuộc sống, một cá nhân, hay một tổ chức thường bị đặt vào tình huống phải lựa
chọn phương án tối ưu để giải quyết một vấn đề nào đó. Khi ấy chúng ta phải tiến hành thu
thập, phân tích và chọn lựa thông tin nhằm tìm ra một giải pháp tốt nhất để hành động. Các
phương án đề xuất ấy có thể giải quyết một hay nhiều vấn đề cùng một lúc tùy thuộc vào tình
huống và yêu cầu đặt ra của chúng ta. Trong toán học có rất nhiều lý thuyết cơ sở làm nền tảng
giúp tìm ra một phương án tối ưu để giải quyết vấn đề như: lý thuyết thống kê, lý thuyết quyết
định, lý thuyết tối ưu, vận trù học,… Do tính ưu việt và hiệu quả, tối ưu hóa nhiều mục tiêu là
một trong những lý thuyết toán học ngày càng được ứng dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực như:

kỹ thuật công nghệ, hàng không, thiết kế, tài chính,…
Tối ưu hóa nhiều mục tiêu có nghĩa là tìm phương án tốt nhất theo một nghĩa nhất định
nào đó để đạt được (cực đại hay cực tiểu) nhiều mục tiêu cùng một lúc và một phương án như
vậy thì ta gọi là phương án lý tưởng. Trong một bài toán tối ưu nhiều mục tiêu thường thì các
mục tiêu xung đột với nhau nên việc cố gắng làm “tăng” giá trị cực đại hay cực tiểu một mục
tiêu có thể sẽ làm “giảm” gía trị cực đại hay cực tiểu của các mục tiêu khác nên việc tồn tại
phương án lý tưởng là rất hiếm. Vì vậy cách tốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn tất
cả các yêu cầu các mục tiêu trong một mức độ chấp nhận được và phương án như thế gọi là
phương án thỏa hiệp của các hàm mục tiêu.
Có rất nhiều định nghĩa khác nhau đề cập đến phương án/nghiệm tối ưu như: Pareto,
Borwein, Benson, Geoffrion, Kuhn – Tucker,…Các định nghĩa này thường có sự tương quan
với nhau và chúng được biểu hiện cụ thể thông qua các định lý, mệnh đề và tính chất.
Như chúng ta đã biết một trong những cơ sở để định nghĩa về nghiệm tối ưu là quan hệ
thứ tự trong không gian nhất là quan hệ hai ngôi. Chương I trong luận văn này sẽ trình bày
những khái niệm và các vấn đề liên quan đến quan hệ thứ tự hai ngôi trong không gian, tập
hợp. Đồng thời phát biểu các dạng của bài toán tối ưu nhiều mục tiêu và giới thiệu một số khái
niệm về nghiệm tối ưu, nghiệm tối ưu chặt, yếu, nghiệm tối ưu chính thường theo định nghĩa
Pareto, Borwein, Benson, Geoffrion, Kuhn – Tucker và một số định lý để cho thấy mối liên hệ
giữa chúng.
Trang 6

Chương II là chương giới thiệu các phương pháp mới để giải bài toán tối ưu nhiều mục
tiêu bên cạnh các phương pháp thông dụng như phương pháp ràng buộc, phương pháp tổng
trọng số chúng tôi sẽ trình bày một lớp các phương pháp và thuật giải chính như sau:
Một là: Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán hai và nhiều mục tiêu.
Mục đích chính của phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được là tập trung tìm kiếm nghiệm
tối ưu trên những vùng chưa được tìm kiếm nằm trên biên Pareto bằng cách thay đổi một cách
hợp lý các trọng số, hơn là ưu tiên vào việc lựa chọn các trọng số và chỉ định các ràng buộc bất
đẳng thức bổ sung. Phương pháp này sẽ tìm được nhiều nghiệm tối ưu Pareto hơn và tìm được
nghiệm tối ưu trong miền không lồi, đồng thời bỏ qua các nghiệm non-Pareto.

Hai là: Dùng ý tưởng từ thuật toán di truyền để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bao
gồm cách thuật toán chính yếu: MOGA, SPEA2, NSGA-II. Cách thức tìm nghiệm của các
thuật toán này là từ các nghiệm được khởi tạo một cách ngẫu nhiên ban đầu qua đó thuật toán
sẽ tìm nghiệm tối ưu Pareto thông qua việc tìm biên Pareto xấp xỉ của bài toán.
Ngoài ra chương II cũng minh họa thêm hình ảnh và tính toán số trong Matlab để giải
bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bằng hai thuật toán SPEA2, NSGA-II.
Chương III sẽ trình bày nội dung ứng dụng thực tế của các thuật giải di truyền nhằm giải
quyết một dạng bài toán thực tiễn đó là bài toán lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu nhiều mục
tiêu với hai mô hình: Mô hình lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu với chi phí cố định và mô hình
lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu với chi phí biến đổi.




Trang 7

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian.
Trong Toán học, quan hệ hai ngôi là sự kết hợp hai phần tử bất kỳ trong cùng một tập
hợp hoặc với các phần tử của tập hợp khác. Quan hệ hai ngôi được sử dụng trong nhiều nhánh
khác nhau của toán học như trong số học ta có các quan hệ: lớn hơn hoặc bằng, bằng… Trong
hình học ta có các quan hệ: đồng dạng, đối xứng, song song,… Trong lý thuyết đồ thị ta có các
quan hệ: kề nhau, liên thông,...Quan hệ hai ngôi cũng được sử dụng trong khoa học máy tính,
nhất là trong các mô hình quan hệ cơ sở dữ liệu như: các quan hệ: một – nhiều, nhiều – nhiều.
Trong lý thuyết tối ưu nhiều mục tiêu quan hệ thứ tự hai ngôi có ý nghĩa rất quan trọng
trong việc đưa ra các khái niệm về nghiệm tối ưu. Thông qua các khái niệm này ta lựa chọn
nghiệm nào là nghiệm tốt nhất cho bài toán.
1.2 Các định nghĩa
Xuất phát từ khái niệm tích Đề-cát của hai tập hợp là một tập hợp các cặp có thứ tự của
hai tập hợp A, B bất kỳ.

 =
{

(
,
)
|
∈ ; ∈ }
Một cách tổng quát, một quan hệ n ngôi là một tập hợp bất kỳ của các bộ n-thứ tự từ n
tập hợp.
Chúng ta chỉ xét trường hợp đơn giản nhất là quan hệ hai ngôi trên một tập hợp. Điều
này có nghĩa là tập hợp của các cặp có thứ tự, ứng với các phần tử của mỗi cặp là thuộc cùng
một tập hợp A.
Định nghĩa 1:
Quan hệ hai ngôi trên tập A là tập hợp con R của   . Ta gọi đơn giản là quan hệ hai
ngôi.
Ký hiệu: aRb hoặc R(a,b) hoặc (a,b) ∈ R gọi là "a R-quan hệ b"
Ví dụ 1.2: xét tập hợp S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} thì quan hệ “ < ” tập hợp của các cặp có thứ
tự:
{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,3),
(
2,4
)
,
(
2,5
)
,
(
2,6

)
,
(
2,7
)
,
(
2,8
)
,
(
3,4
)
,
(
3,5
)
,
(
3,6
)
,
(
3,7
)
,(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8)}

Trang 8

Quan hệ hai ngôi R tương ứng với hàm đặc trưng



:×→ {,}
Định nghĩa 2:
Quan hệ ngược là một quan hệ 2 ngôi R:AxB được xác định bởi:


∶≡
{
(
,
)
|
(
,
)

}.
Ví dụ 1: <

= {(,) |  <} = {(,) |  >} = >.
Ví dụ 2: Nếu xét quan hệ R: “Người” x “ăn” được định nghĩa bởi:
a R b  a ăn b,
b R
−1

a  b thì được ăn bởi a
Định nghĩa 3: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên tập A, khi đó R gọi là:
i. Phản xạ nếu (a, a) ∈ R, ∀ ∈ ( hoặc là




 () )
Ví dụ 3: Các quan hệ =, `có cùng tính chất toán học’, 
<=,>=,

,

,… là phản xạ
ii. Phi phản xạ nếu
(
,
)
∉, ∀ ∈ hoặc là



 (

 )
Ví dụ 4: Quan hệ <, >, ‘có tính chất toán học khác nhau’,  là phi phản xạ.
iii. Đối xứng nếu ∀, ∈ sao cho
(
,
)
∈ ⟹
(
,
)
∈

Ví dụ 5: Quan hệ “ = ” là đối xứng.
iv. Phản xứng nếu ∀, ∈ sao cho
(
,
)
∈ ⟹
(
,
)
∉
Ví dụ 6: Quan hệ “ < ” là phản xứng.
v. Phi đối xứng nếu ∀, ∈ sao cho
(
,
)
∈ à
(
,
)
∈ ⟹ =
Ví dụ 7: các quan hệ , ,  là Phi đối xứng
vi. Bắc cầu nếu ∀,, ∈ sao cho
(
,
)
∈ à
(
,
)
∈ ⟹

(
,
)
∈
Ví dụ 8: Quan hệ “ ≥, <, >, = “ là bắc cầu.
vii. Phủ định bắc cầu nếu ∀,, ∈ sao cho
(
,
)
∉ à
(
,
)
∉
⟹
(
,
)
∉
Ví dụ 9: Nếu “ chó sói ăn cừu ” và “ cừu ăn cỏ ” nhưng “ sói không ăn cỏ ” thì quan
hệ “ ăn ” là phủ định và bắc cầu
viii. Phản bắc cầu nếu: ∀,,∶ 
⋀
⟹ ¬
Trang 9

Ví dụ 10: Nếu “ A quen B “ và “ B quen C “ nhưng “ A chưa chắc quen C “ thì quan hệ
“quen” là phản bắc cầu
ix. Liên hợp nếu ∀,∈ sao cho ≠ ⟹
(

,
)
∈ hoặc
(
,
)
∈
Ví dụ 11: cho A = là tập các số chẳn. thì quan hệ chia hết là liên hợp.
x. Liên hợp mạnh nếu ∀,∈ ⟹
(
,
)
∈ hoặc
(
,
)
∈
Ví dụ 12 : Cho A = N. Thì quan hệ >, <,…là liên hợp mạnh.
Định lý 4: R là đối xứng khi và chỉ khi R = R
−1
,
Chứng minh:
 Giả sử R là đối xứng. Thì:
(x,y)  R  (y,x)  R  (x,y)  R
−1

 Giả sử R = R
−1
Thì:
(x,y)  R  (x,y)  R

−1
 (y,x)  R
Định nghĩa 5: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên A khi đó:
i. R được gọi là quan hệ tương đương nếu R có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc
cầu.
ii. R được gọi là tiền thứ tự nếu R có tính chất phản xạ và bắc cầu.
Ví dụ 13: =; “các tập tương đương”; “chia hết”; mod…
Trong trường hợp quan hệ R là tiền thứ tự thì cặp (A,R) được gọi là tập tiền thứ tự.

Để tiện ta thay đổi quan hệ R là ≼ . Do đó ta quy ước viết:
≼ thay cho (a, b) ∈ ≼
⋠ thay cho (a, b) ∉ ≼
với bất kỳ một quan hệ ≼ là tiền thứ tự nào thì cũng có quan 2 quan hệ khác mà ta định nghĩa
chúng như sau:
≺ ⟺ ≺ à ≰ (1.9)
 ~  ⟺ ≼ à ≼ (1.10)
Mệnh đề 6: Cho ≼ là một tiền thứ tự trên tập A. Khi đó:
 Quan hệ ≺ định nghĩa trong (1.9) là phi phản xạ và bắc cầu.
 Quan hệ ~ định nghĩa trong (1.10) là quan hệ tương đương.
Trang 10

Mệnh đề 7:
 Một quan hệ hai ngôi phản xứng là phi phản xạ.
 Một quan hệ hai ngôi bắc cầu và phi phản xạ là phản xứng.
Định nghĩa 8: Một quan hệ hai ngôi ≼ trên A là:
 Tiền thứ tự tổng quát nếu ≼ là phản xạ, bắc cầu và liên hợp.
 Thứ tự tổng quát nếu ≼ là tiền thứ tự tổng quát phi đối xứng. Như quan hệ ≤
đối với số nguyên là thứ tự tổng quát.
 Thứ tự yếu chặt nếu ≼ là phản xứng và phủ định bắc cầu.
Mệnh đề 9:

Nếu ≼ là tiền thứ tự tổng quát trên A, khi đó quan hệ ≺là thứ tự yếu chặt. Nếu ≺ là
thứ tự yếu chặt trên A, khi đó ≼ định nghĩa bởi:
≼ ⟺ ≺ hoặc ( ⊀ và  ⊀ ) (1.11)
là tiền thứ tự tổng.
Định nghĩa 10:
Quan hệ hai ngôi ≼ được gọi là thứ tự từng phần nếu là phản xạ, bắc cầu và phi đối
xứng.
Định nghĩa 11:
Quan hệ hai ngôi ≼ được gọi là thứ tự từng phần chặt nếu ≼ là phản xứng và bắc cầu ( hoặc
≼ là phi phản xạ và bắc cầu )
Trong luận văn này chúng ta sử dụng quan hệ thứ tự trên không gian Euclid_R
n
.
Khi đó ta có một số thứ tự trên R
n
.

Kí hiệu Định nghĩa Tên gọi
≤
 <
≪
≤


≤


Nếu 

≤


với i= 1,..,n
Nếu 

≤

với i= 1,..,n; ≠
Nếu 

<

với i= 1,..,n
Nếu 

<

hoặc x = y
Nếu max
,…,
{

}≤ max
,…,
{

}
Thứ tự từng phần yếu
Thứ tự từng phần
Thứ tự từng phần chặt
Thứ tự tự điển

Max_thứ tự.



Trang 11

Định nghĩa 12: Một tập con ⊆ 

được gọi là nón nếu:
∈ với mọi ∈ và ∈,  > 0
Ví dụ 14: K = 


=
{
∈


|


≥ 0, = 1,2} là nón.
Định nghĩa 13: Nón k trong R
n
gọi là:
 Không tầm thường nếu ≠∅ và ≠


 Lồi nếu 


+(1−

)∈ với mọi 

,

∈ và 0 < < 1
 Nhọn nếu

∩
(
−
)
⊂ {0}
Mệnh đề 14: Cho một quan hệ thứ tự ≼ trên 

, ta định nghĩa tập:

≼
=
{
−
|
≼}
Khi đó 
≼
là nón.
Chứng minh:
Cho ∈
≼

khi đó: u = y – x với ,∈


⟹≼⟹ ≼ với  > 0

Do đó:  =
(
−
)
=−∈
≼
với  > 0

Định lý 15: Cho ≼ một quan hệ 2 ngôi trên 

là phép nhân vô hướng. Khi đó:
i. 0∈
≼
nếu ≼ là Phản xạ
ii. 
≼
lồi nếu ≼ là Bắc cầu
iii. 
≼
nhọn nếu ≼ là Phi đối xứng
Chứng minh:
(i): Giả sử quan hệ: ≼ là Phản xạ
Khi đó: ≼ với ∈

⟹− =0∈

≼

(ii): Giả sử quan hệ ≼ là Bắc cầu và Cho ,∈
≼

Nên: −0∈
≼
và 0−∈−
≼

Điều này có nghĩa là: 0≼ và −≼ 0 .Mà ≼ là Bắc cầu ⟹−≼
Do đó: − = +∈ tức là K lồi
(iii): Giả sử ta có 0≠∈
≼
.
Thì  =−∈
≼
và – =−∈
≼
với ,∈


Do 0≠ nên ≼ và ≼ nhưng ≠. Điều này vô lý.
Trang 12

Định nghĩa 16: Cho K là nón. Ta định nghĩa thứ tự theo nón ≼

là:
≼


⟺−∈

(1.12)
Mệnh đề 17: Cho K là nón và thứ tự theo nón ≼

trong (1.12) là phép nhân vô hướng và cộng
trong R
n
. Hơn nữa:
1. ≼

là phản xạ nếu 0∈
2. ≼

là bắc cầu nếu K lồi
3. ≼

là phi đối xứng nếu K nhọn
Chứng minh:
Cho ,,∈

và 0 <∈ với ≼

 Ta có: −∈
Do K là nón nên: 
(
−
)
∈


 ≼


Và ≼

 nghĩa là: − =
(
+
)
−(+)
Do đó:
(
+
)
≼

(+)
(1). Cho ∈

. Khi đó − = 0∈⟺ ≼


(2). Cho ≼

 và ≼

 khi đó : −∈ và −∈
Do K lồi nên: −+− =−∈

 ≼



(3). Cho ,∈

với ≼

 và ≼

 . Khi đó ta có:
−∈ và −∈. −∈
(
−
)
= {0}. Do đó: y = x

1.3 Giới thiệu bài toán tối ưu nhiều mục tiêu:
Có rất nhiều lớp khác nhau để biểu diễn cho bài toán tối ưu nhiều mục tiêu. Trong phạm
vi luận văn này ta sẽ biểu diễn bài toán tối ưu nhiều mục tiêu dưới dạng sau:

{


(

)
,…,

(

)

}
(P

)
Sao cho: ∈
Trong đó:
 x là biến quyết định.
 =
{
∈ R


|


(

)
≤ 0; ℎ

(

)
= 0 với  = 1,…, < } là không gian quyết định.
 f
i
: R
n
 R với i = 1,…, k là các hàm mục tiêu.

Đặt: Y = { y = (

(

)
,…,

(

)
)  R

} là không gian hàm mục tiêu.

Trang 13

HÌNH 2
Định nghĩa 18: Một nghiệm 
∗
∈ của bài toán (P
1
) được gọi là nghiệm lý tưởng nếu:


(

∗
)
≤


(

)
∀∈ ,  = {1,…}
Nói một cách khác một nghiệm lý tưởng là một nghiệm mà nó phải thỏa mãn tất cả các hàm
mục tiêu cần tối ưu ứng với miền chấp nhận được là X. Thực tế thì những nghiệm như vậy rất
ít khi tồn tại. Nên ta đưa ra một số khái niệm khác về tối ưu có vẻ “mềm dẻo” hơn đó là
nghiệm tối ưu Pareto.
Định nghĩa 19: Một nghiệm  = (

,

,…,

) được gọi là trội hơn nghiệm  =
(

,

,…,

) ký hiệu là: ≤ , nếu:



(

)
≤


(

)
 ∈
{
1,…,
}
∃  ∈
{
1,…,
}


(

)
<

()


Định nghĩa 20:  =
(


,

,…,

)

được gọi là nghiệm không trội hơn nghiệm
 =
(


,

,…,

)
nếu:
∀∈, ∄∈  ℎ: ≻


1.4 Các khái niệm tối ưu.
1.4.1 Tối ưu Pareto:
Định nghĩa 21:
Một điểm 
∗
∈ được gọi là một nghiệm tối ưu Pareto nếu không tồn tại một nghiệm
≠
∗
∈ sao cho x trội hơn 
∗
. Nghĩa là: 
(

)
<(
∗

)

KHÔNG GIAN QUYẾT ĐỊNH
KHÔNG GIAN MỤC TIÊU
Trang 14

Tính chất 22:
1. Nếu x
*
là nghiệm tối ưu Pareto thì (
∗
) gọi là điểm hữu hiệu
2. Nếu 

, 

∈ và 
(


)
≤ (

) thì ta gọi x
1
trội hơn x
2
và 
(



)
trội hơn
(

)
3. Tập tất cả các nghiệm tối ưu Pareto 
∗
∈ và tập các điểm hữu hiệu.
 =(
∗
)∈ lần lượt là: 


và 


Định nghĩa 23: Các định nghĩa tương đương khác. x
*
là nghiệm tối ưu Pareto nếu:
1. Không tồn tại một nghiệm ∈ sao cho: f(x) trội hơn f(x
*
)
2. Không tồn tại một nghiệm ∈ sao cho: 
(

)
−
(


∗
)
∈−


\ {0}
3. 
(

)
−
(

∗
)
∈

\{−


\ {0}} ∀∈
4. 
(

)
∩
(

(


∗
)
−

)
={
(

∗
)
}
5. Không tồn tại ()∈
(

)
\{
(

∗
)
} sao cho:

(

)
∈
(

∗
)

−



6. 
(

)
≤
(

∗
)
với ∈ nghĩa là: 
(

)
=
(

∗
)

1.4.2 Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu.
Hình 3a Minh hoạ cho định
nghĩa: 1, 4 và 5
Hình 3b Minh hoạ cho định
nghĩa: 2 và 3
(
∗
)
()
()
(
∗
−


)






−




(


)
−
(

∗
)

(
∗
)

Trang 15

Định nghĩa 24:
Nghiệm 
∗
∈ được gọi là một nghiệm tối ưu yếu Pareto nếu không tồn tại một
nghiệm ∈ sao cho:

(

)
≪
(

∗
)
 = {1,…}
Khi đó: Điểm  =
(


∗
)
∈ gọi là điểm hữu hiệu yếu.
Tập nghiệm tối ưu Pareto yếu và tập các điểm hữu hiệu yếu lần lượt ký hiệu là:



và 


Định nghĩa 25:
Nghiệm 
∗
∈ được gọi là một nghiệm tối ưu chặt Pareto nếu không tồn tại một
nghiệm ∈ và ≠
∗
sao cho: 
(

)
≤
(

∗
)
.
Khi đó: Tập nghiệm tối ưu Pareto chặt ký hiệu là:



Từ định nghĩa ta nhận xét rằng:
 

⊂ 


 

⊂ 

⊂ 


Định nghĩa 26: Cho ⊂

, một ánh xạ :→ và ̅∈. ℎ đó:
i. 

(
(

)
)
=
{
∈
|

(


)
≤(

)} được gọi là tập mức của  tại 


ii. 

(
(

)
)
=
{
∈
|

(

)
=(

)} được gọi là mặt mức của  tại 


iii. 

(

(

)
)
=

(
(

)
)
\

(
(

)
)
=
{
∈
|

(

)
<(

)} được gọi là tập mức
chặt của  tại 


.
Nhận xét: Từ định nghĩa ta nhận thấy: 

(
(

)
)
⊂

(
(

)
)

Định lý 27: Cho 
∗
∈ và định nghĩa 

=

(
∗
) khi đó:
i. 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto chặt nếu và chỉ nếu:




(




) = {
∗
}
ii. 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto nếu và chỉ nếu:



(




) =



(





)
Trang 16

iii. 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto yếu nếu và chỉ nếu:



(




) =∅
Chứng minh:
(1): “ 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto chặt ”
không tồn tại một nghiệm ∈ và ≠
∗
sao cho: 
(

)
≤
(

∗
)

.
không tồn tại một nghiệm ∈ và ≠
∗
sao cho:


(

)
<

(

∗
)
với  = 1,


không tồn tại một nghiệm ∈ và ≠
∗
sao cho:
∈

(




)

⟺



(




) ={
∗
}
(2): ” 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto: “
không tồn tại một nghiệm ∈ sao cho:


(

)
<

(

∗
)
với  = 1,

và 


(

)
<

(

∗
)
với j = {1,…,k}
không tồn tại một nghiệm ∈ sao cho:
∈



(




) và ∈ 



 với  = {1,…,}
⟺




(




) =



(




)
(3):” 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto yếu”
không tồn tại một nghiệm ∈ sao cho: 

(

)
<

(

∗
)
với  =1,k



không tồn tại một nghiệm ∈ sao cho:
Trang 17

∈

(




)
⟺



(




) =∅
1.4.3 Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường.
Theo định nghĩa tối ưu Pareto ta nhận thấy rằng nếu 
∗
là một nghiệm tối ưu Pareto thì
nó không cho phép cải thiện giá trị của một hàm mục tiêu trong khi vẫn duy trì giá trị của các
hàm mục tiêu khác. Do đó để cải thiện một hay nhiều giá trị của hàm mục tiêu này ta buộc phải
làm “giảm” giá trị của các hàm mục tiêu khác đã được chấp nhận mà ta gọi đây là sự thỏa hiệp.

Sự thỏa hiệp giữa các tiêu chuẩn này được đo bằng cách tính toán việc giảm giá trị của hàm
mục tiêu 

trên đơn vị tăng về mặt giá trị của hàm mục tiêu 

.
Định nghĩa 28: (Geoffrion 1986)

∗
∈ được gọi là tối ưu Pareto chính thường theo Geoffrion nếu 
∗
là nghiệm tối ưu
Pareto và nếu có một số M > 0 sao cho: mỗi  à ∀ ∈ thỏa mãn 

(

)
<

(

∗
)
và tồn
tại một chỉ số j sao cho 

(

∗
)

<

(

)
. Hơn nữa:


(

∗
)
−

(

)


(

)
−

(

∗
)
≤
Khi đó giá trị hàm mục tiêu đạt được tương ứng tại 

∗
là: 
∗
=
(

∗
)
gọi là điểm hữu hiệu
chính thường.
Nhận xét: Một nghiệm tối ưu Pareto chính thường có biên thỏa hiệp giữa tất cả các hàm mục
tiêu.
Ta xét bài toán lồi sau đây:
min
∈






(

)
(

)
Thì (

) gọi là bài toán trọng tổng số.

Trong đó: 

với  = 1,…,

là các trọng số không âm đối với các hàm mục tiêu và




= 1
Trang 18

Định lý 29 (Geoffrion 1968):
Cho 

>0 với  = 1,…, với
∑




= 1. Nếu 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto của bài
toán (

) khi đó 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto chính thường.
Chứng minh:

Cho 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto của bài toán (

). Để thấy rằng 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto ta
giả sử rằng tồn tại 

∈ với 
(


)
<
(

∗
)


>0 với  = 1,…, và 

(


)
−

(


∗
)


hàm ý sự mâu thuẫn rằng:






(


)
<





(

∗
)

Để thấy rằng 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto chính thường, ta chọn một số M thích hợp sao cho

có một sự thỏa hiệp lớn hơn M dẫn đến sự mâu thuẫn vối tính tối ưu của 
∗
đối với bài toán
tổng trọng số. Cho
 = (−1)max
,





Giả sử 
∗
không là nghiệm tối ưu Pareto chính thường. Tức là tồn tại một i và ∈ sao cho


(

∗
)
<

(

)
và 

(

∗

)
−

(

)
>

(

)
−

(

∗
)
 ∀ sao cho:


(

∗
)
<

(

)

Do đó: 

(

∗
)
−

(

)
>







(

)
−

(

∗
)
 ≠ bằng cách chọn M.
Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với




rồi sau đó lấy tổng hai vế ta được:



−1



(

∗
)
−

(

)
>



(

)
−

(


∗
)




⟹ 



(

∗
)
−

(

)
>



(

)
−




(

∗
)



⟹ 



(

∗
)
+



(

∗
)

>



(


)
+



(

)


Trang 19





(

∗
)
>






(


)



Điều này mâu thuẫn với tính tối ưu của 
∗
đối với bài toán (∗). Do đó giả sử của chúng ta là
sai và 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto chính thường.
Định lý 30: Cho ⊂

là một tập lồi và giả sử rằng ℎ

: 

⟶ là hàm lồi,  = 1,k

. Khi
đó bất đẳng thức ℎ

< 0 với  = 1,k

không có nghiệm ∈ , tồn tại


> 0 sao cho
∑





=1 và ∀∈ thỏa mãn:




ℎ

(

)
≥ 0
Định lý 31 (Geoffrion 1968):
Cho ⊂

là một tập lồi và giả sử rằng 

: ⟶ là ánh xạ lồi. Khi đó 
∗
∈ là
nghiệm tối ưu Pareto chính thường nếu và chỉ nếu 
∗
là nghiệm tối ưu đối với bài toán (∗) với
.

> 0 với  = 1,k


Chứng minh:

Do định lý 30 chúng ta chỉ cần chứng minh điều kiện cần của định lý này là đủ.
Cho 
∗
là nghiệm tối ưu Pareto chính thường. Nghĩa là có một số M > 0 sao cho:
∀ = 1,k

thì hai bất đẳng thức sau không có nghiệm:



(

)
≤

(

∗
)


(

∗
)
−

(

)



(

)
−

(

∗
)
≤⟺

(

)
+

(

)
<

(

∗
)
+

(


∗
)
∀≠

Tính chất của hàm lồi mà chúng ta phát biểu trong định lý 31 trên nghĩa là đối với hai bất đẳng
thức thứ i như vậy, tồn tại 


≥0,  = 1,k

với
∑




= 1 sao cho ∀ ∈ ta được:





(

)
+





(

)
+

()

≥




(

∗
)
+




(

∗
)
+

(
∗

)


Trang 20

⟹




(

)
+





(

)
+





(


)
≥




(

∗
)
+





(

∗
)
+





(

∗
)

⟹ 




()


+





(

)
≥




(
∗
)


+






(

∗
)

⟺ 

(

)
+





(

)
≥

(

∗
)
+






(

∗
)

Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức trên với biến chạy là i ta được:


()


+





(

)


≥

(
∗

)


+





(

∗
)



⟹ 1+








(

)
≥1+









(

∗
)

∀ ∈ .Chúng ta chuẩn hóa giá trị 1+
∑




, để ta lấy tổng đến 1 và có 


>
0 với  = 1,k

với 
∗
là nghiệm tối ưu của bài toán (∗)
Định nghĩa 32: Cho ⊂

và ∈, khi đó:

1. Nón tiếp xúc của Y tại y là:


(

)
=
{
∈


|
∃
(


)
⊂  ℎ
(


→
)
và 

(


−
)

→}
2. Bao của nón Y là:

(

)
=
{

|
≥ 0, ∈} =




Định nghĩa 33 (Borwein 1977):
Nghiệm ∈ được gọi là nghiệm tối ưu Pareto chính thường nếu:




(
(

)
)∩
(
−



)
= {0}
Định nghĩa 34 (Benson 1979):
Nghiệm ∈ được gọi là nghiệm tối ưu Pareto chính thường nếu:
(+


−
(

)
∩
(
−


)
= {0}