BÀI 5 CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG doc

Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Bài 5
Chuỗi thời gian không dừng

1. đặt vấn đề
Từ đầu những năm 1980, một số trào lu phát triển
kinh tế lợng đã có ảnh hởng sâu sắc đến vấn đề ứng
dụng kinh tế lợng trong thực tiễn. Những phơng pháp
mới đợc các nhà kinh tế lợng quan tâm nhiều nhất đã
tạo nên một cuộc cách mạng trong lĩnh vực mô hình hoá,
đặc biệt trong các lớp mô hình cân bằng và mô hình
động. Bài này sẽ trình bày những phơng pháp đó. Ta sẽ
bắt đầu bằng việc phân tích kỹ hơn các đặc tính thống
kê của các chuỗi số liệu sử dụng trong các mô hình kinh
tế lợng. Tính chất của chuỗi số liệu này có ý nghĩa
quan trọng trong việc mô hình hóa mối quan hệ cân
bằng.
Trong các mô hình hồi quy cổ điển ta luôn giả thiết
các sai số ngẫu nhiên thoả mãn các điều kiện sau:
+ Có kỳ vọng toán bằng không,
+ phơng sai đồng đều,
+ Không tơng quan với nhau.
Đây là trờng hợp riêng của chuỗi dừng. Trong thực
tế đối với khá nhiều chuỗi thời gian các giả thiết trên có
thể bị vi phạm.

Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
2. Chuỗi thống kê 'dừng' và 'không dừng'
Chuỗi thời gian ( time series) có thể coi nh đợc tạo
bởi tập hợp các biến ngẫu nhiên sắp xếp theo trình tự
thời gian (đợc gọi là một quá trình ngẫu nhiên -
Stochastic or Random process). Chuỗi quan sát X
t
, t = 1,
2 N, trong đó, mỗi quan sát ứng với một thời điểm có
thể coi là 1 điểm ghi nhận của quá trình ngẫu nhiên tạo
nên cơ sở số liệu đó. Chuỗi thời gian X
t
đợc coi là dừng
yếu' nếu thoả mãn 3 điều kiện sau đây:
- Kỳ vọng toán không đổi theo thời gian E[X
t
] = ;
- Phơng sai không đổi theo thời gian,var (X
t
) = E[X
t
- ]
2
=
2
;
- Tơng quan giữa các số liệu chỉ phụ thuộc vào khoảng

thời gian quan sát giữa 2 giá trị mà không phụ thuộc
vào vị trí của khoảng thời gian đó, tức là:
cov (X
t
,X
t+k
) = E[(X
t
-

)( X
t+k
-

)] =

k
Ví dụ: cov (X
1
, X
3
) = cov (X
11
, X
13
) = cov (X
26
, X
27
); nghĩa

là tơng quan chỉ phụ thuộc và k mà không vào t.
Nếu một trong 3 tiêu chuẩn trên bị vi phạm thì chuỗi
X
t
đợc gọi là không dừng'.
Nh vậy
k
là hiệp phơng sai của X giữa hai thời
điểm t và t+k. Nếu k=0 thì
0
chính là phơng sai Var(X
t
).
Vì vậy

k


k
=

0
chính là hệ số tự tơng quan giữa X
t
và X
t+k
.


Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Nếu xét các hệ số tự tơng quan
k
theo độ dài của trễ
k ta sẽ thu đợc một hàm gọi là hàm tự tơng quan
( Autocorrelation function- ACF). Nh vậy tại điểm trễ k
ta có:
ACF(k) =
k
=
k
/
0
= Cov(X
t
, X
t+k
)/ Var(X
t
)
Chú ý rằng nếu k = 0 thì
0
= 1.

k
không có đơn vị đo và luôn thoả mãn điều kiện:
-1
k
1.

Ví dụ: Tệp số liệu ch12bt20 gồm các biến GDP, PDI
( thu nhập sau thuế), PCE ( tiêu dùng cá nhân),
PROFIT (lãi sau thuế) và DIVIDENT ( lợi tức ròng) của
Mỹ từ quý 1-1970 quý 4-1991 quy đổi theo giá 1987.
Hãy vẽ đồ thị của các biến trên theo thời gian và
nhận xét về tính dừng của chúng.
Các đồ thị đều cho thấy là các chuỗi thời gian trên
đều là không dừng.

3. Một số quá trình ngẫu nhiên giản đơn
3.1. Nhiễu trắng ( White noise).
Khái niệm nhiễu trắng đợc dùng để mô tả một quá
trình hoàn toàn ngẫu nhiên. Xét chuỗi:
X
t
= U
t
~ iid (0,
2
)
Điều đó có nghĩa: chuỗi của ta là một tập hợp các biến
ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với:
Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
- Kỳ vọng toán bằng 0, không phụ thuộc vào thờì
gian t .
- Phơng sai

2
cũng có giá trị không đổi
- Hiệp phơng sai cov (X
t
, X
t+k
) = 0

k

0
Cả 3 tính chất trên đều đợc thoả mãn do đó chuỗi
này dừng'.



Hình 1: "Nhiễu trắng" - Đồ thị phần d trong phơng trình hồi quy cổ điển
-2
-1
0
1
2
3
60 65 70 75 80 85
Y Residuals

3.2: Quá trình tự hồi quy ( Autoregressiv process-AR).
Xét mô hình tự hồi quy bậc 1 sau đây :
X
t

=

X
t-1
+

t

Trong đó -1 < < 1 và

t
là nhiễu trắng, tức là


t
~ iid (0,
2
).
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Ví dụ: nếu

=0.6 thì giá trị X
t
sẽ bằng 0.6 nhân với
giá trị X tại thời điểm trớc đó cộng với phần d
ngẫu nhiên,

t

.
Trong mục trớc ta đã biết hiện tợng nhiễu trắng
là dừng'. Để xác nhận X
t
có dừng hay không ta hãy biểu
diễn X
t
dới dạng

t
và xem xét kết quả. Có thể chứng
minh đợc rằng:
E(X
t
) =
t
E(X
0
)
Var(X
t
) =

2
(

2(t-1)
+

2(t-2)

+ . . . +

2
+ 1)
Cov(X
t
, X
t-k
) =
k
Var(X
t
)
Do đó, AR(1) là một quá trình dừng nếu -1 1.
Trờng hợp chung, quá trình tự hồi quy bậc p - AR(p)
có dạng:
X
t
=
0
+
1
X
t-1
+
2
X
t-2
+ . . . +
p

X
t-p
+ u
t

Sẽ là dừng nếu -1
j
1 j.
Hình 2 biểu diễn quan sát của quá trình AR(1) X
t
=
0,6X
t-1
+

t
trong đó X nhận các giá trị bắt đầu từ quan
sát X
0
= 1.
Hình 2: Dừng AR(1)

Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

3. 3: Bớc ngẫu nhiên (
Random walk
).
Xét quan hệ: X

t
= X
t-1
+

t
Trong đó, cũng nh trớc,

t
là sai số ngẫu nhiên

t
~ iid (0,
2
), giá trị đầu tiên của X tại thời điểm t = 0, X
0

đã xác định. Đây là hiện tợng rất quan trọng trong
kinh tế tài chính và ngày càng đợc sử dụng phổ biến để
mô tả đặc tính của chỉ số chứng khoán. Giá một chứng
khoán hôm nay sẽ bằng giá ngày hôm trớc cộng thêm
sai số ngẫu nhiên. Bớc ngẫu nhiên có thể coi là một
trờng hợp đặc biệt của AR(1), trong đó = 1

Để xác định rõ bớc ngẫu nhiên có dừng hay không
dừng, ta biểu diễn giá trị trung bình của nó dới dạng

s

và

ớc lợng kết quả. Với giá trị đầu tiên là X
0
, chuỗi số
gồm các giá trị sau:
X
0

X
1
= X
0
+

1

X
2
= X
1
+

2
= X
0
+

1
+

2

X
3
= X
2
+

3
= X
0
+

1
+

2
+

3

X
t
= X
0
+

1
+

2
+

t
t
X
t
= X
0
+



i

t = 1
Đối với một bớc ngẫu nhiên:
a. Giá trị trung bình của chuỗi không đổi:


E [X
t
] = E [X
0
] + E[
i
] = X
0
Vì giá trị ban đầu của X
0

là 1 số đã xác định nên nhiễu
trắng có giá trị trung bình là hằng số.
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
b. Var (X
t
) = var (X
0
+

I
) = var (X
0
) + var (

I
)


Vì X
0
đã cho, var (X
0
) = 0
Đồng thời:

I
=

1
+

2
+

t

Do đó: Var (X
t
)= var (

1
+

2
+

t
) = t
2

Vì Var(X
t
) không phải là hằng số mà biến đổi theo t,
bớc ngẫu nhiên là một chuỗi 'không dừng'. Tuy nhiên,
cho một bớc ngẫu nhiên:
X
t
= X

t-1
+

t
Ta có :

X
t
= X
t
- X
t-1
=

t
Bởi vì

t
dừng, sai phân cấp 1 của một bớc ngẫu nhiên là
dừng.
Hình 3: Bớc ngẫu nhiên







Hình 3 biểu diễn 250 quan sát của một hiện tợng
bớc ngẫu nhiên, X

t
= X
t-1
+

t
với giá trị đầu tiên X
0
= 0.
So sánh Hình 3 với Hình 1 và Hình 2. Lu ý sự khác biệt
về bản chất giữa bớc ngẫu nhiên không dừng' với
nhiễu trắng dừng' và hiện tợng AR(1). Giá trị trung bình
của bớc ngẫu nhiên là giá trị ban đầu của nó (X
0
=0),
nhng lu ý khoảng giá trị của X. Dãy bớc ngẫu nhiên
chạy rất xa khỏi giá trị trung bình của nó.

Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

3.4: Bớc ngẫu nhiên lệch (
Random Walk with Drift
).
Bây giờ chúng ta xét mô hình sau:
X
t
= a
0

+ X
t-1
+

t
Trong đó:

t
~ iid (0,
2
) và giá trị ban đầu của X
0
xác
định. Mô hình này khác với mô hình trớc ở chỗ đa vào
thêm một hằng số a
0
. áp dụng cách biến đổi nh đã làm
với ví dụ trớc, ta có thể tìm ra giá trị trung bình và
phơng sai của X
t
.

Với giá trị ban đầu X
0
, chuỗi số tiến triển nh sau:
X
0

X
1

= a
0
+ X
0
+

1

X
2
= a
0
+ X
1
+

2
= a
0
+ a
0
+ X
0
+

1
+

2

X
3
= a
0
+ X
2
+

3
= a
0
+ a
0
+ a
0
+ X
0
+

1
+

2
+

3

X
t

= ta
0
+ X
0
+

1
+

2
+

t
X
t
= ta
0
+ X
0
+

i

E[X
t
] = ta
0
+ X
0

Tơng tự, có thể chỉ ra rằng var (X
t
) = t
2
.

Giá trị trung bình không phải hằng số mà thay đổi
theo t.
Phơng sai cũng thay đổi theo t.
Nh vậy, bớc ngẫu nhiên lệch là chuỗi 'không dừng'
vì giá trị trung bình và phơng sai không phải là hằng
số. Lu ý rằng, phơng trình biểu diễn giá trị trung
bình gồm cả số hạng ta
0
, đó

là đờng thẳng xác định
bởi thay đổi của giá trị X
t
. Tuy nhiên, với Bớc ngẫu
nhiên 'lệch' đã cho:
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
X
1
= a
0
+ X
0

+

1

Trừ cả 2 vế cho X
t-1
, ta có :

X
t
= X
t
- X
t-1
= a
0
+

t
Bởi vì a
0
+

t
là dừng, sai phân cấp 1 của Bớc ngẫu
nhiên là chuỗi dừng.

Trong Hình 4 minh hoạ 250 quan sát của Bớc ngẫu
nhiên 'lệch'.
X

1
= 0,6 + X
0
+

1
Với giá trị ban đầu X
0
= 0. Đờng xu hớng thể hiện
rất rõ và Bớc ngẫu nhiên 'lệch' biểu diễn trong Hình 4 rất
khác với đờng biểu diễn Bớc ngẫu nhiên trong Hình 3.
Tuy nhiên, trong thực tế, rất khó có thể phân biệt 2 hiện
tợng trên. Đối với những mẫu nhỏ, nếu nh phơng sai
của chuỗi nhiễu trắng lớn và thành phần xác định 'lệch' a
0

mà nhỏ thì chuỗi số liệu của 2 mô hình trên nhìn khá tơng
tự.
Hình 4: Bớc ngẫu nhiên 'lệch'



Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
3.5. Quá trình trung bình trợt ( Moving Average).
Chuỗi X
t
gọi là quá trình trung bình trợt bậc q -
MA(q) nếu X

t
có dạng:
X
t
=
t
+
1

t-1
+ +
q

t-q
t = 1,2, ,n
Trong đó
t
là nhiễu trắng.
Có thể chỉ ra rằng:
E( X
t
) = 0
Var(X
t
) =
2
( 1 +
1
2
+ +

q
2
)

k
= cov ( X
t
, X
t+k
) =
2

i

i+k
nếu k q
và = 0 nếu k q

0
= 1
Quá trình trung bình trợt sẽ dừng nếu -1
i
1 I


4. Chuỗi không dừng và mô hình hồi quy cổ điển
Một trong các giả thiết của OLS là các biến giải thích
là phi ngẫu nhiên, chúng có giá trị xác định. Nếu trong
mô hình chuỗi thời gian mà biến giải thích lại không
dừng thì giả thiết của OLS bị vi phạm. Nói cách khác

OLS không áp dụng đợc với các chuỗi không dừng.
Một vấn đề khác liên quan đến tính không dừng là là
vấn đề tơng quan giả tạo ( Spurious correlation). Nếu
nh mô hình có ít nhất một biến giải thích không dừng
và chứa đựng một xu thế tăng ( hoặc giảm) đồng thời
biến phụ thuộc cũng chứa đựng một xu thế nh vậy thì
khi uoc lợng có thể thu đợc các uoc lợng có ý nghĩa
thống kê cao và R
2
cao song đó chỉ là giả tạo vì cả hai
biến đều có cùng xu thế.
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Xét mô hình:
Y
t
=
1
+
2
X
t
+ u
t

Trong đó cả Y
t
và X
t

đều không dừng. Nếu Y
t
và X
t
là
dừng và ta ớc lợng mô hình:
Y
t
= Y
t
- Y
t-1
=
1
+
2
X
t
+ u
t
-
1
-
2
X
t-1
- u
t-1

Y

t
=
2
X
t
+ v
t
(*)
Lúc đó mô hình trên có thể nảy sinh hai vấn đề:
+ v
t
có tự tơng quan,
+ Mô hình chỉ đánh giá đợc ảnh hởng trực tiếp
trong ngắn hạn giữa Y và X mà bỏ qua thông tin dài
hạn.
Vì: Với mỗi X giá trị cân bằng của Y là
1
+
2
X. ở cuối
kỳ t-1 có thể xảy ra ba trờng hợp:
a. Y
t-1
=
1
+
2
X
t-1

b. Y
t-1

1
+
2
X
t-1

c. Y
t-1

1
+
2
X
t-1

Nh vậy mô hình (*) chỉ đúng khi cả ở kỳ t và t-1 đều
có quan hệ cân bằng ( mô hình đúng với cả t và t-1).
Nếu xảy ra các trờng hợp b và c thì thay đổi của Y ở
thời kỳ t sẽ lớn hơn ( nhỏ hơn) Y.
Nh vậy sự thay đổi của Y ở thời kỳ t không chỉ phụ
thuộc vào sự thay đổi của X ở thời kỳ đó mà còn phụ
thuộc vào quan hệ của Y và X ở thời kỳ t-1, đặc biệt là
mức độ cân bằng của X và Y ở thời kỳ t-1.
Nh vậy phơng trình sai phân chỉ phản ánh quan
hệ ngắn hạn mà bỏ qua quan hệ dài hạn giữa Y và X.

Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
5.Kiểm định tính dừng dựa trên lợc đồ tự tơng quan
( Correlogram)
Một trong những đặc trng rất cơ bản đối với m
ột chuỗi
dừng, nh đã nói ở trên, là tơng quan theo k thời gian

không đổi.

Xét chuỗi thời gian Y
t.
Để kiểm định đặc trng này,
một trong các kiểm định đơn giản là kiểm định dựa trên
hàm tự tơng quan
k
(autocorrelation function).
AFC(k) =
k
=
o
k



Nếu k = 0, ta có
0
= 1; k ta đều có -1
k
1. Nếu

chúng ta vẽ đồ thị của
k
đối với k, đồ thị gọi đợc lợc
đồ tơng quan tổng thể. Tuy nhiên, trên thực tế, chúng ta
cha có tổng thể, mà chỉ có một mẫu mà thôi. Vì vậy,
chúng ta có thể dựa vào hàm tự tơng quan mẫu
0
k








k

trong đó: Cov(Y
t
,Y
t+k
) =
n
YYY
kt
k

))((Y


t


Var(Y
t
) =
n
Y



2
0
)(Y


t



Trong trờng hợp kích thớc của mẫu nhỏ thì mẫu
số của
k


và

0


là n-1. Chúng ta dễ thấy
k-





k

Bartlett đã chỉ ra rằng, nếu chuỗi là ngẫu nhiên và
dừng thì các hệ số tơng quan mẫu


k

sẽ có phân bố xấp
xỉ chuẩn với kỳ vọng bằng không và phơng sai bằng
1/ n (với n khá lớn).
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Cặp giả thiết cần kiểm định là:
H
0
:
k

= 0 ( Chuỗi Y
t
là dừng)
H
1
:

k

0 ( Chuỗi Y
t
là không dừng)
Nếu nh:

k

) ;(
22
n
Z
n
Z

thì H
0
bị bác bỏ.


Các hệ số tự tơng quan bậc cao
k

, k 2 phản ánh mức
độ kết hợp tuyến tính của Y
t
và Y
t-k
. Tuy nhiên, mức độ
kết hợp giữa hai biến có thể còn do một số biến khác gây
ra, trong trờng hợp này các biến Y
t-1
, Y
t-2
, Y
t-k+1
ảnh
hởng đến mức độ kết hợp Y
t
và Y
t-k
. Do đó, để đo mức độ
kết hợp riêng rẽ giữa Y
t
và Y
t-k
, ngời ta còn đa ra hệ
số tự tơng quan riêng
kk
là hệ số tơng quan riêng của
Y
t

và Y
t-k
,
kk
đợc tính theo công thức đệ quy của
Durbin:











1
1
j 1
1
1
j-kj 1



1

k
j
jk
k
j
kk
kk





jkkj 1kkj 1-k



-






; j = 1, 2, k-1
1


11

Bảng sau là kết quả tính hàm tự tơng quan và hàm
tự tơng quan riêng cho chuỗi CPI89 của Việt Nam
trong thời kỳ từ quý I/91 - IV/97. Trên bảng cũng trình
bày khoảng tin cậy 95% cho các hệ số tơng ứng. Đối với
hệ số tự tơng quan, từ trễ thứ 7 trở đi. Chúng mới xấp
xỉ không, còn với hệ số tự tơng quan riêng điều này
nhận ra từ thành phần thứ hai.
Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội





Khoảng tin cậy Khoảng tin cậy
95% 95%
Đối với các hệ số tơng quan riêng, nếu chuỗi là dừng
thì các
kk


sẽ có phân bố chuẩn N(0, 1/n). Do vậy, chúng
ta có thể kiểm định giả thiết đối với các
kk


tơng tự
nh kiểm định giả thiết đối với các

k

.

Các kiểm định trên đây, mới đa ra kết luận về
từng hệ số tơng quan. Box - Pierce đã đa ra kiểm
định về sự bằng không đồng thời đối với tất cả các hệ
số tự tơng quan:
H
0
:
1
=
2
= =
m

= 0
H
1
:


m
k
k
1
2

0

Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Giả thiết H
0
đợc kiểm định bằng thống kê:

Q= n


m
k
k
1
2



Trong đó: n là kích thớc mẫu, m độ dài của trễ Q có
phân bố xấp xỉ
2
(m). H
0
bị bác bỏ nếu Q nhận đợc từ
mẫu lớn hơn
2

(m).
Một dạng khác của Q là thống kê Ljung-Box(LB):
LB= n(n+2)

m
k
k
kn
1
2


2
(m)
Bảng trên còn cho giá trị của LB với các độ dài khác
nhau của trễ và xác suất nhỏ nhất để giả thiết H
0
bị
bác bỏ.
Khi kích thớc mẫu n khá lớn, cả hai tiêu chuẩn Q
và LB đều cho kết quả nh nhau, song nếu mẫu nhỏ
thì thống kê LB cho kết quả tốt hơn Q.

Ví dụ: Kiểm định tính dừng của chuỗi GDP của Mỹ
trong ví dụ trên bằng lợc đồ tự tơng quan.

Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
6. Quá trình dừng Sai phân và quá tRình dừng xu thế
Hình 5: Bớc ngẫu nhiên lệch và chuỗi số có xu thế dừng
RWD
TS

Hình 5 biểu diễn 2 chuỗi số liệu đều có 2 đờng xu
hớng thẳng. Đờng RWD tạo bởi Bớc ngẫu nhiên
"lệch" nh đã mô tả trong mục trớc. Đồ thị TS tạo bởi
đờng thẳng có xu thế xác định kết hợp với phần tử
nhiễu trắng. Chúng ta sẽ xem xét theo thứ tự từng
trờng hợp.
RWD là chuỗi không dừng - nhng sai phân cấp 1
của chuỗi sẽ là chuỗi dừng. Chuỗi phải thực hiện phép
lấy sai phân cấp 1 để tạo ra chuỗi dừng đợc gọi là chuỗi
liên kết bậc 1, ký hiệu là I(1). Xu hớng sẽ đợc loại bỏ
bằng cách lấy sai phân. Một chuỗi I(1) gọi là dừng sai
phân và nói rằng đợc tạo ra bởi một phép dừng sai phân
(DSP). Nh vậy chuỗi dừng sai phân có dạng:
X
t
= X
t
- X
t-1
= a

0
+
t



Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Một cách tổng quát, một chuỗi không dừng cần phải
thực hiện phép lấy sai phân d lần để tạo ra một chuỗi
dừng gọi là chuỗi liên kết bậc d, ký hiệu là I(d). Và rõ ràng
một chuỗi dừng là chuỗi I(0).
Chuỗi dừng xu thế có dạng sau :
X
t
= a
0
+

t +

1
Trong đó: a
0
là một hằng số
và

t
~ iid (0,

2
). Đờng
thẳng xu thế có phơng trình là a
0
+

t . Nếu loại bỏ
đờng xu thế, sẽ cho kết quả là:
X
t
- a
0
-

t =

1
là một chuỗi dừng vì phần tử nhiễu là nhiễu trắng, mà
nh đã thấy ở mục trớc đó là chuỗi dừng. Trong
trờng hợp đó, xu thế có thể đợc loại bỏ bằng cách tiến
hành hồi quy chuỗi theo mô hình đờng xu thế. Các
phần d của phép hồi quy là chuỗi dừng. Chuỗi số đợc
xây dựng là chuỗi dừng xu thế (TSP).
Chúng ta đã biết, có thể rất khó phân biệt trên thực tế
chuỗi số liệu đợc xây dựng trên cơ sở bớc ngẫu nhiên
hay bớc ngẫu nhiên lệch. Đồng thời cũng khó phân biệt
chuỗi số đợc tạo nên bởi mô hình DSP hay là TSP. Mỗi
chuỗi tạo nên đều có đờng xu thế. Tuy nhiên, chuỗi xây
dựng bằng phơng pháp xu thế dừng có khuynh hớng
bám theo đờng xu thế sát hơn chuỗi tạo nên bởi bớc

ngẫu nhiên lệch. Tuy nhiên, nếu nh phơng sai của mô
hình nhiễu trắng tạo ra chuỗi dừng xu thế mà lớn thì số
liệu cũng sẽ tách xa khỏi đờng xu thế.

Ví dụ: trong các chuỗi ở tệp số liệu ch12bt20 chuỗi nào là
dừng sai phân, chuỗi nào là dừng xu thế?

Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

7. So sánh các số liệu tài chính
Trong các mục trớc ta đã sử dụng các chuỗi số
liệu tự tạo nhằm mục đích nhấn mạnh các tính chất cơ
bản của các chuỗi số. Chuỗi số liệu trong 4 hình sau là số
liệu quan sát hàng ngày giai đoạn từ 7/11/1983 đến
5/5/1995. Mỗi biến có tất cả 3000 số liệu quan sát (5 quan
sát mỗi tuần). Số liệu lấy từ Cơ sở dữ liệu.

Hình 6: Chỉ số trung bình Dow Jone thị trờng Nikkei - Tokyo (225 quan sát)







Hình 6 biểu diễn chỉ số Nikkei (225 chỉ số) của thị
trờng chứng khoán Nhật Bản. Chuỗi số liệu thể hiện rõ
là bớc ngẫu nhiên và I(1).

Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

Hình 7 biểu diễn tỉ giá hối đoái của đồng đô la Mỹ
với Bảng Anh, số liệu thể hiện là chuỗi không dừng và
I(1).
Hình 7: Tỉ giá đô la Mỹ và bảng Anh







Hình 8 biểu diễn lãi suất - đó là mức lãi cho
vay liên ngân hàng qua đêm. Chuỗi này không dễ
nhận dạng. ở đây có sự biến động hàng ngày tơng
đối lớn. Lãi suất cao 50% không phải là một sai số
mà nó tơng ứng với thời kỳ bất ổn định khi Anh là
còn là thành viên của EU.

Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Hình 8: Lãi suất cho vay qua đêm liên ngân hàng


Hình 9: Chỉ số chứng khoán tổng hợp Standard và Poor
của thị trờng NewYork








Hình 9 biểu diễn chỉ số chứng khoán Standard và
Poor của thị trờng chứng khoán New York. Lu ý
rằng, chuỗi chỉ số này có đờng xu thế và hoàn toàn

Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
ngợc với chỉ số thị trờng chứng khoán Tôkyô cùng
một thời kỳ. Trong thời kỳ này, chỉ số giá chứng
khoán thị trờng New York I(0) và là chuỗi xu thế
dừng theo kết quả kiểm định sẽ nêu trong mục sau.
Một số số liệu tài chính không phải là chuỗi dừng
nhiễu trắng hoặc AR(1) nh chúng ta đã xét trong
mục 2 và một số chuỗi là không dừng.
Tiếp tục so sánh 2 chuỗi số có thể tiến hành thông

qua xem xét hàm tự tơng quan của chúng. đồ thị tơng
quan biểu diễn quan hệ giữa
k
và k. Đồ thị tơng
quan rất tiện lợi trong việc thể hiện tơng quan giữa
các giá trị trong một chuỗi quan sát đơn. Đối với một
quá trình hoàn toàn ngẫu nhiên nhiễu trắng, hàm tự
tơng quan ACF bằng 0 ở bất kỳ độ trễ nào lớn hơn
không. Đối với chuỗi số liệu không dừng, hàm ACF
giảm dần khi độ trễ k tăng. Để minh họa các đồ thị
tơng quan của chuỗi nhiễu trắng, bớc ngẫu nhiên
cùng với đồ thị tơng quan đối với chỉ số chứng
khoán thị trờng Tôkyô và lãi suất của ngân hàng
Anh đợc trình bày dới đây:
Hình 10a: Đồ thị tơng quan chuỗi Nhiễu trắng

Hình 10b: Đồ thị tơng quan bớc ngẫu nhiên
Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội








So sánh 2 đồ thị trên, đối với chuỗi dừng nhiễu
trắng ACF xấp xỉ giá trị 0 với mọi độ trễ lớn hơn không

và chuỗi không dừng bớc ngẫu nhiên có ACF giảm đều
đặn và ở độ trễ 25 vẫn đạt giá trị lớn hơn 0,5.
Đồ thị ACF đối với chỉ số Nikkei (225) giảm đều
đặn theo đúng nh mong đợi đối với một chuỗi động.
Sau khoảng chừng 2,5 năm quan sát, hàm tự tơng quan
đối với chỉ số Nikkei (chuỗi 225 quan sát) chuyển sang
dấu âm. Dạng của đồ thị tơng quan đối với lãi suất của
Anh cũng tơng tự nhng ACF giảm rất nhanh xuống
0,58.








Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Hình 12: Đồ thị tơng quan Tokyo Nikke (225)

Hình 13: Đồ thị tơng quan - lãi suất qua đêm tại Anh













Bài 4: chuỗi thời gian không dừng

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
8. Kiểm định bậc liên kết dickey - fuller
Bên cạnh kiểm định bằng hệ thống đồ thị rất hữu
ích về mặt trực quan, thực hiện các phép kiểm định
thông dụng cho tính chất của chuỗi số liệu cũng rất
quan trọng. Kiểm định đợc sử dụng rộng rãi nhất cho
giả thuyết H
0
: 'chuỗi số I(1)' là kiểm định Dickey - Fuller
(DF) (còn gọi là kiểm định nghiệm đơn vị).
Chúng ta nghiên cứu về chuỗi không dừng tập trung
vào dạng: có đờng xu thế - bớc ngẫu nhiên lệch và
chuỗi dừng có xu thế - và dạng không có xu thế - dạng
bớc ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ xem xét 2 phép kiểm định

chính; một loại áp dụng đối với chuỗi có đờng xu thế
và một loại không có. Trong trờng hợp còn có nghi ngờ
không rõ chuỗi có đờng xu thế hay không, ta vẫn giả
sử là có xu thế và áp dụng kiểm định nh loại "chuỗi có
xu thế".
8.1. Chuỗi có xu thế
Xét mô hình dừng xu thế:
X
t
= a
0
+ t + u
1
(1)



Giả sử sai số ngẫu nhiên thoả mãn điều kiện:
u
t
= u
t-1
+ v
t
(2)

Nếu nh || < 1 thì u
t
là chuỗi dừng AR(1). Do đó, X
t

là
tổng của đờng xu thế xác định và một chuỗi dạng dừng
AR(1) và vì vậy, X
t
là chuỗi dừng có xu thế. Trớc tiên,
chúng ta loại bỏ những phần tử nhiễu không quan sát
đợc u
t
và sau đó, từ phơng trình nhận đợc cho thấy
nếu = 1 thì X
t
là chuỗi bớc ngẫu nhiên lệch. Hai
phơng trình này sẽ tiến hành biến đổi theo 3 bớc cần
thiết.
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội
Bớc 1: Phần tử nhiễu u
t
có thể biểu diễn theo X
t
bằng
cách chuyển vế phơng trình (1):
u
1
= X
t
- a
0
-

t
Nhân cả 2 vế với và trễ thêm 1 kỳ, ta có:
u
t-1
= X
t -1
- a
0
- (t-1) (3)
Bớc 2: Thay phơng trình (2) vào (1) và thay phơng
trình (3) vào kết quả, ta có:
X
t
= a
0
+

t + X
t - 1
- a
0
- (t-1) + v
1
Biến đổi và rút gọn, ta có:
X
t
= a
0
(1-) +

+

(1-) t + X
t - 1
+ v
1

(4)
Bớc 3: Trừ cả 2 vế cho X
t - 1
, ta có:
X
t
= a
0
(1-) +

+

(1-) t + ( -1) X
t - 1
+ v
1
(5)
Hay: X
t
= + t + X
t 1
+ v

1
(6)
Trong đó: = a
0
(1-) +


=

(1-)
Và: = ( - 1)
Phơng trình (6) là mô hình tổng quát để thực hiện
phép kiểm định.
Nếu = 1, khi đó = , = = 0 và mô hình tổng quát
sẽ rút gọn thành:
X
t
= + v
1
Hay: X
t
= + X
t -1
+ v
1
là dạng bớc ngẫu nhiên lệch, vì vậy, chúng ta có thể
xác định giả thuyết H
0
và H
1

nh sau: