Tương tác điện từ Từ cổ điển đến lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Khoa Vật Lý- lớp Lý 3A
  










Giáo viên hướng dẫn : TSKH. Lê Văn Hoàng

Nhóm thực hiện: Đỗ Thị Thu Hà
Vũ Thanh Huy
Nguyễn Văn Hùng
Hoàng Văn Hưng





Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5 – 2009
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 1

MỞ ĐẦU ........................................................................................................................3
TỔNG QUAN.................................................................................................................4

NHỮNG NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM HOẶC LÝ THUYẾT ..................................5
I. Các tương tác trong tự nhiện....................................................................................5
I.1. Tương tác hấp dẫn: "Chất keo dính của vũ trụ "................................................5
I.1.1. Quan điểm Newton...................................................................................5
I.1.2. Quan điểm Einstein (tương đối):...............................................................6
I.1.3. Quan điểm lượng tử:.................................................................................7
I.2. Tương tác điện từ: "Chất keo dính của các nguyên tử" .....................................7
I.2.1. Trường điện từ .........................................................................................7
I.2.2. Cơ học lượng tử: ......................................................................................8
I.3. Tương tác mạnh: " Chất keo dính của các hạt " ................................................8
I.4. Tương tác yếu:.................................................................................................9
II. Sự phát triển các quan điểm tương tác điện từ..........................................................9
II.1. Tương tác điện từ - quan điểm cổ đại ...............................................................9
II.1.1. Sự xuất hiện danh từ “điện”......................................................................9
II.1.2. Sự xuất hiện danh từ “từ”.......................................................................10
II.2. Tương tác điện từ - thuyết trường điện từ.......................................................11
II.2.1. Tương tác tĩnh điện ................................................................................11
II.2.1.1. Điện tích - Định luật bảo toàn điện tích.................................................11
II.2.1.2. Điện tích và cấu trúc của vật chất..........................................................13
II.2.1.3. Tương tác giữa 2 điện tích điểm - Định luật Coulomb...........................16
II.2.1.3.1 Thí nghiệm đo lực điện ................................................................16
II.2.1.3.2 Định luật Coulomb:......................................................................18
II.2.2. Điện trường là gì ?..................................................................................19
II.2.2.1. Điện trường và lực điện ........................................................................19
II.2.2.2. Véctơ cường độ điện trường..................................................................20
II.2.2.3. Nguyên lý chồng chất điện trường. .......................................................22
II.2.2.4. Đường sức điện trường – định luật Gauss cho điện trường. ...................22
II.2.2.5. Năng lượng điện trường........................................................................25
II.2.3. Tương tác tĩnh từ....................................................................................26
II.2.3.1. Từ tích - đơn cực từ : ............................................................................27

II.2.3.2. Định luật Ampere về tương tác giữa hai yếu tố dòng.............................28
II.2.4. Từ trường là gì?......................................................................................29
II.2.4.1. Từ trường và lực từ...............................................................................29
II.2.4.2. Véctơ từ trường ....................................................................................30
II.2.4.3. Nguyên lý chồng chất từ trường:...........................................................31
II.2.4.4. Đường cảm ứng từ - định luật Gauss cho từ trường:..............................32
II.2.4.4.1 Đường cảm ứng từ .......................................................................32
II.2.4.4.2 Định luật Gauss cho từ trường......................................................32
II.2.4.5. Năng lượng từ trường ...........................................................................33
II.2.5. Điện từ trường........................................................................................35
II.2.5.1. Từ trường biến thiên - nguồn sinh ra điện trường..................................35
II.2.5.1.1 Định luật Faraday về cảm ứng điện từ:.........................................35
II.2.5.1.2 Luận điểm thứ nhất của Maxwelll ................................................37
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 2
II.2.5.2. Điện trường biến thiên - nguồn sinh ra từ trường..................................39
II.2.5.2.1 Định luật Ampere về lưu thông từ trường:...................................39
II.2.5.2.2 Khái niệm về dòng điện dịch - luận điểm thứ hai của Maxwell:....40
II.2.5.3. Trường điện từ - môi trường vật chất ....................................................43
II.2.5.4. Hệ phương trình Maxwell .....................................................................43
II.3. Bộ rung điện Herzt - bằng chứng thực nghiệm cho lý thuyết trường điện từ. ..45
II.3.1. Cấu tạo:..................................................................................................45
II.3.2. Kết quả thí nghiệm .................................................................................46
II.3.3. Phát hiện ra sóng điện từ ........................................................................46
II.3.4. Kết luận..................................................................................................47
II.4. Tương tác điện từ - thuyết trường lượng tử (QED) ........................................48
II.4.1. Thí nghiệm Lamb-Retherfor:..................................................................49
II.4.1.1. Phương án thí nghiệm...........................................................................49
II.4.1.2. Kết quả thí nghiệm................................................................................50

II.4.1.3. Phân tích kết quả thí nghiệm:................................................................50
II.4.2. Hạt nhân của thuyết điện động lực học lượng tử (QED)..........................52
II.4.2.1. Khái niệm trường lượng tử....................................................................52
II.4.2.2. Chân không lượng tử ............................................................................53
II.4.2.2.1 Chân không là gì ? .......................................................................53
II.4.2.2.2 Vậy chân không lượng tử là gì?....................................................54
II.4.3. Điện động lực học lượng tử. ...................................................................56
II.4.3.1. Định nghĩa............................................................................................56
II.4.3.2. “Photon ảo” và tính chất của tương tác điện từ theo QED .....................57
II.4.3.3. Tái chuẩn hóa .......................................................................................58
II.4.4. Thực nghiệm kiểm tra thuyết..................................................................60
II.4.4.1. Giải thích sự dịch chuyển Lamb............................................................60
II.4.4.2. Moment từ dị thường của electron ........................................................61
II.4.4.3. Hiệu ứng Casisir - lực xuất hiện từ chân không.....................................61
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................................................64
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................65
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 3

MỞ ĐẦU
Tương tác điện từ là một trong những tương tác cơ bản, vô cùng phổ biến và quan
trọng trong vũ trụ, tầm ảnh hưởng và ứng dụng của nó ngày càng được mở rộng ra mọi
mặt trong cuộc sống.
Thế nhưng hệ thống kiến thức về tương tác điện từ vẫn chưa được trình bày một
cách có hệ thống, có tính khái quát cao. Một bộ phận không nhỏ sinh viên còn chưa có
một hệ thống kiến thức đầy đủ, logic, khoa học về tương tác điện tử. Cũng như nhằm đáp
ứng nhu cầu của một bộ phận không nhỏ những người đam mê nghiên cứu về các hiện
tượng điện từ.
Do đó, với đề tài này nhóm chúng tôi sẽ cung cấp cho độc giả một hệ thống kiến

thức phục vụ cho công việc học tập, nghiên cứu hiện nay cũng như cho công việc giảng
dạy về sau.
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 4

TỔNG QUAN
Trên cơ sở phân tích các tài liệu của các tác giả khác, nhóm nhận thấy:
 Kiến thức về tương tác điện từ trong các tài liệu được trình bày một cách rời rạc,
không có hệ thống liên tục, gây khó khăn cho người sử dụng tài liệu, vì phải sử
dụng nhiều tài liệu khác nhau trong quá trình nghiên cứu, học tập.
 Đồng thời những kiến thức được nêu ra mang tính chất áp đặt, thiếu những thí
nghiệm để dẫn đến các định luật định lý, thiếu các lập luận logic dẫn dắt vẫn đề,
làm cho người đọc khó nắm bắt được bản chất của vấn đề.
Qua đó, nhóm quyết định xây dựng một bức tranh tổng quát về các quan điểm
tương tác điện từ từ cổ điển đến lượng tử.
Nội dung đề tài được xây dựng một cách chặt chẽ, logic. Các định luật, định lý
được xây dựng từ các thí nghiệm, sử dụng ngôn ngữ toán học một cách chặt chẽ, dẫn dắt
người đọc đi sâu vào vấn đề.
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 5

NHỮNG NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM HOẶC LÝ THUYẾT
I. Các tương tác trong tự nhiện
Thế giới xung quanh chúng ta đầy rẫy những phương tiện gây tác động:
những chiếc vợt đập vào quả bóng, những vận động viên nhảy cầu có thể tung
mình lao xuống từ những cầu nhảy cao, các nam châm lớn nâng những đoàn tàu
cao tốc trên đường ray riêng của chúng… Và bản thân chúng ta cũng có thể tác
động lên các vật bằng cách kéo, đẩy hoặc lắc chúng, bằng cách ném hoặc bắn các

vật khác vào chúng, bằng cách kéo giãn, vặn xoắn hoặc nghiền nát chúng, hoặc
bằng cách làm lạnh, đốt nóng, hoặc đốt cháy chúng… Trong suốt thế kỷ XX, các
nhà vật lý đã tích lũy được rất nhiều bằng chứng cho thấy tất cả những tương tác
đó giữa các vật và các chất khác nhau, cũng như hàng triệu tương tác khác mà
chúng ta gặp hằng ngày, đều có thể quy về những tổ hợp của bốn tương tác: tương
tác hấp dẫn, tương tác điện từ, tương tác mạnh và tương tác yếu.
I.1. Tương tác hấp dẫn: "Chất keo dính của vũ trụ "
Là tương tác quen thuộc nhất. Chính lực này đã giữ cho Trái Đất của chúng ta
quay quanh Mặt Trời và cũng nhờ nó mà bàn chân chúng ta bám chặt được vào
mặt đất.
Tương tác hấp dẫn là tương tác giữa các hạt vật chất có khối lượng. Bán kính
tác dụng của lực hấp dẫn lớn vô cùng nhưng so với các tương tác khác thì cường
độ của tương tác hấp dẫn là rất nhỏ.
I.1.1. Quan điểm Newton
Lí thuyết mang tính định lượng đầu tiên của lực hấp dẫn xây dựng trên các
quan sát do Isaac Newton thiết lập vào năm 1687 trong cuốn “Principia” của ông.
Ông viết rằng lực hấp dẫn tác dụng lên mặt trời và các hành tinh phụ thuộc vào
lượng vật chất mà chúng chứa. Nó truyền đi những khoảng cách xa và luôn luôn
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 6
giảm tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Công thức viết cho lực F giữa hai
vật có khối lượng m
1
và m
2
cách nhau khoảng r là

1 2
2

m m
F G
r


trong đó G là hằng số tỉ lệ, hay hằng số hấp dẫn. Newton không hoàn toàn hài
lòng với lí thuyết của ông vì nó giả sử một tương tác xuyên khoảng cách. Khó
khăn đã bị loại trừ khi khái niệm trường hấp dẫn được nêu ra, một trường thấm
đẫm không gian và được truyền đi một cách tức thời. Lí thuyết Newton được áp
dụng rất thành công cho cơ học thiên thể trong thế kỉ 18 và đầu thế kỉ 19.
I.1.2. Quan điểm Einstein (tương đối):
Vào năm 1845, Leverrier tính thấy quỹ đạo của Thủy tinh tiến động 35” trên
thế kỉ, trái với giá trị theo thuyết Newton là bằng không. Năm 1915, Einstein mới
có thể giải thích được sự không nhất quán này
.

Einstein đã sửa đổi dạng của định luật vạn vật hấp dẫn để cho phù hợp với các
nguyên lý tương đối. Nguyên lý đầu tiên nói rằng khoảng cách x không thể được
vượt qua một cách tức thời nhưng lý thuyết Newton lại bảo rằng lực tác dụng tức
thời. Do đó Einstein phải tiến hành sửa đổi các định luật Newton lại, những sửa
đổi đó phải rất nhỏ. Nội dung của việc sửa đổi như sau: vì ánh sáng có năng lượng
do đó sẽ có khối lượng, mà mọi vật có khối lượng đều hút nhau.
Einstein chỉ ra rằng trường hấp dẫn là đại lượng hình học vạch rõ cái gọi là
thời gian đích thực, đó là khái niệm nhận cùng một giá trị trong mọi hệ tọa độ
tương tự như khoảng cách trong không gian thông thường.
Ông cũng thành công trong việc xây dựng các phương trình cho trường hấp
dẫn được đặt tên là các phương trình Einstein, và với các phương trình này ông đã
có thể tính được giá trị đúng cho sự tiến động đối với quỹ đạo của Thủy tinh. Các
phương trình đó cũng cho giá trị đo được của sự lệch của các tia sáng truyền qua
mặt trời và không còn có sự nghi ngờ nào rằng các phương trình đó cho kết quả

chính xác đối với sự hấp dẫn vĩ mô.
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 7
I.1.3. Quan điểm lượng tử:
Lực hấp dẫn giữa 2 hạt vật chất được mang bởi một hạt, được gọi là hạt
graviton. Hạt này có spin bằng 2, không mang điện, không có khối lượng nghỉ và
có tầm tác dụng là vô cùng.
Các sóng này rất yếu và khó phát hiện do đó chưa quan sát được cụ thể bằng
thực nghiệm trên Trái Đất.
I.2. Tương tác điện từ: "Chất keo dính của các nguyên tử"
Tương tác điện từ là tương tác giữa các hạt mang điện như electron, proton …

I.2.1. Trường điện từ
James Clerk Maxwell, vào năm 1865, cuối cùng đã thống nhất các khái niệm
điện và từ thành một lí thuyết về điện từ. Lực này được trung chuyển bởi trường
điện từ.
Có 2 loại điện tích: điện tích dương và điện tích âm. Lực giữa hai điện tích
dương cũng như giữa hai điện tích âm đều là lực đẩy, lực giữa một điện tích âm và
một điện tích dương là lực hút.
Trong thế giới vi mô, ở quy mô nhỏ như các nguyên tử và phân tử, lực điện từ
chiếm ưu thế so với lực hấp dẫn. Lực hút điện từ giữa các electron mang điện âm
trong nguyên tử và các proton mang điện dương trong hạt nhân nguyên tử làm cho
các electron “quay” xung quanh hạt nhân nguyên tử.
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 8
I.2.2. Cơ học lượng tử:
Trường điện từ có thể hiểu là dòng các hạt nhỏ gọi là photon cấu thành nên
trường điện từ. Nếu chúng ta nghĩ lực điện giữa hai điện tích là trường điện từ

trung chuyển nó xuyên khoảng cách, thì bây giờ chúng ta có thể có một bức
tranh cơ bản hơn dưới dạng một dòng photon gửi ra từ hạt đến chạm vào hạt
kia.
Tương tác điện từ được hình dung như được gây bởi sự trao đổi một số lớn
photon. Các photon được trao đổi khi đó là các hạt “ photon ảo”.
I.3. Tương tác mạnh: " Chất keo dính của các hạt "
Tư
ơ
n
g

t
á
c

m
ạ
nh có liên quan đến l
ực hạt nhân mạnh - là lực tương tác giữa
các proton và neutron bên trong hat nhân nguyên tử, giữ cho proton và neutron ở
trong hạt nhân.
Tương tác mạnh là tương tác giữa các hadron như tương tác giữa các
nuclon trong hạt nhân tạo nên lực hạt nhân hay tương tác dẫn đến sự sinh hạt
hadron trong các quá trình va chạm giữa các hadron.
Ngày nay người ta tin rằng lực hạt nhân được “mang” bởi một hạt gọi là hạt
gluon có spin bằng 1 và có “màu sắc”. Hạt gluon chỉ tương tác với chính nó và với
các hạt quark.
Lực hạt nhân mạnh có một tính chất kì lạ là sự “cầm tù”: nó luôn luôn liên kết
các hạt lại thành các tổ hợp “không có màu”.
Sự “cầm tù ” không cho phép có mặt một gluôn riêng lẻ tự nó, vì mỗi gluôn

đều có “màu sắc”; thay vì thế người ta cần phải có một tổ hợp các gluôn với tổng
màu là “trắng”(một tập hợp như thế tạo nên một hạt không bền gọi là “glueball” ).
Việc “cầm tù” không cho phép chúng ta quan sát được một gluon cô lập dường
như làm cho toàn bộ khái niệm về các gluon trở nên hơi có vẻ siêu hình. Tương tác
mạnh cũng là tương tác giữa các pi-mezon và K-mezon và các hiperon với các
nuclon và giữa chúng với nhau.
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 9
I.4. Tương tác yếu:
Tương tác yếu gây ra sự phóng xạ và chỉ thể hiện ở lực hạt nhân yếu tác dụng
lên các hạt có spin 1/2, chứ không tác dụng lên các hạt có spin 0, 1, 2 như photon
và graviton.
Năm 1967 các nhà bác học A. Salam và S. Weinberg đưa ra giả thuyết ngoài
photon còn có 3 hạt có spin bằng 1 khác gọi là các hạt bôzôn- véctơ nặng mang
lực hạt nhân yếu. Đó là các hạt W
+
, W
-
và Z
0
, mỗi hạt có khối lượng tương ứng
khoảng gần 200 nghìn m
e
(khoảng 100 tỉ electron- vôn). Ở những năng lượng cao,
lớn hơn 100 tỉ electron- vôn nhiều thì ba hạt mới này xử sự một cách hoàn toàn
tương tự như photon (có tính cách như hạt photon). Ở những năng lượng thấp hơn
thì ba hạt mới này lại có khối lượng lớn làm cho các lực mà chúng mang lại có tầm
tác dụng ngắn. Năm 1983, tại Trung tâm nghiên cứu hạt nhân Châu Âu ( CERN)
nhờ có máy gia tốc mạnh người ta đã phát hiện được ba hạt này có tính chất và

khối lượng đúng như giả thuyết.
II. Sự phát triển các quan điểm tương tác điện từ
II.1. Tương tác điện từ - quan điểm cổ đại
II.1.1. Sự xuất hiện danh từ “điện”
Chuyện xảy ra ở Hy Lạp khoảng 2600 năm về trước. Nhà triết học Thales có
một cô con gái. Nàng tuy còn nhỏ tuổi nhưng đã biết dệt rất khéo. Nàng được cha
mẹ mua cho một con thoi bằng hổ phách rất đẹp, do một tay thợ khéo xứ Phênixi
chuốt. Một hôm, cô bé lỡ tay đánh rơi con thoi xuống nước. Nàng bèn dùng vạt áo
len lau con thoi. Khi lau xong, thì nàng thấy con thoi bám đầy tơ len. Ngỡ là thoi
còn chưa ráo nàng lại lau mạnh hơn, nhưng lạ thay, tơ len lại càng bám nhiều hơn
trước. Kinh ngạc, nàng vôi chạy đi tìm cha để cha giảng giải cho nàng về hiện
tượng kì lạ đó. Nghe con gái kể lại đầu đuôi câu chuyện, Thales cũng hết sức ngạc
nhiên. Vốn là một triết gia chân chính, ông bèn làm lại và nghiên cứu hiện tượng
đó. Quả nhiên, sự việc xảy ra đúng như cô bé kể. Thales bèn dùng dạ xát những
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 10
con thoi bằng hổ phách khác, những vòng tròn và những thanh bằng hổ phách, và
ông cũng thu được kết quả y hệt như trước. Hổ phách, trong tiếng Hy Lạp
“elektron” vì vậy người ta mới gọi cái lực thần bí dó là “electrictite” có nghĩa là
“điện”. Sau này người ta còn thấy có cả thủy tinh, lưu huỳnh, nhựa cây, lụa và
nhiều thứ khác cũng có tính chất như hổ phách.
II.1.2. Sự xuất hiện danh từ “từ”
Mốc sự kiện đầu tiên là vào khoảng 900 năm trước công nguyên, một người
chăn cừu tên là Magnus đã phát hiện ra một hiện tượng lạ trong tự nhiên và khiến
con người chú ý. Khi anh ta đi ngang qua một khu vực có những phiến đá màu
đen, anh đã phát hiện ra là những cái đinh và đầu cây gậy bằng sắt của anh bị
những phiến đá này hút một cách kì lạ.

Đá nam châm

Hiện tượng này đã khiến chàng chăn cừu Magnus vô cùng ngạc nhiên, và
cũng từ đó khu vực này đã được con người chú ý đến nhiều hơn. Sau đó, khu vực
này đã được mọi người biết đến nhiều hơn với tên gọi “Magnesia”.
Hiện tượng mà Magnus đã thấy chính là do tại khu vực đó có một lượng lớn
quặng magie oxit (quặng sắt từ). Vì vậy, từ “magnet” bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp
“magnitis lithos” có nghĩa là “đá có magie oxit”. Về sau người Hy Lạp đã gọi
những quặng đặc biệt này là “loadstone” (or lodestone) - đá nam châm.
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 11
Như vậy tương tác điện từ theo quan điểm cổ điển chỉ là do một số vật có
tính chất đặc biệt . Nguyên nhân mà “đá nam châm” hay “hổ phách” có thể hút
các vậy là bởi những viên đá này có chiếm giữ linh hồn hay có một thần lực nào
bên trong các vật này. Trong giai đoạn này những suy nghĩ duy tâm còn ảnh
hưởng rất lớn đến các nhà triết học, còn có cả những quan điểm cho rằng hiện
tượng lạ trong tự nhiên này chính là do có bàn tay của Chúa can thiệp.
II.2. Tương tác điện từ - thuyết trường điện từ
Cùng với sự phát triển của nhân loại Vật lý cũng đã chuyển mình bước sang
một trang mới. Cùng với đó là sự phát triển của các học thuyết về tương tác điện
từ đặc biệt đó là sự ra đời của học thuyết về trường điện từ một học thuyết mà theo
như lời nhà Vật Lý Richard Feyman “không còn nghi ngờ gì nữa, trong một vạn
năm nữa, hậu thế vẫn sẽ coi phát hiện về các định luật của điện động lực học như
một phát hiện lớn nhất của thế kỷ XIX. So với nó cuộc chiến tranh ly khai ở Mỹ
chỉ như một sự kiện ở tỉnh lẻ”
II.2.1. Tương tác tĩnh điện
II.2.1.1. Điện tích - Định luật bảo toàn điện tích
Có rất nhiều hiện tượng điện vậy phải chăng chúng rời rạc với nhau, các
vật cọ xát vào nhau có thể hút lẫn nhau vậy chúng ta có thể phân chia chúng
như thế nào?
Bằng nhiều thí nghiệm chúng ta nhận thấy có 2 loại điện: “điện thủy tinh”

sinh ra trong thủy tinh, ngọc thạch len dạ khi có ma sát và “điện nhựa cây” sinh ra
trong nhựa cây, hổ phách tơ lụa.
Giả sử chúng ta chọn “điện thủy tinh” là đại diện của loại A, và “điện thủy
tinh” đại diện cho loại B. Và 2 loại điện tích này hút nhau. Bây giờ chúng ta sẽ
thấy là không có “loại C”. Bất kì vật nào được làm cho nhiễm điện bằng bất cứ
phương pháp nào thuộc loại A, hút các vật mà A hút và đẩy các vật mà A đẩy,
hoặc là thuộc loại B, có cùng tính chất hút và đẩy như B. Hai loại, A và B, luôn
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 12
luôn biểu hiện tương tác ngược nhau. Nếu như A biểu hiện lực hút đối với một số
vật tích điện, thì B chắc chắn sẽ đẩy nó ra xa, và ngược lại.
Như vậy đến đây chúng ta có thể khẳng định chính xác rằng chỉ có 2 loại
nhóm đó là nhóm“điện nhựa cây” và nhóm “điện thủy tinh”.
Nhà bác học Benjamin Franklin (1706-1790) đã đề nghị gọi hai loại điện tích
đó lần lượt là điện tích âm và điện tích dương, và các tên đó vẫn đang được sử
dụng ngày nay. Điện tích dương là nhóm “điện thủy tinh” và điện tích âm là nhóm
“điện nhựa cây”. Hai điện tích dương hoặc hai điện tích âm đẩy nhau. Một
điện tích dương và một điện tích âm hút nhau.

Hình trên chỉ ra hai thanh nhựa dẻo và một tấm da thú. Sau khi chúng ta tích
điện cho mỗi thanh nhựa bằng cách cọ sát nó với tấm da thú đó, thì chúng ta thấy
rằng các thanh nhựa đó sẽ đẩy nhau (hình b). Khi chúng ta cọ sát các thanh thuỷ
tinh (hình c) với một tấm lụa, thì các thanh thuỷ tinh đó cũng trở nên bị nhiễm
điện và đẩy nhau (hình d). Nhưng một thanh nhựa bị nhiễm điện lại hút một thanh
thuỷ tinh bị nhiễm điện (hình e). Hơn thế nữa, thanh nhựa dẻo và tấm da thú đó lại
hút nhau, và thanh thuỷ tinh và tấm lụa đó cũng hút nhau (hình f).
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 13

II.2.1.2. Điện tích và cấu trúc của vật chất
Khi chúng ta tích điện cho một thanh bằng cách cọ sát nó với một tấm da
lông thú hay tấm lụa như thì không có sự thay đổi có thể nhìn thấy ở bên
ngoài của thanh đó. Khi ấy chuyện gì thực sự xảy ra đối với thanh đó khi
chúng ta tích điện cho nó?
Để trả lời câu hỏi này, chúng ta phải xem xét tỉ mỉ, chi tiết hơn nữa cấu trúc
và các đặc tính điện của các nguyên tử, loại tạo lên tất cả các loại vật chất thông
thường. Cấu trúc của các nguyên tử có thể được mô tả dưới dạng ba loại hạt:
electron mang điện tích âm, proton mang điện tích dương, và notron không mang
điện.
Các proton và các notron trong một nguyên tử cấu thành một lõi nhỏ rất đậm
đặc được gọi là hạt nhân, với kích thước vào khoảng 10
-15
m. Xung quanh hạt
nhân là các electron, trải rộng tới những khoảng cách vào khoảng 10
-10
m từ hạt
nhân. Nếu một nguyên tử có kích thước khoảng một vài km, thì hạt nhân của nó sẽ
có kích thước của một quả bóng tenis.
Với sự chính xác được biết hiện nay, khối lượng của các hạt riêng lẻ đó là:
Khối lượng của electron m
e
= 9,10938188(72).10
-31

kg
Khối lượng của proton m
p
= 1,67262158(13).10
-27

kg
Khối lượng của notron m
n
= 1,67492716(13).10
-27
kg
Điện tích âm của electron (trong phạm vi sai số thực nghiệm) chính xác có
cùng độ lớn với điện tích dương của proton.
Trong một nguyên tử trung hoà thì số electron bằng số proton trong hạt nhân,
và điện tích tổng cộng (tổng đại số của tất cả các điện tích) đúng bằng không.
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 14

Một nguyên tử
trung hoà có số
electron bằng số
proton.
Một iôn dương có
sự hụt thiếu về các
electron.
Một iôn âm thừa
các electron
Khi số proton tổng cộng trong một vật vĩ mô bằng số electron tổng cộng, thì
điện tích tổng cộng bằng không và toàn bộ vật đó là trung hoà về điện.
Để cho một vật thừa điện tích âm, có thể chúng ta hoặc thêm các điện tích âm
vào một vật trung hoà hoặc lấy đi các điện tích dương từ vật đó. Tương tự như vậy,
chúng ta có thể tạo ra một sự thừa điện tích dương hoặc bằng thêm điện tích dương
vào hoặc lấy đi điện tích âm.
Trong hầu hết các trường hợp, các electron mang điện tích âm (có tính linh

động cao) được thêm vào hoặc lấy đi, và một “vật mang điện tích dương” là một vật
đã mất đi một số electron bổ sung thông thường của nó.
Ẩn ý trong phần thảo luận đã nói ở trên là hai định luật rấ nằm trên đường thẳng nối hai điện tích, có chiều đẩy nhau nếu hai
điện tích cùng dấu và hút nhau nếu hai điện tích trái dấu, có độ lớn tỉ lệ thuận
với tích độ lớn của hai điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách
giữa chúng
Theo ngôn ngữ toán học, lực điện F

mà các điện tích điểm
1
q

và
2
q

cách nhau
một khoảng r tác dụng lên nhau có thể biểu diễn dưới dạng:
1 2
2
q q r
F k
r r




Trong đó k là một hằng số tỷ lệ, trong hệ SI giá trị hằng số k là:
9 2
8,987551787.10 N.m /Ck 

. Giá trị số của k được xác định chính xác theo c là:
 
7 2 2 2
10 N.s / C ck



Hướng của các lực mà hai điện tích tác dụng lên nhau luôn luôn nằm dọc theo
đường thẳng nối giữa chúng. Khi các điện tích
1
q

và
2
q

cùng dấu, hoặc cùng dương
hoặc cùng âm, thì các lực là đẩy nhau khi các điện tích ngược dấu, thì các lực là hút
nhau.
Sự tỷ lệ của lực điện với
2
1/ r đã được kiểm tra với độ chính xác rất cao.
Những kĩ thuật hiện đại tài tình cho phép dạng
2
1/ r
của định luật Coulomb được
4"> được với tư cách là các điện tích đơn lẻ). Do đó, điện tích trên bất kể
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 16

vật vĩ mô nào luôn luôn hoặc bằng không hoặc bằng một bội số nguyên (âm hoặc
dương) lần điện tích của electron.
Sự hiểu biết bản chất điện của vật chất cho chúng ta sự thấu hiểu sâu sắc
nhiều khía cạnh của thế giới vật chất. Các liên kết hoá học mà chúng giữ các
nguyên tử với nhau để tạo thành các phân tử là do bởi các tương tác điện giữa
các nguyên tử. Lực pháp tuyến tác dụng lên chúng ta bởi chiếc nghế chúng ta
đang ngồi là do bởi các lực điện giữa các hạt mang điện trong các nguyên tử của
cơ thể chúng ta và trong các nguyên tử của chiếc nghế chúng ta ngồi. Lực căng
trên một sợi dây bị căng ra và lực dính của keo hồ cũng là do bởi các tương tác
điện của các nguyên tử.
II.2.1.3. Tương tác giữa 2 điện tích điểm - Định luật Coulomb
Như đã nói ở trên các vật có thể hút nhau có thể
đẩy nhau, như vậy có một quy luật định luật vật lý nào
chi phối sự hút hay đẩy giữa các vật hay không?
II.2.1.3.1 Thí nghiệm đo lực điện
Nhà bác học Charles Augustin De Coulomb (1736 -
1806) nghiên cứu lực tương tác của các hạt mang điện một
cách chi tiết vào năm 1784. Ông đã sử dụng một cái cân
xoắn để nghiên cứu tương tác giữa 2 điện tích điểm.
Cấu tạo cân xoắn:
Gồm một sợi dây mảnh bằng tơ tằm hoặc bằng kim
loại đặt trong một ống thủy tinh ở vị trí thẳng đứng. Cuối
sợi dây gắn một chiếc kim ngắn đặt nằm ngang, có thể
quay trước những vạch chia độ khắc trên thành bình thủy
tinh. Khi có một lực nhỏ tác động vào một hòn bi nhỏ gắn
ở một đầu kim, nó làm cho kim quay một góc nhỏ và xoắn
sợi dây lại. Khi lực xoắn cân bằng với lực tác dụng thì
chiếc kim dừng lại. Theo định luật, góc xoắn tỉ lệ với lực
Cân xoắn
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 20
Chúng ta nói rằng vật mang điện A tạo ra hay gây ra một điện trường tại điểm
P. Điện trường này có mặt tại P ngay cả khi không có điện tích khác tại P: Nó chỉ là
kết quả của điện tích trên vật A. Nếu sau đó điện tích điểm q

được đặt tại điểm P,
nó chịu tác dụng lực F

.
Do đó, điện trường là vật trung gian qua đó vật
A “truyền” sự có mặt của nó tới q. Bởi vì điện tích
điểm q

sẽ chịu tác dụng một lực tại bất kỳ điểm nào
ở lân cận A, điện trường mà A tạo ra đó tồn tại tại
mọi điểm trong khoảng không gian xung quanh A.
Tương tự như vậy, chúng ta có thể nói rằng điện tích điểm q

tạo ra một điện
trường trong không gian quanh nó và điện trường này tác dụng lực F

lên vật A.
Đối với mỗi lực (lực của A tác dụng lên q

và lực của q

lên A), một điện tích tạo
nên một điện trường tác dụng một lực lên một điện tích thứ hai. Một điện tích riêng
rẽ tạo ra một điện trường trong khoảng không gian xung quanh, nhưng điện trường

này không thể tác dụng một lực lên điện tích đã tạo ra nó; đây là nguyên lý chung
một vật không thể tác dụng một lực lên chính nó.
Như vậy điện trường là môi trường vật chất chung quanh một điện tích,
thông qua đó điện tích này tác dụng lên điện tích khác một lực tĩnh điện
II.2.2.2. Véctơ cường độ điện trường
Để nghiên cứu điện trường do một hệ điện tích Q nào đó gây ra , chúng ta đặt
vào trong điện trường đó một điện tích nhỏ gọi là điện tích thử.
Vì điện tích thử q dùng để nghiên cứu điện trường ở mỗi điễm nên nó phải là
một điện tích điểm. Và nó cũng phải có điện tích đủ nhỏ sao cho điện trường do nó
gây ra không làm sắp xếp lại điện tích trên điện tích Q . Khi đặt một điện tích q bất
kỳ nào đó vào trong điện trường sẽ tác dụng lên
q
mô.
Khi đặt một điện tích thử q vào điểm xác định nào đó trong điện trường điện
trường sẽ tác dụng một lực điện F

. Lần lượt thay đổi các giá trị điện tích thử chúng
_0">kim, ta có thể xác định được lực điện tác
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 21
ta nhận thấy mặc dù lực điện F

thay đổi với các giá trị điện tích thử khác nhau
(không thay đổi vị trí) nhưng lực điện F

luôn tỷ lệ với điện tích thử q :
F
const
q





Như vậy ta thấy rằng tồn tại một đại lượng không phụ thuộc vào điện tích thử
đặt vào, đặc trưng cho điện trường về phương diện tác dụng lực. Véctơ đặc trưng
cho điện trường này ta ký hiệu là
E

. Vậy :
F
E
q




E

có ý nghĩa lực điện tác dụng lên một đơn vị điện tích. Đơn vị E

là vôn/mét
Với bất kỳ điểm nào trong không gian cũng tồn tại lực điện F

khi ta đặt một
điện tích thử tại điểm đó do đó
( )E r

có thể thay đổi từ điểm này đến điểm khác. Vì
vậy

( )E r

không phải là một đại lượng véctơ đơn lẻ mà là một tập hợp vô hạn các
đại lượng véc tơ, mỗi véctơ liên hệ với mỗi điểm trong không gian. Do đó chúng là
một trường véc tơ.
Điện trường là một trường véctơ, nghĩa là mỗi điểm trong không gian được
đặc trưng bởi một véctơ
E r

( )
, sao cho khi đặt vào điểm đó một điện tích thử q
thì điện tích thử này sẽ bị tác dụng một lực tĩnh điện:
( ) ( )F r qE r
 



Điện tích dương
0
q

được đặt trong một
điện trường: lực tác dụng lên
0
q
cùng
hướng với E


Điện tích âm

0
q
được đặt trong
một điện trường: lực tác dụng lên
0
q

cùng hướng với E


an>của lực điện với
2
1/ r đã được kiểm tra với độ chính xác rất cao.
Những kĩ thuật hiện đại tài tình cho phép dạng
2
1/ r
của định luật Coulomb được
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 19
kiểm tra đến độ chính xác không thể tin nổi, cho thấy số mũ nằm trong khoảng từ
1,99999999999999998 đến 2,0000000000000002
II.2.2. Điện trường là gì ?
II.2.2.1. Điện trường và lực điện
Khi hai hạt mang điện tương tác với nhau trong chân không, thì mỗi hạt biết
được sự có mặt của hạt kia như thế nào? Cái gì xuất hiện trong không gian giữa
chúng để truyền tác dụng của mỗi điện tích đến điện tích khác? Chúng ta có thể bắt
đầu trả lời các câu hỏi đó và đồng thời viết lại công thức định luật Coulomb theo
một cách rất hữu ích bằng cách sử dụng khái niệm điện trường.
Để đưa vào khái niệm này, hãy xem sự đẩy lẫn nhau của hai vật nhiễm điện

dương A và B

Vật nhiễm điện A tác dụng lực lên vật mang điện B như thế nào?
Giả sử rằng B có điện tích q

và F

là lực điện do A tác dụng lên B. Sự đẩy giữa
A và B như là một quá trình hai giai đoạn.
Đầu tiên chúng ta tưởng tượng rằng vật A, kết quả của điện tích mà nó mang,
làm thay đổi các đặc tính của không gian xung quanh nó. Sau đó vật B, kết quả của
điện tích mà nó mang, cảm nhận được không gian đã bị biến đổi như thế nào tại vị
trí của nó. Sự đáp lại của vật B là chịu tác dụng lực F

.
Để xem xét kỹ lưỡng quá trình hai giai đoạn
này xảy ra như thế nào, đầu tiên chúng ta xét riêng
vật A: Chúng ta bỏ vật B đi và ký hiệu vị trí cũ của
nó là điểm P.
an>được mô tả
bởi điện trường tổng cộng E

tại điểm P. Từ sự định nghĩa điện trường ta sẽ có:
1 2 3
....
F
E E E E
q
    


   

Điện trường tổng cộng tại P là tổng véctơ của tất cả các trường tại điểm P đó
do bởi từng điện tích điểm trong sự phân bố điện tích. Đó là nguyên lý chồng
chất điện trường.
II.2.2.4. Đường sức điện trường – định luật Gauss cho điện
trường.
Khái niệm điện trường có thể hơi khó hiểu bởi vì chúng ta không thể nhìn trực
tiếp một điện trường được. Các đường sức điện trường có thể là một một sự giúp đỡ
lớn để có thể mường tượng điện trường và làm cho chúng có vẻ như thực tế hơn.
Một đường sức điện trường là một đường thẳng hoặc cong không có thật
được vẽ qua một vùng không gian sao cho tiếp tuyến của nó tại một điểm bất kỳ
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 20
Chúng ta nói rằng vật mang điện A tạo ra hay gây ra một điện trường tại điểm
P. Điện trường này có mặt tại P ngay cả khi không có điện tích khác tại P: Nó chỉ là
kết quả của điện tích trên vật A. Nếu sau đó điện tích điểm q

được đặt tại điểm P,
nó chịu tác dụng lực F

.
Do đó, điện trường là vật trung gian qua đó vật
A “truyền” sự có mặt của nó tới q. Bởi vì điện tích
điểm q

sẽ chịu tác dụng một lực tại bất kỳ điểm nào
ở lân cận A, điện trường mà A tạo ra đó tồn tại tại
mọi điểm trong khoảng không gian xung quanh A.

Tương tự như vậy, chúng ta có thể nói rằng điện tích điểm q

tạo ra một điện
trường trong không gian quanh nó và điện trường này tác dụng lực F

lên vật A.
Đối với mỗi lực (lực của A tác dụng lên q

và lực của q

lên A), một điện tích tạo
nên một điện trường tác dụng một lực lên một điện tích thứ hai. Một điện tích riêng
rẽ tạo ra một điện trường trong khoảng không gian xung quanh, nhưng điện trường
này không thể tác dụng một lực lên điện tích đã tạo ra nó; đây là nguyên lý chung
một vật không thể tác dụng một lực lên chính nó.
Như vậy điện trường là môi trường vật chất chung quanh một điện tích,
thông qua đó điện tích này tác dụng lên điện tích khác một lực tĩnh điện
II.2.2.2. Véctơ cường độ điện trường
Để nghiên cứu điện trường do một hệ điện tích Q nào đó gây ra , chúng ta đặt
vào trong điện trường đó một điện tích nhỏ gọi là điện tích thử.
Vì điện tích thử q dùng để nghiên cứu điện trường ở mỗi điễm nên nó phải là
một điện tích điểm. Và nó cũng phải có điện tích đủ nhỏ sao cho điện trường do nó
gây ra không làm sắp xếp lại điện tích trên điện tích Q . Khi đặt một điện tích q bất
kỳ nào đó vào trong điện trường sẽ tác dụng lên
q
mô.
Khi đặt một điện tích thử q vào điểm xác định nào đó trong điện trường điện
trường sẽ tác dụng một lực điện F

. Lần lượt thay đổi các giá trị điện tích thử chúng

Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 21
ta nhận thấy mặc dù lực điện F

thay đổi với các giá trị điện tích thử khác nhau
(không thay đổi vị trí) nhưng lực điện F

luôn tỷ lệ với điện tích thử q :
F
const
q




Như vậy ta thấy rằng tồn tại một đại lượng không phụ thuộc vào điện tích thử
đặt vào, đặc trưng cho điện trường về phương diện tác dụng lực. Véctơ đặc trưng
cho điện trường này ta ký hiệu là
E

. Vậy :
F
E
q




E


có ý nghĩa lực điện tác dụng lên một đơn vị điện tích. Đơn vị E

là vôn/mét
Với bất kỳ điểm nào trong không gian cũng tồn tại lực điện F

khi ta đặt một
điện tích thử tại điểm đó do đó
( )E r

có thể thay đổi từ điểm này đến điểm khác. Vì
vậy
( )E r

không phải là một đại lượng véctơ đơn lẻ mà là một tập hợp vô hạn các
đại lượng véc tơ, mỗi véctơ liên hệ với mỗi điểm trong không gian. Do đó chúng là
một trường véc tơ.
Điện trường là một trường véctơ, nghĩa là mỗi điểm trong không gian được
đặc trưng bởi một véctơ
E r

( )
, sao cho khi đặt vào điểm đó một điện tích thử q
thì điện tích thử này sẽ bị tác dụng một lực tĩnh điện:
( ) ( )F r qE r
 



Điện tích dương

0
q

được đặt trong một
điện trường: lực tác dụng lên
0
q
cùng
hướng với E


Điện tích âm
0
q
được đặt trong
một điện trường: lực tác dụng lên
0
q

cùng hướng với E


pan>
. .
n
k
k
S S
E dS E dS


  

 
   
 

Để tính tích phân này ta sẽ tách tích phân này thành 2 phần. Một phần gồm l
điện tích q
i
nằm trong S và k điện tích điểm q
j
nằm ngoài S
1 1 1 1 1
. . . .
n l k l k
k i i i j
k i j i j
S S S S S
E d S E dS E dS E dS
    
        
    
    
       
    

Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 22
II.2.2.3. Nguyên lý chồng chất điện trường.

Trong hầu hết các trường hợp trong thực tế liên quan đến các điện trường và
lực điện, chúng ta bắt gặp điện tích được phân bố trong không gian. Chúng ta sẽ
tính điện trường gây ra bởi các phân bố khác nhau của điện tích.
Để tìm điên trường gây ra bởi một sự phân bố điện tích, chúng ta tưởng tượng
sự phân bố đó được tạo bởi nhiều điện tích điểm q
1
, q
2
, q
3
,... . Tại bất kỳ điểm P cho
trước nào, mỗi điện tích điểm tạo ra một điện trường của chính nó
1 2 3
, , E E E
  
vì
thế một điện tích thử
q
được đặt tại P chịu tác dụng một lực
1 1
F qE
 
từ điện tích
1
q
, một lực
2 2
F qE
 
từ điện tích

2
q

và ...vv.
Từ nguyên lý chồng chất lực, lực tổng cộng F

mà sự phân bố điện tích tác
dụng lên q

là tổng véctơ của các lực riêng biệt đó:
 
1 2 3 1 2 3 1 2 3
... .... .....F F F F qE qE qE q E E E           
         

Tác động tổ hợp của tất cả các điện tích đó trong sự phân bố này được mô tả
bởi điện trường tổng cộng E

tại điểm P. Từ sự định nghĩa điện trường ta sẽ có:
1 2 3
....
F
E E E E
q
    

   

Điện trường tổng cộng tại P là tổng véctơ của tất cả các trường tại điểm P đó
do bởi từng điện tích điểm trong sự phân bố điện tích. Đó là nguyên lý chồng

chất điện trường.
II.2.2.4. Đường sức điện trường – định luật Gauss cho điện
trường.
Khái niệm điện trường có thể hơi khó hiểu bởi vì chúng ta không thể nhìn trực
tiếp một điện trường được. Các đường sức điện trường có thể là một một sự giúp đỡ
lớn để có thể mường tượng điện trường và làm cho chúng có vẻ như thực tế hơn.
Một đường sức điện trường là một đường thẳng hoặc cong không có thật
được vẽ qua một vùng không gian sao cho tiếp tuyến của nó tại một điểm bất kỳ
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 23
trùng với hướng của véctơ điện trường tại điểm đó. Nhà khoa học người Anh
Michael Faraday (1791-1867) là người đầu tiên đưa ra khái niệm đường sức điện
trường. Ông gọi chúng là “các đường lực” nhưng thuật ngữ “đường sức điện
trường” thích hợp hơn. Đường sức điện trường là những đường cong không kín có
điểm bắt đầu và điểm kết thúc.
Các đường sức điện trường cho thấy hướng của E

tại mỗi điểm, và khoảng
cách giữa chúng đưa ra một ý tưởng khái quát về độ lớn của E

tại mỗi điểm. Nơi E


mạnh, chúng ta vẽ các đường sức lại gần nhau hơn; nơi E

yếu hơn, chúng xa nhau
hơn
Với quy ước này thì số đường sức vẽ qua đơn vị diện tích dS có véctơđơn vị
pháp tuyến

n

hợp với vec tơ
E

một góc  bằng
cos .dN EdSn EdS E dS

  



Đại lượng có trị số bằng tích vô hướng của véctơ cường độ điện trường
E

với
các véctơ phần tử bề mặt gọi là dS

gọi là thông lượng của véctơ cường độ điện
trường gửi qua mặt dS.
. =d E dS EdScosα 


Thông lượng cuả véctơ cường độ điện trường gửi qua mặt hữu hạn S bằng
.
S
E dS 

 

Như vậy thông lượng điện trường gửi qua một hữu hạn S bất kỳ có ý nghĩa là
tổng số đường sức điện chui qua mặt kín đó. Đề đi tìm sự liên hệ giữa thông lượng
cuả véctơ cường độ điện trường và điện tích đặt trong mặt S trước tiên ta xét trường
hợp bên trong thể tích V được bao bới mặt kín S chỉ có một điện tích điểm q. Ta lấy
một mặt Gauss có tâm trùng với điện tích q có bán kính r sao cho mặt cầu này đặt
trọn trong lòng mặt kín S.
Ta tính thông lượng véctơ cường độ điện trường gửi qua mặt Gauss này. Ta lấy
phần tử diện tích dS trên mặt cầu.
Tương tác điện từ - Từ cổ điển đến lượng tử GVHD: TSKH Lê Văn Hoàng

Trang 24
2
0
1
. .
4
S S
q r
E dS dS
r r

 
  
 
 
 

  
 

Do véctơ
và n r
 
là 2 véctơ cùng phương do đó
2
0 0
1
. .
4
S S
q r q
E dS dS
r r
 
 
   
 
 
 

  
 

Với tính chất liên tục của các đường sức

cứ có một đường sức chui qua mặt
Gauss thì đường sức đó cũng sẽ chui qua mặt S. Cùng với ý nghĩa thông lượng
véctơcường độ điện trường chui qua diện tích dS biết số các sức chui qua diện tích
đó. Do đó thông lượng véctơ cường độ điện trường gửi qua mặt Gauss cũng chính
là thông lượng véctơcường độ điện trường gửi qua mặt S. Do đó ta cũng sẽ có

0
q

 
Nếu như điện tích q nằm ngoài mặt S thì sao? Cứ có bao nhiêu đường sức xuất
phát từ điểm q chui vào mặt kín S thì có bấy nhiêu đường sức đó chui ra mặt S. Do
đó thông lượng véctơ cường độ điện trường gửi qua mặt S thì 0 
Tóm lại, đối với điện tích điểm q ta sẽ có:
0
.
S
q
E d S

  

 

khi q nằm trong mặt kín S
. 0
S
E dS  

 

khi q nằm ngoài mặt kín S
Bây giờ ta sẽ mở rộng định lý này cho trường hợp khi bên trong không gian là
một hệ gồm n các điện tích điểm. Khi đó theo nguyên lý chồng chất điện trường ta
sẽ có
1

. .
n
k
k
S S
E dS E dS

  

 
   
 

Để tính tích phân này ta sẽ tách tích phân này thành 2 phần. Một phần gồm l
điện tích q
i
nằm trong S và k điện tích điểm q
j
nằm ngoài S
1 1 1 1 1
. . . .
n l k l k
k i i i j
k i j i j
S S S S S
E d S E dS E dS E dS
    
        
    
    

       
    