Cơ học đại cương - Phần 2 Dao động và sóng cơ - Chương 1 pdf

Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng











PHệN II :

DAO ĩNG VAè SOẽNG C














32
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Chơng 1 :

Các dao động Tử Điều hòa liên kết
hiện tợng lan truyền dao dộng


Đ1. Dao động tự do của các dao động tử liên kết :
1) Dao động tự do của hệ một bậc tự do :
a) Dao động tử điều hoà:
Xét một hệ chỉ có một bậc tự do. Biến thiên của hệ đợc đặc trng bằng một đại lợng vật lý


(

có thể là dịch chuyển, góc lệch, cờng độ, điện áp ). Ví dụ, một con lắc chuyển động quay
xung quanh một trục nằm ngang, chuyển động của hệ đợc xác định bằng góc lệch của con lắc
so với vị trí cân bằng.
Nếu hệ có một vị trí cân bằng bền ứng với
0


=
và ở lân cận vị trí cân bằng đó, phơng trình
biến thiên của

có dạng:

2
2
0

2
(
d
dt

0
)


= (1)
thì khi đó hệ sẽ thực hiện một dao động điều hòa, có tần số góc
0

.
Phơng trình dao động có dạng:
00
() cos( )
m
tt


=
++

Hệ nói trên đợc gọi là một dao động tử điều hoà.
b) Dao động tử cơ học có phục hồi tuyến tính :
Xét một vật có khối lợng M, gắn vào một lò xo có độ cứng K (bỏ qua khối lợng của lò xo),
trợt không ma sát dọc theo một thanh nằm ngang. Vị trí cân bằng ứng với độ dài của lò xo là a
0
,

đợc chọn làm gốc của trục Ox. Đầu kia của lò xo gắn vào một điểm cố định (Hình 1).
Gọi
()t

là dịch chuyển của vật so với vị trí cân bằng.
Trong hệ quy chiếu giả thiết là Galilée, phơng trình chuyển động là:
2
2
d
M
K
dt


=
Dao động của vật là dao dộng điều hòa, có tần số góc :
0
K
M

=

i
Hình 2
L
-q
q
C

0

a

x
x
Hình 1









c) Dao động tử điện học:
Hãy xét sự tơng đồng giữa một con lắc lò xo và một mạch điện LC nối tiếp.
Cho mạch điện nh hình vẽ, gồm tụ điện có điện dung C, cuộn dây có hệ số tự cảm L, q là điện
tích trên hai bản tụ điện (Hình 2).
áp dụng định luật bảo toàn năng lợng để viết phơng trình vi phân mô tả sự biến thiên của q:
W
C
+ W
L
= W = hằng số

33
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Trong đó:
2
1

2
C
q
W
C
= : năng lợng điện trờng giữa hai bản tụ điện.

2
1
2
L
WL= i
: năng lợng từ trờng trong ống dây.
Suy ra:
2
2
11
22
q
Li const
C
+=
0
qdi
qLi
Cdt
+
=

0
q
qLqq
C
+
=


với:
dq
iq
dt
==


Vậy:
với:
2
0
0qq+ =

0
1
LC
=
Nh vậy, q biến thiên điều hòa với tần số góc:
0
1
LC
=

Chúng ta thấy đợc sự tơng đồng của hai hệ : Cơ hệ và mạch điện LC nối tiếp:
Khối lợng M và độ cứng K của cơ hệ đợc thay thế bằng hệ số tự cảm L và nghịch đảo của điện
dung C. Tần sồ góc trong dao động cơ:
0
K
M

=
tơng tự nh tần số góc:
0
1
LC
= trong dao
động điện của mạch LC.
2) Dao động tự do của hệ có 2 bậc tự do:
a) Sự liên kết hai dao động tử:
Xét hệ gồm hai vật có cùng khối lợng M, trợt không ma sát trên thanh nằm ngang Ox. Mỗi vật
đợc gắn trên một lò xo có độ cứng K, chiều dà khi cân bằng là a
0
. Đầu kia của mỗi lò xo đợc
gắn cố định với giá (Hình 3). Khi cha có lò xo giữa, hai vật sẽ thực hiện hai dao động tự do độc
lập nhau, với cùng tần số góc
0
K
M

=
.
Hình 4

Hình 3
x
KK
x
KK
O
Liên kết
Dao tử 2
Dao tử 1
x
x
0
a
0
b
0
a
x
1

2

1
F

1
f

2
F

2
f

O
(2)
(3)
(1)













Gắn thêm vào giữa hai vật một lò xo độ cứng k, chiều dài khi cân bằng là b
0
. Chọn gốc O của trục
Ox nằm trên giá bên trái (Hình 4).
Ký hiệu
1

và
2

là dịch chuyển của vật (1) và (2) so với vị trí cân bằng của chúng.
Vật (1) chịu tác động của các lực:
11x
FKe

=


(Do lò xo (1) tác động)
và:
[
]
121x
f
ke

=


(Do lò xo (3) tác động)
Vật (2) chịu tác động của các lực:

34
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
22x
FKe

=

(Do lò xo (1) tác động)
và:
21
f
f=

(Do lò xo (3) tác động)
Phơng trình chuyển động của hệ hai vật:
111
212
()
()
MKk
Mk K
2
2




=


=



(2)
Nh vậy, lò lo giữa đã liên kết hai vật : Chuyển động của hai vật không còn độc lập với nhau nữa.

b) Nghiệm của phơng trình chuyển động:
Dùng phơng pháp đổi biến số:
u
12


=+
và
12
v


=


Suy ra:
1
v
2
u

+
=
và
2
v
2
u

=

Thay vào (2), phơng trình chuyển động trở thành:
v(2)
Mu Ku
v
M
Kk
=


= +



(3)
Đây là hệ phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, hệ số hằng.
Nghiệm của hệ (3) có dạng:
11
22
() cos( )
() cos( )
m
m
ut u t
vt v t

=+


=+


Tần số góc
1

và
2

bằng :
1
K
M

=
;
2
2Kk
M

+
=

H
ì
nh 5
Suy ra:

1

21


=
21


=

1

(5b)
( 5a)
111 2
211 2
cos( ) cos( )
22
cos( ) cos( )
22
mm
mm
uv
tt
uv
tt
2
2

=+++




=+


+

Khi biết vị trí và vận tốc ban đầu của hai vật:
1
(0)

;
2
(0)

;
1
(0)
d
dt

;
2

(0)
d
dt

có thể xác định hoàn toàn
1
()t

và
2
()t

.
c) Tần số góc riêng và các dạng dao động riêng:
Các tần số góc
1

và
2

đợc gọi là tần số góc riêng của hệ hai dao động tử liên kết.
ắ Khi : v(t) = 0, tức là khi:
12 11
() () cos( )
2
m
u
tt t

=
=

+
hệ sẽ dao động với tần số góc
1

. Khi đó, ta nhận đợc dạng dao động riêng ứng với tần số góc
1

. Dịch chuyển của hai vật
nh nhau. Đây là dạng dao động riêng đối xứng (Hình 5a).
ắ Khi: u(t) = 0, tức là khi:
12
() ()tt


=
hệ sẽ dao động với tần số góc
2

. Khi đó, ta nhận
đợc dạng dao động riêng ứng với tần số góc
2

. Đây là dạng dao động riêng phản đối xứng
(Hình 5b).
ắ Để quan sát đợc một trong hai dạng dao động riêng, ví dụ dạng dao động riêng đối xứng,
cần có v(t) = 0. Điều này có đợc nhờ các điều kiện ban đầu có dạng:
;

v(0) = 0
dv
(0) 0
dt
=
, tức
là tại thời điểm ban đầu hệ đợc kích thích ở dạng dao động riêng đối xứng.



35
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Ghi chú:
Nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân tuyến tính (2) của chuyển động là một tổ hợp tuyến
tính của hai dạng dao động riêng:

1
11 2 2
2
11
cos( ) cos( )
11
22
mm
uv
tt

=++






+

3) Dao động tự do của N dao động tử liên kết (Dao động tự do của hệ N bậc tự do):
ắ Xét trờng hợp tổng quát: Hệ gồm N dao động tử liên kết giống hệt nhau. Khi đó sẽ xuất hiện
N dạng dao động riêng có tần số góc khác nhau. Chuyển động quan sát đợc là sự chồng chất của
N dạng dao động của chuỗi các dao động tử (Hình 6).










x
O
1

2

3

n

a
2a
3a
Na
Hình 6: N dao độn
g
tử liên kết
ắ Biểu diễn các dao động riêng trên đồ thị :
Trên trục hoành Ox, biểu diễn vị trí cân bằng x
0n
= na của khối lợng thứ n.
Trên trục tung Oy, biểu diễn dịch chuyển
n

(mặc dù dịch chuyển này nằm theo trục Ox).
Với N = 1 (Hình7a), một vật duy nhất thực hiện dao động điều hòa với tần số góc :
1
2K
M

=

(có thừa số 2 vì có hai lò xo gắn vào vật)
Với N = 2 (Hình 7b), và với ba lò xo cùng độ cứng K, tần số góc của hai dạng dao động riêng
là:

1
K
M

=
và
2
3K
M

=

Dạng dao động riêng thứ nhất và thứ hai lần lợt tơng ứng với dạng dao động đối xứng và dạng
phản đối xứng của hệ hai vật.
Tơng tự cho trờng hợp N = 3, N = 4 và N bất kỳ (Hình 8).

Hỗnh 7a :
Hỗnh 7b:

36
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Hỗnh 8:


















Đ2. Dao động cỡng bức của các dao động tử liên kết:
1) Dao động cỡng bức của hệ một bậc tự do:
a) Hiện tợng cộng hởng với dao động tử lý tởng (không có lực cản):
ắ Dao động tử một bậc tự do (Hình 9) đợc kích thích bởi một cơ cấu tay quay- con trợt, tạo
nên một dịch chuyển có dạng

()t

của một đầu lò xo. Gọi a

và K lần lợt là chiều dài ứng với vị
trí cân bằng và độ cứng của mỗi lò xo.
Lực tác dụng lên vật bao gồm:
Lực từ lò xo (1):
1
()
x
FK e


=


; Lực tác dụng từ lò xo (2):
2 x
FKe

=

Hình 10:
(Trên hình vẽ giả sử

>


()t

()t

x
x
x
(2)F

(1)F

(2)
(1)
H
ỗnh 9:

37
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
áp dụng định lý về động lợng và chiếu lên trục Ox Phơng trình chuyển động của vật :
()
M
KK


=


Hay:
2
M
KK


+=


Trong đó :

() ()Ft K t

=
là lực tác dụng bổ sung lên vật do dịch chuyển của đầu lò xo bên trái,
gắn với cơ cấu tay quay-con trợt. F(t) đợc gọi là lực kích thích.
Vì vậy, phơng trình của chuyển động trở thành:
2
0
()
.
F
t
M

+=

(4) với:
0
2K
M

=

0

chính là tần số góc riêng (tần số góc của dao động tự do) của hệ.
ắ Phơng trình (4) là một phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất (có vế
phải) có hệ số hằng. Nghiệm tổng quát của (4) là tổng của nghiệm tổng quát
0
()t

của phơng
trình vi phân thuần nhất (không có vế phải) và một nghiệm riêng
1
()t

của phơng trình vi phân
có vế phải:
01
() () ()ttt


=+
Thành phần
0
()t

biểu diễn dao dộng tự do (không có lực cản) của hệ.
Thành phần
1
()t

biểu diễn dao dộng cỡng bức của hệ.
Trên thực tế, do có lực cản (ví dụ ma sát giữa vật và thanh ngang), thành phần
0
()t

tắt dần. Cuối
cùng, sau một khoảng thời gian nhất định chỉ còn lại thành phần
1

()t

biểu diễn dao động cỡng
bức của hệ.
Khi đó :
1
() ()tt


=
và dao động của vật đạt đợc chế độ cỡng bức ổn định.
ắ Xét chế độ cỡng bức hình sin ổn định (không có lực cản).
Khi đó F(t) có dạng hình sin theo thời gian:
0
() cosFt F t

=

Phơng trình ( 4) trở thành:
2
0
0
cos
.
F
t
M


+=

(5)

Nghiệm riêng của phơng trình (5) biểu diễn dao động
cỡng bức có dạng:
1
() ( )cos( )tA t


=+


Tính
1
()t


và
1
()t


, thay vào (5), suy ra :
0

=
và biên
độ
()A

của dao động cỡng bức :

0
2
0
1
()
F
A
M

2


=

với:
0



Giá trị tuyệt đối
A
của biên độ A phụ thuộc vào tần số
góc

của lực kích thích. Khi
0

= (tần số góc

của
lực kích thích bằng tần số góc riêng
0

của hệ), thì
A
, hiện tợng cộng hởng sẽ xảy ra
(Hình 11).
0
2
F
K
0

Hỗnh 11
b) Giới hạn của biên độ khi cộng hởng:
Trên thực tế, biên độ khi cộng hởng không tiến đến vô cùng mà bị giới nội, bởi vì :
Trên thực tế tồn tại các lực cản không thể bỏ qua đợc, chẳng hạn lực ma sát nhớt, lực ma sát
khô.
Mô hình trên đây là mô hình tuyến tính, tức là độ cứng K của lò xo xem nh bằng hằng. Trên
thực tế, K không phải là hằng số mà phụ thuộc vào dịch chuyển (biến dạng) của lò xo.
c) Dao động cỡng bức có lực cản nhớt của dao động tử một bậc tự do:

38
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Xét dao động tử một bậc tự do, đợc kích thích bởi một cơ cấu tay quay con trợt, tạo nên một
dịch chuyển có dạng:
()t

của một đầu lò xo. Giả sử lực ma sát nhớt (lực cản nhớt) tác động lên
vật có dạng:
C
Fh

=

, trong đó h là hệ số cản của môi trờng (Hình 12a).
Phơng trình chuyển động có dạng :
()
M
Kh


=


()t

()t

x
M
(K)

2
0
()
2

F
t
M

++=

(1)
với:
0
K
M

=
;
2
h
M

=
;
() ()Ft K t

=

Nếu đa vào hệ số Q với:
0
2
h
M
Q

==
Hình 12
a

,
0

Hình 12b
1
2
Q >
1
2
Q <
A
0

0
2
0
F
M

Q đợc gọi là hệ số phẩm chất của dao động tử (khi Q càng
lớn thì hệ số cản h càng nhỏ, nghĩa là lực cản nhớt của môi
trờng càng bé).
Phong trình dao động trở thành:
2

0
0
()Ft
QM


++=

(2)
Chúng ta chỉ nghiên cứu chế độ cỡng bức hình sin ổn
định. Trong chế độ cỡng bức hình sin
0
() cosFt F t

=
,
nghiệm riêng
(t)

của phơng trình (2), biểu diễn dao
động cỡng bức có dạng :

() ( )cos( )tA t


=+


Dới dạng phức, ta có :
0

()
it
F
tFe

=
;
() ( )
it
tAe


=
; () ()
i
AAe


=

()ti( )
it
Ae


=

và
()
2

2
() ( ). ( ).
it it
tiAe Ae



==

hay:
2
() . ()tt

=


Thay ()t


và ()t


vào (2), suy đợc phơng trình theo ()t

:


22
00
0

()
it
F
it
QM
e




+ =




()
0
22
0
0
()
it
Fe
t
M
i
Q

=
+


()
0
22
0
0
1
()
F
A
M
i
Q




=
+

Biên độ dao động của dịch chuyển
()t

chính là mođun
()A

của
()A

và có dạng:

0
2
222
0
0
1
()
()
F
A
M
Q



=

+



Nghiên cứu sự biến thiên của biên độ dao động
()A

theo

:

39
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Ta có:
()
2
22
0
0
0
3/2
2
222
0
0
2.
()
()
Q
F
dA
dM
Q

=


+






Với điều kiện
1
2
Q > thì
()
0
dA
d

=


22
0
2
1
1
2Q



=






,
00
2
1
1
2Q

==

Bảng biến thiên :







0
2
0
F
M

0
,
00
2
1
1
2Q

=

()A

max
A
0
Đồ thị biểu diễn

()A

theo

cho trên hình 12b. Ta thấy, khi hệ số phẩm chất đủ lớn:
1
2
Q >
,
biên độ
()A

sẽ cực đại (nhng không tiến đến vô cùng) khi :
'
00
2
1
1
2Q
0


=
=
.

Trong trờng hợp
1
2
Q < , đồ thị biến thiên của A theo

cho trên hình 12b : không thấy xuất
hiện hiện tợng cộng hởng.
2) Dao động cỡng bức của hệ nhiều bậc tự do:
a) Hệ hai bậc tự do:
ắ Dao động cỡng bức không có lực cản của hệ hai bậc tự do :
Xét hai dao động tử liên kết, giống nhau, liên kết nhau
bằng ba lò xo giống nhau, cùng độ cứng K (Hình 13).
Giả sử bỏ qua mọi ma sát tác dụng lên hai vật.
Hình 13:
x
KK
K
()t

1

2

Đầu lò xo bên trái thực hiện một dao động :
0
() costt


=
Phơng trình chuyển động của hai vật này :
(1)
22
0
10102

22
20201
2c
20
F
t
M
os




+=



+=




với:
0
K
M

=
và
00
.FK

=
Sử dụng phép đổi biến số :
1
u
2


=+
và
1
v
2


=

, hay
1
2
uv

+
=
và
2
2
uv

=
, suy đợc:
(2)
2
0
1
2
0
2
cos
v+ vcos
F
uu
M
F
t
M
t




+=




=

Trong đó :
10


=
và
20
3

=
là các tần số góc riêng của hệ hai dao động tử liên kết.

40
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Chỉ xét chế độ cỡng bức hình sin ổn định. Khi đó u(t) và v(t) chính là nghiệm riêng của hệ
phơng trình vi phân (2) cấp hai, có vế phải, hệ số hằng và có dạng:

() ( )cosut U t


=
;
() ( )cosvt V t


=

Tơng tự nh Đ2.1.a, suy đợc:
0
22
1
1F
U
M



=



và:
0
22
2
1F
V
M




=

Do đó, dịch chuyển
1
()t

và
2
()t

sẽ có dạng:

11
22
() ( )cos( )
() ( )cos( )
tA t
tA t





=

=


với:
0

1
22 22
12
11
()
2
F
A
M




=+



và:
0
2
22 22
12
11
()
2
F
A
M

=






Đồ thị của
1
()A

và
2
()A

theo

cho trên hình 14a và 14b, với :
0
1
22
12
11
2
F
M

=+


và
0
2
22
12
11
2
F
M





=





Nh vậy sẽ xuất hiện hai trờng hợp cộng hởng đối với hệ hai bậc tự do, ứng với khi tần số kích
thích

trùng với tần số góc riêng

1

hoặc với tần số góc riêng
2

.
ắ Trong trờng hợp dao động thực (có lực cản), biên độ dao động cũng bị giới nội, tơng tự
nh khi nghiên cứu dao động của hệ một bậc tự do (Hình 15).
















Hình 15
Hình 14
b) Trờng hợp chuỗi các dao động tử liên kết (Hệ N bậc tự do):
Xét một chuỗi gồm N dao động tử liên kết, giống nhau.
Khi tập hợp của N dao động tử liên kết (có hệ số phẩm chất Q tơng đối lớn) chịu một kích thích
hình sin, có tần số góc

. Biên độ dao động sẽ lớn khi tần số kích thích xấp xỉ một trong các tần
số riêng của hệ.





Đ3. Hiện tợng lan truyền dao động :

41
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
1) Lan truyền dao động trong chuỗi các dao động tử:

x
O
1

2

3

N

a
2a
3a
Na

Hình 16: N dao độn
g
tử liên kết

Xét một chuỗi các dao động tử giống nhau gồm N dao động tử liên kết (Hình 16).
Phơng trình chuyển động của vật thứ (n) là :
11
2
nn n
MK KK
n


+
=+


n

: dịch chuyển của vật thứ (n) so với vị trí cân bằng của nó xác định bởi chỉ số n.
Tởng tợng rằng vật (1) dịch chuyển về phía trớc một chút. Thông qua lò xo, vật (1) sẽ đẩy vật
(2) chuyển động, vật (2) chuyển động lại đẩy vật (3) chuyển động Dịch chuyển của các vật sẽ
lan truyền dọc theo chuỗi các dao động tử liên kết.
ắ Nh vậy:
Trong chuỗi các dao động tử liên kết, dịch chuyển của một vật sinh ra một lực tác dụng lên các

vật lân cận, làm chúng chuyển động. Các dịch chuyển của chúng sinh ra những lực mới làm xuất
hiện các dịch chuyển mới.
Biến dạng của các liên kết giữa các vật lân cận sẽ lan truyền từ gần ra xa bên trong chuỗi.
Đại lợng lan truyền đi (ở đây là dịch chuyển của các vật trong chuỗi) sẽ tạo nên một sóng.
Sự tồn tại hai đại lợng (dịch chuyển và lực), đại lợng này tạo ra đại lợng kia và ngợc lại (gọi
là hai đại lợng liên kết) là cơ sở của các hiện tợng truyền sóng.
2) Sóng trong chuỗi các dao động tử :
a) Phơng trình truyền sóng:
Sự lan truyền của sóng đợc mô tả bởi phơng trình truyền sóng.
Phơng trình chuyển động của dao động tử thứ (n) có dạng:
11
.2
nn n
MK KK
n


+
=+


có thể đợc gọi là phơng trình lan truyền sóng biến dạng của chuỗi dao động tử so với vị trí cân
bằng.
b) Nghiệm dạng hình sin của phơng trình truyền sóng:
ắ Phơng trình truyền sóng biến dạng của chuỗi dao động tử:
(1)
với:
2
01 1
(2.

nnn

+
=+

)
n
0
K
M

=

là một phơng trình vi phân tuyến tính.
Chuỗi nói trên gồm nhiều dao tử động liên kết, do đó tơng tự nh chuỗi hai dao động tử liên kết,
hãy xem thử có tồn tại các nghiệm hình sin, tần số góc
biểu diễn dao động tự do của hệ hay
không?.
ắ Chúng ta tìm nghiệm dới dạng phức :
[
]
() exp ( )
nn
tA itkx


=
với
0
exp( )AA i

= , với A
là số thực dơng, còn

0
là một số thực nào đó, là một số thực dơng.
Tính
()
n
t


và
()
n
t


:
[
]
() exp ( )
nn
tiA itkx


=

;
[

]
2
() exp ( )
nn
tAitkx


=


Thay vào (1), đồng thời lu ý rằng
.
n
x
na
=
, suy đợc :

[
]
22
0
exp ( ) exp ( ) 2.exp ( ) exp ( )i kna i kna ka i kna i kna ka

= + +


42
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

[
]
22
0
exp( ) 2 exp( )ika ika

= +


[
]
22
0
cos() sin()2cos() sin()ka i ka ka i ka

= + +


[
]
22
0
21cos()ka

=

222
0
4.sin
2

ka


=




0
2.sin
2
ka


=



ắ Do 0sin 1
2
ka





0
02

Các tần số góc của các dao động tự do sẽ nằm trong miền :
0
02




ắ Nh vậy, các sóng hình sin lan truyền dọc theo chuỗi các dao động tử liên kết có dạng :

0
()
()
itnka
n
tAe



+
=

Dao động của các vật đợc viết dới dạng thực nh sau:

0
() cos( )
n
tA tnka

=+

ắ Phơng trình truyền sóng cho ta hệ thức
0
2.sin
2
ka


=


hay :
2sin
2
Kka
M


=


với:
chính là tần số góc riêng (tần số góc của dao động tự do) của vật thứ (n).
Hệ thức trên đây cho ta mối quan hệ giữa tần số góc riêng và k và đợc gọi là hệ thức tán xạ.
c) Sóng chạy đơn sắc :
Xét một sóng có hàm sóng mô tả bởi biểu thức :
0
(,) cos( )xt A t kx

=
+

Dịch chuyển
n
(t) của vật nặng thứ (n) ứng với giá trị của hàm sóng (x,t) tại vị trí cân bằng
x = na của vật này :
()
() ( , )
nx
txt
na


=
=


Sóng đơn sắc:
Sóng mà hàm sóng có dạng hình sin :
0
(,) cos( )xt A t kx


=
+
đợc gọi là sóng đơn sắc.

Sóng chạy :
Ta có :
(
)
0
(,)cosxxttA t tkxkx


+ + = + +

Hàm sóng
(,)
x
t

nhận cùng một giá trị tại
(x,t) và tại (x + x, t + t), tức là:
(,) ( , )
x
txxtt


=++
nếu nh
.kx t


=

Hình 17

Có thể nói rằng sóng đơn sắc nói trên (đặc
trng bằng pha của nó) dịch chuyển với vận tốc :

v
k


=

v

đợc gọi là vận tốc pha của sóng.
Sóng
(,)
x
t

chạy dọc theo trục (Ox) của chuỗi
dao động tử với vận tốc
v

là một sóng chạy.
ắ Ghi chú: Cần phân biệt hai khái niệm:
Vận tốc dịch chuyển của vật nặng:
[]
()
(,
n
xna
dt

xt
dt t


=

=


Vận tốc pha:
v
k


=
(vận tốc lan truyền của pha)

43
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
d) Bớc sóng - Véctơ sóng:
ắ Đại lợng k có thể duơng hay số âm. Hai sóng
(||)
(,)
itkx
xt Ae



++
=

và
(||)
(,)
itkx
xt Ae


+

=
có
cùng tần số. Hai sóng chạy này lan truyền dọc theo chuỗi các dao động tử, nhng theo hai hớng
ngợc nhau.
Với sóng chạy đơn sắc:
(
(,)
itkx
xt Ae



=
)
, ta đa ra vectơ :
x
kke=


gọi là vectơ sóng cho biết
phơng chiều lan truyền của sóng. k có thể dơng hoặc âm. Nếu k > 0 : sóng chạy theo phơng

chiều của trục Ox. Nếu k < 0 : sóng chạy theo phơng chiều ngợc với chiều của trục Ox.
ắ Tần số góc

và vectơ sóng k liên hệ nhau bằng hệ
thức tán xạ :
0
() 2 sin
2
ka
k


=


.
Hình 18
Đồ thị của
()k

nh trên hình 18, chỉ đợc vẽ trong
vùng :
k
aa


<<
, bởi vì các giá trị k và
2
k

a

+
ứng
với cùng một nghiệm vật lý
(,)
x
t

.
ắ Một sóng chạy đơn sắc có tính chất tuần hoàn theo
cả thời gian và không gian và có hai chu kỳ :
Chu kỳ theo thời gian :
2
T


=
; Chu kỳ theo không
gian:
2
k


=
gọi là bớc sóng.
ắ Chúng ta thấy rằng, sóng biến dạng truyền trong chuỗi vô hạn các dao động tử liên kết là sự
chồng chất của nhiều sóng chạy đơn sắc.
e) Phép gần đúng cho các môi trờng liên tục:
@ Chuỗi các nguyên tử liên kết đàn hồi bằng các lò xo là một sự mô hoá đơn giản để mô tả sự lan

truyền các dao động nhỏ trong vật rắn (sự lan truyền của sóng âm trong vật rắn).
Thật vậy, vật rắn có thể xem nh gồm một chuỗi vô hạn các dao động tử liên kết : Các vật dao
động có cùng khối lợng M, liên kết với nhau bằng các lò xo giống nhau, có cùng độ cứng K
không đổi. Nguyên tử trong vật rắn có thể xem nh là vật dao động. Lực tơng tác có xu hớng
đa nguyên tử trở về vị trí cân bằng có thể xem nh là các lò xo có độ cứng không đổi. Khi một
nguyên tử bị kích thích dao động, dao động của nó sẽ làm các nguyên tử lân cận dao động theo,
dẫn đến sự lan truyền của dao động bên trong vật rắn, nghĩa là sự lan truyền của sóng âm trong
vật rắn.
ắ Trong vật rắn, các nguyên tử cách nhau khoảng vài mơi nanomét, và bớc sóng

của các
sóng âm lan truyền trong vật rắn rất lớn so với khoảng cách giữa các nguyên tử : a <<

.
Ta có :
(
)
0
() cos
n
tA tnka


=+
và
(
)
10
() cos
n

tA tknaka


+
=+

ứng với
2akak


<< << =

t
thì
1
() ()
nn
t


+

: Các dịch chuyển ()
n
t

và
1
()
n

t

+
hai
nguyên tử lân cận nhau khác nhau rất ít. Tập hợp
các giá trị
()
n
t

mô tả một cách liên tục các giá
trị tại t của hàm sóng
(,)
x
t

Có thể sử dụng
một phép gần đúng cho môi trờng liên tục (có thể
mô hình hoá một môi trờng liên tục bằng chuỗi
các dao động tử liên kết), nếu kích thớc đặc trng
của môi trờng (khoảng cách a giữa các nguyên
tử) nhỏ so nhiều với bớc sóng
của các sóng lan
truyền : a <<

(Mô hình bớc sóng lớn).
Hình 19 : Mô hình bớc són
g
lớn

44