Một số cách chứng minh định lí Pitago_1 ppsx

Một số cách chứng minh định
lí Pitago
Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge

Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển
thuộc học thuyết Pitago của tác giả Elisha Scott Loomis, được xuất bản
lần đầu tiên bởi Hội đồng giáo viên quốc gia của môn toán học, vào
năm 1927. Thật đáng tiếc, quyển sách này hiện nay không được xuất
bản nữa, trong cuốn sách này có tới trên 300 cách chứng minh định lý
Pitago, trong đó, có nhiều cách chứng minh tương tự nhau, và tất cả
các cách chứng minh nổi tiếng đều có trong cuốn sách của Loomis.

Cách chứng minh dưới đây thì tương tự như cách chứng minh của
Bhaskara trong phần “Behold!” đã giới thiệu ở bài trước. Cách chứng
minh này được đăng trên tạp trí giáo dục, xuất bản hàng ngày, và tác
giả của nó là cô E. A. Coolidge - là một người mù.

Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên các cạnh của nó (dùng
công cụ custom)
2. Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A bằng cách :

+ Chọn đoạn HA và điểm A

+ Chọn menu Transform > Rotate > degrees =180

3. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với đoạn AA’, Vẽ
điểm giao K của 2 đường này.

( Hình bên minh họa cho các bước từ 1 đến 3)

4. Vẽ hình vuông A’KLM.

(Sử dụng công cụ Custom tool như đã giới thiệu ở bài 1)

5. Vẽ Đoạn BK, GM, FL.

6. Làm ẩn đi đường BK.

7. Tô màu cho 4 mảnh trong hình vuông trên cạnh huyền.

8. Đánh dấu vectơ EJ và dịch chuyển 4 đỉnh và 4 cạnh của hình vuông
BCDE theo vectơ này (để được hình vuông bên dưới hình vuông trên
cạnh b có diện tích bằng diện tích hình vuông BCDE )

+ Đánh dấu theo thứ tự điểm E, J

+ Chọn menu Transform > Mark vector

+ Đánh dấu 4 cạnh và 4 đỉnh của hình vuông BCDE

+ Chọn vào Menu Transform > Translate.

9. Như vậy miền diện tích trên cạnh b bây giờ là a2 + b2 . Sử dụng công
cụ Translator để di chuyển các các mảnh là bản sao của các mảnh trong
hình

vuông trên cạnh huyền vào trong miền có diện tích a2 + b2 trên cạnh b.

Chú ý:

- Hãy thử thay đổi tam giác của bạn, và quan sát xem các mảnh tương
ứng còn lại có bằng nhau nữa không.?

- Chú ý rằng, trong trương hợp dựng hình như thế này cạnh b cần phải
luôn được giữ là cạnh bên dài hơn nếu không thì sự dựng hình như trên
sẽ bị sai.

- Trường hợp đặc biệt trước khi việc dựng hình bi sai là trương hợp
cạnh b dài bằng cạnh a thì hình vuông A’KLM biến mất.

- Bạn hãy giải thích xem tại sao với cách làm trên các mảnh có thể xếp
vừa khít với miền diện tích trên cạnh b


Cách 2: Chứng minh của Ann Condit

Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của
Elisha Scott Loomis. Ann Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm
1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường trung học ở miền
nam Ấn Độ.

Dựng hình và kiểm tra

1. Dựng đoạn thẳng AB.

2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này

3. Vẽ đường tròn bán kính DA.

4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy
ta đã dựng được tam giác vuông ABC vuông tại C.

5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.

6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình
vuông.

7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.

8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và đoạn FG,
sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.

9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và DBK.

Cách chứng minh này đưa ra mối liên quan giữa diện tích của các hình
tam giác được tô màu với diện tích của các hình vuông trên các cạnh
tam giác vuông.

Chọn menu Measure > calculate để tính được tỉ lệ diện tích của các
tam giác với các hình vuông tương ứng.

10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa
đường tròn trên đường kính AB.

Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của

tam giác lớn hơn. Và tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển
động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).




Nhận xét:
Bạn có thể đã phát hiện ra rằng tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn
bằng diện tích của tam giác lớn hơn( DBK). Nếu bạn có thể chứng minh
được điều này là đúng , và nếu bạn có thể liên hệ từ các diện tích này
Với diện tích của các hình vuông, thì bạn sẽ chưngd minh được định lý
Pitago. Sau đây là các bước gợi ý để giúp bạn chứng minh định lý.

1. Các tam giác DCG, DCF, và DBK cóchiều dài 1 cạnh bằng nhau đó là :
DC và BD( cì đều bằng bán kính đườn tròn.

2. Đoạn PF và PG theo thứ tự là đường cao của 2 tam giác DCF và DCG.

3. Chỉ ra rằng dt DCG + dt DCF = dt DBK.

4. So sánh DCF, DCG, DBK theo thứ với diện tích của các hình vuông
CFEB, CAHG, BAGK ?

5. Nếu bạn làm được những yêu cầu trên thì bạn đã chứng minh được
định lý Pitago.