MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ GỢI Ý NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN NGUYÊN docx




 !"#$%$"#&'&(
a.
4
5
2
x
y x
= −
b.
4 3
( ) 2 3 1f x x x
= + −
c.
2
( ) (3 2 )(5 1)f x x x x
= − +
d.
2
3
( ) 5 1f x x
x
= − +
e.
5
2 2 1
( ) ( )(4 )
3
f x x

x x
x
= − +
f.
1
3
2
5
( )
2
f x x
x
−
= +
g.
( ) 20
x
f x
=
h.
2 1
( )
x
f x e
+
=
)$%$ !"#&(
a.
2
4

3
( ).x x dx
−
̣
b.
3
.
3
x x x
dx
x
+
̣
c.
os .c x dx
̣
d.
1 osx
.
3
c
dx
+
̣
e.
2
5
3
3 5 2
.

x x
dx
x
−
̣
f.
( )
2
1 (3 5).x x dx
− +
̣
g.
1
2 .3
5
x x
x
+
̣
dx
h.
3
.
2
x
x
e
dx
̣
i.

( )
ln lg .x x dx
+
̣
k.
( )
5 7
2 3 5
log log log .x x x dx
+ −
̣
*+,-./
0"$%$ !"#&(
a.
sin 2 .x dx
̣
b.
os5x.dxc
̣
c.
sin(3 7).x dx
−
̣
d.
2
os( x+17).dx
3
c
̣
e.

5 1
.
x
e dx
+
̣
f.
2 5
3 .27 .
x x
dx
+
̣
g
2
sin cos .x x dx
̣
h
m
os sin .c x x dx
̣
i.
sinx
osx.dxe c
̣
k.
os2x
5 sin 2 .
c
x dx

̣
l.
9
os (5x-7)sin(5 7).c x dx
−
̣
m.
( )
7
3 8 .x dx
−
̣
)$%$ !"#&(
a.
( )
5
7 10 .x dx
−
̣
b.
(
)
2 3
2 3 2008x x
−
̣
.dx
c.
2
2

.
1
x
dx
x
+
̣
d.
9
10
5
1
x
x
+
̣
e.
2 3 5
2 ( 4) .x x dx
+
̣
f.
ln
.
x
dx
x
̣
g.
7

8
3
.
1
x
dx
x
+
̣
h.
2
1
.
1
x
x
e
dx
e
−
+
̣
i.
lnln
.
ln
x
dx
x x
̣

k.
ln .lnln
dx
x x x
̣
1,23
(Chúng ta hãy lưu ý rằng để làm tốt nguyên hàm của các hàm lượng giác thì cần phải
sử dụng thành thạo các công thức lượng giác đã được học ở lớp 11. Phải coi chúng
như bảng cửu chương hoặc như là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Trước hết chúng ta
xét những dạng bài tập cơ bản)
0" !"#
a.
2
sin .x dx
̣
b.
2
os .c x dx
̣
c.
t anx.dx
̣
d.
cot .x dx
̣
e.
2
tan .x dx
̣
f.

2
.cot x dx
̣
g.
sin .sin .x x dx
α β
̣
h.
sin . os x.dxx c
α β
̣
45
os x.cos x.dxc
α β
̣
)0"$%$ !"#
a.
4
sin .x dx
̣
b.
4
os .c x dx
̣
c.
4
tan .x dx
̣
d.
4

cot .x dx
̣
e.
6
tan .x dx
̣
f.
sin 7 . os15x.dxx c
̣
g.
os7x.cos9x.dxc
̣
i.
sin 2 .sin 6 .x x dx
̣
6$%$ !"#&(
a.
3
sin . osx.dxx c
̣
b.
5
sin .x dx
̣
c.
7
os .c x dx
̣
d.
5 10

sin . os .x c x dx
̣
e.
2
os (7x-10)
dx
c
̣
f.
osx
dx
c
̣
g.
sinx
dx
̣
h.
1 osx
dx
c
+
̣
i.
1 sinx
dx
+
̣
k.
sinx. 3+cosx.dx

̣
l.
.
sin( 1)sin( 3)
dx
dx
x x
+ −
̣
m.
.
sin(2 7). os(2x+3)
dx
dx
x c
−
̣
p.
3
2
osx.sin
.
1 sin
c x
dx
x
+
̣
789:;<=
(Lớp nguyên hàm của bài toán này khá dễ, để tìm được nguyên hàm của những lớp

hàm này chúng ta lưu ý những điểm sau:
ii. Quan sát bậc đa thức trên tử và bậc dưới mẫu, nếu bậc đa thức trên tử lớn
hơn hoặc bằng bậc đa thức dưới mẫu thì thực hiện phép chía đa thức
iii. Quan tâm tới nghiệm của đa thức dưới mẫu số )
$%$ !"#&(
a.
( 9)( 10)
dx
x x
− −
̣
b.
( 2)(7 )
dx
x x
+ −
̣
c.
(2 5)( 3)
dx
x x
− −
̣
d.
2
2 3 1
xdx
x x
+ +
̣

e.
2
2
2 3 2
xdx
x x
− −
̣
f.
3 2
6 7 3
dx
x x x
− −
̣

g.
3
3
1
.
4
x
dx
x x
−
−
̣
h.
5 4

3
8
.
4
x x
dx
x x
+ −
−
̣
i.
2
1
x
x
e dx
e
−
̣
) !"#$%$"#">?@&(
a.
4 2
3 2
xdx
x x
− +
̣
b.
3
4 2

4 3
x dx
x x
− +
̣
c.
5
6 3
2
x dx
x x
− −
̣
d.
3
2
3 2
( 2 1)
x x
x x x
− +
+ +
̣
e.
2
2
( 2)
.
( 2 1)
x

dx
x x x
+
− +
̣
f.
2
( 2)
dx
x x
+
̣
g.
2 2
( 4)( 1)
dx
x x
− −
̣
h.
2
2 2
( 1)( 9)
x dx
x x
− −
̣
i.
2
4

( 1)
1
x dx
x
−
+
̣
k
(3 )
x x
dx
e e
−
+
̣
AB
;C$D0$"$E(F4G$ !"#?HI"JK#$" LM? !"#NO?P"Q?0"
RS$%$I"TUI"%IDVR4W?FXM? !"#YZ?0""U[\ ">R#4?]%
"T?"W#]?"I"^4Y_ !"#?HI"J`
QK#">R#4?]%$QYa"T&(b
i.
( ).sin .P x mx dx
̣
;
( ). osmx.dxP x c
̣
; (P(x là một đa thức nào đó vd:
2
( 1)sin3 .x x dx
+

̣
)
ii.
( ). .
mx
P x e dx
̣
;
( ). .
nx
P x a dx
̣
; vd:
(3 5)5 .
x
x dx
−
̣
iii.
.sin .
mx
e nx dx
̣
….)
os x.dx
x
a c
α
β
̣

vd:
2
sinx.dx
x
e
̣
iv.
( )ln .P x x dx
̣

( )log .
a
P x x dx
̣
vd:
3
ln .x x dx
̣
)
0"$%$ !"#&(RSI"TUI"%I?]#I"J
a.
2 3
(2 1)
x
x e
+
̣
.dx
b.
2

ln .x x dx
̣
c.
2
sin 2 .
x
e x dx
̣
d.
2
os . .
x
c x e dx
̣
e.
ln .x dx
̣
f.
lg .x dx
̣
578c:
(Tổng thể nguyên hàm của một hàm vô tỉ là một nguyên hàm có chứa căn thức. Đây là
lớp bài toán tương đối khó . Phương pháp chung để giải quyết chúng là dùng phương
pháp đổi biến số)
?$%$ !"#
a.
3
1
.
3 1

x
dx
x
+
+
̣
b.
.
1 2 1
x dx
x
+ +
̣
c.
3
dx
x x
+
̣
d.
3x x
−
̣
.dx
e.
3
3 4
.
1 1
x dx

x
+ +
̣
f.
3
2
.
2
x dx
x
+
̣
g.
2
1
dx
x x
+
̣
h.
2
2 2 1
dx
x x x
+ +
̣
i.
2
( 1) 2 2
dx

x x x
+ + +
̣
k.
1 1
dx
x x
+ + −
̣
l.
1 1
. .
1
x
dx
x x
−
+
̣

m.
1 1
dx
x x
+ + +
̣

defghi
 Tính các nguyên hàm sau
a.

∫
+
dxxx )53(
2
b.
∫








−
dx
x
xx
4
4
532
c.
∫
++
dxxxxx )25cos(sin
3
d.
dx
x
xx

x
∫






++
−
2
2
2
sin
7
7
cos
5
e.
( )
∫
+
dxe
xx
7
f.
dxe
x
x
x

∫








+
3
5
4
g.
∫








+
+
dxxx
x
x
5
2

2
4
7
4
) Tìm a để cho F(x) là nguyên hàm của f(x)
F(x) =
xxx 376
23
−+
;
axxxf 51418)(
2
−+=
6 Tìm c để F(x) là nguyên hàm của f(x)
F(x) =
xxxx sin3ln2
2
++
. f(x) =
cxxx
+++
cos6ln2
j Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
a.
dx
xxx
x
∫









++
4
111
b.
dx
xx
∫
2
2.3
c.
dxx.cot
2
∫
d.
dxx.tan
2
∫
k Tìm các nguyên hàm sau
a.
dx
x
xx
∫







+−
4
2
2
b.
dx
x
xxx
∫
+++
2
234
12
c.
( )
dx
xx
x
∫
+
2
2
1
d.
(

)
dxxxx
∫
++
5
4
3
l Tìm các nguyên hàm sau
a.
∫
xx
dx
22
sin.cos
b.
∫
xx
dxxco
22
sin.cos
.2
c.
dx
x
x
∫
+
+
2cos1
cos1

2
d.
dx
x
.
2
sin3
2
∫
m Cho hàm
xxy 23
−=
. Tìm a, b, c để cho
xcbxaxxF 23)()(
2
−++=
là nguyên
hàm của hàm số y