Khoá luận tốt nghiệp toán Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình Toán trung học phổ thông

ĐỀ TÀI
Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích
phân trong chương trình Toán trung học phổ
thông
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp em đã gặp rất nhiều khó khăn
và bỡ ngỡ. Nhờ vào sự giúp đỡ và động viên của nhiều thầy cô giáo bạn bè và gia
đình đã giúp em hoàn thành khóa luận này.
Lời đầu tiên, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Th.S Nguyễn Quốc
Tuấn, người đã chỉ dạy cho em những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và
nghiên cứu khoa học, đã động viên tận tình hướng dẫn trong suốt thời gian học tập
và đặc biệt là trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, cán bộ, giảng viên Trường Đại
Học Quảng Bình, giảng viên trong khoa Khoa học tự nhiên đã tận tình giảng dạy,
truyền đạt kiến thức trong suốt quá trình học tập. Với vốn kiến thức được tiếp thu
trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu khóa luận mà
còn là hành trang quí báu để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin.
Xin cảm ơn gia đình và những người bạn đã giúp đỡ động viên về tinh thần
cũng như phương tiện vật chất trong suốt quá trình làm đề tài tốt nghiệp.
Trong thời gian có hạn em đã cố gắng hoàn thành khóa luận này, nhưng vẫn
không tránh khỏi những khiếm khuyết, thiếu sót kính mong nhận được sự góp ý chỉ
bảo của các thầy cô, của các bạn sinh viên trong khoa và những ai quan tâm đến đề
tài này.
Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô là chủ tịch hội đồng, phản biện và ủy
viên hội đồng đã bỏ thời gian quý báu để đọc, nhận xét và tham gia hội đồng chấm
khóa luận.
Đồng Hới, ngày 20 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Hoàng Thị Mĩ Lệ
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 3

PHẦN GIỚI HẠN 6
CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 6
Các kiến thức cơ bản về dãy số 6
1.1.1 Dãy số 6
1.1.2 Dãy số bị chặn 6
1.1.3 Dãy số đơn điệu 6
1.1.4 Dãy con 7
1.1.5 Giới hạn hữu hạn của dãy số 7
Các định lí 7
Các nguyên lí 8
1.1.6 Nguyên lí Weiestrass 8
1.1.7 Nguyên lí Bolzano – Weiestrass 8
1.1.1 Nguyên lí Cauchy 8
Giới hạn một số dãy số thường gặp 9
BÀI TẬP CHƯƠNG I – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 10
CHƯƠNG II: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 17
2.1 Các kiến thức cơ bản về hàm số 17
2.1.1 Hàm số 17
2.1.2 Đồ thị của hàm số 17
2.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 17
2.1.4 Hàm số bị chặn 17
2.1.5 Hàm số đơn điệu 18
2.1.6 Giới hạn của hàm số 18
Giả sử là một khoảng chứa điểm và là một hàm số xác định trên tập . Ta nói rằng hàm số
có giới hạn là số thực L khi dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong tập hợp ( tức
là và với mọi ) mà , ta đều có 18
Khi đó ta viết : hay khi 18
Khi đó ta viết : hay khi 19
2.2 Các nguyên lí cơ bản về giới hạn hàm số 19
2.3 Một vài giới hạn đặc biệt của hàm số 19

BÀI TẬP CHƯƠNG II – GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 20
CHƯƠNG III: HÀM SỐ LIÊN TỤC 24
3.1 Định nghĩa 24
3.1.1 Hàm số liên tục tại một điểm 24
3.1.2 Hàm số liên tục trên một khoảng 24
3.1.3 Hàm số liên tục trên một đoạn 24
3.2 Các phép toán số học với hàm liên tục 25
3.3 Các định lí cơ bản về hàm liên tục 25
BÀI TẬP CHƯƠNG III – HÀM SỐ LIÊN TỤC 26
PHẦN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 31
1. Nguyên hàm 31
1.1 Các khái niệm 31
1.2 Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 32
1.3 Một số phương pháp tìm nguyên hàm 33
1
1.3.1 Phương pháp đổi biến số 33
1.3.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần 33
2. Tích phân 33
2.1 Định nghĩa 33
2.2 Tính chất 33
2.3 Một số phương pháp tính tích phân 34
BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 35
KẾT LUẬN 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO 48
2
MỞ ĐẦU
Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích, là ngành toán học nghiên cứu
về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân Nó có vai trò chủ đạo trong giáo
dục đại học hiện nay.
Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn

của một dãy số, hàm số, ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét
giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả một
cách chính xác, đầy đủ việc đo độ xa, gần ấy.
Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn
là tính chất "tĩnh" như trong đại số.
Giải tích có ứng dụng rất rộng trong khoa học kỹ thuật, để giải quyết các bài
toán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ ra không hiệu quả. Nó được thiết
lập dựa trên các ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích và còn được gọi là
"ngành toán nghiên cứu về hàm số" trong toán học cao cấp.
Giới hạn là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích. Có thể nói: Không có
giới hạn thì không có giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan
đến giới hạn.
Trong Toán học, khái niệm "giới hạn" được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm
số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào
đó. Trong một không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định một
điểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước. Giới hạn là khái
niệm quan trọng của Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo
hàm và phép tính tích phân.
Tích phân là một khái niệm toán học, và cùng với nghịch đảo của nó vi
phân đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích. Có thể
hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần
3
tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó
thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam
giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn
mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình
nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta
tính được diện tích của hình thang cong đó.
Chủ đề Giới hạn và Nguyên hàm - Tích phân là một trong những phần quan
trọng và cơ bản trong chương trình toán phổ thông nó đóng vai trò quan trọng trong

Toán học cũng như trong thực tiễn. Giới hạn là khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng
để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu quả các kiến thức
Giải tích toán học ở phổ thông. Chủ đề Giới hạn có vai trò hết sức quan trọng trong
chương trình Toán phổ thông còn có lẽ vì khái niệm Giới hạn là cơ sở, hàm số liên
tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân. Tích phân có mặt
trong chương trình phổ thông chỉ với tư cách là những kiến thức thực hành, là công
cụ tính toán để sử dụng trong hình học, vật lí và kĩ thuật. Nội dung nguyên hàm,
tích phân lớp 12 THPT là một nội dung mới đối với học sinh, hơn nữa đây lại là
một nội dung khó, trừu tượng.
Với những lí do trên tôi chọn đề tài để làm đề tài khóa luận là:
“Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình
Toán trung học phổ thông”.
Mục đích của đề tài là nêu các định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp
tính giới hạn, nguyên hàm và tích phân. Sau đó là cách nhận diện, phân dạng các
bài tập.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được chia thành hai
phần lớn đó là phần Giới hạn và phần Nguyên hàm - Tích phân.
4
Trong phần Giới hạn gồm có ba chương, chương 1 giới thiệu một số bài toán
về giới hạn dãy số, chương 2 giới thiệu một số bài toán về giới hạn hàm số và
chương 3 giới thiệu các bài toán về tính liên tục của hàm số.
Trong phần Nguyên hàm - Tích phân giới thiệu các quy tắc, phương pháp và
bài tập tính nguyên hàm, tích phân.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng với thời gian, kiến thức và kinh nghiệm của bản
thân còn khiêm tốn nên tồn tại nhiều thiếu sót trong khóa luận là điều khó tránh
khỏi. Tôi rất mong nhận được sự thông cảm, góp ý chân thành của các thầy giáo, cô
giáo và các bạn để đề tài được hoàn thiện, có hiệu quả và có thể ứng dụng trong
giảng dạy phổ thông sau này.
5
PHẦN GIỚI HẠN

CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Trong chương này tôi giới thiệu giới hạn của dãy số và nêu một số định lí, quy
tắc tìm giới hạn sau đó áp dụng để giải một số bài tập tìm giới hạn của dãy số.
Các kiến thức cơ bản về dãy số
1.1.1 Dãy số
Ánh xạ f :
→¥ ¡

( )n f na
gọi là dãy số .
Ta thường ghi
( )
n
u f n=
.
Kí hiệu là
{ }
n
u
( hay
1 2
, , , ,
n
u u u
) .
1.1.2 Dãy số bị chặn
• Dãy
{ }
n
u

gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho:

M, n
n
u ≤ ∀ ∈¥
.
• Dãy
{ }
n
u
gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số M sao cho:

M, n
n
u ≥ ∀ ∈¥
.
• Dãy
{ }
n
u
gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại
số dương k sao cho:

, n
n
u k≤ ∀ ∈¥
.
1.1.3 Dãy số đơn điệu
• Dãy
{ }

n
u
gọi là tăng (tăng nghiêm ngặt) nếu:

1
, n
n n
u u
+
≤ ∀ ∈¥
(
1
, n
n n
u u
+
< ∀ ∈¥
).
6
• Dãy
{ }
n
u
gọi là giảm (giảm nghiêm ngặt) nếu:

1
, n
n n
u u
+

≥ ∀ ∈¥
(
1
, n
n n
u u
+
> ∀ ∈¥
).
Các dãy tăng và giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
1.1.4 Dãy con
Cho các dãy
{ }
n
u
và
( )
1k k
k
n n
k
n
+
>

∀ ∈

∈

¥

¥
thì dãy
{ }
k
n
u
gọi là dãy con của
{ }
n
u
.
Ta dễ dàng kiểm tra được rằng:
•
, k
k
n k≥ ∀ ∈¥
.
• Mọi dãy đều là một dãy con của chính nó.
• Mọi dãy con của một dãy bị chặn thì bị chặn.
• Mọi dãy con của một dãy đơn điệu là dãy đơn điệu.
1.1.5 Giới hạn hữu hạn của dãy số
Dãy
{ }
n
u
được gọi là hội tụ đến
a
( hay có giới hạn
a
) nếu

( )
lim 0
n
u a− =
Kí hiệu :
lim
n
n
u a
→+∞
=
hay
n
u a→
.
Dãy số có giới hạn gọi là dãy hội tụ và dãy không có giới hạn gọi là dãy phân kì.
Các định lí
Định lí 1: Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
Định lí 2: Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Định lí 3: Dãy
{ }
n
u
hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều là dãy hội tụ và có
chung một giới hạn.
Định lí 4: Mọi dãy đều có ít nhất một dãy con đơn điệu.
Định lí 5 ( Định lí kẹp về giới hạn của dãy số):
7
Cho ba dãy số
( )

n
u
,
( )
n
v
và
( )
w
n
. Nếu
w
n n n
u v≤ ≤
với mọi n và
lim = lim w ( )
n n
n n
u L L
→+∞ →+∞
= ∈¡
thì
lim v
n
n
L
→+∞
=
.
Chứng minh:

Ta có
w
n n n
u v≤ ≤
ta suy ra
0 w
n n n n
v u u≤ − ≤ −
với mọi n.
Vì
( )
lim w = lim w lim 0
n n n n
n n n
u u L L
→+∞ →+∞ →+∞
− − = − =
nên
( )
lim = 0
n n
n
v u
→+∞
−
.
Do đó
( ) ( )
lim lim lim lim 0
n n n n n n n

n n n n
v v u u v u u L L
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= − + = − + = + =
 
 
.
Các nguyên lí
1.1.6 Nguyên lí Weiestrass
a. Nếu dãy
{ }
n
u
tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và
lim
n n
n
n
u Supu
→+∞
∈
=
¥
.
b. Nếu dãy
{ }
n
u
giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và
lim inf

n n
n n
u u
→+∞ ∈
=
¥
.
1.1.7 Nguyên lí Bolzano – Weiestrass
Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ.
Chứng minh:
Gọi
{ }
n
u
là dãy bị chặn. Hơn nữa, tồn tại dãy con
{ }
k
n
u
đơn điệu (theo Định lí 4).
Do đó theo nguyên lí Weiestrass dãy
{ }
k
n
u
hội tụ.
1.1.1 Nguyên lí Cauchy
Dãy
{ }
n

u
được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu
0, : ,
n m
n n n n u u
ε ε
ε ε
∀ > ∃ ∈ ∀ ∈ > ⇒ − <¥ ¥
Nguyên lí Cauchy:
Dãy
{ }
n
u
hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
8
Giới hạn một số dãy số thường gặp
a. Nếu
0p >
thì
1
lim 0
p
n
n
→+∞
=
.
b. Nếu
0p >
thì

lim lim 1
n
n
n n
p n
→+∞ →+∞
= =
.
c. Nếu
0p
α
>


∈

¡
thì
( )
lim 0
1
n
n
n
p
α
→+∞
=
+
.

d. Nếu
1q <
thì
lim 0
n
n
q
→+∞
=
.
9
BÀI TẬP CHƯƠNG I – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 1: Tìm giới hạn
a.
lim
n
n
u
→+∞

với
2 3
1 3 5 2 1

2
2 2 2
n
n
n
u

−
 
= + + + +
 ÷
 
Xét
2 3
1 3 5 2 1

2
2 2 2
n
n
n
u
−
 
= + + + +
 ÷
 

2 2 3 1
1 2 1 3 1 1
1
2 2
2 2 2 2 2
n n
n
−
       

= − + − + − + + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

2 3 1 2
3 4 1 1 1
2
2
2 2 2 2 2
n n
n
−
   
= + + + + − + +
 ÷  ÷
   
1
2 1
2
n
n
v
 
= + − −
 ÷
 
Với
2 3 2 1
3 4

2 2 2
n
n
n
v
−
 
= + + +
 ÷
 
Lại xét
2 2 3 2 1
2 1 3 2 1 2

2
2 2 2 2 2
n
n n
n n
v
− −
− −
     
= − + − + + −
 ÷  ÷  ÷
     


2 3 2 1
2 3 1

3 1
2 2 2 2
1
2 2 2 2
1 1 1 2
1
2
2 2 2
1 2
1 1
2 2
n n
n n
n n
n
n
n
− −
− −
− −
−
= + + + + −
−
 
= + + + + −
 ÷
 
−
 
= + − −

 ÷
 

Vậy
3 1
1 2 1
3
2 2 2
n
n n n
n
u
− −
−
= − − +
Nên
3 3 1
1 1 2 1
lim lim 3 lim lim lim lim
2 2 2 2
n
n n n n
n n n n n n
n
u
− − −
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞
−
= − − + +

3=
Vậy
lim 3
n
n
u
→+∞
=
.
10
b.
lim
n
n
u
→+∞


với
8
4 2
2. 2. 2 2
n
n
u =
Xét
2 3
2 3
1 1 1 1
1 1 1

1

2
2 2 2
2 2 2 2
2 .2 .2 2 2
n
n
n
u
 
+ + +
 ÷
 
= =
1
1
2
2
n
 
−
 ÷
 
=
Vậy
1
1
2
lim lim 2 2

n
n
n n
u
 
−
 ÷
 
→+∞ →+∞
= =
.
Bài 2: Chứng minh
a.
lim . 0
n
n
n q
→+∞
=
( với
1q <
)
Giải:
Gọi
1
1
. ( 1)
n n
n n
u n q u n q

+
+
= ⇒ = +
Giả sử
1
1
lim lim lim ( 1).
n
n n
n n n
A u u n q
+
+
→+∞ →+∞ →+∞
= = = +

1
lim ( . ). lim
n n
n n
n q q q
+
→+∞ →+∞
= +
. 0A q= +
Vì
1q ≠
nên từ
. A A q=
ta được

0A =
Vậy
lim . 0
n
n
n q
→+∞
=
.
b.
lim 1
n
n
a
→+∞
=
( với
0a >
)
Giải:
1 1
lim
0
lim lim 1
n
n
n n
n n
a a a a
→+∞

→+∞ →+∞
= = = =
.
c.
lim 1
n
n
n
→∞
=
Giải:
11
Xét sự biến thiên của hàm số
x
y x=

Ta có
1
1
ln ln ln
x
y x x
x
= =
( )
lim ln
x
y
→+∞
1 1

ln( lim ) lim ln lim 0
x x x
y x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
 
= = = =
 ÷
 
Vậy
ln( lim ) 0
x
y
→+∞
=
tức là
lim 1
x
y
→+∞
=
Áp dụng cho dãy con
n
n
ta được
lim 1
n
n
n
→+∞

=
.
d.
1.3.5 (2 1)
lim 0
2.4.6 2
n
n
n
→+∞
−
=
Giải:
Gọi
1.3.5 (2 1)
2.4.6 2
n
n
u
n
−
=
1.3.5 (2 1)
. (2 1)
2.4.6 2
n
n
v n
n
−

= +
Ta thấy ngay rằng
n
u
là dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi số 0, nên tồn tại giới
hạn. Gọi
lim
n
n
u a
→+∞
=
.
Ta có:
2. .
n n n
v u n u− =
Suy ra
lim lim
2
n n
n
n n
u v
u
n
→+∞ →+∞
−
=

( )∗
Dễ thấy
lim 0
2
n
n
u
n
→+∞
→
khi
n → +∞
12
Mặt khác
( )
1 3 2 1
.
2 4 2
. 2 1
2 2
n
n
v
n
n
n n
−
 
 ÷
 

= +

Nên
( )
2 1
lim lim . lim lim
2 2
n
n n
n n n n
n
v
u u a
n n
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+
= = =
Từ
( )∗
suy ra
0 a a− =
. Vậy
0a =
Vậy
lim 0
n
n
u
→+∞
=

.
Bài 3: Tìm các giới hạn
a.
2 2 1 2
2 1
lim tan .tan 2tan .tan 2 tan .tan
2 2
2 2 2
n
n n
n
x x x x x
x
−
−
→+∞
 
+ + +
 ÷
 
Đặt
2 2 1 2
2 1
tan .tan 2tan .tan 2 tan .t an
2 2
2 2 2
n
n
n n
x x x x x

S x
−
−
= + + +
Nhận xét :
Vì
2
2tan
2
tan
1 tan
2
x
x
x
=
−
, nên
2
tan .tan tan 2tan
2 2
x x
x x= −
Tương tự:
2 2
2 2
2tan .tan 2tan 2 tan
2 2
2 2
x x x x

= −
Nên
1 2 1
1 1
2 tan .tan 2 tan 2 t an
2 2 2 2
n n n
n n n n
x x x x
− −
− −
= −
Vì vậy
2 2 1 2
2 1
tan .tan 2tan .tan 2 tan .t an
2 2
2 2 2
n
n
n n
x x x x x
S x
−
−
= + + +

tan 2 tan
2
n

n
x
x= −
Ta được
lim tan
n
n
S x x
→+∞
= −
.
13
b.
3 3 1 3
2
lim sin 3.sin 3 .sin
3
3 3
n
n
n
x x x
−
→+∞
 
+ + +
 ÷
 
Đặt
3 3 1 3

2
sin 3.sin 3 .sin
3
3 3
n
n
n
x x x
S
−
= + + +
Nhận xét:
3
1
sin (3sin sin3 )
4
x x x= −
, nên
1 3 1
1
1
3 sin 3 sin 3 sin
4
3 3 3
n n n
n n n
x x x
− −
−
 

= −
 ÷
 
Ta được
3 3 1 3
2
1
sin 3sin 3 sin 3 sin sin
3 4
3 3 3
n n
n
n n
x x x x
S x
−
 
= + + + = −
 ÷
 

Vậy
lim sin
n
n
S x x
→+∞
= −
.
c.

2
lim lncos lncos lncos
2
2 2
n
n
x x x
→+∞
 
+ + +
 ÷
 
Đặt
2
lncos lncos lncos
2
2 2
n
n
x x x
S = + + +
Ta có
2
lncos lncos lncos
2
2 2
n
n
x x x
S = + + +

2 1
sin
ln cos . cos os . cos ln
2
2 2 2
2 .sin
2
n n
n
n
x x x x x
c
x
−
 
= =
 ÷
 
Vậy
sin
lim ln
n
n
x
S
x
→+∞
=
.

Bài 4: Xét sự hội tụ của dãy
a.
1 1 1 1

2 2.4 2.6 2.4.6 2
n
x
n
= + + + +
Nhận xét: Đây là dãy tăng vì
1n n
x x
+
<
và
1 1 1 1 1
1 1
2 2.2 2.3 2 2
n
x
n n
< + + + + = − <
14
n
x
là dãy tăng bị chặn trên nên hội tụ.
b.
2 3
1 1 1 1
1 . 1 . 1 1

2
2 2 2
n
n
x
       
= + + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
       
Nhận xét: Vì
1
1 1
2
n
+ >
nên
1n n
x x
+
>
, cho nên đây là dãy tăng.
Mặt khác
1 1 1
3 3 192
2 4 2
n
x
n
 
< + + + + <

 ÷
 
, với mọi n
Một dãy tăng bị chặn trên nên hội tụ.
Bài 5: Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh dãy hội tụ
a.
cos(1!) cos(2!) cos( !)

1.2 2.3 ( 1)
n
n
x
n n
= + + +
+
Với mọi
0
ε
>
, và
m n>
ta có:
m n
x x−
[ ] [ ]
cos ( 1)! cos ( 2)!
cos( !)

( 1)( 2) ( 2)( 3) (1 )
n n

m
n n n n m n
+ +
= + + +
+ + + + +

1 1 1

( 1)( 2) ( 2)( 3) ( )n n n n m m n
≤ + + +
+ + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 1 1 1 1n n n n m m n m n
= − + − + + − = − ≤
+ + + + + + + +
Chọn
1
o
n
ε
 
>
 
 
thì
1
1
o

n
ε
≤
+
Theo tiêu chuẩn Cauchy thì dãy
n
x
hội tụ.
b.
n
x =
2 2 2
1 1 1
1
2 3 n
+ + + +
Xét với
m n>
thì
m n
x x−
2 2 2
1 1 1
n m n
= − <
15
Với
0
ε
∀ >

chọn
1
1
o
n
ε
 
> +
 
 
Khi đó
2
1
o
n
ε
<
và do đó
m n
x x
ε
− <
Theo tiêu chuẩn Cauchy thì dãy
n
x
hội tụ .
Bài 6:
Chứng minh dãy
n
x

1 1 1
1 ln
2 3
n
n
 
= + + + + −
 ÷
 
hội tụ
Từ đó suy ra
1 1 1
1 ln ( )
2 3
C n n
n
ε
+ + + + = + +
, với C là hằng số và
( ) 0n
ε
→
a. Với
m n>
, xét:
m n
x x−
1 1 1
ln ln
1 2

n m
n n m
= + + + + −
+ +

1
ln ln
1 1
m n n n
n m n m
−
< + < +
+ +
do
0m n− ≥

1
1n
<
+
do
m n>
0 1 ln 0
n n
m m
⇒ < < ⇒ <
Với mọi
0
ε
>

, chọn
1
o
n
ε
 
>
 
 
thì
1
1
o
n
ε
<
+
Và khi đó ta có
o
m n n∀ > >
thì
m n
x x
ε
− <
Theo tiêu chuẩn Cauchy thì dãy
n
x
hội tụ.
b. Gọi

lim
n
n
x C
→+∞
=
thì
( )
n
x C n
ε
= +
, với
( ) 0n
ε
→
khi
n → ∞
.
Nên
1 1 1
1 ln ( )
2 3
C n n
n
ε
+ + + + = + +
.
16
CHƯƠNG II: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Trong chương này tôi giới thiệu giới hạn của dãy số và nêu một số định lí, quy
tắc tìm giới hạn sau đó áp dụng để giải một số bài tập tìm giới hạn của hàm số.
2.1 Các kiến thức cơ bản về hàm số
2.1.1 Hàm số
Cho
X ⊂ ¡
. Ta gọi một ánh xạ
f
từ
X
vào
¡
là một hàm số. Tập
X
được gọi là
tập xác định của hàm
f
.
Đặt
( )
{ }
: Y f x x X= ∈
,
Y
được gọi là tập giá trị của hàm
f
.
Kí hiệu
( )
y f x=

.
2.1.2 Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số
f
là tập hợp
( )
{ }
, ( ) : G x f x x X= ∈
trong hệ tọa độ Descartes.
Vẽ đồ thị của một hàm số chính là biểu diễn tập hợp tất cả các điểm
( )
, ( )M x f x
,
x X∈
trong mặt phẳng tọa độ Descartes vuông góc
Oxy
.
2.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Hàm
:f X → ¡
được gọi là hàm số chẵn nếu tập
X
là tập đối xứng (tức là
,x x X x X∀ ∈ ⇒ − ∈
) và
( ) ( )
f x f x− =
.
• Hàm
:f X → ¡

được gọi là hàm số lẻ nếu tập
X
là tập đối xứng (tức là
,x x X x X∀ ∈ ⇒ − ∈
) và
( ) ( )
f x f x− = −
.
2.1.4 Hàm số bị chặn
Hàm số
f
:
X → ¡
, trong đó
X ⊂ ¡
được gọi là:
• Bị chặn trên nếu tồn tại số
A
∈
¡
sao cho
( ) , f x A x X≤ ∀ ∈
;
• Bị chặn dưới nếu tồn tại số
B∈¡
sao cho
( ) , f x B x X≥ ∀ ∈
;
17
• Bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

2.1.5 Hàm số đơn điệu
Hàm số
f
:
X → ¡
, trong đó
X
⊂
¡
được gọi là:
• Tăng nếu
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, , , ;x x X x x f x f x∀ ∈ < ≤
• Tăng thực sự (hay đồng biến) nếu
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, , , ;x x X x x f x f x∀ ∈ < <
• Giảm nếu
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, , , ;x x X x x f x f x∀ ∈ < ≥
• Giảm thực sự (hay nghịch biến) nếu
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, , , x x X x x f x f x∀ ∈ < >
• Đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm.
• Đơn điệu thực sự nếu nó tăng thực sự hoặc giảm thực sự.
2.1.6 Giới hạn của hàm số
2.1.6.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử
( )
; a b
là một khoảng chứa điểm
0
x
và
f
là một hàm số xác định trên
tập
( )
{ }
0
; \a b x
. Ta nói rằng hàm số
f
có giới hạn là số thực L khi
x
dần đến
0
x
(hoặc tại điểm
0
x
) nếu với mọi dãy số
( )
n
x
trong tập hợp
( )

{ }
0
; \a b x
( tức là
( )
;
n
x a b∈
và
0n
x x≠
với mọi
n
) mà
0
lim
n
x x=
, ta đều có
( )
lim
n
f x L=
.
Khi đó ta viết :
( )
0
lim
x x
f x L

→
=
hay
( )
f x L→
khi
0
x x→
.
2.1.6.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
Giả sử hàm số
f
xác định trên khoảng
( )
; a + ∞
. Ta nói rằng hàm số
f
có
giới hạn là số thực L khi
x
dần đến
+∞
nếu với mọi dãy số
( )
n
x
trong khoảng
( )
; a + ∞
( tức là

n
x a>
với mọi
n
) mà
lim
n
x = +∞
, ta đều có
( )
lim
n
f x L=
.
18
Khi đó ta viết :
( )
lim
x
f x L
→+∞
=
hay
( )
f x L→
khi
x → +∞
.
2.2 Các nguyên lí cơ bản về giới hạn hàm số
Định lí 1: Giả sử

f
là một hàm đơn điệu trên khoảng
( , )a b
và
c
là một điểm nằm
trong đó. Nếu
f
thì tồn tại các giới hạn từng phía (hữu hạn)
( )
lim
x c
f x
−
→
và
( )
lim
x c
f x
+
→
.
Định lí 2: Giả sử hàm
( )
f x
bị “kẹp” giữa hai hàm
( ) ( )
, g x h x
(tức là

( ) ( ) ( )
g x f x h x≤ ≤
) và tồn tại
( ) ( )
lim lim
x a x a
h x g x L
→ →
= =
. Khi ấy tồn tại giới hạn
của
f
khi
x
tiến tới
a
và
( )
lim
x a
f x L
→
=
.
2.3 Một vài giới hạn đặc biệt của hàm số
a.
0
sin
lim 1
x

x
x
→
=
b.
( )
0
ln 1
lim 1
x
x
x
→
+
=
c.
1
lim 1
x
x
e
x
→+∞
 
+ =
 ÷
 
d.
0
1

lim 1
x
x
e
x
→
−
=
19
BÀI TẬP CHƯƠNG II – GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm các giới hạn
a.
2
3
4
2
0
1 1 2
lim
x
x x
x x
→
 
+ − −
 ÷
 ÷
+
 
Đặt

2
3
4
2
1 1 2
( )
x x
f x
x x
+ − −
=
+
Nhận xét khi
0x →
,
( )f x
có dạng
∞
∞
. Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
( )
( )
2
3
2
3
4
0 0
2 1
1 1 2

1
3 2
lim ( ) lim
1 2 2
x x
x x x
f x
x
−
−
→ →
+ + −
= =
+
b.
3 4
0
1 1
3 4
lim
1 1
2
x
x x
x
→
+ − +
− −
Đặt
3 4

1 1
3 4
( )
1 1
2
x x
f x
x
+ − +
=
− −
Nhận xét khi
0x →
,
( )f x
có dạng
0
0
. Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
2 3
3 4
1
0 0
2
1 1
1 1
1 1
5
9 3 16 4
9 16

lim ( ) lim
1
36
1
1
4
4 2
x x
x x
f x
x
− −
−
→ →
   
+ − +
−
 ÷  ÷
   
= = =
 
−
 ÷
 
c.
0
1 1
lim
m
n

x
x x
x
α β
→
+ − +
20
Đặt
1 1
( )
m
n
x x
f x
x
α β
+ − +
=
Nhận xét khi
0x →
,
( )f x
có dạng
0
0
. Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
( ) ( )
1 1
1 1
0 0

lim ( ) lim . 1 . 1
m n
x x
f x x x
m n m n
α β α β
α β
− −
→ →
 
= + − + = +
 
 
d.
0
1 . 1 1
lim
m
n
x
x x
x
α β
→
+ + −
Đặt
1 . 1 1
( )
m
n

x x
f x
x
α β
+ + −
=
Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1
0 0
lim ( ) lim . 1 . 1 . 1 . 1
m n m n
x x
f x x x x x
m n m n
α β α β
α β α β
− −
→ →
 
= + + + + + = +
 
 
e.
( )
( )
( )
1
2

0 0
lim ( ) lim
n n n
x x
x a na x a
f x
x a
−
→ →
− − −
=
−
Đặt
( )
( )
( )
1
2
0
( ) lim
n n n
x
x a na x a
f x
x a
−
→
− − −
=
−

Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
( )
1 1
0 0
lim ( ) lim
2
n n
x x
nx na
f x
x a
− −
→ →
−
=
−

( )
2
0
1
lim
2
n
x
n n x
−
→
−
=

( )
2
1
2
n
n n a
−
−
=
f.
0
1 cos . os2 . os3
lim
1 cos
→
−
−
x
x c x c x
x
Đặt
0
1 cos . os2 . os3
lim
1 cos
→
−
−
x

x c x c x
x
21
Nhận xét khi
0x →
,
( )f x
có dạng
0
0
. Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
Ta có
( )
2
os3 cos . os3
1
2
( )
2sin
2
+
−
=
c x x c x
f x
x

( )
2
2

os4 os2
os 3
1
2 4
2sin
2
c x c x
c x
x
+
− −
=

2
1 1 1 1
1 cos6 cos4 cos2
4 4 4 4
2sin
2
x x x
x
− − − −
=
Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
0 0
3sin 6 sin 2 3sin 6 sin 2
sin 4 sin 4
2 2 2 2
lim lim
sin

2sin . os
2 2
x x
x x x x
x x
x x
x
c
→ →
+ + + +
=
0
9cos6 4cos4 cos
lim
os
x
x x x
c x
→
+ +
=

9 4 1 14= + + =
g.
( )
3
2
0
1 cos . os2 . os3
lim

x
x c x c x
x
→
−
Đặt
( )
3
2
1 cos . os2 . os3
( )
x c x c x
f x
x
−
=
Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
1 1 2
1 1 1
3 3 3
2 2 2
0
sin .cos 2 . os 3 os .sin 2 .cos 2 . os 3 3 os .cos 2 .sin 3 . os 3
lim
2 2
x
x x c x c x x x c x c x x x c x
x x x
−
→

 
 ÷
+ +
 ÷
 ÷
 
1 3
1 3
2 2
= + + =
Bài 2: Tìm các giới hạn
22
a.
( )
lim os 1 os
→+∞
+ −
x
c x c x
Đặt
( )
( ) os 1 osf x c x c x= + −
thì
1 1
( ) 2sin .sin
2 2
x x x x
f x
+ + + −
= −

Từ đó suy ra
lim ( ) 0
→+∞
=
x
f x
b.
→+∞
14 2 43
lÇn sin
lim sin sin
n
n
x

Đặt
=
14 2 43
lÇn sin
sin sin
n
n
u x
thì
1
sin
n n
u u
+
=

Giả sử
lim
→+∞
=
n
n
u A
thì
sinA A=
Do vậy
0A =
c.
(
)
2
lim sin
→+∞
+
n
n n
π
Đặt
(
)
2
sin
n
u n n
π
= +

Vì
sin x
là hàm số liên tục nên
2
lim sin 0
→+∞
= =
n
n
u n
π
d.
2
lim os . os os
2 2 2
→+∞
n
n
x x x
c c c
Đặt
2
os . os os
2 2 2
=
n
n
x x x
u c c c
Thì

1 1
1 1
2. os . sin os sin
4 2 2 2 2
− −
= =
n
n n n
x x x
u c c x
. Nên
lim 0
→+∞
=
n
n
u
23