Phương pháp giải bất đẳng thức doc

NỘI DUNG
1. Kỹ thuật thêm bớt
Sử dụng:
A
A A B B B
B
= + − = ×
để tạo ra các bộ phận mới ở hai vế của bất đẳng thức mà
có thể đánh giá được các bộ phận với nhau
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:

2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất
- Vai trò a,b,c giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- Biểu thức thêm vào là bậc nhất
Hướng dẫn:

2
2
4
a b c
a
b c

+
+ ≥
+
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:

3 3 3 2 2 2
2 2 2 3
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
Phân tích: - BĐT đồng bậc hai
- Vai trò a,b,c giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- Biểu thức thêm vào là bậc hai
Hướng dẫn:

3
2
2 2 2
( 2 ) 2
2 9 3
a a b c
a
b c
ab bc ca a b c
+
+ ≥
+

+ + ≤ + +
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:

3 3 3 2 2 2
(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )a b c ab bc ca
+ + + ≥ + + +
Phân tích: - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Hướng dẫn:

(
)
( )
3
3
3 3 3 3 3 3 3 2
(1 )(1 )(1 ) 1 1a b b a b c ab
+ + + ≥ + = +

Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
5 5 5
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
2)
3 3 3

2 2 2
( ) ( ) ( ) 4
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
3)
3 3 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + ≥
+ + +

4)
4 4 4
2 2 2
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +

5)
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a

+ +
+ + ≥
+ + + + + +

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

6)
5 5 5
4 4 4
1
a b c
b c a
+ + ≥

7)
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +

Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có:

8)
1 1 1
6
osA osB osBc c c
+ + ≥

9)
1 1 1 6
2 os2A 2 os2B 2 os2B 5c c c
+ + ≥
+ + −

10)
1 1 1 27
osA+cosB+cosC
osAcosB osBcosC osCcosA 2
c
c c c
+ + + ≥

2. Kỹ thuật “san sẽ”
Xác định: Đại lượng “lớn”, đại lượng “bé” và chọn cách san sẽ phù hợp
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y>0 và x+y=1, ta có:

2 2
1 1
4 7xy
x y xy
+ + ≥
+
Phân tích: - Vai trò x,y giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y=
1
2
- Đại lượng “lớn”:

1
xy
; Đại lượng “bé”:
2 2
1
;4xy
x y
+
Hướng dẫn:

2 2 2 2
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 4
2 4 4
(1 1) 1 1
2 .4 7
2 4 ( )
xy xy
x y xy x y xy xy xy
xy
x y xy xy x y
+ + = + + + +
+ +
+
≥ + + =
+ + +

Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có:

1 1 1 15
osA+cosB+cosC
osA osB osB 2
c
c c c
+ + + ≥
Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=60
0
- Đại lượng “lớn”:
1 1 1
osA osB osCc c c
+ +
; Đại lượng “bé”:
osA+cosB+cosCc
Hướng dẫn:

1 1 1
osA+cosB+cosC
osA osB osC
1 1 1
4 osA +4cosB 4cosC
osA osB osC
9 15
-3( osA cosB cosC) 4 4 4
2 2
c
c c c
c

c c c
c
+ + +
= + + + +
+ + ≥ + + − =
Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
3 3 3 3
2 2 2
2( ) 9( )
33
a b c a b c
abc a b c
+ + + +
+ ≥
+ +
2)
4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca+ + + + + ≥ + + + + +

3) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:

2 2 2 2
3 2 1 1
4 ;P xy Q
x y xy x y xy
= + + = +
+ +
3. Kỹ thuật nhóm đối xứng
Bất đẳng thức ở dạng đối xứng (vai trò của các biến là như nhau). Khi đó chúng ta có

thể đánh giá một bộ phận của vế này với bộ phận tương ứng của vế kia. Tương tự, suy ra
các kết quả đối với các bộ phận còn lại và thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:

bc ca ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất
- Vai trò a,b,c
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Hướng dẫn:

2 . 2
bc ca bc ca
b
a b a b
+ ≥ =

Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

A B C
sin sin sin os os os
2 2 2
A B C c c c
+ + ≤ + +
Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=60

0
Hướng dẫn:

sin sin 2(sin sin )
C
4sin 2 os
2 2
A B A B
A B
c
+ ≤ +
+
≤ =
Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

3 3 3
sin sin sin sin sin sin
4 4 4
A B B C C A
A B C
+ + +
≤
Hướng dẫn:

3 3
4 4
3 1 1 3
sin sin sin sin sin
4 2 2 4 4
1

.4. sin sin sin sin
4
A B A B
B A B
A B A B
+ +
 
≥ + ≥ +
 ÷
 
≥ =
Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b
+ + ≥ + +

2)
2
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ +
+ + ≤
+ + +

Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

3)

sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sinA B C A B C
+ + ≤ + +

4)
cos cos os sin sin sin
2 2 2
A B C
A Bc C
≤
5)
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
sin sin sin
os os os
2 2 2
A B C
A A A
c c c
+ + ≥ + +
6)
A B C
sin sin sin os os os
2 2 2
n n n
n n n
A B C c c c
+ + ≤ + +
4. Kỹ thuật đ ồng bậc hoá
Sử dụng giả thiết để biến đổi BĐT về dạng đồng bậc để chứng minh.

Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b>0 và a+b=1, ta có:

2 2
1
( )
8
ab a b
+ ≤
Phân tích: - BĐT không đồng bậc
- Vai trò a,b giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b
- Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá
Hướng dẫn:

2 2 4
4 2 2
4
1
( ) ( )
8
( ) 8 ( ) 0
( ) 0
ab a b a b
a b ab a b
a b
+ ≤ +
⇔ + − + ≥
⇔ − ≥

Bài 2: với mọi a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng :

2 2 2
2 3 1a b c abc
+ + + ≤
Phân tích: - BĐT không đồng bậc
- Vai trò a,b giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
1
3
- Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá
Hướng dẫn:

2 2 2 2
2
2 3 ( ) ( )
3 ( ) ( )
3 ( ) ( )
a b c abc a b c a b c
abc a b c ab bc ca
abc a b c ab bc ca
+ + + + + ≤ + +
⇔ + + ≤ + +
⇔ + + ≤ + +

Bài tập:
1) Cho a,b,c>0, thoả điều kiện:

2 2 2
3 3 3

3a a a
+ + =
Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2
3 3 3
a b c a b c
+ + ≥ + +
2) Cho a,b>0, thoả điều kiện:

2a b
+ =
Chứng minh rằng :
2 2 3 3 4 4
2 a b a b a b
≤ + ≤ + ≤ +
3) Chứng minh rằng với mọi a,b,c: a+b+c=0, ta có:

16 16 16 2 2 2
a b c a b c
+ + ≥ + +
5. Kỹ thuật chuẩn hoá
Sử dụng tính chất đồng bậc của BĐT để chuẩn hoá. Việc chọn đối tượng để chuẩn hoá
là rất quan trọng.
Các ví dụ:
Bài 1:
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6

( ) ( ) ( ) 5
a b c b c a c a b
b c a c a b a b c
+ + +
+ + ≤
+ + + + + +
Phân tích: - BĐT đồng bậc
- Vai trò a,b,c giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- Chuẩn hoá: a + b + c = 1
Hướng dẫn:
222
221
)1(
221
)1(
221
)1(
cc
cc
bb
bb
aa
aa
+−
−
+
+−
−
+

+−
−
Theo Côsi: 2a(1-a)
≤
2
2
12






−+ aa
=
( )
4
1
2
+a
=> 1- 2a + 2a
2
= 1 - 2a (1- a)
≥
1-
( )
4
1
2
+a

=
( )( )
4
31 +− aa
> 0
=>






+
−=
+
=
+−
−
≤
+−
−
3
3
14
3
4
)3)(1(
)1(4
221
)1(

2
aa
a
aa
aa
aa
aa
=> VT
≤
4






+
−+
+
−+
+
− )
3
3
1()
3
3
1()
3
3

1(
cba
= 4
1 1 1 6
3 3(
3 3 3 5a b c
 
− + + ≤
 
+ + +
 
Bài 2: Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
6(a + b + c) (a
2
+ b
2
+ c
2
)
≤
27abc + 10 (a
2
+b
2
+c
2
)
3/2
(1)
Phân tích: - BĐT đồng bậc

- Vai trò a,b,c giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- Chuẩn hoá: a
2
+ b
2
+ c
2
=9
Hướng dẫn: (1) <=> 2(a + b + c) - abc
≤
10
VT = 2(a+b+c) - abc = 2a - abc + 2(b+c) = a(2-bc) + 2(b+c)
VT
2

≤
[a
2
+ (b+c)
2
] [(2- bc)
2
+ 4]
G/s:
a b c
≥ ≥
do a
2
+ b

2
+ c
2
= 9 => a
2

≥
3
Đặt t = bc do
2 2 2
9
3
2 2
b c a
bc
+ −
≤ = ≤
Nên VT
2

≤
(9+2bc) [(2-bc)
2
+ 4] = (9 + 2t) [(2-t)
2
+ 4] = f(t) với -3
≤
t
≤
3

Khảo sát f(t) => f(t)
≤
max f(t) = 100 => VT
≤
10 đpcm
1) (a+b) (b+c) (c+a) + abc
≤

3
1
(a + b + c)
3
; a, b, c > 0
2)
cabcab
cba
++
++
222
+
2
))()((
8
≥
+++ accbba
abc
; a, b, c > 0
3) a, b, c > 0:









++
++
−
++
−
++
++
cabcab
cba
abc
cba
cba
cba
222333
222
2
2
1)(
≤
2
4) a, b, c > 0: (a + b + c) (
accbba +
+
+

+
+
111
)+
5
))()((
4
≤
+++ accbba
abc
6. Kỹ thuật lượng giác hoá
Kỹ thuật lượng giác hoá với mục đích thay đổi hình thức của bài toán chứng minh một
BĐT đại số thành việc chứng minh BĐT lượng giác. Kỹ thuật này được xác định thông qua
miền giá trị của các biến, các công thức lượng giác
và các đẳng thức lượng giác liên quan.
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng:

2 2 2 2
1 1 3( (1 )(1 ) 2a b b a ab a b
− + − + − − − ≤
Phân tích: - ĐK:
1 , 1a b
− ≤ ≤
- Công thức lượng giác liên quan
2 2
sin os 1c
α α
+ =
- Lượng giác hoá

Hướng dẫn:
Đặt:
sin
sin
a
b
α
β
=


=

;
[ ]
, 0;
α β π
∈
VT=
2 sin( ) 2
3
π
α β
+ − ≤
Bài 2: Cho x,y,z>0; zy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:

2 2 2
3 3
1 1 1 2
x y z

x y z
+ + ≤
− − −
Phân tích: - Đẳng thức lượng giác liên quan
1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
+ + =
- Lượng giác hoá
Hướng dẫn:
Đặt:
t ; t ; t
2 2 2
A B C
a g b g c g
= = =
; ABC l à tam giác nhọn

( )
1 3 3
2 2
VT tgA tgB tgC
= + + ≥
Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:
1 1 1
6
2 3a b c
+ + =
Chứng minh rằng:

1
36 9 4 27
a b c
a bc b ca c ab
≤
+ + +
Hướng dẫn:

1 1 1
36 9
4
1 1
1
VT
bc ca
ab
a b
c
=
+ +
+
Đặt
2
36
,
2
bc A
cotg
a

=

2
9
2
ca B
cotg
b
=
,
0 ,A B
π
< <
Từ giả thiết ta có:
6 3 2 6 3 2
bc ca ab bc ca ab
a b c a b c
= + +
Suy ra,
2 2
2
2 2
1
2 2
A B
cotg cotg
ab A B C
tg cotg
A B
c

cotg cotg
+
+
 
= = =
 ÷
 
−

với A,B,C là ba góc của một tam giác
Vậy
2 2 2
1 1 1
1 1 1
2 2 2
VT
A B C
cotg cotg cotg
=
+ + +

2
2 2
2 2
3
1 A-B A+B
sin sin sin os os sin
2 2 2 4 2 2 2
1 A-B 1 C
os sin sin 1 sin sin

4 2 2 2 4 2 2
C C C
1 sin 1 sin 2sin
1 C C 1 1
2 2 2
1 sin 1 sin 2sin
8 2 2 2 8 3 27
A B C C
c c
C C C
c
C
 
= = −
 ÷
 
   
= − ≤ −
 ÷  ÷
   
 
     
− + − +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
  
     
 ÷
= − − ≤ =
 ÷ ÷

 ÷
  
 ÷
 
Bài t ập: 1) Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh rằng:

(1 )(1 )(1 ) 1abc a b c
+ − − − <
2) Chứng minh rằng:

2 2
( )(1 ) 1
(1 )(1 ) 2
a b ab
a b
+ −
≤
+ +
3) Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b b c c a
a b b c c a
− − −
+ ≥
+ + + + + +
4) Cho a,b,c>0 và abc+a+c=b. Tìm GTLN

2 2 2

2 2 3
1 1 1
P
a b c
= − +
+ + +
KẾT LUẬN
Bài viết trình bày một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, các ý tưởng, ví dụ và bài
tập đã được sắp xếp một cách có hệ thống nhằm giúp cho đối tượng học sinh có điều kiện
ôn tập, nghiên cứu, phát triển.
Do trình độ còn hạn chế nên trong bài viết không thể tránh khỏi những sai sót về trình
bày cũng như về chuyên môn. Rất mong bạn đọc góp ý kiến.
Xin chân thành cảm ơn.