bài giảng điện tử toán kinh tế hàm nhiều biến

07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
1
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Định nghĩa: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký
hiện (x
1
, x
2
,… x
n
) (x
i
∈ R, i = 1, n) được gọi là một điểm n -
chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là R
n
.
R
n
= {x = (x
1
, x
2
,… x
n
): x
i
∈ R, i = 1, n}
Trong đó x
i

là toạ độ thứ i của điểm x.
Định nghĩa: Khoảng các giữa 2 điểm x = (x
1
,x
2
,… x
n
),
y = (y
1
,y
2
,… y
n
) ∈ R
n
:
∑
=
−=
n
1i
2
ii
)yx()y,x(d
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
2
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Một số tính chất của d:

a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0  x
i
= y
i
, ∀I  x = y
b) d(x,y) = d(y,x)
c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y)
Điểm biên, tập đóng: Điểm x
0
∈ R
n
được gọi là điểm biên của
D ⊂ R
n
nếu mọi lân cận của x
0
đều chứa ít nhất các điểm x, y:
x ∈ D, y ∉ D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên
của D. Nếu biên của D thuộc D thì D được gọi là tập đóng.
Lân cận: Cho x
0
∈R
n
và số r > 0. Tập S(x
0
, r) = {x ∈ R
n
: d(x,x
0
)

< r} được gọi là một lân cận của x
0
.
Điểm trong: Điểm x
0
∈R
n
được gọi là điểm trong của D ⊂ R
n

nếu D chứa một lân cận của x
0
.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
3
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Điểm giới hạn: Điểm x
0
∈R
n
được gọi là điểm giới hạn của D ⊂
R
n
nếu mọi lân cận của x
0
chứa ít nhất một điểm x: x∈D, x≠x
0
.
Đặc biệt, nếu điểm x

0
∈ D không phải là điểm giới hạn thì nó
được gọi là điểm cô lập của D.
Hàm nhiều: D ⊂ R
n
. Một ánh xạ f: D → R, tức là một qui tắc (x
1
,
x
2
,… x
n
) ∈ D một số thực z được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu:
)x, x,x(fz)x, x,x(:f
n21n21
=
D: miền xác định
f(D) = {z ∈ D | z = f(x
1
, x
2
,… x
n
), ∀(x
1
, x
2
,… x
n
) ∈ D} gọi

là miền giá trị
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
4
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Hàm 2 biến: D ⊂ R
2
. Một ánh xạ f: D → R, tức là một qui tắc
(x,y) ∈ D một số thực z được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu:
)y,x(fz)y,x(:f =
D: miền xác định
f(D) = {z ∈ D | z = f(x,y), ∀(x,y) ∈ D} gọi là miền giá trị
Ví dụ: Tìm miền xác định:
z = 2x – 3y +5
z = ln(x + y -1)
22
yx1z −−=
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
5
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y) xác định trên D ⊂ R
2
và
M
0
(x
0
,y

0
) là điểm giới hạn của D . Số thực L được gọi là giới
hạn của f khi M(x,y) tiến dần đến M
0
(x
0
,y
0
), nếu:
∀ε > 0, ∃δ > 0: d(M,M
0
) < δ => |f(M) – L| < ε
2
0
2
00
)y-(y)x-(x)Md(M, +=
L)M(flim
0
MM
=
→
L)y,x(flim
)y,x()y,x(
00
=
→
L)y,x(flim
0
0

yy
xx
=
→
→
,
,
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
6
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
•
Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với
hàm số một biến.
•
Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số
một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến.
Ví dụ:
22
)0,0()y,x(
yx
xy
lim
+
→
22
22
)0,0()y,x(
yx
)yxsin(

lim
+
+
→
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
7
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Định nghĩa: Nếu
)y,x(f)y,x(flim
00
)y,x()y,x(
00
=
→
Thì f được gọi là liên tục tại (x
0
,y
0
)
•
Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số
một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến.
Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D
⊂ R
2
thì f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
8

C3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ3. ĐẠO HÀM RIÊNG
Định nghĩa: z = f(x,y) là một hàm số xác định trong miền D,
M
0
(x
0
,y
0
) ∈ D. Nếu cho y = y
0
, y
0
là hằng số, hàm số một biến
f(x,y
0
) có đạo hàm tại x = x
0
, thì đạo hàm đó được gọi là đạo
hàm riêng của f đối với x tại M
0
. Ký hiệu:
)y,x(
x
z
),y,x(
x
f
,)y,x(f
000000

'
x
∂
∂
∂
∂
Đặt ∆
x
f = f(x
0
+ ∆x, y
0
) - f(x
0
,y
0
): Số gia riêng của f tại M
0
.
'
x
x
0x
00
f ,
x
f
lim)y,x(
x
f

∆
∆
=
∂
∂
→∆
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
9
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f
theo biến y.
'
y
y
0y
00
f ,
y
f
lim)y,x(
y
f

∆
∆
=
∂
∂

→∆
Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến
số (n≥3).
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:
4234
y2yx5xz +−=
y
xu =
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
10
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm riêng cấp cao:
Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được
gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo
hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2.
Ta có 4 đạo hàm riêng:
)y,x(f
x
f
x
f
x
''
x
2
2
2
=
∂

∂
=






∂
∂
∂
∂
)y,x(f
xy
f
x
f
y
''
yx
2
=
∂∂
∂
=







∂
∂
∂
∂
)y,x(f
yx
f
y
f
x
''
xy
2
=
∂∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
)y,x(f
yy

f
y
f
y
''
y
2
2
=
∂∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
Tương tự, ta có thể định nghĩa các đạo hàm riêng cấp 3,…
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
11
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M
0
hàm số

f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M
0
thì f
xy
= f
yx
tại
M
0
.
Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao
hơn của n biến số (n≥3)
Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số z = f(u,v) là các hàm
số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các
đạo hàm riêng u
x
, u
y
, v
x
, v
y
thì tồn tại các đạo hàm riêng:
x
v
v
f
x
u
u

f
x
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
v
v
f
y
u
u
f
y
z
∂
∂
∂
∂
+

∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
Ví dụ: Tính z = e
u
cosv, u = xy, v = x/y
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
12
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN
Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình
F(x,y) = 0
Nếu tồn tại hàm số y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, ∀x ∈ (A,B)
thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0.
* Chú ý rằng mọi hàm số ẩn đều biểu diễn được dưới
dạng y = f(x).
Ví dụ: xy – e
x
+ e
y
= 0
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
13
C3. HÀM NHIỀU BIẾN

Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:
y
x
F
F
'y −=
Ví dụ: Tính y’ nếu:
F(x,y) = x
3
+ y
3
– 3axy = 0
F(x,y) = xy – e
x
+ e
y
= 0
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
14
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0.
Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với
mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f được gọi là hàm số ẩn
từ phương trình F(x,y,z) = 0.
Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:
z
x
F
F

x
z
−=
∂
∂
z
y
F
F
y
z
−=
∂
∂
Ví dụ: tính z
x
, z
y
nếu xyz = cos(x+y+z)
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
15
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
ξ4. CỰC TRỊ
Cực trị tự do:
Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm
M
0
(x
0

,y
0
) nếu tồn tại một lân cận ∆ của M0 sao cho f(M) ≤ f(M
0
),
∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M
0
), ∀M ∈ ∆). F(M
0
) gọi chung là cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x
2
+ y
2
Điều kiện cần để có cực trị:
Nếu f(x
0
,y
0
) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x
0
,y
0
) thì:
f’
x
(x
0
,y
0

) = 0, f’
y
(x
0
,y
0
) = 0
Ta có khái niệm điểm dừng như trong trường hợp hàm một
biến: Nếu tại (x
0
,y
0
) các đạo hàm riêng không tồn tại hoặc bằng
0 được gọi là điểm dừng của f.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
16
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Điều kiện đủ của cực trị: Giả sử M
0
(x
0
,y
0
) là một điểm dừng
của hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận của M0.
Đặt:
r = f
xx
(M

0
) , s = f
xy
(M
0
) , t = f
yy
(M
0
)
1) Nếu s
2
– rt < 0: thì f đạt cực trị tại M
0
. Nếu r > 0 (r < 0) thì f
đạt cực tiểu (cực đại)
2) Nếu s
2
– rt > 0: f không đạt cực trị tại M
0
.
3) Nếu s
2
– rt = 0: Chưa kết luận được (trường hợp nghi ngờ)
Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 8,
z = x

3
+ y
3
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
17
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Cực trị có điều kiện:
Định nghĩa: Người ta gọi cực trị của hàm số z = f(x,y) trong đó
các biến x,y bị ràng buộc bởi hệ thức g(x,y) = 0 là cực trị có
điều kiện.
Điều kiện cần (Phương pháp nhân tử Lagrange):
Nếu f(x,y) đạt cực trị có điều kiện g(x,y) = 0 tại điểm M
0
thì
tồn tại λ sao cho:



=λ+
=λ+
0)M(g)M(f
0)M(g)M(f
0y0y
0x0x
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x
2
+ y
2

với điều kiện x + y + 2 = 0.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
18
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Phương pháp nhân tử Lagrange có thể mở rộng cho hàm
số n biến (n≥3):
Giả sử M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) là cực trị có điều kiện của hàm số
u = f(x,y,z) với điều kiện g(x,y,z) = 0 thì:





=λ+
=λ+
=λ+
0)M(g)M(f
0)M(g)M(f
0)M(g)M(f
0z0z
0y0y

0x0x
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z
với điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
– 1 = 0