bài giảng điện tử toán kinh tế đạo hàm và vi phân

07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
1
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và
x0 ∈ (a,b). Nếu tồn tại
0
0
xx
xx
)x(f)x(f
lim
0
−
−
→
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x
0
. Ký
hiệu f’(x
0
), y’(x
0
)
Đặt ∆x = x – x
0
, ta có x = x
0
+ ∆x và đặt ∆y = f(x
0

+ ∆x) – f(x
0
) thì
x
y
lim'y
0x
∆
∆
=
→∆
Ký hiệu dy/dx, df/dx
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
2
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
- Đạo hàm bên phải:
- Đạo hàm bên trái:
x
y
lim'y
0x
∆
∆
=
+→∆
x
y
lim'y
0x

∆
∆
=
−→∆
-
Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trong khoảng đó,
-
f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái
tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
3
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
2) u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
3) u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0 và
2
'
v
u'vv'u
v
u −
=







Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo
hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f0u có đạo hàm theo
x và y’(x) = y’(u).u’(x).
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
4
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm
số ngược x = f
-1
(y) thì hàm số x = f
-1
(y) có đạo hàm tại y = f(x):
)]y(f['f
1
)x('f
1
)y()'f(
1
1
−
−

==
Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
5
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0 (c: hằng số)
(x
α
)’ = αx
α-1
(α ∈ R, x > 0)
(a
x
)’ = a
x
lna (a > 0, a ≠ 1)
(e
x
)’ = e
x
0) x1,a 0,(a
alnx
1
)'x(log
a
>≠>=
0) x(
x

1
)'x(ln >=
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
Z)k ,k/2(x
xcos
1
)'tgx(
2
∈π+π≠=
Z)k ,k(x
xsin
1
)'gx(cot
2
∈π≠−=
)1x(
x1
1
)'x(arcsin
2
<
−
=
)1x(
x1
1
)'x(arccos
2
<

−
−=
2
x1
1
)'arctgx(
+
=
2
x1
1
)'gxcotarc(
+
−=
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
6
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm cao cấp:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo
hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo
hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
2
2
2
2
dx
fd
,
dx

yd
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm
cấp n. Ký hiệu: f
(n)
(x), y
(n)
(x).
n
n
n
n
dx
fd
,
dx
yd
Ví dụ: Cho y = x
α
(α ∈ R, x > 0), y = ke
x
, tìm y
(n)
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
7
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có:
(u + v)
(n)

= u
(n)
+ v
(n)
∑
=
−
=
n
0k
k)kn(k
n
)n(
v.uC)uv(
trong đó u
(0)
= u, v
(0)
= v
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
8
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ2. VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df
= f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f.
xln1y +=
Ví dụ: tìm dy với
Vi phân của tổng, tích, thương:
Từ công thức của đạo hàm ta suy ra:

1) d(u + v) = du + dv
2) d(u.v) = vdu + udv
2
v
udvvdu
v
u
d
−
=






07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
9
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng:
Khi ∆x→0, thì f(x
0
+∆x) – f(x
0
) và f’(x
0
)∆x là hai VCB
tương đương, nên khi ∆x khá nhỏ, ta có công thức gần đúng
f(x

0
+∆x) ≈ f(x
0
) + f’(x
0
)∆x
Ví dụ, tìm
4
8,15
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(
n-1)
khả vi, ta ký hiệu d
(n)
y
= y
(n)
dx
n
(d
(n)
f = f
(n)
dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
10
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
ξ3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong
(a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0.

Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi
trong (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho
)c('f
ab
)a(f)b(f
=
−
−
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý
Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
11
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong
khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho
)c('g
)c('f
)a(g)b(g
)a(f)b(f
=
−
−
Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của
định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
12
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
QUI TẮC L’HOSPITAL khử dựng vô định khi tìm giới hạn

1. Dạng 0/0, ∞/∞
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ (a,b)
0)x(glim)x(flim
axax
==
→→
L
)x('g
)x('f
lim
ax
=
→
L
)x(g
)x(f
lim
ax
=
→
Nếu thì
Nhận xét: (1) Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
0)x(glim)x(flim
xx
==
∞→∞→
∞==
→→
)x(glim)x(flim
axax

∞==
∞→∞→
)x(glim)x(flim
xx
(2) Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
13
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
8x4x
27x
lim
2
3
3x
+−
−
→
xsinx
xtgx
lim
0x
−
−
→
3
0x
x
xsinx

lim
−
→
x
1
arctgx
2
lim
x
−
π
∞→
ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞/∞)
gxcot
xln
lim
0x +→
n
x
x
xln
lim
+∞→
x
n
x
e
x
lim
+∞→

07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
14
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. Dạng 0.∞, ∞ - ∞: Tìm cách chuyển chúng về dạng 0/0, ∞/∞.
Ví dụ:
xlnxlim
5
0x +→
)4/x(tg)x4(lim
2
2x
π−
→
)tgx
xcos
1
(lim
2/x
−
π→
3. Dạng vô định: 0
0
, 1
∞
, ∞
0
: Ta xét [f(x)]
g(x)
= e

g(x).ln f(x)
(f(x) > 0)
Ví dụ:
2
x
0x
xlim
+→
x1
2
1x
xlim
−
→
xln
1
1x
)gx(cotlim
→
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
15
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x
0

nếu tồn tại một lân cận của x
0
sao cho f(x) ≤ f(x

0
) (f(x) ≥ f(x
0
)).
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f tăng trong khoảng đó.
2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f giảm trong khoảng đó.
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x
0
và có
đạo hàm tại điểm đó thì f’(x
0
) = 0.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
16
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: Hàm số y = x
3
, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không
đạt cực trị.
Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không
tồn tại.
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì
được gọi chung là điểm tới hạn của f:
a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là

điểm dừng của f.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
17
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý: Giả sử f khả vi trong khoảng (a,b) chứa điểm x
0
a) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm
thì f(x) đạt cực đại tại x
0
.
b) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương
thì f(x) đạt cực tiểu tại x
0
.
c) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) không đổi dấu thì f(x)
không đạt cực trị tại x
0
.
Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x
0

và f’(x) = 0.

a) Nếu f”(x
0
) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.
b) Nếu f”(x
0
) < 0 thì f(x) đạt cực đại.
07/25/14 Hàm số và giới hạn hàm s
ố
18
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:
1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút.
2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm.
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x
3
– 3x
2
+1 trên đoạn [-1/2, 4]