Bộ đề ôn thi toán pdf

B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

1




Câu I

Cho hàm s: Cho hàm s:
   
3 2
2
os 3sin 8 1 os2 1
3
y x c x c x
  
     

1. Chng minh rng vi mi

hàm s luôn có cc đi và cc tiu.
2. Gi s rng hàm s đt cc tr ti
1 2
, x
x . Chng minh:
2 2
1 2
18
x x

 

Câu II

1. Gii phng trình:




3 1 2cosx tanx tanx 2sin x
  
2. Gii h phng trình sau:
3 3
x y 2
2 2
3 3
x y 10
2 2

   




   



Câu III

1. Trong mt phng Oxy, cho Parabol


2
: 64
P y x
 và đng thng
: 4 3 46 0
   
x y
. Tìm A thuc (P) sao cho khong cách t A đn

nh
nht. Tính khong cách nh nht đó.
2. Trong không gian Oxyz, cho hai đim




0;0; 3 , N 2;0; 1
 
M và mt
phng


:3 8 7 1 0

   
x y z .
a) Tìm ta đ giao đim I ca đng thng MN vi mt phng




.
b) Tìm ta đ P nm trên mt phng



sao cho tam giác MNP đu.
Câu IV

1.Tính tích phân :
 
ln5
ln 2
.
10 1
x
x x
e dx
I
e e

 


2. Tìm tp hp đim M mà ta đ phc ca nó tha mãn điu kin:
z 2 i 1
  
.

Câu V

1. Tính
0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
2 C 2 C 2 C 2 C 2 C
P
1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012
     
2. Cho a, b, c là ba s thc tho mãn điu kin:
0
a b c
  
. Chng minh
rng:
27 27 27 3 3 3
    
a b c a b c
.






 1

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D

Vn Phú Quc  0982 333 443

2






Câu I

1. Xét PT:




2
y 2x 2 cos 3sin x 8 1 cos2 0
  

     

Ta có:






2 2

2
cos 3sin 16 1 cos2 cos 3sin 32cos 0
      

         
.
Nu
0

 
thì
2 2
cos 3sin 0 sin 0
0 sin cos 1
cos 0 cos 0
  
 
 
  
 
    
 
 
 
. iu
này vô lý. Suy ra
0


  

. Do đó hàm s luôn có cc đai, cc tiu.
2. Theo đnh lý Viet, ta có:


1 2 1 2
x x 3sin cos ; x x 4 1 cos2
  
      .






2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
x x x x 2x x 3sin cos 8 1 cos2
  
       
2 2
9sin 6sin cos 17cos
   
   .


2 2 2 2 2 2
1 2
18 9sin 6sin os 17cos 18 sin os
x x c c

     
      



2
3sin cos 0
 
  
luôn đúng. T đây, ta suy ra: đpcm.
Câu II

1. K:
cos x 0










2 2
PT 3 1 2cos x tan x 1 2cosx 1 2cos x 3 tan x 0
       

2
2 2 2 2 2

1
1 1 1
cosx
cosx cos x cosx
2
2 2 2
1
cos x
tan x 3 sin x 3cos x 1 cos x 3cos x
4

  
 

     
  
   

  


   
  
  



2
1 1 2
cos x cos2x 2x k2 x k

4 2 3 3
 
 
            


k



tha mãn điu kin ban đu.
2. K:
3 3
x, y
2 2
  
.
Áp dng bt đng thc Bunhiacopski:
 
2
2 2
3 3 3 3
2 1. x 1. y 1 1 x y x y 2
2 2 2 2
 
 
           
 
 
 

 
(1)
 
2
2 2
3 3 3 3
10 1. x 1. y 1 1 x y x y 2
2 2 2 2
 
 
           
 
 
 
 
(2)
HNG DN GII
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

3

T (1) và (2) suy ra
x y 2
 
, ngha là du bng xy ra  (1) và (2). Khi đó
3 3
x y

2 2
1 1
x y
3 3
x y
2 2
1 1

 




 


 




. Vy




x;y 1;1
 là nghim duy nht ca h.

Câu III

1.
 
2
2
a
A P : y 64x A ;a
64
 
  
 
 

   
2
2
2
2 2
a
4. 3a 46
64
1 1
d A, a 48a 736 a 24 160
80 80
4 3
 
       


 

2
1 160
a 24 160 2
80 80
 
    
 
.
Du bng xy ra khi ch khi
a 24 0 a 24
    
.
Lúc đó


Mind A, 2
 
khi


A 9; 24
 .
2.
a) ng thng MN qua


M 0;0; 3

nhn



MN 2;0;2


làm VTCP nên có
phng trình:
x 2t
y 0
z 3 2t






  




I MN P
  
Ta đ đim I ng vi tham s t là nghim ca phng trình:
 
11 11 4
3.2t 8.0 7. 3 2t 1 0 t I ;0;
10 5 5
 
         
 

 
.
b) Gi



là mt phng trung trc ca đon thng MN. Gi K là trung đim
MN


K 1;0; 2
 
. Chn
 
1
n MN 1;0;1
2
 
 
làm VTPT ca



. Lúc đó,




có phng trình:





1. x 1 1. z 2 0 x z 1 0
       
.


P

 sao cho
MNP

đu




2 2
P
MN NP
 
 








Gi s ta đ đim N là


a;b;c
, ta có:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

4

 
2
2 2
3a 8b 7c 1 0
a c 1 0
a b c 3 8

   

  


   

.
Gii h phng trình , ta tìm đc
 

2 2 1
P 2; 2; 3 , P ; ;
3 3 3
 
    
 
 
.
Câu IV

1. t
x 2 x x
t e 1 t e 1 2tdt e dx
      
i cn:
x ln2 t 1 ; x ln5 t 2
     

 
  
2
2 2 2
2
1 1 1 1
2tdt dt 1 1 1 1 3 t 1 5
I 2 dt ln ln
3 t 3 t 3 3 t 3 t 3 3 t 3 2
9 t t

 

     
 
    

 
  
.
2. Hai s phc liên hp có mođun bng nhau, ta suy ra
z 2 i z 2 i
    

Vì
 
z 2 i z 2 i z 2 i
        
.
T đó ta có:
z 2 i 1
  
.
Tp hp các đim M là đng tròn tâm


I 2;1
, bán kính
R 1.


Câu V

1.
0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
2 C 2 C 2 C 2 C 2 C
A
1 2 3 4 2011
     
Ta có:
 
 


   


   
 
   
 
     
   
k k
k k
k
2010
k
k 1
k 1
2011
1 2 2011

1 2 2011
2011 2011 2011
2011 0
0
2011
2 2010! 2 2010!
2 C
1
k 1 k! 2010 k ! k 1 k 1 ! 2010 k !
2 2011!
1 1
2 C
2011 k 1 ! 2011 k 1 ! 4022
1
P 2 C 2 C 2 C
4022
1 1
2 1 2 C
4022 2011


 
  
    

     
  
 
         
 

 
       
 



2. t
a b c
x 3 ; y 3 ; z 3
  
. Bài toán quy v chng minh bt đng
thc:
3 3 3
x y z x y z
    

vi x, y, z dng tha mãn
a b c a b c 0
xyz 3 .3 .3 3 3 1
 
   
.
Ta có:
3 33
x 1 1 3 x .1.1 3x
   
. Tng t
3
y 1 1 3y
  

;
3
z 1 1 3z
  
.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

5

Cng v theo v các bt đng thc trên, ta đc:




3 3 3
x y z 6 3 x y z
     
. (1)
Mt khác









3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3 x y z x y z 2 x y z x y z 2.3 x y z
            





3 3 3 3 3 3
x y z 2.3xyz x y z 6
       
(2)
T (1) và (2) suy đpcm.




Câu I

Cho hàm s:
 
2 1

1



x
y C

x
và đim M bt kì thuc (C). Gi I là giao đim
hai tim cn. Tip tuyn ti M ct hai tim cn ti A và B.
1. Chng minh rng: M là trung đim AB.
2. Chng minh din tích tam giác IAB không đi.
3. Tìm ta đ đim M đ chu vi tam giác IAB nh nht.
Câu II
1. Gii phng trình:


3
3
8sin x 1 162sin x 27 0
   
.
2. Tìm m đ phng trình sau có nghim:
2 2
x x 1 x x 1 m
     
.
Câu III

1.Trong mt phng Oxy, cho parabol (P):
2
2
y x x
 
và elip (E):
2
2

1
9
x
y
 
.
Chng minh rng (P) và (E) ct nhau ti 4 đim phân bit A, B, C, D và bn
đim đó cùng nm trên mt đng tròn. Xác đnh tâm và bán kính ca đng
tròn đó.
2. Cho 3 tia OA, OB, OC đôi mt vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c.
Gi
, ,
  
ln lt là các góc ca các mt phng (OAB), (OBC) , (OCA) vi
mt phng (ABC). Chng minh rng:

2 2 2
os os os 1.
  
  
c c c
Câu IV

1. Tính tích phân:
3
0
dx
I
1 sinx cosx



 





2

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

6

2. Gi A, B theo th t là các đim ca mt phng phc biu din s z khác 0
và
1 i
z z
2



. Chng minh tam giác OAB vuông cân.
Câu V
1. Gii h phng trình sau:
 
2 1
2 2

5 5
2 2 2
log 3 1 log 2 4 1
 

 


      


y x y x
x y y x y

2. Cho 3 s thc dng thay đi x, y, z tha mãn điu kin
2 2 2
1 1 1 1 1 1
24 1 2
x y z x y z
   
     
   
   
. Tìm giá tr ln nht ca biu thc:
1 1 1
30 4 2008 30 4 2008 30 4 2008
Q
x y z y z x z x y
  
     

.



Câu I

1. Ta có : TC :
x 1

vì
x 1
2x 1
lim
x 1


 

; TCN:
y 2

vì
x
2x 1
lim 2
x 1





.
Giao đim ca hai tim cn là


I 1;2

Hàm s đc vit li nh sau:
1
y 2
x 1
 


Gi
 
0
0
1
M x ;2 C .
x 1
 
 
 

 

Tip tuyn vi (C) ti M là:
  
0 0
0

1
y y x x x 2 .
x 1

   


Giao đim ca tip tuyn vi TC là
0
2
A 1;2
x 1
 

 

 
.
Giao đim ca tip tuyn vi TCN là


0
B 2x 1;2
 .
Ta có :
A B
M 0
A B
M
0

x x
x x
2
y y 1
y 2
2 x 1


 





  



và A , M , B thng hàng nên M trung đim
ca đon thng AB.
2.
 
IAB 0
0
1 1 2
S .IA.IB . 2 x 1 2.
2 2 x 1
   



Vy din tích tam giác IAB không đi.
HNG DN GII
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

7

3. Ta có:
IA.IB 4


Chu vi
 
2 2
IAB IA IB AB IA IB IA IB
      





2 IA.IB 2IA.IB 2 2 2
   
Du bng xy ra khi


 

0
0
0
x 0 M 0; 1
IA IB 2 x 1 1
x 2 M 2;3
  

     

 


.
Câu II

1. t
u 2sin x

K:
2 u 2
  

PT đã cho thành:




3 3
3 3

u 1 81u 27 0 u 1 81u 27
       
.
t
3 3
3v u 1 3u v 1
    
. Do đó, ta có:
 
   
 
3 3
3
3 3 2 2
3
u 1 3v u 1 3v
u 1 3v
u v 3 v u u v u uv v 3 0
v 1 3u
 
   

 
  
 
  
       
 

  

 

 
3
3
3
2
2
u 1 3v
u 1 3v
3u u 1
v 3
u v u v 3 0
u v
2 4

 


 
     
 
 
    

 

 

 

 
 


Lúc đó:
3 3
1
6sin x 8sin x 1 3sin x 4sin x sin3x sin
2 6

      
2
3x k2 x k
6 18 3
5 5 2
3x k2 x k
6 18 3
  

  

 
   
 
 
 
 
   
 
 

2.
2 2
2 2
2 2
1 3 1 3
x x 1 x x 1 m x x m
2 2 2 2
   
   
            
   
   
   
   
Trong mt phng vi h ta đ Oxy, xét:
1 3 1 3
A ; ; B ;
2 2 2 2
   

   
   
và đnh


M x;0
ta có:
AB 1


.
Vi mi đim M thì
AM BM AB 1
  
.
Mà
2 2
2 2
1 3 1 3
AM x ; BM= x
2 2 2 2
   
   
    
   
   
   
   

Suy ra:
m 1 1 m 1
    
.
Vy phng trình đã cho có nghim khi
1 m 1
  
.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D

Vn Phú Quc  0982 333 443

8

Câu III
1. Ta đ giao đim ca (P) và (E) là nghim ca h phng trình:
 
2
2
2
2 4 3 2
2
2
y x 2x
x
x 2x 1 9x 36x 37x 9 0
x
9
y 1
9

 

        

 


.
t



4 3 2
f x 9x 36x 37x 9
   



f x
liên tc trên

.








1 1
f 1 .f 0 657 0 x 1;0 :f x 0
        










2 2
f 0 .f 1 9 0 x 0;1 :f x 0
      









3 3
f 1 .f 2 5 0 x 1;2 : f x 0
      









4 4
f 2 .f 3 405 0 x 2;3 :f x 0
      

Do PT:


f x 0

là PT bc 4 nên có ti đa 4 nghim. Vy PT


f x 0

có
đúng 4 nghim phân bit nên (P) ct (E) ti 4 đim phân bit.
Gi s






0 0
P E M x ;y
  . Khi đó, ta có:
2
2 2
0 0 0
0 0 0 0 0 0
2
2 2 2 2
2
0

0 0 0 0
0
y x 2x
x 2x y 0 8x 16x 8y 0
x
x 9y 9 0 x 9y 9 0
y 1
9

 
 
     
  
 
  
     
 
 
  


Cng v theo v ca hai phng trình trên, ta đc :
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
16 8
9x 9y 16x 8y 9 0 x y x y 1 0
9 9
          

2 2

0 0
8 4 161
x y
9 9 81
   
   
   
   
. Vy 4 giao đim ca (P) và (E) cùng nm trên
đng tròn tâm
8 4
I ;
9 9
 
 
 
, bán kính
161
R
9
 .
2.

y

A


B
C

z

x


O
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

9

 
: 1 0
   
x y z
mp ABC
a b c
có phng vect pháp tuyn

1
1 1 1
, ,
 

 
 

n
a b c




mp OAB
có vect pháp tuyn


2
0,0,
 
 
n OC c

( )
mp OBC
có vect pháp tuyn


3

,0,0
 
 
n OA a


mp OAC
có vect pháp tuyn
4
(0, ,0)
 
 
n OB b

Gi
, ,
  
ln lt là góc gia các mt phng






, ,
OAB OBC OCA
vi


mp ABC

.Vy :

2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
0 0
os
1 1 1 1 1 1
0 0

 
 
     
c
a b c
c
c
c
a b c a b c
(1)

2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
0 0
os
1 1 1 1 1 1
0 0


 
 
     
a
a b c
a
c
a
a b c a b c
(2)

2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
0 0
os
1 1 1 1 1 1
0 0

 
 
     
b
a b c
b
c
b
a b c a b c

(3)
T (1), (2) và (3) suy ra:
2 2 2
os os os 1.
  
  
c c c
Câu IV
1. t
2
x 2dt
t tan dx
2 1 t
  


1
x 0 t 0 ; x = t
3
3

    

 
1 1
3 3
1
3
2
0

2
0 0
2 2
2dt dt 1
I ln 1 t ln 1
1 t
2t 1 t
3
1 t 1
1 t 1 t
 
     
 
 

 
  
 
 
 
 
.
2. Gi s
z x yi
 
thì ta có :


A x;y
. Vì

z 0

nên
2 2
x y 0
 
.
Ta có
  
1 i 1 x y x y
z z 1 i x yi i.
2 2 2 2
  

     

Vy B có ta đ :
x y x y
B ; .
2 2
 
 
 
 

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

10

Ta li có:
2 2
2 2
2 2 2 2
x y x y x y
OA x y ; OB
2 2 2
  
   
    
   
   
.

2 2 2 2
2 2
2
x y x y x y y x x y
AB x y .
2 2 2 2 2
    
       
      
       
       

T đó, suy ra :
2 2 2

OB AB
.
OA OB AB



 


Vy tam giác OAB vuông cân ti B.
Câu V

1.


 
 
2 1
2 2
5 5
2 2 2
1
log 3 1 log 2 4 1 2
 

 


      



y x y x
x y y x y

K:
y 0

.
Chia c hai v ca (1) cho
x
2 0

ta đc:
   
y x
2 y x 2 y x
y x y x
y x
2 1
2 2 2 2 2 2 0
2 2

 
 



      

 



Loi
y x
2 2 0

  
( vô lý).
Nhn
y x
2 1 x y

  
. Thay
y x

vào (2) ta đc:
 
 
2
2 2
5 5 5
1
log x 3x 1 log x 2x 4x 1 log x 3 1 2 x 1
x
 
            
 
 
(3)

Áp dng bt đng thc Cauchy:
   
5 5
1
VT 3 log x 3 log 2 3 1
x
 
     
 
 
.



VP 3 1

.
Vy
   
 
2
1
x
x
VT 3 VP 3 1 x 1 y 1
x 1 0



      



 

(tha K
y 0

)
Vy




x;y 1;1
 là nghim duy nht ca h phng trình.
2.
2
2
1 1 1 1 1
0
x 6 x 3x 36
 
    
 
 
. Du bng xy ra khi
x 6

.
Tng t :

2
1 1 1
y 3y 36
 
. Du bng xy ra khi
y 6

.


2
1 1 1
z 3z 36
  . Du bng xy ra khi
y 6

.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

11

Cng v theo v các bt đng thc trên ta đc:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
24 8 2
x y z 3 x y z 12 x y z x y z
     

            
     
     

Kt hp điu này vi gi thit, ta suy ra:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8 2 1 2
x y z x y z x y z 2
   
          
   
   
.
Áp dng bt đng thc Cauchy cho 2042 s dng:

30 4 2008
2042
30 2008
4
30x 4y 2008z x x y y z z 2042 x y z
          
 

2042
30 4 2008
30 4 2008 1 1 1
2042 . .
x y z x y z
  
Nhân v theo v hai bt đng thc này, ta đc:

 
2
30 4 2008
30x 4y 2008z 4012
x y z
 
    
 
 

2
1 1 30 4 2008
30x 4y 2008z 2042 x y z
 
   
 
 
 

Tng t

2
1 1 30 4 2008
30y 4z 2008x 2042 y z x
 
  
 
 
 

2
1 1 30 4 2008
30z 4x 2008y 2042 z x y
 
  
 
 
 

Cng v theo v ba bt đng thc này, ta đc:
1 1 1 1 1
P
2042 x y z 4084
 
   
 
 
.
Du bng xy ra khi và ch khi
x y z 6
  
.
Vy
1
MaxP
4084
 khi
x y z 6.
  

Câu I

Cho hàm s:
4 2 2
y x 2m x 1
  
(1)
1. Kho sát s bin thiên và v đ th hàm s (1) khi
m 1.





3

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

12

2. Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đim cc tr là ba đnh ca mt tam giác
vuông cân.

Câu II
1. Tìm m đ phng trình sau có nghim duy nht:
32 2
1 x 2. 1 x m
   
.
2. Gii h phng trình sau:
2
2
x 1 y 1
y 1 x 3

  



  



Câu III

1. Trong mt phng Oxy, cho elip
 
2 2
x y
E : 1
18 8
 
. ng thng d tip xúc

vi (E) ti M ct hai trc ta đ ti A và B. Tìm v trí đim M sao cho tam
giác OAB nh nht.
2. Trong không gian vi h ta đ trc chun Oxyz
a) Lp phng trình tng quát ca mt phng đi qua các đim


0;0;1
M ,


3;0;0
N và to vi mt phng


Ox
y
mt góc
3

.
b) Cho 3 đim






;0;0 , B 0; ;0 , C 0;0;
A a b c
vi a, b, c là các s dng thay

đi và tha mãn
2 2 2
3
a b c
  
. Xác đnh a, b, c sao cho khong cách t
O


0;0;0
đn mt phng


ABC
đt giá tr ln nht.
Câu IV

1. Trong khai trin sau đây có bao nhiêu s hng hu t


4
3 5
n
 bit n tha
mãn
1 2 3 2 496
4 1 4 1 4 1 4 1
2 1
n
n n n n

C C C C
   
     
.
2. Cho M, N là hai đim trong mt phng phc biu din theo th t các s
phc
1 2
z , z
khác 0 tha mãn đng thc
2 2
1 2 1 2
z z z z
  . Chng minh tam giác
OMN là tam giác đu.
Câu V

1. Tính tích phân:
 
4
2 x
3
4
I tan x tan x e dx



 

.
2. Chng minh rng:

 
x 1
1 x 1 x
2
x x x 0;1
e
 
    .




Câu I

HNG DN GII
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

13

1. Bn đc t gii
2.
4 2 2
y x 2m x 1
  

TX:
D



.
o hàm


3 2 2 2
y 4x 4m x 4x x m

   
.
Hàm s có 3 cc tr

PT:
y 0


có 3 nghim phân bit

PT:
2 2
x m 0
 

có 2 nghim phân bit khác 0
2
2
m 0
m 0
m 0




  

 


.
Ta đ 3 đim cc tr là:






4 4
A 0;1 ; B m;1 m ; C m;1 m
  
.
D thy
AB AC
 
tam giác ABC cân ti A.
 tam giác ABC vuông cân ch cn
AB AC AB.AC 0
  
 
.
Mà





4 4
AB m; m ; AB m; m
    
 
.
Do đó:


2 8 2 6
m m 0 m m 1 0 m 1
        
tha mãn điu kin
m 0

.
Vy
m 1
 
là giá tr cn tìm tha mãn yêu cu đ toán.
Câu II

1. iu kin đ: Nu phng trình có nghim
0
x
thì
0

x

cng là nghim ca
nó. Do đó phng trình có nghim duy nht thì điu kin đ là:
0 0 0
x x x 0
   
. Thay vào phng trình, ta đc:
m 3.


iu kin cn: Vi
m 3

, phng trình có dng:
32 2
1 x 2 1 x 3
   
.
2
32 2 2
3
2
1 x 1
x 0 1 x 2 1 x 3
1 x 1

 

      


 


. Do đó phng trình có
nghim khi và ch khi
x 0.


Vy phng trình có nghim duy nht khi và ch khi
m 3.


2. K:
1 x, y 1
  
.
t
x cos ; y cos
 
 
,


, 0;
  
 .
H phng trình thành:



 
2 2
2 2
cos sin 1
cos 2cos .sin sin 1 1

cos sin 3
cos 2sin .cos +sin 3 2
 
   
 
   

 
  

 

 
 
 





Cng v theo v ca (1) và (2) ta đc:
 
sin 1
2 2

 
     
       
(3)
Kt hp (3) và PT:
cos sin 1
 
 
ta gii đc:
1
cos
2


hay
1 3
x y
2 2
   ( tha K)
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

14

Vy
 
1 3
x, y ;

2 2
 

 
 
là nghim duy nht ca h.
Câu III

1. Gi s
 
 
2 2
0 0
0 0
x y
M x ;y E 1
18 8
   
.
Tip tuyn d có dng:
0 0
x x y y
1
18 8
 
.
0
18
A d Ox A ;0
x

 
  
 
 
;
0
8
B d Oy B 0;
y
 
  
 
 



0 0
x ,y 0


OAB A B
0 0 0 0
1 1 1 18 8 72
S OA.OB x y . .
2 2 2 x y x y

   
Áp dng bt đng thc Cauchy:
2 2 2 2
0 0

0 0 0 0
0 0
x y
x y x y
1 2 . x y 6
18 8 18 8 6
     

Suy ra
OAB
S 12


.
Du bng xy ra
2
2 2
0 0
0 0
2
0
0
x 9 x 3
x y 1
y 2
18 8 2
y 4

  



    
 
 





Vy có 4 đim M tha mãn yêu cu bài toán là:








3;2 , 3; 2 , 3;2 , 3; 2
   

Và
OAB
MinS 12


.
2. Gi




là mt phng cn tìm có dng:
ax by cz d 0
   

Vì






M 0;0;1 , N 3;0;0

 nên
c d 0
3a d 0
 


 

. Chn
a 1 d 3 , c 3
    

Lúc đó:


: x by 3z 3 0


   
có VTPT có VTPT


n 1;b;3



Mt phng Oxy có VTPT


k 0;0;1



Theo đ, ta có:
2 2
n.k
3
3 1
cos b 26.
3 2
n k
1 b 9. 1 b 10

      
  
 
 

Vy có 2 mt phng



tha mãn đ toán:
x 26y 3z 3 0
   
;
x 26y 3z 3 0
   
.
2. Phng trình mt phng (ABC):
x y z
1
a b c
  

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

15

 
2 2 2
1
d d O; ABC
1 1 1

a b c
 
 
 
 

 
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
9 a. b. c. a b c 3
a b c a b c a b c
     
          
     
     

2 2 2
1 1 1 1
3 d
a b c
3
     

Du bng xy ra
2 2 2
1 1 1
1 a b c 1
a b c

       
.
Vy
1
Max d
3

khi
a b c 1
  
.
Câu IV

1. Ta có:


4n 1
0 1 2 2 3 3 4n 1 4n 1
4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1
1 x C C x C x C x C x

 
    
      
Chn
x 1
 
4n 1 0 1 2 3 4n 1
4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1
2 C C C C C

 
    
     



0 1 2 3 2n
4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1
2 C C C C C
    
     

Suy ra
4n
2

0 1 2 3 2n
4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1
C C C C C
    
    
Hay
4n 496
2 2 4n 496 n 124.
    

     
124 k k
124 124
124 124 k k

k k
4 4
2 4
124 124
k 0 k 0
3 5 C 3 5 C 3 5


 
  
 
.
Trong khai trin có s hng hu t
124 k 2
k 4
0 k 124






 



k 4 k 4t
0 t 31
0 k 124 0 4t 124


 
    
 
   
 


Có 32 giá tr ca t suy ra có 32 giá tr ca k. Vy trong khai trin trên có 32 s
hng hu t.
2.
Ta có:
 
 
2
2
2 1 2 1
2 1 2 1
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
1 2 2 1
z z z z
z z z z
z z z z
z z z z
z z z z


 

 
 
   
 
 
 









Vì
1 2
z , z 0

nên
1 2
z , z 0

. T



ta có:
2 2
3 3

2 1
2 1 1 2 1 2
2 2
1 2
z z
z z z z z z
z z
      
Do đó:
2 1 1 2
z z z z
  
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

16

Mà
1 2 2 1
OM z ; ON = z ; MN = z z
 
.
Vy tam giác OMN đu.
Câu V
1.
 
2 x 2 x x
1 2

3 3 3
4 4 4
I tan x tan x e dx tan x.e dx t anx.e dx I I
  
  
  
     
  

S dng tích phân tng phn đi vi
2
I
ta đc:
 
x 2 x
3
2 1 1 2
4
3
4
I tanx.e 1 tan x .e dx e I I I I e


 


  
          

.

2. Xét hàm s:
     
x 1 x x x
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
f x x x x x.x 1 x x x 0;1
    
        .
 
 
 
x
1 x
2
1 x x
1 x
f x 2. ln x
1 x
1 x



 

 
 

 

.
Xét:

 
1 x
g x 2. ln x
1 x

 


 
 
 
 
2
2
1 x
g x 0 g x
x 1 x


  

đng bin trên













0;1 g x g 1 0 f x 0 x 0;1 f x

        nghch bin trên


0;1

       
1
1 x
1
1
1 x
x 1 x 1 x 1
1 2
f x lim f x lim 1 x x .x 2lim 1 x 0;1
1
e
1 x
  



  
 
 

        
 
 
 

ó là đpcm.





Câu I

Cho hàm s:


3 2
y 2x 3 m 3 x 18mx 8
    

1. Tìm m đ đ th hàm s tip xúc vi trc hoành.
2. Chng minh rng tn ti đim có hoành đ
0
x
sao cho tip tuyn vi đ th
ti đó song song nhau vi mi m.
3. Chng minh rng trên Parabol


2

P : y x

có hai đim không thuc đ th
hàm s vi mi m.



4

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

17

Câu II
1. Gii phng trình:
 
3 2
3 x x 1 5 2x x 10x 34x 40
        

2. Gii h phng trình:
2
2
x 3 2 x y 3
y 3 2 y x 3

   



   



Câu III

1. Trong mt phng Oxy cho đng thng d:
xcost ysin t 2cos t 1 0.
   

Chng minh rng d luôn tip xúc vi mt đng tròn c đnh .
2. Trong không gian Oxyz, cho 2 đim




A 2;3;0 , B 0; 2;0
 và đng
x y z 2 0
:
x y z 2 0
   



   

. Tìm đim M thuc


sao cho tng đ dài
MA MB


ngn nht.
Câu IV

1. Tính tích phân:
 
0
1
2
dx
1 x 1 x

  


2. Tìm s nguyên dng n bé nht đ
n
3 i
1 i
 

 

 
là s thc
Câu V

1. Gii phng trình:
x x
sin cos 1
n n
 
   
 
   
   
vi
2 n
 

.
2. Cho
a, b, c


. Chng minh rng :
sina.sin b.sinc cosa.cosb.cosc 1
 






Câu I

1.  th tip xúc vi Ox

h sau có ngim :




   
3 2
2
2x 3 m 3 x 18mx 8 0 1
6x 6 m 3 x 18m 0 2

    


   



   
2
x m
2 x m 3 x 3m 0
x 3


     





Vi
x m,

th vào (1) , ta đc


3 2 2 3 2
2m 3 m 3 m 18m 8 0 m 9m 8 0
        

HNG DN GII
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

18

 
 
2
m 1
m 1 m 8m 8 0
m 4 2 6


     


 


Vi
x 3,

th vào (1), ta đc:
 
35
54 27 m 3 54m 8 0 m
27
      
Vy
35
m 1; ;4 2 6;4 2 6
27
 
  
 
 
là giá tr cn tìm .
2. Bài toán quy v tìm
k
và
0
x
sao cho





2
0 0 0
y x k, m 6x 6 m 3 x 18m k

      



2
0 0 0
m 18 6x k 6x 18x m
     
.
Phng trình này đúng
m
 
0
0
2
0 0
18 6x 0
x 3
k 0
k 6x 18x 0
 





 

  


.
Vy tn ti đim có hoành đ
0
x 3

sao cho tip tuyn vi đ th ti đó có h
s góc k = 0 tc tip tuyn song song nhau
m.


3.




2 2
0 0
x ;x P : y x
 
.
 th không đi qua đim


2
0 0

x ;x

PT:


2 3 2
0 0 0
x 2x 3 m 3 x 18mx 8
    

vô nghim đi vi n m


2 3 2
0 0 0 0
m 3x 18x 2x 10x 8
      
vô nghim
2
0 0
0 0
0 0
3 2
3 2
0 0
0 0
x 0 x 6
3x 18x 0
x 0 x 6
2x 10x 8 0

2x 10x 8 0
  

  


     
 
   
   



.
Vy đ th không đi qua hai đim




0;0 , 6;36 m.

Câu II

1. K:
5
1 x
2
 

PT

 


 
2
3 x x 1 5 2x x 6x 10 4 x
        

     
2
3 x x 1 5 2x 3 x 1 4 x
 
        
 

Trong mt phng ta đ Oxy, chn các vecto:




u 3 x ;v x 1; 5 2x
    
 



u.v 3 x x 1 5 2x
    
 

 
2
3 2
u v 3 x 1. 4 x x 10x 34x 40
        
 

u.v u v
 
   
u

và
v

cùng phng
3 x 1
x 1 5 2x

 
 

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

19

3 2
2x 17x 49x 46 0
    




2
x 2 2x 13x 23 0 x 2
      
.
Vy x = 2 là nghim ca phng trình đã cho.
2.
2
2
x 3 2 x y 3
y 3 2 y x 3

   


   



K:
x, y 0

.
HPT

 
 
2
2
x 3 2 x y 3 1
x 3 y 3 2 y 2

   



   



Cng v theo v ca


1
và


2
ta đc:
2 2
x 3 3 x 3 y 3 3 y 3
      

Xét hàm s:
 

2
f t t 3 3 t 3
   



f t
liên tc trên


0;


 

  
2
t 3
f t 0 t 0; f t
2 t
t 3

      

luôn đng bin trên


0;


Do đó:




f x f y x y
  
.
Thay vào (1), ta đc:




2 2
x 3 x 3 0 x 3 2 x 1 0
         

   
 


2
2 2
x 1 x 1
x 1
x 1 0 x 1 1 0
x 3 2 x 3 2
 
 


 
       
 
   
 

Vì
x 0

nên
x 1 0 x 1
   
.
Vy




x;y 1;1
 là nghim duy nht ca h phng trình đã cho.
Câu III

1. Gi


0 0
I x ;y
là tâm và R là bán kính ca đng tròn cn tìm.
d
tip xúc vi đng tròn khi và ch khi:

 
0 0
2 2
x cost y sin t 2cos t 1
d I;d R R
cos t sin t
  
  




0 0 0 0
x cost y sin t 2cos t 1 R x 2 cos t y sin t 1 R
         
.
 R là hng s không ph thuc vào t thì:
0 0
x 2; y 0
  

Lúc đó, d tip xúc vi đng tròn c đnh tâm


I 2;0
 , bán kính R = 1.
2.

có phng trình tham s là:
x t

y 0
z 2 t






 


www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

20



M M t;0;2 t
  

     
2 2 2
2
MA MB t 2 9 2 t t 2 2 t
         
   
2 2

2 2 2 2
2t 8t 17 2t 4y 6 2 t 2 3 2 t 1 2
           

Trong mt phng Oxy, đt








u 2 t 2 ;3 , v 2 t 1 ;2
    
 

MA MB u v u v 3 3
     

  

Du bng xy ra khi và ch khi
u

và
v

cùng
phng



 
2 t 2
3 7
t
2 5
2 t 1

   
 



Min MA MB 3 3
  khi
7 3
M ;0;
5 5
 
 
 
.
Câu IV

1.
 
0 0
2
1 1

2 2
dx dx
I
1 x 1 x
1 1
1 x
4 2
 
 
  
 
  
 
 
 

t
1 1
x sin t ; t ;
2 2 2 2
 
 
   
 
 

Lúc đó:
2 2 2
2
0 0 0

costdt cost 2
I dt 1 dt 2J.
2 cost 2 cost 2
2 1 sin t
  

 
     
 
 
 
 
  

J
2
0
dt
2 cost




. t
2
x 2dt
t tan dx
2 1 t
  


1 1
2
2
2
0 0
2
2dt
dt
1 t
J 2
1 t
3 t
2
1 t

 




 

t


2
t 3 tan u dt 3 1 tan u du
   

 
2
6 6
2
0 0
3 1 tan u du
1
J du
3 3tan u
3 6 3
 


  

 
.


9 4 3
I 2.
2 18
6 3

 

   .
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D

Vn Phú Quc  0982 333 443

21

2. Ta có:
3 i 2 cos isin ; 1- i = 2 cos isin .
6 6 4 4
   
 
     
     
     
 
     
 

3 i 5 5
2 cos isin .
1 i 12 12
 

 
  
 

 

Do đó:
n
n

2
3 1 5n 5n
2 cos isin .
1 i 12 12
 
 

 
 
 
 

 
 

S đó là thc khi và ch khi
 
5n 5n 5n
sin 0 k k k .
12 12 12
 

     


S nguyên dng bé nht cn tìm là:
n 12

.
Câu V

1. Khi
n 2

, rõ ràng phng trình có mt nghim
x 2.

Cn chng minh
x 2

là nghim duy nht ca phng trình . Tht vy! Ta có
0 sin 1
n

 
và
0 cos 1
n

 
.
Nu
x 2

thì
x 2
sin sin
n n
 
   


   
   
và
x 2
cos cos
n n
 
   

   
   
thì
x x 2 2
sin cos sin cos 1 .
n n n n
   
       
   
       
       

Nu
x 2

thì
x 2
sin sin
n n
 

   

   
   
và
x 2
cos cos
n n
 
   

   
   
thì
x x 2 2
sin cos sin cos 1 .
n n n n
   
       
   
       
       

iu này chng t
x 2
 
không phi là nghim ca phng trình. Vy
x 2


là nghim duy nht ca phng trình đã cho.
2. Trong mt phng ta đ Oxy chn
 
2 2
u sin a,cosa u sin a cos a 1.
    
 

 
2 2 2 2
v sinbsinc;cosbcosc v sin bsin c cos bcos c
   
 

2 2 2 2
u.v u . v sin a.sin b.sin c cosa.cosb.cosc sin bsi
n c cos bcos c
    
   

Mà




2 2 2 2 2 2 2 2
sin bsin c cos bcos c cos b 1 sin c sin b 1 cos c
    
2 2 2 2 2 2
cos b cos bsin c sin b sin bcos c

   
2 2 2 2
1 cos bsin c sin bcos c 1.
   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

22

Du bng xy ra
sina sin b sinc 1
.
cosa cosb cosc 1
  



  






Câu I
Cho hàm s:
x 1

y
x 1






C

1. Kho sát s bin thiên và v đ th


C
ca hàm s.
2. Tìm


M C
 đ tng khong cách t M đn hai trc ta đ là nh nht.
Câu II

1.Tìm m đ phng trình


1 2cos 1 2sin 1
x x m    có nghim.
2. Gii h phng trình:
3 3
log y log x

3 3
x 2y 27
log y log x 1

 

 


Câu III

1. Trong mt phng Oxy, cho hypebol
 
2 2
x y
H : 1
4 2
 
. Tìm nhng đim trên
trc Ox mà t đó k đc hai tip tuyn đn (H) và hai tip tuyn này vuông
góc nhau.
2. Cho hình chóp (S.ABCD) đáy ABCD là hình vuông cnh a và có tâm O. SA
vuông góc vi mt phng (ABCB), SA = a. Gi I là trung đim ca SC, M là
trung đim ca AB.
Chng minh


IO ABCD
 và tính khong cách t I đn CM.
3. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có



A 1;2;5
và phng trình
hai đng trung tuyn :
1 2
x 3 y 6 z 1 x 4 y 2 z 2
d : ; d :
2 2 1 1 4 1
     
   
 

Vit phng trình chính tc các cnh ca tam giác ABC.
Câu IV
1. Tính tích phân:
 
   
4
2
ln 9 x
I dx
ln 9 x ln x 3


  


2. Gii phng trình trên






2
2 2 2
z 3z 6 2z z 6 3z 0
     

Câu V



 5

x
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

23

Cho các s thc x, y, z tha:
2 2
2 2
x xy y 3
y yz z 16


  


  


.
Chng minh rng:
xy yz zx 8
  
.







Câu I

1. Bn đc t gii.
2.
 
0
0
0
x 1
M C M x ;
x 1
 


 
 

 

Gi
M
d
là khong cách t M đn hai trc ta đ, ta có:
   
0
M 0
0
x 1
d d M;Ox d M;Oy x
x 1

   


Chn




M
M 1;0 H d 1
  
. Do đó, đ tìm

M
Mind
ta ch cn xét:
0
0
0
0
0 0
0
x 1
1 x 1
0 x 1
x 1
1 x 1 x
1
x 1


  


   
 

  






.
Vi
0
0 x 1
 
thì
 
0
M 0 0 0
0 0 0
1 x 2 2
d x x 1 x 1 2
1 x x 1 x 1

        
  

 
 
0
0
2
2 x 1 2 2 2 2 2 2 1
x 1
      

.
Du bng xy ra
0
0

0
0
0 x 1
x 2 1
2
x 1
x 1
 


   

 




Vy


M
mind 2 2 1
 
khi


M 2 1;1 2
  .
Câu II

1. Ta ch cn xét nghim trên


;
 
 ( mt đng tròn lng giác)
K:
1 2cos 0
2
1 2sin 0
6 3
x
x
x
 
 

   

 

.
HNG DN GII
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

24

Ta có:
(1)
      
2
0
2 2 sinx cos 2 1 2cos 1 2sin 2
m
x x x m





     



t
sinx cos 2 sin
4
t x x

 
   
 
 
vi
2
6 3
x

 
  
3 1
2
2
t

  


Phng trình


2
tr thành:
2 2
2 2 2 2 2 1
t t t m
    
(3)
Phng trình đã cho có nghim khi ch khi phng trình


3
có nghim
3 1
; 2
2
t
 



 
 
.
Xét hàm s:
 
2
2 2 2 2 2 1
f t t t t
    



f t
liên tc trên đon
3 1
; 2
2
 

 
 
.
 
2
4 2 3 1
2 0 t ; 2
2
2 2 1

t
f t
t t
 
 

    
 
 
 

Suy ra


f t
là hàm đng bin trên
3 1
; 2
2
 

 
 

   
   
3 1
3 1
t ; 2
t ; 2

2
2
3 1
min f t f 3 1 ; max f t =f 2 4 2 1
2
   




 
 
 
 
 

    
 
 

T đó ta kt lun phng trình có nghim khi
 
2
m 0
3 1 m 2 2 1
3 1 m 4 2 1



    


   



2. K:
x, y 0

.
t
a
3
b
3
a log x
x 3
b log y
y 3






 






HPT đã cho thành:




 
b a
ab
a b
a b 2
3 9
3 2 3 27
a b 1
a b 1
b a 1

  



 

 
  
  
  

 




www.MATHVN.com
www.mathvn.com
B đ ôn thi i hc Dành cho hc sinh khi 12 ôn thi vào i hc khi A, B, D
Vn Phú Quc  0982 333 443

25

a ; b
 
là nghim ca phng trình:
2
x 3
a 1 a 1
y 9
b 2 b 2
t 1
1
t t 2 0
x
t 2
a 2 a 2
9
b 1 b 1 1
y
3






   
 
 



 
 
 
 

 
 

      



 


   
 
 

 
  


   
 
 
 






tha mãn K .
Vy tp hp nghim ca HPT đã cho là:
 
1 1
S 3;9 , ;
9 3
 
 

 
 
 
 
.
Câu III
1. Gi


0
M x ;0 Ox

 ,
d
và
d

là hai đng thng qua M và vuông góc nhau
nên có dng phng trình:


 
0
0
0
0
A x x By 0
Ax By Ax 0
Bx Ay Bx 0
B x x Ay 0
  

  



 
  
  




d
và
d

tip xúc vi (H)

   
2 2 2 2
0
2 2 2 2 2 2
0 0 0
2 2 2 2
0
4B 2A A x
2 A B A B x x 2 x 2
4A 2B B x

 

        

 



Vy tìm đc hai đim


M 2;0

 tha mãn yêu cu bài toán.
2. Chn h trc ta đ
A O , AB Ox , AD Oy , AS Oz
   

Ta đ tng ng vi các đim:








 
0,0,0 , B ,0,0 , C , ,0 , D 0, ,0 ,
S 0,0, ,M ,0,0 , I , , , O , ,0
2 2 2 2 2 2
     
     
     
A a a a a
a a a a a a
a

Chng minh



IO ABCD

 
 
a
IO 0,0,
2
IO//SA IO ABCD .
SA 0,0, a

 
 
 

 
  


 


 



Tính khong cách tù S đn CM.

I
y

z
S
O
A




H
x
B
M
D
C

www.MATHVN.com
www.mathvn.com