ÔN TẬP CÔNG THỨC HÀM SỐ LƯỢNG THPT docx

ĐẠI SỐ 10 GV Trần Khánh Long
GV Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong 2011.
Trang1
ƠN TẬP CƠNG THỨC HÀM SỐ LƯỢNG
THPT

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Trên đường tròn lượng giác gốc A. cho cung

AM
có sđ

AM
=


sin

=
OK
=
M
y
; cos

=
M
OH x

tan


=
sin
cos


(cos

0

); cot

=
cos
sin


(
sin 0


)
2. Các tính chất
 Với mọi

ta có :
1 sin 1 hay sin 1
 
   
;
1 cos 1 hay cos 1

 
   



  
  tg xác đònh
2
k

cotg xác đònh
k
  
 

3. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
 sin
2

+ cos
2

= 1
 )90(tan
cos
sin
0





; )180,0(cot
sin
cos
00




;
 tan  .cot  = 1
 cot =

tan
1
; tan =

cot
1
; 1 + tan
2
 =

2
cos
1
; 1 + cot
2
 =


2
sin
1


4. Giá trị lượng giác của các cung đối nhau (
và -
 
)

       
          
cos( ) cos ; sin( ) sin ;
( ) ; cot ( ) cot
tg tg g g

5. Giá trị lượng giác của các cung bù nhau (
và -
  
)
           
          
cos( ) cos ; sin( ) sin ; (
) ; cot ( ) cot
tg tg g g

6. Giá trị lượng giác của các cung hơn kém nhau

(
và

  

)
           
         
cos( ) cos ; sin( ) sin ; ( ) ;
cot ( ) cot
tg tg g g

7. Giá trị lượng giác của các cung hơn kém nhau
2

( và
2

 

)
   
       
          cos( ) sin ; sin( ) cos ; ( ) ;
cot ( ) t
2 2 2 2
tg cotg g g

8. Giá trị lượng giác của các cung phụ nhau ( và
2

 


)

   
       
       cos( ) sin ; sin( ) cos ;
( ) ; cot ( ) t
2 2 2 2
tg cotg g g

9. Cơng thức cộng:
ĐẠI SỐ 10 GV Trần Khánh Long
GV Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong 2011.
Trang2

           
           
 
  
 
     
     


cos( ) cos .cos sin .sin ; cos( ) cos .c
os sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos ; sin( ) sin .c
os sin .cos
tg +tg
tg( + ) = ; tg(
1 .tg tg

 

 


tg tg
) =
1 .tg tg

10. Cơng thức nhân đơi:

  

     


      

2 2 2 2
2
sin2 2sin .cos
2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin ; 2
1
tg
tg
tg

11. Cơng thức hạ bậc:

2 2 2
1 cos 2 1 cos 2 1 cos2
cos ; sin ;
2 2 1 cos2
tg
  
  

  
  


12. Cơng thức biến đổi tích thành tổng:

     
           
 
   
 
   
       
   
1
cos .cos cos( ) cos( ) ;
2
1 1
sin .sin cos( ) cos( ) ;sin .cos sin( ) sin( )
2 2

13. Cơng thức biến đổi tổng thành tích:

       
   
       
   
  
   
 
   
    
   
   

   
cos cos 2cos .cos ; cos cos 2sin .sin
2 2 2 2
sin sin 2sin .cos ; sin sin 2cos .sin
2 2 2 2
sin( ) sin(
;
cos cos
tg tg tg tg

 
 )
cos cos
14. Công thức rút gọn:
sin cos 2 sin( ) 2 cos( );sin cos 2 sin( ) 2cos( )
4 4 4 4
x x x x x x x x

   
           ;

I.BÀI TẬP
A.HÀM SỐ LƯNG GIÁC
B1/Tính các giá trò lượng giác còn lại:
a/ Cho
0 0
1
sin & 90 180
4
x x  
b/Cho
1 3
cos & 2
3 2
x x


  

c/Cho
3
tan 2 &
2
x x


  
d/Cho

1
cot & 0
3 2
x x

    

B 2/ Chứng minh rằng
a/
cos 1
tan
1 sin
x
x
x cox
 

; b/
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
x x
x x x

 

c/
1 1
(1 tan )(1 tan ) 2tan
cos cos
x x x

x x
     ;
d/
2 3
3
sin cos
1 tan tan tan
cos
x x
x x x
x

    ;e/
1 cos 1 cos 4cot
1 cos 1 cos sin
x x x
x x x
 
 
 
;
ĐẠI SỐ 10 GV Trần Khánh Long
GV Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong 2011.
Trang3
f/
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos

tan 1
x x x
x x
x x
x

  



3/Đơn giản các biểu thức:
2
(1 sin ) tan (1 sin )
A x x x
   ;
2 2
sin (1 cot ) cos (1 tan )
B x x x x
   
2 2
(tan cot ) (tan cot )
C x x x x
    ;
2 2 2
(1 sin )cot 1 cot
D x x x
   
2
2
1 cos (1 cos )

(1 )
sin
sin
x x
E
x
x
 
  ;
8 6 2 4 2 2 2 2
sin sin cos sin cos sin cos cos
F x x x x x x x x
    

4/Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x:
6 6 4 4
2(sin cos ) 3(sin cos )
A x x x x
    ;
6 6 4 4 2
sin cos 2sin cos sin
B x x x x x
    

2 2 2 2 2
sin tan 2sin tan cos
C x x x x x
   
;
2

1 cos 1 cos
sin (1 )(1 )
1 cos 1 cos
x x
D x
x x
 
  
 

2 2 2 2
2 2
tan cos cot sin
sin cos
x x x x
E
x x
 
  ;
2
2
tan cot 1
.
cot
1 tan
x x
F
x
x





5/Tính các biểu thức sau
a/Cho sinx=2/3. Tính
cot tan
cot tan
x x
A
x x




b/Cho tanx=3. Tính
3 3
sin cos 4sin cos
&
2sin cos sin 3cos
x x x x
B C
x x x x
 
 
 

c/Cho cotx= - 3 . Tính
2 2
2 2
sin 2sin cos 2cos

2sin 3sin cos 4cos
x x x x
D
x x x x
 

 

6/Tính các giá trò biểu thức
0 0 0 0
cos10 cos20 cos160 cos180
A     
;
2 0 2 0 2 0 2 0
sin 15 sin 25 sin 65 sin 75
B    

2 0 2 0 2 0
sin 10 sin 20 sin 180
C    
;
0 0
0
0 0
sin( 234 ) cos216
tan36
sin144 cos216
D
 



7/Rút gọn biểu thức
3
sin( ) cos( ) cot(2 ) tan( )
2 2
A x x x x
 
 
       

3
cot( 2 )cos( ) cos( 2 ) 2sin( )
2
B x x x x

  
      

0 0 0 0 0
cos(270 ) 2sin( 450 ) cos( 900 ) 2sin(720 )cot(54
0 )
C x x x x x
        

8/Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
a/
sin cos
2 2
A B C


 ;b/
tan(2 ) tan
A B C A
  
;c/
3
sin cos
2
A B C
C
 
 ;d/
tan cot( )
2 2
A B C
B

 
B/ CÔNG THỨC CỘNG:
9/Cho sinx=5/13 và (

/2<x<

), cosy=3/5 và (0<y<

/2). Tính sin(x+y),
cos(x+y), tan(x+y) và cot(x+y)
Cho sinx=
1
5

và siny =
10
1
. Tính x+y
ĐẠI SỐ 10 GV Trần Khánh Long
GV Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong 2011.
Trang4
10/Cho a+b =

/4. Tính A =(1+tana).(1+tanb)
11/Tính giá trò các biểu thức:
00
00
25
tan
20
tan
1
25tan20tan


A ;
0 0 0 0
tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40
B    ;
0000
0000
11
sin
19

sin
11
cos
19
cos
20sin10cos10sin20cos


C
12/Chứng minh:
a/Sinx+cosx= )
4
sin(2

x ;b/Sin(a+b).sin(a-b) =sin
2
a-sin
2
b =cos
2
b-cos
2
a
c/ 3sin4)
3
sin().
3
sin(4
2
 xxx



;d/ xxx sin2)
4
sin()
4
sin( 



13/Rút gọn biểu thức:
cos( ) cos( )
cos( )cos( )
x y x y
A
x y x y
  

 
;
tan tan tan tan
tan( ) tan( )
a b a b
B
a b a b
 
 
 

sin( ).sin( )

sin sin
x y x y
C
x y
 


;
sin( ) cos( )
4 4
sin( ) cos( )
4 4
x x
D
x x
 
 
  

  
14/Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x
A= cosx+ cos(x+
2
3

)+ cos(x+
4
3

);B= sinx + sin(x+

2
3

) + sin(x+
4
3

)
C= cos
2
x + cos
2
(x+
2
3

) + cos
2
(x+
4
3

);D= sin
2
x + sin
2
(x+
2
3


) + sin
2
(x+
4
3

)
15/Cho tam giác ABC chứng minh:
a. cosB.cosC – sinB.sinC + cosA = 0
b. tanA + tanB + + tanC = tanA.tanB.tanC ( với ABC có 3 góc nhọn )
c. tan
2
A
tan
2
B
+tan
2
B
tan
2
C
+tan
2
A
tan
2
C
= 1
d. cot

2
A
+ cot
2
B
+ cot
2
C
= cot
2
A
. cot
2
B
. cot
2
C

e. cotA.cotB + cotB.cotC + cotA.cotC = 1
B. CÔNG THỨC NHÂN:
16/Tính giá trò biểu thức:
8
cos
4
cos
8
sin




A ;
8
tan
8
tan1
2



B ;
000
70sin50sin10sinC
;
0000
78sin66sin42sin6sinD
;
0000
80cos60cos40cos20cos16E


17/Tính các giá trò biểu thức:
ĐẠI SỐ 10 GV Trần Khánh Long
GV Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong 2011.
Trang5
a. cho tan
2
x
= - 2. Tính
3sin 4cos
cot 3tan

x x
A
x x




b. cho sinx = -4/5, và
3
2
2
x


  . Tính cos(x/2) và sin(x/2)
c. cho tanx = 1/15. Tính
sin 2
1 tan 2
x
B
x



d. cho sinx + cosx =
7
2
và 0 < x <
6


. Tính tan(x/2)
e. cho tan(x/2) = -1/2. Tính
2sin 2 cos2
tan 2 cos2
x x
C
x x




18/Chứng minh:
a/cotx – tanx = 2cot2x; b/sin
4
x + cos
4
x =
3 1
cos4
4 4
x
 ; c/4sinx.sin(60
0
–
x).sin(60
0
+ x) = sin3x
d/4cosx.cos(60
0
– x).cos(60

0
+ x) = cos3x; e/tanx.tan(60
0
– x).tan(60
0
+ x) =
tan3x
f/3 – 4cos2x + cos4x = 8sin
4
x; g/cos
3
x.sinx – sin
3
x.cosx =
sin 4
4
x

h/2(sinx + cosx +1)
2
. (sinx + cosx – 1 )
2
= 1 – cos4x
19/Đơn giản biểu thức
A = sin8x + 2cos
2
(4x +
4

);B =

3 3
cos cos3 sin sin3
cos sin
x x x x
x x
 
 ;C = cos
4
x – sin
4
(x +

)
2
1 sin 2sin ( )
4 2
4cos
2
x
x
D
x

  

;
2 4
2 2
sin 2 4cos
4 sin 2 4sin

x x
E
x x


 
;F = sin(
2

- x).sin(

- x) cos2x
C. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
20/Biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích các biểu thức sau:
a/sin(

/5).sin(

/8) b/2sina.sin2a.sin3a c/Sin10
0
+ Sin11
0
+ Sin16
0
+
Sin15
0

d/Sinx+sin2x+sin3x+sin4x e/Cosx+cos2x+cos3x+cos4x f/1-cosx+sinx
g/2cos2a - 3 h/1+2sina-cos2a i/9sina+6cosa-3sin2a+cos2a-8; k/Sin

2
3a-
cos
2
4a-sin
2
5a+cos
2
6a
l/1+2cosx
21/Tính các giá trò biểu thức:
ĐẠI SỐ 10 GV Trần Khánh Long
GV Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong 2011.
Trang6
A = cos85
0
+ cos35
0
– cos25
0
;B =
9
7
cos
9
5
cos
9
cos




 ;C =
5
8
cos
5
6
cos
5
4
cos
5
2
cos





D = sin10
0

. sin30
0

. sin50
0

. sin70

0
;
E = sin20
0

. sin40
0

. sin80
0
;
F =
0
0
70sin4
sin10
1

G = cos
2
x – sin(30
0
+x). sin(30
0
-x);H = cos10
0
. cos30
0
. cos50
0

. cos70
0
;D =
x
x
xx
4
cos
6
cos
4cos6cos



22/ Chứng minh đẳng thức:
a/ x
x
x
x
xxx
3tan
5
cos
3
cos
cos
5sin3sinsin





; b/ xxx 4cos
8
3
8
5
sincos
66

23/Cho tam giác ABC chứng minh :
a. sinA + sinB + sinC =
2
cos
2
cos
2
cos4
CBA

b. cosA + cos B + cosC = 1 +
2
sin
2
sin
2
sin4
CBA

c. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
d. sin

2
A + sin
2
B + sin
2
C = 2(1+ cosA.cosB.cosC)
e. cos2A + cos2B + cos2C = -1 – 4cosA.cosB.cosC
f. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
D. NHẬN DẠNG TAM GIÁC:
24/Chứng minh tam giác ABC vuông nếu:

25/Chứng minh tam giác ABC cân nếu :
2
C sinB
a/ sinA 2sinB.cosC; b/ tanA tanB 2cot ; c/ tanA
2tanB tanA.tan B; d/ 2cosA
2 sinC
= + = + = =

26/Chứng minh tam giác ABC đều nếu :

27/Chứng minh tam giác ABC can hoặc vuông nếu :

28/Nhận dạng tam giác biết :
2 2 2
sinA
a/ sin4A sin4B sin4C 0 b/ cos A cos B cos C 1 c/ 2sinC
cosB
+ + = + + = =

29/Tìm các góc của tam giác ABC biết:
2 2 2
sinB sinC
a / sinA ; b/ sinC cosA cosB; c/ sin A sin B sin C
2
cosB cosC
+
= = + + + =
+
1 3
a/ cosA.cosB.cosC ; b/ sinA sinB sinC sin2A sin2B sin2C; c/ cosA cosB cosC
8 2
= + + = + + + + =
( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C
C tanB sin B
a / tanA.tan B.tan 1; b/ ; c/
2 tanC sin C sin B sin C sin B sin C
+ -
= = =
+ -
ĐẠI SỐ 10 GV Trần Khánh Long
GV Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong 2011.
Trang7
a.
0
60

1
sin .sin
2
B C
B C

 





b.
0
120
3 1
sin .cos
4
B C
B C

 







ÔN TẬP CHƯƠNG

1/Tính giá trò các biểu thức A = sina.cosa và B = cos
4
a + sin
4
a theo t biết t =
sina + cosa
2/Tính sin(15

- a) biết
a/sina = 4/5 và (

/2) < a <

b/tana = 1/15
3/Tính
0 0
1 3
sin10 cos10
A   và
2 6
1 cos cos cos
7 7 7
B
  
    
4/Chứng minh các đẳng thức:
a/3 – 4coss2x + cos4x = 8sin
4
x b/

1
tan ( 1) tan
2 cos
x
x
x
  c/
2 4
1 1 1 1
sin .cos cos2 cos4 cos6
16 32 16 32
x x x x x
    ;d/
2
cot 2 1
cos8 .cot 4 sin8
2cot2
x
x x x
x

 
e/
2
6
6 2
1 3tan
tan 1
cot cos
x

x
x x
  
;f/
1 sin 2 cos2
tan 4
cos4 sin 2 cos2
x x
x
x x x

 


5/Chứng minh
1
cot cot
sin 2
a
a
a
  và áp dụng tính
1 1 1

sin sin 2
sin 2
n
T
a a
a

   
6/Cho sina.cosa =
3
4
và 0 < a < 45
0
. Tính
tan cot
tan cot
a a
A
a a



7/Biến đổi thành tích
2 3 2
1
sin 4 1 2cos 2 ; tan tan 3tan 3
3
A x x B x x x
      

8/Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c
a. A= sina.sin( b – c ) + sinb.sin( c – a ) + sinc.sin( a – b )
b. B = cos(a + b).sin( a – b ) + cos( b+ c).sin( b – c ) + cos(c + a).sin( c – a
)
9: Chứng minh rằng:
 
   

 
   
    
     
)sin cos 2 cos( ) 2 sin( );
4 4
b)sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
a

10: a) Biến đổi thành tổng biểu thức: xxA 3cos.5cos


b. Tính giá trị của biểu thức:
12
7
sin
12
5
cos


B
11: Biến đổi thành tích biểu thức: 3xsin 2x sinsin



xA
ÑAÏI SOÁ 10 GV Trần Khánh Long
GV Trần Khánh Long THPT Lê Hồng Phong 2011.

Trang8
12: Tính cos
3


 

 
 
nếu
12
sin
13

 
và
3
2
2

 
 
13: Chứng minh rằng:
a)
1 tan
tan
1 tan 4
x
x
x



 
 
 

 
b)
1 tan
tan
1 tan 4
x
x
x


 
 
 

 

14: Tính giá trị của các biểu thức
a)
sin .cos .cos .cos
24 24 12 6
A
   
 b)
2 0

2cos 75 1
B
 
c)




0 0 0 0
cos15 sin15 . cos15 sin15
C   

15 : Rút gon biểu thức: a)
sin 2 sin
1 cos 2 cos
A
 
 


 
b)
2
2
4sin
1 cos
2
B





c)
1 cos sin
1 cos sin
 
 
 
 

16: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào
,
 

a)
sin6 .cot3 cos6
  

b)
(tan tan )cot( ) tan .tan
     
  

c)
2
cot tan .tan
3 3 3
  
 


 
 