ôn tập khảo sát hàm số

Nguyễn Văn Ngà GV: THPT Krông Buk
CÁC BÀI TỐN LQĐ KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Giao điểm của hai đồ thị.
Cho
( )y f x=
(C
1
) và
( )y g x=
(C
2
)
1 2
( )
( ; ) ( ) ( )
( )
y f x
M x y C C
y g x
=

∈ ∩ ⇔

=

. Pt hồnh độ giao điểm của
1
( )C
và
2
( )C

:
( ) ( ) (*)f x g x=
Số nghiệm của (*) là số giao điểm của
1
( )C
và
2
( )C
.
2
P
giải : Đại số và dựa vào đồ thị.
BT:
Bài 1: Cho hàm số
2
( 1)( )y x x mx m= − + +
(1) . Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − −
(C). Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để
đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 3 : Cho hàm số
23
3
+−=
xxy
(C). Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để
đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt.

Bài 4 : Cho hàm số
= − + −
4 2
1y x x m
(1). Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Bài 5: Cho hàm số
2
2 4
2
x x
y
x
− +
=
−
(1). Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thò hàm số (1) tại hai điểm
phân biệt
Bài 6: Cho hàm số
1
1
2
+
−−
=
x
xx
y
(1). Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thò hàm số (1) tại hai điểm
phân biệt
Bài 7: Cho hàm số

2
4 1
2
x x
y
x
+ +
=
+
.Tìm các giá trò của m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thò hàm số tại hai điểm
phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thò.
Bài 8: Cho hàm số
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
(1)
Tìm m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành t hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương .
Bài 9: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=

+
. Với giá trị nào của m, đường thẳng (d
m
) đi qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị
hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt ? tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị ?
Bài 10: Cho hàm số
2
2 1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C ) và đường thẳng (D):
1y mx m= + −
.Tìm m để (D) cắt (C) tại 2 điểm cùng
thuộc một nhánh của (C).
Bài 11: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (H) và ĐT (d): y = -2x + m. Tìm m để (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A và B, tìm
quỹ tích trung điểm của AB.
Bài 12: Cho hàm số

2
2 1
1
x x
y
x
− +
=
−
có đồ thị (H) và ĐT (d): y = -x + m.
Tìm m để (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A và B, tìm quỹ tích trung điểm của AB.
Bài 13: Cho hàm số
x
xy
4
+=
(1) Chứng minh rằng đường thẳng
mxyd
+=
3:)(
luôn cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A,B. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng
32:)(
+=∆
xy
II. Điều kiện tiếp xúc của đồ thò hai hàm số :
(C
1
) tiếp xúc với (C
2

)
⇔
hệ :
' '
f(x) g(x)
f (x) g (x)
=



=


có nghiệm
 ĐT (d):
y px q
= +
là tiếp tuyến của parabol (P):
2
axy bx c= + +
2
ax bx c px q⇔ + + = +
có nghiệm kép
 TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG
a. Dạng 1:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C):y = f(x) tại điểm
0 0 0
M (x ;y ) (C)∈
Phương pháp:
Nguyễn Văn Ngà GV: THPT Krông Buk

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x
0
;y
0
) có dạng: y = f
'
(x
0
)( x - x
0
) + f(x
0
)
b. Dạng 2:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Gọi
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Bước 2: Tìm x
0
bằng cách giải phương trình :
'
0
( )f x k=
, từ đó suy ra
0 0
( )y f x=
=?

Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt y = f
'
(x
0
)( x - x
0
) + f(x
0
) ta sẽ được pttt cần tìm.
c. Dạng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
A
;y
A
)
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (
∆
) qua A và có hệ số góc là k :

= − + ( )
A A
y k x x y
(*)
Bước 2: Đònh k để (
∆
) tiếp xúc với (C). Ta có:

A
'

f(x)=k(x-x )
tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)
f ( )
A
y
x k
+


∆ ⇔

=


Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.
BT:
Bài 1.Cho
13:)(
2
−−=
xxyP
và
1
32
:)(
2
−
−+−
=
x

xx
yC
.Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc nhau. Viết pt tiếp
tuyến chung của (P) và (C).
Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
33
3
+−=
xxy
tại điểm uốn của nó
Bài 3. Cho đường cong (C):
3 2
1 1 4
2
3 2 3
y x x x= + − −
.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng (d): y = 4x+2.
Bài 4 Cho đường cong (C):
1
3
2
+
+
=
x
x
y
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
xy 3:)(

−=∆
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
của đồ thò (C) của hàm số
xxxy 32
3
1
23
+−=
tại điểm uốn và chứng minh
rằng
∆
là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 6: Cho đường cong (C):
2
1
2
+
−+
=
x
xx
y
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng
2:)(
−=∆
xy
Bài 7: Cho hàm số
1

63
2
+
++
=
x
xx
y
(C) Tìm trên đồ thò (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
xyd
3
1
:)(
=
Bài 8: Cho đường cong (C):
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
. Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận
xiên của (C).
Bài 9: Cho hàm số
1
1
2

−
+−
=
x
xx
y
. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;1) và tiếp xúc với đồ thò hàm số.
Bài 10: Cho đường cong (C):
23
23
+−=
xxy
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-
7)
Bài 11 Cho đường cong (C):
2 5
2
x
y
x
−
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0).
Bài 12 Cho đường cong (C):
43
23
++=
xxy
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)

III. Tìm điểm cố đònh của họ đường cong
PP:
B 1: Gọi
( ; )K x y
là điểm cố đònh (nếu có) mà họ (C
m
) đi qua. Khi đó phương trình:

( , )y f x m=
nghiệm đúng
∀
m (1)
Nguyễn Văn Ngà GV: THPT Krông Buk
B2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 1:
0
=+
BAm

m
∀
Dạng 2:
0
2
=++
CBmAm

m
∀
Áp dụng

0
=+
BAm



=
=
⇔∀
0
0
B
A
m
(2)





=
=
=
⇔∀=++
0
0
0
0
2
C

B
A
mCBmAm
(3)
B 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được
( ; )x y
BT:
Bài 1: CM: đt
1y mx m= + −
ln đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho h/s
4
2( 1)
x m
y
mx
−
=
−
có đồ thị (H
m
). Chứng minh
1/ 2m
∀ ≠ ±
, các đường cong đi qua hai điểm cố định.
IV. Các bài toán về sự đối xứng
PP: Dùng cơng thức chuyển hệ tọa độ
Bài 1: Cho hàm số
1
1

2
−
+−
=
x
xx
y
(C). Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận đứng và xiên làm tâm đối
xứng.
Bài 2: Cho hàm số
3
2 1
x
y
x
+
=
−
(C). Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Bài 3: Cho hàm số
= − + +
3 2
3 3 1y x x x
(C) Chứng minh rằng (C) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Hết!!!