ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HỌC KỲ 2 – TOÁN 12(2008-2009) – TP HỒ CHÍ MINH potx

Sở Giáo dục
và

Đào tạo

TP. Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 ( 2008-2009)
MÔN TOÁN LỚP 12
Thờ
i gian làm bài : 120 phút
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1. (3,5 điểm)
Cho hàm số :
)(
1
2
2
C
x
x
y
+
+
−
=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
)(C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
)(C
tại giao điểm của

)(C

với trục
Ox
.
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
)(
C
, trục
Ox
và
trục
Oy
.
d) Xác định
m
để đường thẳng
mxyd
2:)(
+
=
cắt đồ thị
)(
C
tại hai
điểm phân biệt.
Câu 2. (1,5 điểm)
Tính các tích phân :
a) I=
∫

2
0
2
sin.cos
π
xdxx
b) J=
∫
+
1
0
2
3
)
1
( dx
x
x

Câu 3. (2 điểm)
Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) ,
C(0 ; 0 ; 3).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song
song với đường thẳng OA.
b) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của gốc tọa độ O
trên mặt phẳng(ABC).
B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho
chương trình đó.( phần I hoặc phần II)
I)Theo chương trình chuẩn.

1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

43
23
+−−= xxy
trên đoạn [-3;2].
2) Xác định
m
để hàm số
12)2(
23
++−++= mmxxmxy
có điểm cực đại và
điểm cực tiểu.
3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d):





+=
=
=
6t1z
3ty
t-2x


II)Theo chương trình nâng cao.

1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

52
2
++= xxy
trên đoạn [-3;2].
2) Xác định
m
để hàm số
12)2(
23
++−++= mmxxmxy
đồng biến trên tập
xác định của nó.
3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương
trình: x + y – z + 2 = 0.
HẾT


Đáp án :
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1. (3,5 điểm)
Cho hàm số :
)(
1
2
2
C
x

x
y
+
+
−
=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
)(
C
của hàm số.
Tập xác định :
}
2
1
{\R −
0,25 đ
Sự biến thiên.
. chiều biến thiên :
2
1
,0
)12(
5
'
2
−
≠∀<
+
−

= x
x
y
0,25 đ
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
);
2
1
()
2
1
;( +∞
−
−
−∞ và
0,25 đ
Hàm số không có cực trị
Tiệm cận :
2
1
1
2
2
−
=
+
+
−
=
±∞→±∞→

x
x
LimyLim
xx


+∞
=
−∞
=
+−
−
→
−
→
yLimvàyLim
xx
2
1
2
1
0,25 đ
Đường thẳng
2
1
−
=y
là tiệm cận ngang

Đường thẳng

2
1
−
=x
là tiệm cận đứng. 0,25 đ
Bảng biến thiên

0,25 đ


Đồ thị cắt trục
Oy
tại điểm ( 0 ; 2 ), cắt trục
Ox
tại điểm ( 2 ; 0 )
Vẽ đồ thị .
Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
0,5 đ

b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
)(
C
tại giao điểm của
)(
C

với trục
Ox
.
Giao điểm với trục

Ox
: ( 2 ; 0 )
y’(2) =
5
1
−

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 2 ; 0 ) :

5
2
5
1
)2(
5
1
0
+
−
=⇔−
−
=− xyxy
0,5 đ
c)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
)(
C
, trục
Ox
và trục
Oy

Giao điểm với trục
Ox
: ( 2 ; 0 )
y’

y


−

−

x

-
1/2

-
∞

+
∞



+
∞

-

1/2

−∞







-
1/2


Giao điểm với trục
Oy
: ( 0 ; 2 ).
Vì
0
1
2
2
≥
+
+
−
=
x
x
y

với
]2;0[
∈
x
nên diện tích hình phẳng cần tìm :

∫∫
++
−
=
+
+
−
=
+
+−
=
2
0
2
0
2
0
)12
4
5
2
1
()
12

2/5
2
1
(
12
2
xLnxdx
x
dx
x
x
S

S =
5
4
5
1 Ln+−
( đvdt) 0,5 đ
d)Xác định
m
để đường thẳng
mxyd
2:)(
+
=
cắt đồ thị
)(
C
tại hai

điểm phân biệt.
Hoành độ giao điểm của
)(
d
và đồ thị (
C
) thỏa phương trình :

mm
cómxmx
mxmx
mm
mxmxx
xmx
x
x
∀>+=∆
=−+++





≠−−
=−+++
⇔






≠−+−−
−
=−+++
⇔
−
≠+=
+
+
−
,054
01)12(
021
2
1
01)12(
02212)
2
1
(2
022242
)
2
1
(2
12
2
2
2
2

2
2

Vậy với mọi
m
đường thẳng ( d ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt.
0,5 đ
Câu 2. (1,5 điểm)
Tính các tích phân :
a) I=
∫
2
0
2
sin.cos
π
xdxx

Đặt
xdxduthìxu
sincos
−
=
=
0,25 đ
Ta có :
x
= 0 thì
1
=

u


x
=
2
π
thì
0
=
u

Vậy I =
3
1
)
3
()(
0
1
0
1
3
2
=−=−
∫
u
duu
0,5 đ
b) J=

∫∫
+
=
+
1
0
23
2
1
0
2
3
)1(
)
1
( dx
x
x
dx
x
x

Đặt
dxxduthìxu
23
31 =+=
0,25 đ
Ta có :
x
= 0 thì

1
=
u


x
= 1 thì
2
=
u

Vậy J=
6
1
3
1
6
1
3
1
3
2
1
2
1
2
=+
−
=−=
∫

u
u
du
0,5 đ
Câu 3. (2 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) ,
C(0 ; 0 ; 3).
a)Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song
song với đường thẳng OA.
Ta có
)3;2;0( −=BC


)0;0;1(=OA

Mp(P) đi qua BC và song song với OA nên có vectơ pháp
tuyến là :

)2;3;0(=n
0,5 đ
Mp(P) đi qua điểm B(0 ; 2 ; 0), có vectơ pháp tuyến
)2;3;0(=n
nên có phương trình :
(y – 2)3 + 2z = 0
⇔
3y + 2z – 6 = 0 0,5đ

b)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O
trên mặt phẳng(ABC).
Phương trình mp(ABC) :

062361
3
2
1
=−++⇔=++ zyx
zyx

0,25 đ
Đường thẳng OH vuông góc với mp(ABC) nên có vecto chỉ
phương là vecto pháp tuyến của mp(ABC) : ( 6 ; 3 ; 2 )
Phương trình tham số của đường thẳng OH:





=
=
=
2tz
3ty
6tx

0,5 đ

H là giao điểm của OH và mp(ABC) nên tọa độ H thỏa hệ :








=++
=
=
=
06-2z3y6x
2tz
3ty
6tx

Giải hệ trên ta được H (
)
49
12
;
49
18
;
49
36
0,25 đ

B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
I)Theo chương trình chuẩn.
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
43
23
+−−= xxy

43
23
+−−= xxy
xác định và liên tục trên R


2;00'
63'
2
−==⇔=
−−=
xxy
xxy

( thuộc đoạn [ - 3 ; 2 ] )
0,5 đ
Xét trên trên đoạn [-3;2]:
Ta có y(-3) = 4 ; y(-2) = 0 ; y(0) = 4 ; y(2) = - 16
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 , đạt tại x = -3 hoặc x = 0
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -16 đạt tại x =2.
0,5 đ


2) Xác định
m
để hàm số
12)2(
23

++−++= mmxxmxy
có điểm cực đại và
điểm cực tiểu.
Hàm số xác định có tập xác định là R

12)2(
23
++−++= mmxxmxy


4106)2('
02)2(230'
2)2(23'
22
2
2
++=++=∆
=−++⇔=
−++=
mmmm
mxmxy
mxmxy
(1)
0,5 đ

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt :

2152150' +−>−−<⇔>∆ mvm
0,5 đ
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm

A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d):





+=
=
=
6t1z
3ty
t-2x

Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung
trực của AB.
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
Vecto
)2;4;4(AB −=
→

Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0

02zy2x2
=
+
+
−
⇔

Ta có I là giao điểm của đường thẳng ( d ) và mp trung trực của AB nên

tọa độ tâm I thỏa :








=++−
+=
=
−=
02z2y2x
6t1z
3ty
t2x

Giải hệ trên ta được I (
)22;
2
21
;
2
3
−
0,5 đ
Bán kính mặt cầu (S) : IB =
2
967

19)
2
21
()2
2
3
(
222
=++−−

Phương trình mặt cầu ( S )
2
967
)22()
2
21
()
2
3
(
222
=−+−++ zyx
0,5 đ
II)Theo chương trình nâng cao.
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

52
2
++= xxy
trên đoạn [-3;2].

Ta có tập xác định của hàm sô là R
Hàm số liên tục trên R.


]2;3[10'
52
1
'
2
−∈−=⇔=
++
+
=
xy
xx
x
y

0,5 đ


Ta có y(-3) =
8
; y(-1) =2 ; y(2) =
13

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
13
, đạt tại x = 2
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 đạt tại x = -1 0,5 đ

2) Xác định
m
để hàm số
12)2(
23
++−++= mmxxmxy
đồng biến trên tập
xác định của nó.
Hàm số xác định có tập xác định là R

12)2(
23
++−++= mmxxmxy


4106)2('
02)2(230'
2)2(23'
22
2
2
++=++=∆
=−++⇔=
−++=
mmmm
mxmxy
mxmxy
(1)

0,5 đ

Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì (1) phải có nghiệm
kép hoặc vô nghiệm ( vì hệ số a của y’ là số dương)

2152150' +−≤≤−−⇔≤∆ m
0,5 đ
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương
trình: x + y – z + 2 = 0.
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung
trực của AB.
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
Vecto
)2;4;4(AB
−=
→

Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0

02zy2x2
=
+
+
−
⇔
( 1 )
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung
trực của BC.
Trung điểm của BC là : J (1 ; 1 ; 1 )

Vecto
)4;2;2(BC
−−=
→

Phương trình mp trung trực của BC : (x-1)(-2) +(y-1)(2)+(z-1)(-4) = 0

022yx
=
+
−
+
−
⇔
z
(2)
Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P):x + y – z + 2 = 0 (3)
Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ). Giải hệ này ta được
I( -1 ; 1 ; 2). 0,5 đ

Bán kính mặt cầu ( S ) : IA =
11

Vậy phương trình mặt cầu ( S ):
11)2()1()1(
222
=−+−++ zyx

0,5 đ
Hết