Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG docx

Chuyờn O HM V NG DNG

i s v Gii tớch
11

Ch :

O HM CP CAO


I-
Lí THUYT:






/
( )
( ) ; .
: ;
Cho hàm số: (1)
Giả sử hàm số có đạo hàm tại mọi Khi đó tơng ứng:



y f x
y f x x a b
f a b R

/
/
( )
( ),
( ).
( )

cho ta một hàm số mới. Vì hàm số này xây dựng từ hàm số hoàn toàn xác định
bởi hàm số đó nên đợc gọi là đạo hàm của hàm số
Tơng tự, nếu hàm số: (2
x f x
y f x
y f x
y f x





// //
; ;
( ) ( ).
)
có đạo hàm tại mọi điểm thì ta lập đợc đạo hàm của (2) theo cách trên
gọi là đạo hàm cấp hai của và kí hiệu l
à:
x c d a b
y f x y f x

* T
NG QUT:





( -1) ( 1)
( )
( )
( ) ;
: ;
( )
Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thì tơng ứng:


cho ta đạo hàm của
n n
n
n
y f x x c d
f c d R
x f x

( -1) ( 1)
( ), ( ) gọi là đạo hàm cấp của hàm số và kí hiệu là:
n n
y f x n y f x



( ) ( )
( )

n n
y f x


Nh vậy:

/
( ) ( 1)
( ) 4

n n
y f x n






II
-

THUT TON XC NH O HM CP n CA HM S:

*
Bc 1:

// ///
, , ,
/
Tính y và tiến hành dự đoán đạo hà
m cấp n dựa trên logic.y y

*

B
c 2:
Chứng minh dự đoán bằng
phơng pháp quy nạp toán học.

III-
MT S KT QU V V D CN LU í:

Bi t
p
1:

Chứng minh rằng:

( ) ( )
sin
2 2
a) sin b) cos cos
n n
n n
ax a ax n ax a ax n
p p










Gi
i:
Ta cú:






/
( )

( 1)
1
sin 1
2
sin
2
1 sin ( 1)
2
cos sin (*) Đúng với
Giả sử (*) đúng đến , tức là: sin
Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với , tức là: sin
k
k
k
k
ax a ax a ax n
n k ax a ax k
n k ax a ax k
p
p
p

/ /
/
( 1) ( )
sin sin .
2 2 2

Ta có: sin cos
k k
k k
ax ax a ax k a ax k ax k
p p p


















Chuyờn O HM V NG DNG

i s v Gii tớch
11

1 1 1
( 1)

2 2 2 2
cos sin sin
k k k
a ax k a ax k a ax k
p p p p











Chứng minh tơng tự, ta đợc:



( )
2
cos cos
n
n
ax a ax n
p

Vớ d ỏp dng:

( )
, sin5 .cos2Tính biết
n
y y x x

Gii
: Ta cú:


( )
1
sin5 .cos2 sin7 sin 3
2
1
7 sin 7 3 sin 3
2 2 2

n n n
y x x x x
y x n x n
p p

Vớ d ỏp dng:

2 (25)
sin .
Cho Tính y x x y

Gi
i:
(0)
áp dụng công thức Lai-bơ-nit (Leibnitz). Quy ớc: u u



( )
( ) ( ) ( ) 1 ( 1) / 1 / ( 1) ( )

0
. . . .
n
n
k n k k n n n n n n
n n n n
k
uv C u v u v C u v C u v C u v

















( )
2
(25)
(25) (24) (23)
(25) 2 2 2 2 / 2 //

2
0 3
25.24
sin . sin . sin . 25 sin .( ) sin .( )
2
sin 25. 50 sin 24. 600sin 23.
2 2 2
và chú ý rằng:
Ta đợc:

S
k
x k
y x x x x x x x x x x
x x x x x
p p p

(25) 2
600 cos 50 sin
uy ra: y x x x x
Vớ d ỏp dng:

2 (2 )
(1 )cos .Cho Tính
n
y x x y

Gii:
Ta có:







(2 ) (2 1) (2 2)
(2 ) 2 1 2 / 2 2 //
2 2
2
2
cos (1 ) cos (1 ) cos (1 )
2 (2 1)
(1 )cos( ) 4 cos (2 1) 2. cos (2 2)
2 2 2

( 1) (1 )cos 24 cos ( )
2


n n n
n
n n
n
y x x C x x C x x
n n
x x n nx x n x n
x x nx x n
p p
p
p
p

1 2
2 2
(2 ) 2 2
( 1) (4 2 )cos
( 1) (4 2 1 )cos ( 1) 4 sin
( 1) (4 2 1 )cos 4 sin

Vậy:
n
n n
n n
n n x
n n x x nx x
y n n x x nx x










Vớ d ỏp dng:

(10)
0 .Cho Tính y x x y

Gi
i:
Ta có:

Chuyờn O HM V NG DNG

i s v Gii tớch
11



/
/
/
//
2
/// 2
3 2
(4) 3
4 3
(10) 9
10 9
(10)
10 9
1

;
2
1 1 1 1 1
( 1) ;
2 2
2
1 1.3
( 1) ;
2
1 3.5
( 1) ;
2

1 1.3.5.7.9.11.13.15.17
( 1) ;
2
1 17!!
2






Vậy:
y
x
x
y
x

x x x
y
x x
y
x x
y
x x
y
x

17!! 1.3.5.7.9.11.13.15.17 0 ; ở đây x
x


Vớ d
ỏp dng:
(10)
sin .sin 2 .sin3 .Cho Tính y x x x y

Gii:
Hớng dẫn: Phân tích thành tổng rồi tìm đạo hàm dần từng bậc.

(10) 8 18 8 10
2 sin 2 2 sin 4 2 .3 sin 6 .
Đáp số: y x x x

Vớ d ỏp dng:

(10)
. 2 .
Cho cos Tính y x x y

Gii:
áp dụng công thức Lai-bơ-nit (Leibnitz).



(10)
1024 . 2 5sin 2 .Đáp số: cosy x x x

Bi t
p
2:
Chứng minh rằng:



( )
1
1 . !
( 1) .
n
n
n
n
a n
ax b
ax b

Gii:
Ta cú:








/
/
2 2
( )
1
1 1 .1!
( 1) 1

1 . !
, ( 1) .
Đúng (**) với
Giả sử (**) đúng với tức là:
Ta cần chứng minh (**) cũng đúng với n=k+1, tức là chứng m
k
k
k
k
a
ax b n
ax b
ax b ax b
a k
n k
ax b
ax b

( 1)
1
1
2
1 .( 1)!
( 1) .
inh:

k
k
k
k
a k
ax b
ax b

/ /
/
( 1) ( )
1 1
1 1 . ! 1
( 1) . ( 1) . !
Thật vậy:

k k
k
k k k
k k
a k

a k
ax b ax b
ax b ax b
























Chuyờn O HM V NG DNG

i s v Gii tớch

11











/
1
1
2 2 2 2
1
1
2
( 1). .
( 1) . !.( 1). ( 1) . !
.( 1)!
( 1) .

(đ.p.cm)
k
k
k k k k
k k
k

k
k
ax b
k a ax b
a k a k
ax b ax b
a k
ax b

















Vớ d ỏp dng:

( )
1
,

(1 )
Tính biết
n
y y
x x



Gi
i
: Ta cú:
( )
1 1 1 1
1 1 1
(1 ) 1
( 1) ! ( 1) !( 1) ( 1) 1
!
(1 ) (1 )

Suy ra:
n n n n
n
n n n n
y
x x x x
n n
y n
x x x x

Vớ d ỏp dng:

2
5 3
3 2
Cho hàm số:
x
y
x x

( )
1 2
.
a) Tìm A, B sao cho có thể viết dới dạng:
b) Từ đó, hãy tính
n
A B
y y
x x
y



Gii
: Ta c
ú:




2
5 3
, 1, 2
1 2
3 2
5 3 2 1
5 3 (
a) Sử dụng phơng pháp đồng nhất thức, t
a đợc:
A B

A B
A B) (2A B)
x
x x
x x
x x
x x x
x x











2
( )
1 1
5
2 3
5 3 2
1 2
3 2
2 2 7
( 1) !

1 2
1 2
A B A 2
Vậy ta có hệ sau sau để xác định A, B:
A B B 7
7
Vậy:
7
b) Theo câu a, . Suy ra:
n n
n n
x
x x
x x
y y n
x x
x x

Lu
ý:
Trong toàn bộ các bài giải trên, chúng t
ôi dành phần chứng minh bằng phơng pháp

quy nạp cho độc giả.

IV
-
M
T S BI TP T LUYN:

2 2
2
sin sin . 4 ) .sin (1 ) 4
2 1 2 1
3
2

Tính đạo hàm cấp của các hàm số sau:
a) b) cos c d) cos
e) f) g)
n
y x y x x y x x y x x
x x
y y y
x
x x





2 2
sin
2 1
h)
x x
y
x x x