TÍCH PHÂN CÁC HÁM SỐ CÓ MẪU CHƯA TAM THỨC BẬC 2 pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (410.66 KB, 12 trang )
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC
BẬC 2.
I. Dạng 1:
2
dx
A =
ax + bx + c
∫
( ) ( )
1
2 2 2
dx 3dx d(3x 2) 1 3 2 10
ln
2 10 3 2 10
3 4 2
3 2 10 3 2 10
x
A C
x
x x
x x
− − −
= = = = +
− +
− −
− − − −
∫ ∫ ∫
2
2 2 2
3
3 13
d 2
2
dx dx 1 1
2
2 2
ln
2
2 13 3 13
4 6 1
3 13 3 13
2
2 2
2 2
2 4 2 4
x
x
A C
x x
x
x x
−
− −
= = − = − = − +
− + +
− +
− − − −
∫ ∫ ∫
( ) ( )
3
2 2 2
dx 5dx d(5 4) 1 5 4
arctan
5 14 4
5 8 6
5 4 14 5 4 14
x x
A C
x x
x x
− −
= = = = +
− +
− + − +
∫ ∫ ∫
2
4
2
1
dx 1 12 5
arctan arctan
7 17 17 17
7 4 3
A
x x
= = −
− +
∫
1
5
2
0
dx 1 1 3
arctan arctan
39 39 39
6 3 2
A
x x
= = +
− +
∫
1
6
2
0
dx 1 1 1
arctan arctan
6 3 3 3 3
4 6 3
A
x x
= = +
− +
∫
3
7
2
2
dx 7
ln
5
3 2 1
A
x x
= =
− −
∫
1
8
2
0
dx 1 4 1
arctan arctan
15 3 3
5 2 2
A
x x
= = +
− +
∫
0
9
2
1
dx
ln 5
3 8 4
A
x x
−
= =
− +
∫
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
( )
1
10
2
0
dx 1
arctan 2
2 2
3 4 2
A
x x
= =
− +
∫
1
11
2
0
dx 1 3 69 7 69
ln ln
2
3 69 7 69
4 14 5
A
x x
+ +
= = −
− + − +
− −
∫
(
)
2
1
12
2
0
4 5 dx
3 1
1 arctan
2 4 2
4 8
x x
A
x x
π
− +
= = − −
− +
∫
II. Dạng 2:
(
)
2
mx + n
B = dx
ax + bx + c
∫
( )
( )
( )
2
1
2 2 2 2
3 19
8 6
4 6 1
7 3 dx
3 19
8 4
8 4
4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1
x dx
d x x
x
dx
B
x x x x x x x x
−
− +
− −
−
−
= = = +
− − − − − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2
3 13
2
3 19 3
2 2
ln 4 6 1 ln 4 6 1 ln
8 4 8
3 13
2
2 2
x
x x A x x C
x
− −
− −
= − − − = − − + +
− +
(
)
2
2
2
3 4 dx
3 5 4 7 13
ln 2 7 9 ln
4 4
4 7 13
2 7 9
x
x
B x x C
x
x x
−
− −
= = − + + +
− +
− +
∫
( )
2
3
2
2 7 dx
7 18 5 2
ln 5 8 4 ln
2
10 5
5 8 4
5
5
x
x
B x x C
x x
x
−
− −
= = − − − +
− −
+
∫
(
)
2
4
2
15 6 dx
15 13 16 9 465
ln 12 9 8 ln
16
465 16 9 465
12 9 8
x
x
B x x
x
x x
+
− + −
= = − − +
+ +
− −
∫
(
)
2
5
2
3 10 dx
5 19 8 5
ln 4 5 2 arctan
2 4
7
4 5 2
x
x
B x x
x x
−
−
= = − − + −
− +
∫
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 3
(
)
2
6
2
2 3 dx
1 7 3 1
ln 3 2 1 ln
3 3 3 3
3 2 1
x
x
B x x
x
x x
+
−
= = + − +
+
+ −
∫
( )
1
1
2
7
2
0
0
3 7 dx
3 1 1
ln 4 4 3ln 2
2 2 2
4 4
x
B x x
x
x x
−
= = − + + = − −
−
− +
∫
(
)
2
1
1
2
8
2
0
0
1 dx
2 1
ln 1 arctan 1 ln 3
6
3
1
x x
x
B x x x
x x
π
− +
+
= = − + + + = − +
+ +
∫
(
)
2
2
2
2
9
2
1
1
2 3 5 dx
4 1 13 9 5
ln 2 3 7 arctan 1 ln 7 arctan 7 arctan
6
23 23 23
2 3
x x
x
B x x x
x x
− −
+
= = − + + − = − − +
+ +
∫
( )
5
5
2
10
2
2
2
2 3 dx
7 3 ln 2
ln 4 3 ln
2 1 2
4 3
x
x
B x x
x
x x
+
−
= = − + + = −
−
− +
∫
(
)
2
1
1
2
11
2
3
3
2 4 7 dx
3 9
2 4 ln 6 13 9arctan 4 4 ln 2
2 4
6 13
x x
x
B x x x
x x
π
−
−
−
−
+ −
+
= = − + + − = − −
+ +
∫
( )
( )
1
1
12
2
0
0
4 11 dx
9
3ln 2 ln 3 ln
2
5 6
x
B x x
x x
+
= = + + + =
+ +
∫
III. Dạng 3:
2
dx
C =
ax + bx + c
∫
2
1
2 2
dx 1 dx 1 4 4 13
ln
3 3 9
3 3
3 8 1
4 13
3 9
C x x C
x x
x
= = = − + − − +
− +
− −
∫ ∫
2
2 2
2
dx 1 dx 1
5
arcsin
10 10 43
7 8 10
43 2
50
50 5
x
C C
x x
x
+
= = = +
− −
− +
∫ ∫
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 4
4
4
3
4 4
2 2
4
4
3
2 2
dx dx 1 1 2 2 3
2
arcsin arcsin
2 2 2 2
5 2 9 5 2 9
5 12 4 2
5 2 9 3
2 2
2
2
2
x
x
C
x x
x
−
−
= = = =
+ +
− −
+
− −
∫ ∫
( )
1
1
2
4
2
0
0
dx 1 3 3 63 1
ln ln 2 2 1
4 4 16
2 2
2 3 9
C x x
x x
= = − + − + = − −
− +
∫
1
1
2
5
2
0
0
dx 1 5 5 23 1 1 2 6
ln ln
6 6 36
3 3 4 3 5
3 5 4
C x x
x x
+
= = − + − + =
−
− +
∫
1
1
6
4 4
2
0
0
dx 1 2 3 1 5 3
arcsin arcsin arcsin
2 2
3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1
9 3 2 2
x
C
x x
+
= = = −
+ + +
− −
∫
IV. Dạng 4:
(
)
2
mx + n dx
D =
ax + bx + c
∫
( )
( )
2
1
2 2 2 2
2 11
6 2 dx
5 4 dx 2 (3 2 1) 11
3 3
3
3 3
3 2 1 3 2 1 3 2 1
1 2
3 9
x
x d x x dx
D
x x x x x x
x
−
− +
− − +
= = = − +
− + − + − +
− +
∫ ∫ ∫ ∫
2
2
4 11 1 1 2
3 2 1 ln
3 3 3 9
3 3
x x x x C
−
= − + + − + − + +
( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2
3 43
4 5 dx
2 5 1
3 7 dx 3 43
4 4
4
4 2
2 5 1 2 5 1 2 5 1
5 33
4 16
x
d x x
x dx
D
x x x x x x
x
− +
− −
+
= = = +
− − − − − −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 2: Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc hai
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 5
2
2
3 43 5 5 33
2 5 1 ln
8 4 4 16
4 2
x x x x C
= − − + − + − − +
(
)
2
3
2
8 11 dx 17 4 3
2 9 6 4 arcsin
2
3 5
9 6 4
x x
D x x C
x x
− −
= = − − − − +
− −
∫
(
)
2
4
2
4 5 dx 1 10 7
6 7 5 arcsin
13
2 5
6 7 5
x x
D x x C
x x
− −
= = + − + +
+ −
∫
( )
2
2 2
5
2
3
7 4 dx
7 2 3 3ln 1 ( 1) 4
2 3
x
D x x x x C
x x
−
−
−
= = − − + − + − − +
− −
∫
( )
0
2
6
2
1
9 5 dx 9 1 2 1
2 4 4 arcsin
4 4
3
2 4 4
x x
D x x C
x x
−
− +
= = − − − +
− −
∫
V. Dạng 5:
( )
2
dx
E =
px + q ax + bx + c
∫
1,
( )
2
1
2
1
dx
2 3 3 1
E
x x x
=
+ + −
∫
ðặ
t
2
1
1
3
1 1 1
2 1 2
2 5
1
2
x t
t
x x x t
t t
dx dt
t
= → =
−
+ = ⇒ = ⇒ = → =
−
=
Do
ñ
ó
1 1
5 3
1
2 2
1 1
2
3 5
1 4 9
1 1 1
2 . 3 1
2 2
dt dt
E
t t
t t
t
t t t
−
= =
+ −
− −
+ −
∫ ∫
Bài 2: Tích phân các hàm s
ố
có m
ẫ
u s
ố
ch
ứ
a tam th
ứ
c b
ậ
c hai
Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 6
1
3
1
5
1 9 2 1 1 1
arcsin arcsin arcsin
3 3
13 13 5 13
t −
= = +
Các bài 2, 3, 4 sau
ñ
ây ta làm t
ườ
ng t
ự
, có
ñ
áp s
ố
nh
ư
sau:
( )
3 3
2
2 2
2 2
3
d
dx
4
2,
3 4 2 3 7
3 25 3 47
3 2
4 4 4 8
x
E
x x x
x x
+
= =
− + +
+ − + +
∫ ∫
13
2
2
11
2
25 47
3 2
4 8
du
u u
=
− +
∫
( )
3
3
2
2
dx 1 3 10
3, ln
2 1 10
1 1
E
x x
+
= =
+
− +
∫
( )
2 2
4
2 2
1 1
2
d
dx
5
4,
3 2 5 4 2
2 4 2 14
3 5
5 5 5 5
x
E
x x x
x x
−
= =
− + −
− − + −
∫ ∫
8
5
2
3
5
4 14
3 5
5 5
du
u u
=
− −
∫
( )
(
)
( ) ( )
( )
2
2 2 2 3
5
4 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2
d 1
dx dx
5,
2 1 1 2
1 2 1 1 1 2
x
x du
E
x x x u u
x x x x
+
= = = =
+ − − −
+ − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 2: Tích phân các hàm s
ố
có m
ẫ
u s
ố
ch
ứ
a tam th
ứ
c b
ậ
c hai
Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 7
( )
1
2 2 2
6
2 2 2 2
2
4 4 4
2
d nx
cot dx cos dx
6,
2 sin nx 2 sin nx 2 sin 2
si
x x du
E
x si x si x u u
π π π
π π π
= = = =
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
VI. Dạng 6:
(
)
( )
2
mx + n dx
F =
px + q ax + bx + c
∫
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1
1
2 2 2 2
0 0 0 0
4 67
5 8 dx
4 7 dx 4 67
5 5
1,
5 5
8 5 3 4 2 8 5 3 4 2 3 4 2 8 5 3 4 2
x
x dx dx
F
x x x x x x x x x x x
−
− + +
+ −
= = = +
− − + − − + − + − − +
∫ ∫ ∫ ∫
Ta tính l
ầ
n l
ượ
t tích phân:
1 1
1
2 2
0 0
1
3
3 4 2
2 2
3 9
dx dx
F
x x
x
′
= =
− +
− +
∫ ∫
1
2
0
1 2 2 2 1 3 1
ln ln
3 3 9
3 3 6 2
x x
+
= − + − + =
−
( )
1
1
2
0
8 5 3 4 2
dx
F
x x x
′′
=
− − +
∫
.
ðặ
t
2
1 8 1 1
8 5
5
5
t
x x dx dt
t t
t
−
− = ⇒ = ⇒ =
Khi
1
0
8
x t
= ⇒ =
và
1
1
3
x t
= ⇒ =
. Do
ñ
ó
( ) ( )
1 1 1
3 3 3
1
2 2 2
2
1 1 1
8 8 8
82 28 3
3 8 1 20 8 1 2.258 1 8 1
5 3 4 2
5 5
dt dt dt
F
t t
t t t tt t
t
t t
′′
= = =
− +
− − − +− −
− +
∫ ∫ ∫
Bài 2: Tích phân các hàm s
ố
có m
ẫ
u s
ố
ch
ứ
a tam th
ứ
c b
ậ
c hai
Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 8
1
1
3
2
3
2
1
1
8
8
20 25
1 1 7 7 25 1
123 738
ln ln
41 41 3362
82 82 82 15 25
7 25
328 2624
41 3362
dt
t t
t
+
= = − + − + =
−
+
− +
∫
V
ậ
y
1 1 1
20 25
4 67 4 3 1 67
123 738
ln ln
5 5
5 3 6 2 5 82 15 25
328 2624
F F F
+
− − +
′ ′′
= + = +
− −
+
** Ta làm t
ươ
ng t
ự
cho các bài sau:
2,
( )
( )
1
2
2
0
6 7 dx
2 5 4
x
F
x x x
−
=
+ − +
∫
3,
( )
( )
1
3
2
0
7 9 dx
4 3 2 1
x
F
x x x
−
=
+ + +
∫
VII. Dạng 7
:
( )
2 2
xdx
G =
ax + b cx + d
∫
1,
( )
2
1
2 2
1
dx
4 3 5
x
G
x x
=
− −
∫
.
ðặ
t
2 2 2 2 2
5 5 5
t x t x x t xdx tdt
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
Khi
1 2
x t
= ⇒ =
và
2 1
x t
= ⇒ =
. Do
ñ
ó:
( )
2
1 2
1
2
2
2 1
1
1 17 2
ln
2
17 2
17 4
4(5 ) 3
tdt dt t
G
t
t
t t
− +
= = =
−
−
− −
∫ ∫
1 4 17 17 2 1 9 2 17
ln ln ln
2 2
4 17 17 2 9 2 17
+ + +
= − =
− + − −
** Ta làm t
ươ
ng t
ự
cho các bài sau:
Bài 2: Tích phân các hàm s
ố
có m
ẫ
u s
ố
ch
ứ
a tam th
ứ
c b
ậ
c hai
Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t 9
2,
( )
2
2
2 2
1
dx 1 4 10 5
ln
90
4 10 5
5 11 7 3
x
G
x x
− +
= =
−
− −
∫
3,
( )
( )
1
3
2 2
0
dx 1 126(7 3 161)
ln
56
14 7 161
8 7 2 1
x
G
x x
+
= =
+
− +
∫
VIII. Dạng 8:
( )
2 2
dx
H =
ax + b cx + d
∫
1,
( )
2
1
2 2
1
d
3 1 5 2
x
H
x x
=
− −
∫
.
ðặ
t
( )
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
5 2 5 2
5
5
tdt
xt x x t x x xdx
t
t
= −
⇒
= −
⇒
=
⇒
=
−
−
( )
2 2
2
2
2
2
2
( )
5
5 2
5 . .
5
dx xdx tdt dt
x xt
t
x
t t
t
⇒
= = =
−
−
−
−
Khi
1 3
x t=
⇒
= và
3 2
2
2
x t= ⇒ = . Do
ñ
ó:
( )
3 2 3 2
2 2
1
2
2
3 3
2
6
1
1 5
5
dt dt
H
t
t
t
= =
+
− −
−
∫ ∫
=
3 2
2
3
3 2
arctan arctan
2 3
t
π
= = −
** Ta làm t
ươ
ng t
ự
cho các bài sau:
Bài 2: Tích phân các hàm s
ố
có m
ẫ
u s
ố
ch
ứ
a tam th
ứ
c b
ậ
c hai
Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
10
2,
( )
2 2
2
2 2 2 2
1 1
3
d
d
2
3 2 3 1
3 1 3 13
2 4 2 4
x
x
H
x x x x
x x
+
= =
+ + + −
+ − + −
∫ ∫
7
2
2 2
5
2
d
1 13
4 4
u
u u
=
− −
∫
12 6 1
arctan arctan
3
7 12 5
= −
3,
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
3
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
5 5 3
d d
2
2 5 5 2 5
x x dx dx
H x x
x
x x x x x
+ +
= = = +
+
+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
6 6
ln 6 1 arctan 2 arctan
2 2
= − + −
4,
( )
5
2 2
2
4
2 2 2 2
2 2
3
1 1
2
1
d
d d
2
3 5
1 1
1 3 1 5
4 4
2 4 2 4
x
x u
H
x x x x
u u
x x
+
= = =
+ + + −
+ −
+ + + −
∫ ∫ ∫
5,
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
5
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2
d d
1
1 2 2 1 2
x x dx dx
H x x
x
x x x x x
+ +
= = = +
+
+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
2 6 6
ln arctan
3 2
1 3
π
+
= + −
+
IX. Dạng 9:
(
)
( )
2 2
mx + n dx
I =
ax + b cx + d
∫
Bài 2: Tích phân các hàm s
ố
có m
ẫ
u s
ố
ch
ứ
a tam th
ứ
c b
ậ
c hai
Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
11
1,
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
1 1
1
2 2 2 2
0 0
(7 3 1 ) 1
(4 3 )
4 2 2 4 5
3 1 2 1 3
x d x
x dx
I
x x x x
x x
− + +
−
= =
− − + +
− + + +
∫ ∫
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
(7 3 )
7 3 4 3
3 2 3 3 2 3 3 2 3
u du du udu
H G
u u u u u u
−
= = − = −
− + − + − +
∫ ∫ ∫
•
Xét
( )
2
2 2
1
3 2 3
udu
G
u u
=
− +
∫
ðặ
t
2
2 2 2 2
3
2 3 2 3
2 2
t t
t u t u u udu dt
−
= +
⇒
= +
⇒
=
⇒
=
Khi
1 5
u t
= ⇒ =
và
2 11
u t= ⇒ =
. Do
ñ
ó:
11
11 11
2
2
5
5 5
1 3
ln
6 3
9
3
2. 3
2
tdt dt t
G
t
t
t
t
+
= = =
−
−
−
−
∫ ∫
(
)
2 3 11
1 3 11 3 5 1
ln ln ln
6 3
3 11 3 5 3 5
+
+ +
= − =
− − +
•
Xét
( )
2
2 2
1
3 2 3
du
H
u u
=
− +
∫
ðặ
t
( )
2 2 2 2 2
2 2
2
3 3
2 3 2 3
2
2
tdt
ut u u t u u udu
t
t
−
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
−
−
( )
2
2
2
2
2
3
2
3
3
( )
2
2 3
.
2
tdt
t
du udu dt
u ut
t
u
t
t
−
−
−
⇒ = = =
−
+
−
Bài 2: Tích phân các hàm s
ố
có m
ẫ
u s
ố
ch
ứ
a tam th
ứ
c b
ậ
c hai
Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
12
Khi
1 5
u t
= ⇒ =
và
11
2
2
u t
= ⇒ =
. Do
ñ
ó
( )
11
5
5
2
2
11
2
5 11
2
2
2
3 1 3
ln
3
2 3 3
3
3 2
2
dt dt t
H
t
t
t
t
− −
= = =
+
−
− −
−
∫ ∫
1 5 3 11 2 3 1 2( 11 2 3)
ln ln ln
2 3 5 3 11 2 3 3 5 3
− − + +
= − =
+ + +
V
ậ
y
(
)
1
2 3 11
4 2( 11 2 3)
4 3 ln ln
3 5 3 3 5
I H G
+
+
= − = −
+ +
** T
ươ
ng t
ự
các bài còn l
ạ
i.
2,
( )
1
2
2 2
0
(7 5 ) 17 18( 6 5) 10 2(2 2 5)
ln ln
9
15 23 5 3( 23 5)
4 1 3 12 8
x dx
I
x x x x
− + +
= = −
+ +
+ + + +
∫
3,
( )
3
3
2 2
2
(6 1)
3 6 1 2 4 7
x dx
I
x x x x
−
=
− + − +
∫
4,
( )
1
4
2 2
0
(4 5)
9 4 2 3 1
x dx
I
x x x x
−
=
− − + +
∫
Nguồn:
Hocmai.vn
