TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2 potx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (288.16 KB, 9 trang )
Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
9
BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ
CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC
BẬC 2
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI
1.
2 2
du 1 u
arctg c
a a
u a
4.
du
2 u c
u
2.
2 2
du 1 u a
ln c
2a u a
u a
5.
2 2
du u
arcsin c a 0
a
a u
3.
2 2
du 1 a u
ln c
2a a u
a u
6.
2
2
du
ln u u p c
u p
Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2:
1.
2
2
2
2
b b 4ac
ax bx c a x
2a
4a
2.
2
2 2
ax bx c mx n p
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
I. Dạng 1:
2
dx
A =
ax + bx + c
1. Phương pháp:
2 2
2
dx dx 1 mx n
arctg c
mp p
ax bx c
mx n p
2 2
2
mx n pdx dx 1
ln c
2mp mx n p
ax bx c
mx n p
2. Các bài tập mẫu minh họa
•
1
2 2 2
2
d d 1 d 2 2 1 2 2 3
ln
2
4 8 1
4 3 2 2 3
2 2 3
2 2 3
x x x x
A c
x x
x
x
x
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
10
1
2
dx
A
3x 4x 2
;
2 3
2 2
dx dx
A ; A ;
4x 6x 1 5x 8x 6
2 1 1
4 5 6
2 2 2
1 0 0
dx dx dx
A ; A ; A
7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3
II. Dạng 2:
2
mx + n
B = dx
ax + bx + c
1. Phương pháp:
2 2
m mb
2ax b n
mx n
2a 2a
B dx dx
ax bx c ax bx c
2
2
d ax bx c
m mb
n A
2a 2a
ax bx c
2
m mb
ln ax bx c n A
2a 2a
Cách 2:
Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)
• Nếu mẫu có nghiệm kép
0
x x
tức là
2 2
0
( )
ax bx c a x x
thì ta giả sử:
2 2
0
0
mx n
x
x x
ax bx c
x x
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm
,
.
Với
,
vừa tìm ta có:
2
mx n
B dx
ax bx c
ln
0
0
x x c
x x
• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
:
2
1 2
( )( )
ax bx c a x x x x
thì ta
giả sử
2
1 2
mx n
x
x x x x
ax bx c
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm
,
.
Với
,
vừa tìm ta có:
dx
2
mx n
B
ax bx c
ln ln
1 2
x x x x c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
1
2
2x + 3
B = dx
9x 6x + 1
2 2 2
1 11
18 6
1 18 6 d 11 d
9 3
d
9 3
9 6 1 9 6 1 9 6 1
x
x x x
x
x x x x x x
Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
11
2
2 2
1 9 6 1 11 3 1 2 11
ln 3 1
9 9 9 9 3 1
9 6 1
3 1
d x x d x
x c
x
x x
x
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
2 2 2
7 3x dx 3x 4 dx 2 7x dx
B ; B ; B
4x 6x 1 2x 7x 9 5x 8x 4
;
III. Dạng 3:
2
dx
C =
ax + bx + c
1. Phương pháp:
Bổ đề:
ln
2
2
du
u u k c
u k
Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:
2
2 2
dx dx 1
ln
C mx n mx n k c
m
ax bx c
mx n k
2 2
2
dx dx 1
arcsin 0
mx n
C p
m p
ax bx c
p mx n
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
2
3
2 2
d 1 d 5
5 45
ln
4 16
2 4
45
4 10 5
5
4
16
x x
C x x c
x x
x
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
2 2
2
dx dx dx
C ; C ; C
3x 8x 1 7 8x 10x
5 12x 4 2 x
IV. Dạng 4:
2
mx + n dx
D =
ax + bx + c
1. Phương pháp:
2 2
2 dx
dx
2 2
ax b
m mb
D
a a
ax bx c ax bx c
2
2
2 2
d ax bx c
m mb
C
a a
ax bx c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
• D
1
=
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 d 2 d d
2
4 5 4 5 4 5
x x x x x
x x x x x x
1 1
1
2
2 2
2 2
0
0 0
1 d 4 5 d
2 4 5 2ln 2 4 5
2
4 5
2 1
x x x
x x x x x
x x
x
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
12
3 10
10 5 2ln 3 10 2ln 2 5 10 5 2ln
2 5
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
2 2 2
5 4x dx 3x 7 dx 8x 11 dx
D ; D ; D
3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x
V. Dạng 5:
2
dx
E =
px + q ax + bx + c
1. Phương pháp:
Đặt
2
1 dt 1 1
dx ;
px q p x q
t p t
t
. Khi đó:
2
2 2 2
2
dt ptdx dt
E
px q ax bx c t t
1 a 1 b 1
q q c
t t p t
p
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
3
1
2
2
dx
E =
x - 1 x - 2x + 2
. Đặt
2
2 1
1
1 1
3
1 ;
2
dx
x t
t
x t
x x
t t
dt
t
Khi đó:
1 2
3
2
1
2 2
2 1
dt t
dx
E
1
x-1 x 2x 2
t 1 t 1
2 2
t t
t
1
1
2
2
1 2
1 2
dt 1 5 2 2 2
ln t t 1 ln 1 2 ln ln
2
1 5
t 1
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
2 3 3
1 2 3
2 2 2
1 2 2
dx dx dx
E ; E ; E
2x 3 x 3x 1 3x 4 2x 3x 7 x 1 x 1
VI. Dạng 6:
2
mx + n dx
F =
px + q ax + bx + c
Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
13
1. Phương pháp:
2 2
dx
dx
mq
m
px q n
mx n
p p
F
px q ax bx c px q ax bx c
2 2
dx dxmq mqm m
F n C n E
p p
p p
ax bx c px q ax bx c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
1
1
2
0
2 3 d
1 2 2
x x
F
x x x
1 1
2 2
0 0
dx dx
2 2I J
x 2x 2 x 1 x 2x 2
1
2
0
dx
2 2
I
x x
1
1
2
0
2
0
dx 2 5
ln 1 1 1 ln
1 2
1 1
x x
x
1
2
0
1 2 2
dx
J
x x x
. Đặt
2
0 1
1
1
1
1
2
dx
x t
x t
x
t
dt
t
. Khi đó:
1 2
1
2
1
2
2 2
1 2
1 1 2
dt t
dt 2 2 2
J ln t t 1 ln
1 5
1
t 1
1 1
1 2 1 2
t t
t
F
1
2I + J
2 5 2 2 2 2 9 4 5
2ln ln ln
1 2 1 5
1 2 1 5
•
3 2
2
2
5
1
2 1
2 2
2 1 4 3
x
dx
x x x
-3 2
2
2
-2
x + 3 dx
F =
2x + 1 -x - 4x - 3
3 2 3 2
2 2
2 2
1 dx 5 dx 1 5
I J
2 2 2 2
x 4x 3 2x 1 x 4x 3
3 2
2
2
4 3
dx
I
x x
3 2
3 2
2
2
2
dx
arcsin x 2
6
1 x 2
3 2
2
2
2 1 4 3
dx
J
x x x
. Đặt
2
1
2
3
1 1
3
1
2 1
2 2
2
2
x t
t
x t
x x ;
t t
dt
dx
t
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
14
1 2 1 3
2
2 2
1 3 1 2
1 3
1 3
2 2
1 2
1 2
dt 2t
dt
J
1
5t 6t 1
1 1 1
1 2 1 3
4 t t
t
1 dt 1 5t 3 1 2 1
arcsin arcsin arcsin
2 3 4
5 5 5
3
2
t
5 5
Vậy
2
5
5
1 2 1
F I J arcsin arcsin
2 2 12 2 3 4
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 1 1
1 2 3
2 2 2
0 0 0
4x 7 dx 6 7x dx 7 9x dx
F ; F ; F
8 5x 3x 4x 2 2x 5 x x 4 4x 3 2x x 1
VII. Dạng 7
:
2 2
xdx
G =
ax + b cx + d
1. Phương pháp:
Đặt
2
2 2 2 2
t d t dt
t cx d t cx d x ;x dx
c c
Khi đó:
2 2 2
2
1 1 1t dt dt
G A
c
c at bc ad c
a t d
b t
c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
1
1
2 2
0
xdx
G =
5 - 2x 6x + 1
. Đặt
2
0 1
6 1 1 7
6
x t
t x x t
x dx t dt
. Khi đó:
7
7 7
1
2 2
2
1
1 1
3 4 7
1 tdt 1 dt 1 1 4 t 1
G ln ln
6 2 2 8 4 t 16
4 t
16 t
5 4 7
t
3
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
2 2 1
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 1 0
xdx xdx xdx
G ; G ; G
4x 3 5 x 5x 11 7 3x 8 7x 2x 1
VIII. Dạng 8:
2 2
dx
H =
ax + b cx + d
1. Phương pháp:
Đặt
2 2 2 2 2
2 2
2
d td.dt
xt cx d x t cx d x xdx
t c
t c
Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
15
2
2
2
2
2
td.dt t c
dx xdx dt
x xt
t c
td t c
cx d
. Khi đó ta có:
2
2 2
2
2
dx dt dt
H A
ad
bt ad bc
ax b cx d
b t c
t c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
3
1
2 2
2
dx
H =
x - 2 x + 3
. Đặt
2
2
2
3
3
3
3
7
2
2
x t
x
xt x t
x
x t
và
2 2 2 2 2 2
2 2
2
3 3tdt
x t x 3 t 1 x 3 x xdx
t 1
t 1
2
2
2
2
2
3tdt t 1
dx xdx dt
x xt
t 1
3t t 1
x 3
. Khi đó ta có:
2 3
1
2
7 2
dt
2 5
H
t
2 3
7 2
1 2 5 1 2 2 15 14 2 5
ln ln
2 10 2 5 2 10
2 2 15 14 2 5
t
t
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
2 2 2
2
1 2 3
2
2 2 2 2
1 1 1
d d 5
; ; d
2
3 1 5 2 3 2 3 1
x x x
H H H x
x
x x x x x x
IX. Dạng 9:
2 2
mx + n dx
I =
ax + b cx + d
1. Phương pháp:
2 22 2
xdx dx
I m n mG nH
ax b cx d ax b cx d
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
3
2 2
2
4 1 7
1 5 3 1 2
x dx
x x
3
1
2 2
2
4x + 3 dx
I =
x - 2x - 4 3x - 6x + 5
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
du udu du
4u 7
4 7 4J 7L
u 5 3u 2 u 5 3u 2 u 5 3u 2
Xét
2
2 2
1
5 3 2
udu
J
u u
. Đặt
2
2 2
2
3 2
3 3
t tdt
t u u udu
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
16
14
2 14 14
2
2
2 2
1
5 5
5
udu tdt dt 1 t 17
J ln
2 17 t 17t 17
t 17 t
u 5 3u 2
17 14 17 5
1 17 14 17 5 1
ln ln ln
2 17 17 14 17 5 2 17
17 14 17 5
Xét
2
2 2
1
5 3 2
du
L
u u
. Đặt
2 2 2 2 2
2
2
3 2 3 2
3
ut u u t u u
t
2
2
2 2
2
2
2
2tdt t 3
2tdt du udu dt
udu
u ut
t 3
2t t 3
3u 2
t 3
. Khi đó:
14 2 14 2
2
2
2 2
2
1 2 2
2
du dt dt
L
2
17 5t
u 5 3u 2
5 t 3
t 3
14 2
2
1 1 17 t 5
ln
5 2 17 17 t 5
1 70 2 17 2 5 17
ln
2 85
70 2 17 2 5 17
1
17 14 17 5
4 7 70 2 17 2 5 17
I 4J 7L ln ln
2 17 2 85
17 14 17 5 70 2 17 2 5 17
•
6 1
2 2
2 1
2 1 1
1 5 2 1 3
x dx
x x
6 -1
2
2 2
2 -1
2x + 1 dx
I =
x + 2x + 6 2x + 4x - 1
6 6 6
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2u 1 du udu du
2 2J L
u 5 2u 3 u 5 2u 3 u 5 2u 3
Xét
6
2 2
2
5 2 3
udu
J
u u
. Đặt
2
2 2
3
2 3
2 2
t tdt
t u u udu
6 3 3
2
2
2 2
1 1
2
udu tdt dt 2 3 1
J arctg arctg
t 13
13 13 13
t 13 t
u 5 2u 3
Xét L
6
2 2
2
5 2 3
du
u u
. Đặt
2 2 2 2 2
2
3
2 3 2 3
2
ut u u t u u
t
Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
17
2
2
3tdt
udu
2 t
2
2
2
2
2
3tdt 2 t
du udu dt
u ut
2 t
3t 2 t
2u 3
. Khi đó:
3 6 3 6 3 6
6
2
2 2
2
2
2 1 2 1 2 1 2
2
du dt dt 1 dt
L
13
3 5
13 5t
u 5 2u 3
t
5 2 t
5
2 t
3 6
1 2
13 5 t
1 1 1 78 3 5 26 5
ln ln ln
5
2 13 5 13 5 t 2 65 78 3 5 26 5
2
4 3 1 1 78 3 5 26 5
I 2J L arctg arctg ln
13 13 13 2 65
78 3 5 26 5
