Hệ thống kiến thức cơ bản chương Dãy số, Cấp số cộng, cấp số nhân ppsx

T
T
T
r
r
r
ư
ư
ư
ờ
ờ
ờ
n
n
n
g
g
g






T
T
T
H

H
H
P
P
P
T
T
T






N
N
N
g
g
g
u
u
u
y
y
y
ễ
ễ
ễ
n

n
n






B
B
B
ỉ
ỉ
ỉ
n
n
n
h
h
h



K
K
K
h
h
h
i

i
i
ê
ê
ê
m
m
m




















Đại số & Giải tích 11.

Tiểu luận :

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG
DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN.










Người thực hiện : Nguyễn Công Tuấn . Lớp : A6



Chương 3 : DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN.


I.Kiến thức cần nhớ :
1. Phƣơng pháp chứng minh quy nạp:
Để chứng minh 1 mệnh đề chứa biến F(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dƣơn n ≥ p
( p

N٭ cho trƣớc ) ta cần thực hiện 2 bƣớc cơ bản :
 Bƣớc 1: Chứng minh F(n) là một mệnh đề đúng khi n = p.
 Bƣớc 2 : Với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , xuất phát từ giả thiết F(n) là mệnh đề đúng với
n = k, ta đi chứng minh F(n) đúng đến n = k + 1.

VD1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có:
1.2 + 2.5 + … +n(3n – 1 ) =
2
n
( n + 1). (*)

Giải :
 Với n = 1 , ta có :
1(3.1 – 1) = 1 (1 + 1)

(*) đúng với n = 1.
 Giả sử (*) đúng với n = k , k

N*, tức là :
1.2 + 2.5 + …+ k(3k- 1) =
2
k
( k + 1),
Ta sẽ chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là :
1.2 + 2.5 +…+ (k + 1)(3k + 2) =
 
2
1k
( k + 2).
Thật vậy , từ giả thiết quy nạp, ta có :
1.2 + 2.5 + …+ k(3k – 1 ) + (k + 1)(3k + 2) =
 
2
1kk
+ (k + 1)(3k + 2)

= (k + 1)(
2
k
+ 3k +2)
= (k + 1)(k + 1)(k + 2) =
 
2
1k
(k + 2).

ĐPCM .
VD2: Chứng minh rằng :
n
u
=
113 
n
chia hết cho 6

n

N*.(1)

Giải :
 Khi n = 1, ta có :
n
u
= 13 – 1 = 12

6

 
1
đúng .
 Giả sử rằng (1) đúng với n = k ( k

N* , k ≥ 1) tức là :

6113 
k

 Ta chứng minh rằng (1) đúng tới n = k + 1, tức là :

6113
1

k

Thật vậy , ta có :
113
1

k
=
121313.13 
k
=
 
1211313 
k
6


ĐPCM.
2. Dãy số :
a) Các định nghĩa :
 Dãy số vô hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dƣơng N*.
 Dãy số hữu hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dƣơng đầu tiên
( m là số nguyên dƣơng cho trƣớc).



 Dãy số tăng :
 
n
u
là dãy số tăng
nn
uun 
1
,
> 0.
 Dãy số giảm :
 
n
u
là dãy số giảm
nn
uun 
1

,
< 0.
 Dãy số không đổi :
 
n
u
là dãy số không đổi
nn
uun 
1
,
= 0.
 Dãy số bị chặn trên :
 
n
u
là dãy số bị chặn trên nếu

M:

n
u
M ,

n

N*.
 Dãy số bị chặn dƣới :
 
n

u
là dãy số bị chặn dƣới nếu

m:

n
u
m,

n

N*.
 Dãy số bị chặn : là dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dƣới .

b) VD:
1) Cho dãy
 
n
u
với
n
u
=
 
3
1n
.Chứng minh
n
u
là dãy số tăng.

Ta có :
nn
uu 
1
=
   
33
12  nn
=
793
2
 nn
> 0,

n

N*


Dãy số tăng.
2) Cho dãy số
 
n
u
với
n
u
=
56
65



n
n
. Chứng minh
n
u
là dãy số giảm.
Ta có:
nn
uu 
1
=
56
65
116
115





n
n
n
n
=
  
56116
11



nn
< 0,

n

N*



Dãy số giảm.
3) Chứng minh rằng dãy
 
n
v
với
n
v
=
32
1
2
2


n
n
, là dãy số bị chặn.
Ta có :

n
v
=










32
22
2
1
2
2
n
n
=









32
5
1
2
1
2
n
=
 
322
5
2
1
2


n
.
Dễ thấy

n

N* , thì
5
1
32
1
1
2




n
. Do đó

-2 ≤
n
v
≤ 1 (

n

1).
Vì vậy,
 
n
v
là dãy số bị chặn.
3. Cấp số cộng & Cấp số nhân:
a) Cấp số cộng :
Định nghĩa : dãy
 
n
u
là cấp số cộng

n
,
1n
u

=
n
u
+ d ( d là một hằng số &
đƣợc gọi là công sai).
Các tính chất của cấp số cộng :
 Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng :

 
n
u
là cấp số cộng


k
u
=
 
2
2
11



k
uu
kk
.
 Công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng
 

n
u
:

n
u
=
 
dnu 1
1

(d là công sai)
 Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
 
n
u
:

n
S
=
 
2
1 n
uun 
hoặc
n
S
=
 

 
2
12
1
dnun 
.
VD : Cho dãy
 
n
u
với
n
u
= 20n – 2010.
 Chứng minh rằng
n
u
là cấp số cộng. Tìm công sai.
 Tính
2009
u
&
2011
u
. Từ đó suy ra
2010
u
.
 Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên.

Giải :
 Ta có :
nn
uu 
1
= 20(n + 1) – 2010- (20n-2010) = 20.



 
n
u
là cấp số cộng , công sai d = 20.

2009
u
= 20.2009 – 2010 = 38170.

2011
u
= 20.2011- 2010 = 38210.



2010
u
=
2
20112009
uu 

=
2
3821038170 
= 38190.
 Ta có :
12
S
=
 
 
2
12.201122
1
u
.
Mà :
1
u
= 20.1 – 2010 = - 1990.



12
S
= - 22560.


b) Cấp số nhân :
Định nghĩa : dãy
 

n
u
là cấp số nhân

n
,
1n
u
=
qu
n
.
( q là hằng số & đƣợc gọi
là công bội).
Các tính chất của cấp số nhân :
 Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân :

 
n
u
là cấp số nhân


2
k
u
=
11
.
 kk

uu
(k ≥ 2 ).
 Công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân
 
n
u
:

n
u
=
1
1
.
n
qu
( q là công bội ).
 Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
 
n
u
với q

1:

n
S
=
.
1

1
.
1
q
q
u
n



VD:
Cho cấp số nhân
 
n
v
có
3
v
= 24 ,
4
v
= 48.
 Tìm
1
v
, công bội q của dãy số. Từ đó hãy suy ra số hạng tổng quát.
 Tính tổng 200 số hạng đầu tiên.
Giải:
 Vì
n

v
là cấp số nhân

q =
3
4
v
v
= 2.



1
v
=
3
4
q
v
=
3
2
48
= 6.

Số hạng tổng quát :
n
v
=
1

2.6
n
(

n

1).
 Ta có :
200
S
=
 
q
qv


1
1
200
1
=
 
21
216
200


=
 
200

6 2 1
.
II. Các dạng bài tập :
Dạng 1: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học :

Bài1 : Chứng minh rằng :
2222
321 n
=
  
6
121  nnn
( n

N * ).
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có bất đẳng thức sau :

13
1

2
1
1
1




 nnn
> 1.

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n

2, ta luôn có các bất đẳng thức sau :
i.
n
1

3
1
2
1
1 
>
n
;
ii.
12
1

3
1
2
1
1


n
< n.
Bài 4: Cho số thực


2kx 
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có :

nxxx cos 2coscos1 
=
 
2
sin
2
cos
2
1
sin
x
nxxn 
.
Bài 5 : Chứng minh rằng :

121
1211


nn
133 (

n

N*).
Bài 6: Tính tổng :
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1).

( HD : vận dụng đẳng thức ở câu 1 để giải ).
Bài 7: Chứng minh rằng : 1+ 3 + 5 +…+ (2n – 1) =
2
n
, (

n

N*).
Bài 8: Chứng minh rằng :
n
U
=

1222
32.7


nn
5 (

n

N*).
Bài 9: Chứng minh rằng :

3333
321 k
=
 

4
1
2
2
kk
, (

k

N*).
Bài 10: Cho mệnh đề “ với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , nếu
18 
k


7 thì
18
1

k
7”
Một bạn học sinh chứng minh nhƣ sau :
Ta có :
18
1

k
=
 
7188 

k
. Từ giả thiết “
18 
k


7”


18
1

k
7 . Hỏi rằng từ
lập luận của mình , bạn học sinh đó có thể kết luận đƣợc “
18 
k


7 , (

k

N*)” hay
không ? Vì sao ?

Dạng 2: Tính đơn điệu của dãy số :

Bài 1: Tính 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
i. Dãy số

 
n
v
với
n
v
=
3
3
n
n
.
ii. Dãy số
 
n
u
với
n
u
=
nn
20092010 
.
iii. Dãy số
 
n
v
với
n
v

=
3
2
sin

n
. (HD : Thay lần lƣợt n = 1,2,3,4,5,6).
Bài 2: Xét tính tăng -giảm của các dãy số sau :
i. Dãy số
 
n
f
, với
n
f
=
152
3
 nn
;
ii. Dãy số
 
n
u
, với
n
u
=
n
n

2
.
iii. Dãy số
 
n
v
, với
n
v
=
1
2
3
n
n
.
(HD : Xét hiệu :
nn
uu 
1
);
Bài 3 : Xác định số thực m để dãy số
 
n
u
, với
n
u
=
32

1.
2
2


n
nm
là dãy số tăng.
Bài 4: Xét tính đơn điệu của dãy số
 
n
u
, với
n
u
=
1
2
 nn
;
(HD : viết lại
n
u
=
1
1
2
 nn
)
Bài 5 : Chứng minh rằng dãy số

 
n
v
, với
n
v
=
75
57


n
n
là dãy số tăng và bị chặn.
Bài 6: Cho dãy số
 
n
f
, với
n
f
=
6
cos
3
sin

nn

, chứng minh rằng

n
f
=
12n
f
,
n
1.
Bài 7 : Cho dãy số
 
n
u
xác định bởi :

1
u
= 2 và
1n
u
=
4
4
2

n
u
(
n
1) . Chứng minh rằng
 

n
u
là dãy số không đổi.
Dạng 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bởi hệ thức truy hồi:

Bài 1 : Cho dãy số
 
n
u
xác định bởi :
1
u
= 1 và
1n
u
=
7
n
u
,
n
1.
Chứng minh rằng :
n
u
=
67 n
.( HD : chứng minh bằng quy nạp ).
Bài 2: Cho dãy
 

n
u
, có
n
u
=
34
2
2
 nn
,
 
n
v
có :
1
v
=
1
u
và
1n
v
=
1

nn
uv
.
Tính

n
v
theo n.
Bài 3:Cho dãy
 
n
u
có :
1
u
= 1 và
1n
u
=
n
u
+ 2. Tìm
n
u
theo n.( HD: viết ra
một vài số đầu và số cuối theo hệ thức truy hồi rồi khử các số hạng giống nhau).
Bài 4 :Cho dãy số
 
n
a
xác định bởi

1
a
= 2 và

1n
a
=
123  na
n
,
n
1. Chứng minh rằng :
n
a
=
n
n
3
.
Dạng 4: Chứng minh dãy số là cấp số cộng và vận dụng các tính chất của cấp
số cộng:
 Để chứng minh dãy số
 
n
u
là cấp số cộng ta chứng minh rằng :

nn
uu 
1
= d (d không đổi ).
Bài 1:Cho dãy số
 
n

s
, xác định bởi :
1
s
= 1 , và
1n
s
=
n
s
- 3.
n
1.
Chứng minh rằng
 
n
s
là cấp số cộng . Tìm công sai.


Bài 2:Cho cấp số cộng
 
n
u
với công sai d và cho các số nguyên dƣơng m, k
với
km 
. Chứng minh rằng
m
u

=
 
dkmu
k

. Rút ra nhận xét .
Bài 3: Cho cấp số cộng
 
n
u
và cho các số nguyên dƣơng m, k với m < k .Chứng
minh rằng
k
u
=
2
mkmk
uu


. Áp dụng : tìm cấp số cộng có 7 số hạng mà số
hạng thứ 3 bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10.
Bài 4: Cho cấp số cộng
 
n
u
có
25
uu 
= 90 . Hãy tính tổng 23 số hạng đầu

tiên của
 
n
u
. ( HD : viết tổng
25
uu 
thành
231
uu 
= 90 )
Bài 5: Cho một cấp số cộng tăng
 
n
v
có
33
1 15
vv
= 302094 và
15
S
= 585.
Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó .( ĐS :
1
v
= 11, d = 4).
Bài 6 : Xét dãy số
 
n

u
xác định bởi
1
u
= m và
1n
u
= 5 -
n
u
,
n
1. Trong
đó m là số thực . Hãy xác định tất cả các giá trị của m để
 
n
u
là một cấp số cộng.
Bài 7: Cho dãy số
 
k
u
, có
1k
u
=
313 k
. Tính tổng sau :

S

=
   
30201921141312
uuuuuuu 
.
Bài 8 :Cho cấp số cộng
 
n
u
có
10
u
= 12 và có công sai d = 6 . Tính
20
u
.
(HD : áp dụng công thức chứng minh ở câu 2 _dạng 4 )
Bài 9 : Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng
102 , số hạng thứ 2 bằng 105 và số hạng cuối bằng 999.(HD: tìm d, gọi k là số
các số hạng của cấp số cộng đã cho thì
k
u
= 999).
Bài 10 : Cho cấp số cộng
 
n
u
có
2017
uu 

= 9 và
22
17 20
uu
= 153 . Hãy tìm
số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó .
( HD : có thể viết lại
22
17 20
uu
=
   
 
2
2017
2
2017
2
1
uuuu 
, sau đó
xét 2 TH khi
2017
uu 
< 0


2017
uu 
> 0. )

Dạng 5: Các bài tập về cấp số nhân và tính chất của cấp số nhân:
Bài 1 : Chứng minh rằng : dãy số
 
n
f
xác định bởi
1
f
= 1 và
1n
f
=
7
n
f
là
cấp số nhân. Xác định công bội .
Bài 2 : Xét dãy số
 
n
u
xác định bởi
1
u
= a và
1n
u
=
n
u

12
,
n
1 , a là số
thực khác 0 . Hãy tìm tất cả các giá trị của a để dãy số
 
n
u
là cấp số nhân.
(HD : giả sử
 
n
u
là cấp số nhân, khi đó

q > 0 sao cho
1n
u
=
qu
n
.
, từ
đó tính đƣợc
2
n
u
=
q
12

).
Bài 3 :Cho cấp số nhân
 
n
u
và các số nguyên dƣơng m,k với m < k .Chứng
minh rằng :
k
u
=
mkmk
uu

.
. Áp dụng : tìm cấp số nhân có công bội
âm , có 7 số hạng số hạng thứ 3 bằng 2 và tích của số hạng đầu và số hạng cuối
bằng 18. (HD : viết
mk
u

và
mk
u

với công bội
q
0 ).
Bài 4 :Cho cấp số nhân
 
n

u
công bội
q
0 và
0
1
u
. Cho các số nguyên
dƣơng m , k , với
km 
. Chứng minh rằng :
m
u
=
km
k
qu

.
. Áp dụng : tìm công
bội q của cấp số nhân
 
n
u
có
4
u
= 2 và
7
u

= -686.
Bài 5 :Cho cấp số nhân
 
n
u
có
52
.33 uu 
= 0 và
2
6
2
3
uu 
= 63. Hãy tính
tổng
S =
10321
uuuu 
.
Bài 6: Cho cấp số nhân
 
n
u
có
52
6 uu 
= 1 và
43
23 uu 

= -1.
i. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
ii. Tính tổng : S =
   
5 6 9 8 9 12 14
u u u u u u u       
.
Bài 7: Ba số x, y ,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân ; đồng thời , chúng lần lƣợt
là số hạng đầu , số hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng . Hãy tìm
ba số đó , biết tổng x + y + z = 13. ( HD : vì x, y, z là cấp số nhân


2
y
=
zx.
;
từ giả thiết x, y, z là cấp số cộng ta tính hiệu y – x và z – y ).
Bài 8 : Cho cấp số nhân
 
n
u
có 7 số hạng ,
4
u
= 6 và
7
u
=
2

243u
, tìm các số
hạng còn lại của cấp số nhân đó .
Bài 9 :Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu bằng
2

số hạng thứ 2 bằng -2 và số hạng cuối bằng
264
. (HD : gọi k là số số hạng
của cấp số nhân đã cho, tìm k ).
Bài 10: Cho dãy số
 
n
u
xác định bởi
1
u
= 2 và
1n
u
=
94 
n
u
,
n
1
Chứng minh rằng dãy số
 
n

v
, xác định bởi
n
v
=
n
u
+ 3,
n
1 là cấp số nhân.
Xác định số hạng đầu và công bội bội của cấp số nhân đó.
(HD : dễ thấy
1n
u
+3 =
94 
n
u
+ 3 = 4(
n
u
+ 3) ).

III. Một số bài tập trắc nghiệm :
Chọn câu trả lời đúng nhất trong các phƣơng án trả lời:
Câu1: Cho dãy
 
n
u
xác định bởi

1
u
= 32 và
1
2
nn
uu


,
2, *nn  
. Tổng 120 số
hạng đầu tiên của dãy
 
n
u
là :
A. 45632 B. 65212 C. 18120 D.19630
Câu2: Cho dãy
 
n
a
xác định bởi
1
a
= 1 và
 
1
2 . 2
nn

a n a n

  
.Khi đó
12
a
bằng :
A.
11
2 .12!
B.
13
4 .11!
C.
11
2 .12!
D.
13
4 .11!

Câu3: Cho cấp số cộng
 
n
u
có
1
2u 
và
3
6u 

, Tổng :
12 13 17
S u u u   
bằng :
A. 170 B. 180 C.132 D. 174.
Câu4: Cho dãy số
 
n
f
xác định bởi
 
1
2
3
n
n
f
fn

  
và
1
12f 
, tổng 15 số hạng đầu
tiên của dãy trên là :
A.
28697812
1594323
B.
28697813

1594324
C.
7174453
398581
D.
28697813
1594323
.
Câu5: Cấp số cộng
 
k
u
có :
45
3u


và
47
7u


, thì
46
u
bằng :
A.
5

B.

10

C.
2

D. Chƣa đủ dữ kiện trả lời.

Câu6: Cho cấp số nhân
 
n
v
có công bội q = 4 và
17
15v 
thì
21
v
bằng :
A. 15 B.2120 C. 41160 D. Kết quả khác.
Câu7: Dãy số
 
n
u
cho bởi
1
2
n
n
u
n



là dãy số :
A. Tăng B. Giảm C.Không tăng không giảm D. Có thể tăng có thể giảm .
Câu8: Cho cấp số nhân
 
n
u
có
10
u
= 2 có
12
u
là nghiệm nguyên của bất phƣơng trình
2
12 12
10 163 660 0uu  
. Công bội q của
 
n
u
là :
A. 4 B.2 C. 8 D. 10.
Câu9: Cho dãy
 
n
u
xác định bởi :
1

18u 
và
1nn
u u n


. Khi đó
1n
u

đƣợc biểu thị theo n
là :
A.
1
2
n
n
un


B.
2
1
36
2
n
nn
u




C.
 
1
18 1
n
u n n

  
D.
1
21
n
n
u


.
Câu10: Cho dãy
 
n
v
có
1
1
1
14
n
v
vv






số hạng thứ
n
v
là :
A.
1
n
B. 15 C.
53
n

D. Chƣa đủ dữ kiện để trả lời.


…………… HẾT………………


Học sinh : Nguyễn Công Tuấn.