TÓM tắt LUẬN án SÓNG mặt và SÓNG TRONG các cấu TRÚC MỎNG

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC
————– * ————–
NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH
SÓNG MẶT VÀ SÓNG
TRONG CÁC CẤU TRÚC MỎNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ
HÀ NỘI – 2013
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. PHẠM CHÍ VĨNH
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá
luận án tiến sĩ cấp Viện họp tại Viện Cơ học,
264 Đội Cấn - Ba Đình - Hà Nội.
Vào hồi giờ phút ngày tháng năm
1
Chương 1. Tổng quan
Tính thời sự của đề tài luận án
Các bài toán truyền sóng trong các môi trường đàn hồi, nổi
bật là sóng mặt Rayleigh, là cơ sở lý thuyết cho nhiều ứng dụng
khác nhau trong khoa học và công nghệ.
Sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường đàn hồi đẳng
hướng nén được, mà Rayleigh tìm ra hơn 120 năm trước, vẫn
đang được nghiên cứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng
to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và
công nghệ như địa chấn học, âm học, địa vật lý, công nghệ truyền
thông và khoa học vật liệu. Có thể nói rằng những nghiên cứu
của Rayleigh về sóng mặt truyền trong bán không gian đàn hồi
có ảnh hưởng sâu rộng đến cuộc sống hiện đại. Nó được sử dụng

để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone và nhiều thiết
bị điện tử cực nhỏ Đã có một số lượng nghiên cứu rất lớn về
sóng mặt Rayleigh. Google Scholar, một trong những công cụ tìm
kiếm tài liệu khoa học mạnh nhất, cho chúng ta hơn một triệu
đường links cho yêu cầu tìm kiếm "Rayleigh waves". Kết quả này
thật đáng kinh ngạc! Nó chỉ ra rằng, lĩnh vực nghiên cứu sóng
mặt Rayleigh có vị trí cao trong khoa học, và đang được sự quan
tâm rất lớn của các nhà khoa học trên thế giới.
Cấu trúc lớp mỏng đặt trên bán không gian đã và đang được
sử dụng rộng rãi trong công nghệ hiện đại. Do vậy, việc đánh
giá không phá hủy các tính chất cơ học của chúng, trước và
trong quá trình sử dụng là quan trọng và có nhiều ý nghĩa. Chú
ý rằng có một tạp chí lớn “Thin Solid Films” dành riêng công
bố các kết quả nghiên cứu liên quan đến cấu trúc này. Để đánh
giá không phá hủy các tính chất cơ học của lớp và bán không
gian, sóng mặt Rayleigh là công cụ tiện lợi. Khi đó, phương trình
tán sắc của chúng được sử dụng như là cơ sở lý thuyết để xác
định các tính chất cơ học của cấu trúc từ các dữ liệu đo được
trong thực nghiệm.
2
Ngày nay, vật liệu composite, đặc biệt là composite cốt sợi,
ngày càng được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp
khác nhau, như chế tạo máy bay, tàu thủy, ô-tô Để tạo ra chẳng
hạn vỏ tầu thủy, các lớp cốt sợi (rất mỏng) với các góc định vị
khác nhau, được dán với nhau một cách tuần hoàn, bằng nhựa
êpôxy (chẳng hạn), đến một độ dầy cho trước. Như vậy, có thể
xem vỏ tầu thủy (vỏ máy bay,. ) là một lớp dầy chứa một số
rất lớn các nhân tuần hoàn, mà mỗi nhân này chứa một số lớp
vật liệu khác nhau (tương ứng với góc định vị khác nhau của cốt
sợi). Nếu độ dầy của lớp lớn hơn nhiều so với bước sóng của sóng

truyền vào lớp (để xác định các tính chất cơ học của lớp vật liệu
composite này), thì lớp vật liệu composite có thể xem như một
“môi trường vô hạn có cấu trúc mỏng tuần hoàn”. Do đó bài toán
truyền sóng trong các cấu trúc này rất cần được nghiên cứu và
được sự quan tâm chú ý của nhiều tác giả.
Mục tiêu của luận án
• Áp dụng các công cụ mới để phát triển kết quả một số bài
toán đã được nghiên cứu trước đây về sóng mặt Rayleigh.
• Xây dựng các phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh
trong các bán không gian phủ một lớp mỏng.
• Nghiên cứu sóng SH và sóng Lamb trong các cấu trúc mỏng
tuần hoàn có ứng suất trước.
Đối tượng nghiên cứu
Sóng trong các bán không gian đàn hồi, sóng trong các bán
không gian được phủ các lớp mỏng, sóng trong các cấu trúc tuần
hoàn.
3
Phạm vi nghiên cứu
Tìm ra các phương trình tán sắc chính xác và xấp xỉ, các công
thức vận tốc sóng.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phương trình bậc ba, phương pháp bình phương
tối thiểu, phương pháp nhiễu, phương pháp điều kiện biên hiệu
dụng và phương pháp tích phân đầu.
Chương 2. Sóng mặt Rayleigh
2.1 Sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi đẳng
hướng không nén được chịu ảnh hưởng của trọng
trường
2.1.1 Phương trình tán sắc
Bài toán: Khảo sát sự truyền của sóng Rayleigh trong bán

không gian đàn hồi đẳng hướng không nén x
3
≥ 0 chịu tác
dụng của trọng trường (hình 2.1).
Hình 2.1. Mô hình bài toán
Phương trình tán sắc của sóng là:
(2 − x)
2
− 4
√
1 − x − δx = 0, (1)
với δ = ρg/(kµ) ≥ 0, x = c
2
/c
2
2
, c
2
=

µ/ρ, k là số sóng, c là vận
tốc sóng Rayleigh, µ là hằng số Lame, ρ là mật độ khối lượng, g
là gia tốc trọng trường.
Khi δ = 0, phương trình (1) trở thành:
(2 − x)
2
− 4
√
1 − x = 0, (2)
4

Đây là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong bán không
gian đàn hồi đẳng hướng không nén không chịu tác dụng của
trọng trường.
2.1.2 Các công thức vận tốc sóng mặt Rayleigh
Hai công thức vận tốc chính xác
Áp dụng lý thuyết phương trình bậc ba, luận án tìm được các
công thức vận tốc chính xác sau:
x
r
=
2(4 + δ)
3
−
3


16(δ + 11)(δ
2
+ 4)/27 + (δ
3
+ 12δ
2
+ 12δ + 136)/27
+
8 − 8δ −δ
2
9
3



16(δ + 11)(δ
2
+ 4)/27 + (δ
3
+ 12δ
2
+ 12δ + 136)/27
, δ ∈ [0 , 1).
(3)
x
r
=1−




3

26 − 9δ
27
+

(δ + 11)(δ
2
+ 4)
27
−
8 + 3δ
9
3


26−9δ
27
+

(δ+11)(δ
2
+4)
27
−
1
3




2
.
(4)
Hai công thức vận tốc xấp xỉ của sóng Rayleigh
Áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu, luận án tìm
được các công thức xấp xỉ có độ chính xác cao dưới dạng sau:
x
1
=
B −
√
B
2
− 4AC

2A
, (5)
với A = −(5.1311 + 2δ), B = −(21.2576 + 8δ + δ
2
), C = −(15.1266 + 8δ).
x
2
= 1 −

−(2.9475724 + δ) +
√
δ
2
+ 0.1215448δ + 14.4543266
2.8868

2
. (6)
2.1.3 Điều kiện tồn tại và duy nhất của sóng Rayleigh
Định lý 2.1 Giả sử δ ≥ 0, khi đó:
(i) Sóng Rayleigh tồn tại khi và chỉ khi 0 ≤ δ < 1.
5
(ii) Nếu sóng Rayleigh tồn tại, thì nó là duy nhất, và vận tốc
x
r
(δ) được xác đinh bởi công thức (3) hoặc (4).
(iii) Vận tốc không thứ nguyên bình phương của sóng Rayleigh
x
r
(δ) là một hàm đơn điệu tăng thực sự trong khoảng [0 , 1), từ

x
0
tới 1 (nhưng không bằng), trong đó:
x
0
= 1 −



26
27
+
2
3

11
3

1/3
−
8
9

26
27
+
2
3

11

3

−1/3
−
1
3


2
. (7)
2.1.4 Kết luận
Trong phần này, luận án tìm ra hai công thức chính xác và hai
công thức xấp xỉ có độ chính xác cao của sóng Rayleigh truyền
trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng không nén dưới tác
dụng của trọng trường. Đây là những kết quả mới của bài toán,
đã đăng trên tạp chí Acta Mechanica, Vol. 223, 1537-1544, 2012.
2.2 Sóng Rayleigh trong bản mỏng đàn hồi, trực
hướng, bán vô hạn
2.2.1 Sóng chính Rayleigh
2.2.1.1 Phương trình tắn sắc
Bài toán: Xét một bản đàn hồi, trực hướng, bán vô hạn x
2
≥ 0,
trong đó x
1
, x
2
và x
3
là các hướng chính của vật liệu (Hình 2.5).

Giả thiết bản là mỏng để xảy ra trạng thái ứng suất phẳng.
Từ các phương trình cơ bản và điều kiện biên, ta thu được
phương trình tán sắc có dạng sau:
(B
66
− ρc
2
)[B
2
12
− B
22
(B
11
− ρc
2
)]
+ρc
2

B
22
B
66

(B
11
− ρc
2
)(B

66
− ρc
2
) = 0 (8)
trong đó B
ij
là các hằng số (độ cứng) vật liệu, các hằng số này
được biểu thị qua các hằng số kỹ thuật (Modul Young và modul
6
Hình 2.5. Mô hình bán toán sóng chính Rayleigh
cắt, tỉ số Poisson) như sau:
B
11
=
E
1
1 −ν
12
ν
21
, B
22
=
E
2
1 −ν
12
ν
21
,

B
12
=
ν
21
E
1
1 −ν
12
ν
21
=
ν
12
E
2
1 −ν
12
ν
21
, B
66
= G
12
,
(9)
Nhận xét: Phương trình (8) đơn giản hơn phương trình của
Cerv và đúng cho mọi vật liệu đàn hồi trực hướng.
2.2.1.2 Các công thức vận tốc sóng Rayleigh
Công thức vận tốc chính xác

Tiến hành tương tự như [Pham Chi Vinh and Ogden, R. W.,
Ach. Mech., 56 (3) (2004), 247-265], vận tốc sóng Rayleigh được
xác định bởi công thức:
ρc
2
/B
66
=
√
b
1
b
2
b
3
/

(
√
b
1
/3)(b
2
b
3
+2)+
3

R+
√

D+
3

R −
√
D

(10)
trong đó b
1
= B
22
/B
11
, b
2
= 1 −B
2
12
/(B
11
B
22
), b
3
= B
11
/B
66
, R

và D được cho bởi:
R = −
1
54
h(b
1
, b
2
, b
3
),
D = −
1
108

2
√
b
1
(1 − b
2
) h(b
1
, b
2
, b
3
) + 27b
1
(1 − b

2
)
2
+ b
1
(1 − b
2
b
3
)
2
+ 4

,
h(b
1
, b
2
, b
3
) =
√
b
1
[2b
1
(1 − b
2
b
3

)
3
+ 9(3b
2
− b
2
b
3
− 2)] (11)
7
và các căn thức trong (10) lấy các giá trị chính. Ba tham số không
thứ nguyên b
k
được biểu diễn theo E
1
, E
2
, G
12
, ν
12
có dạng:
b
1
=
E
2
E
1
, b

2
= 1 −
E
2
ν
2
12
E
1
, b
3
=
E
2
1
G
12
(E
1
ν
2
12
− E
2
5)
(12)
Công thức vận tốc xấp xỉ
Áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu, ta có được các công
thức xấp xỉ có độ chính xác cao như sau:
x

1
=
B
1
−

B
2
1
− 4A
1
C
1
2A
1
,
A
1
=b
1
b
3
[b
3
(1 + 0.5b
1
− 2b
1
b
2

b
3
) −1.5],
B
1
=b
1
b
3
[0.6(b
1
b
3
− 1) −b
1
b
2
b
2
3
(b
2
b
3
+ 2)],
C
1
=0.05b
1
b

3
(b
1
b
3
− 1) −b
2
1
b
2
2
b
4
3
(13)
x
2
=
B
2
−

B
2
2
− 4A
2
C
2
2A

2
,
A
2
=b
1
b
3
[b
3
(1 + 0.5b
1
− 2b
1
b
2
b
3
) −1.5],
B
2
=b
1
b
3
[0.5625(b
1
b
3
− 1) −b

1
b
2
b
2
3
(b
2
b
3
+ 2)],
C
2
=0.03125b
1
b
3
(b
1
b
3
− 1) −b
2
1
b
2
2
b
4
3

(14)
2.2.2 Sóng không chính Rayleigh
2.2.2.1. Phương trình tán sắc
Bài toán: Khảo sát sự truyền của sóng Rayleigh trong một bản
mỏng đàn hồi, trực hướng, bán vô hạn x
2
≥ 0 mà các hướng
chính của nó là X, Y, Z (hình 2.9). Giả thiết trục Z trùng với
trục x
3
và hệ tọa độ (x
1
, x
2
) nhận được từ hệ tọa độ (X, Y ) bằng
cách quay cùng chiều kim đồng hồ một góc θ. Giả thiết bản là
mỏng để xảy ra trạng thái ứng suất phẳng.
8
Hình 2.9. Mô hình bài toán sóng không chính Rayleigh
Sử dụng phương pháp tích phân đầu, luận án tìm ra phương
trình tán sắc như sau:
F (X, θ) ≡dX
2
[(d + d
2
)X −d
3
][d
2
2

− Q
66
(dX −d
3
)]
+ (dX −d
3
)[(d+d
2
)X −d
3
][Q
22
dX
2
−(d
2
+d
2
1
+Q
22
d
3
)X +dd
3
]
− 2d
1
X

2
(dX −d
3
)[Q
26
(dX −d
3
) −d
1
d
2
] = 0 (15)
trong đó X = ρc
2
và
Q
11
= B
11
c
4
θ
+ 2(B
12
+ 2B
66
)c
2
θ
s

2
θ
+ B
22
s
4
θ
,
Q
22
= B
11
s
4
θ
+ 2(B
12
+ 2B
66
)c
2
θ
s
2
θ
+ B
22
c
4
θ

,
Q
12
= (B
11
+ B
22
− 4B
66
)c
2
θ
s
2
θ
+ B
12
(c
4
θ
+ s
4
θ
), (16)
Q
66
= (B
11
+ B
22

− 2B
12
− 2B
66
)c
2
θ
s
2
θ
+ B
66
(c
4
θ
+ s
4
θ
),
Q
16
= −(B
11
− B
12
− 2B
66
)c
3
θ

s
θ
− (B
12
− B
22
+ 2B
66
)c
θ
s
3
θ
,
Q
26
= −(B
11
− B
12
− 2B
66
)c
θ
s
3
θ
− (B
12
− B

22
+ 2B
66
)c
3
θ
s
θ
,
d = Q
22
Q
66
− Q
2
26
, d
1
= Q
12
Q
26
− Q
22
Q
16
d
2
= Q
12

Q
66
− Q
16
Q
26
, d
3
= Q
11
d + Q
16
d
1
− Q
12
d
2
.
ở đây c
θ
:= cosθ, s
θ
:= sinθ (0 ≤ θ ≤ π).
2.2.3 Kết luận
Trong phần này, luận án đã tìm ra phương trình tán sắc cho
sóng chính Rayleigh. Phương trình này đúng cho mọi vật liệu đàn
9
hồi trực hướng, và đơn giản hơn nhiều so với các phương trình
thu được gần đây bởi Cerv. Luận án cũng tìm được các công

thức chính xác và các xấp xỉ có độ chính xác cao của vận tốc
sóng chính Rayleigh. Đối với sóng không chính Rayleigh, phương
trình tán sắc dạng tường minh được tìm ra bằng cách sử dụng
phương pháp tích phân đầu. Các kết này đã được đăng trên tạp
chí "Vietnam Journal of Mechanics, 34 (2) (2012), 123 – 134"
Chương 3. Sóng Rayleigh trong bán không
gian đàn hồi nằm dưới lớp nước
3.1 Phương trình tán sắc chính xác
Đặt bài toán. Xét một bán không gian đàn hồi đẳng hướng
không nén được x
3
≤ 0 được phủ một lớp nước không nén, không
nhớt 0 ≤ x
3
≤ h (xem hình 3.1). Giả thiết cả bán không gian và
lớp nước đều chịu sự tác dụng của lực hấp dẫn.
Hình 3.1. Mô hình bài toán
Từ các phương trình cơ bản, điều kiện biên tại x
3
= h và điều
kiện liên tục tại biên phân chia x
3
= 0, luận án tìm được phương
trình tán sắc của sóng có dạng sau:
(2 −x)
2
− 4
√
1 −x −δ x + r δ x −r f(x, δ, ε)x
2

= 0, 0 < x < 1 (17)
trong đó: x = c
2
/c
2
2
, c
2
=

µ/ρ , δ = g/kc
2
2
, ε = kh, r =
ρ

ρ
,
f(x, δ, ε) = (δ − xthε)/(x − δthε), c là vận tốc sóng, µ và ρ là hằng
số Lame và mật độ khối lượng của bán không gian, g là gia tốc
trọng trường, k là số sóng, ρ

là mật độ khối lượng của lớp nước.
10
Nhận xét: Phương trình tán sắc chính xác (17) chưa xuất hiện
ở bất kỳ tài liệu nào. Luận án chứng minh được phương trình
của Bromwich chỉ là trường hợp đặc biệt của (17).
3.1.2. Điều kiện tồn tại của sóng Rayleigh
Định lý 3.1.
i) Sóng Rayleigh không tồn tại nếu: hoặc {δ ≥ 1, 0 < δthε ≤ 1,

r ≥ 1 + 2/δ} hoặc {δ ≥ 1, δthε > 1, r ∈ (0, m] ∪ [1 +
2/δ, +∞)}.
ii) Tồn tại duy nhất sóng Rayleigh cổ điển nếu {0 < δ < 1,
r ≥ 1 + 2/δ}.
iii) Tồn tại duy nhất sóng Rayleigh hấp dẫn nếu: hoặc {δ ≥ 1,
0 < δthε ≤ 1, 0 < r < 1 + 2/δ} hoặc {δ ≥ 1, δthε > 1,
m < r < 1 + 2/δ}.
iv) Để tồn tại chính xác hai sóng Rayleigh, một sóng Rayleigh
cổ điển và một sóng Rayleigh hấp dẫn nếu {0 < δ < 1,
0 < r < 1 + 2/δ}.
3.1.3. Phương trình tán sắc xấp xỉ
Giả thiết lớp nước là mỏng, tức là ε << 1. Khi đó từ phương
trình (17), ta thu được trình tán sắc xấp xỉ bậc bốn có dạng sau:
F (x, δ, ε) ≡ (2 − x)
2
− 4
√
1 − x − δ x − r(δ
2
− x
2
)ε − r

δ
3
x
− δ x

ε
2

− r

δ
4
x
2
−
4δ
2
3
+
x
2
3

ε
3
− r

δ
5
x
3
−
5δ
3
3x
+
2δ x
3


ε
4
= 0, δthε < x < 1
(18)
3.2. Các công thức vận tốc xấp xỉ
Hai đại lượng δ và ε đều nhỏ :
Sử dụng phương pháp nhiễu, ta tìm được công thức xấp xỉ
bậc hai của vận tốc sóng Rayleigh như sau:

x
x
0
= 1+0.1089δ−0.0994rε−0.0782δ
2
+0.1211r δε−0.0453r
2
ε
2
(19)
11
Khi ε nhỏ và δ tùy ý:
Công thức xấp xỉ bậc hai của x(ε) là:
x(ε) = x
0
+
r(δ
2
− x
2

0
)ε
a
1
+ a
2
ε
2
, (20)
a
1
= 2(x
0
− 2) + 2(1 − x
0
)
−1/2
− δ,
a
2
=−

2+(1−x
0
)
−
3
2

r

2
(δ
2
− x
2
0
)
2
a
3
1
−
4r
2
x
0
(δ
2
−x
2
0
)
a
2
1
−
2rδ

x
0

−
δ
2
x
0

a
1
,
và x
0
được tính từ (7).
Các xấp xỉ toàn cục:
Giả thiết lớp nước là mỏng: ε << 1, áp dụng phương pháp
bình phương tối thiểu, ta tìm được xấp xỉ toàn cục có dạng sau:
x =
−B +
√
B
2
− 4AC
2A
(21)
A = 5.4364(1+ε
∗
)
2
+8δ−2ε
∗
δ

2
+8ε
∗
+δ
2
−2ε
∗
2
δ
2
+ 24−2.8551(8+2δ)(1+ε
∗
)
B = −6.8944(1 + ε
∗
)
2
− 16 + 8ε
∗
δ
2
+ 2δ
3
ε
∗
− 8δ + 2.7158(8 + 2δ)(1 + ε
∗
)
C = 2.4578(1 + ε
∗

)
2
− 8ε
∗
δ
2
− 0.8607(8 + 2δ)(1 + ε
∗
) + ε
∗
2
δ
4
, với ε
∗
= rε.
3.3. Kết luận
Trong chương này, luận án đã tìm ra được phương trình tán
sắc chính xác của sóng và trên cơ sở đó đã tiến hành khảo sát sự
tồn tại của sóng Rayleigh. Với giải thiết lớp là mỏng, luận án đã
thiết lập được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc bốn. Từ phương
trình này, luận án đã xây dựng được một số công thức xấp xỉ
của vận tốc sóng Rayleigh. Các kết quả mới của bài toán này đã
được đăng trên tạp chí "Meccanica, Vol. 48, pp.2051-2060, 2013"
12
Chương 4. Sóng Rayleigh trong bán không
gian đàn hồi phủ một lớp mỏng
Mục tiêu của chương này là xây dựng các phương trình tán sắc
xấp xỉ bậc ba của sóng Rayleigh truyền trong các bán không gian
đàn hồi trực hướng nén được, đàn hồi trực hướng không nén được

và đàn hồi có ứng suất trước được phủ bởi các lớp mỏng đàn hồi
trực hướng nén được, đàn hồi trực hướng không nén được và đàn
hồi có ứng suất trước.
Để đạt được mục tiêu này, luận án sử dụng phương pháp điều
kiện biên hiệu dụng kết hợp với các phương trình dạng ma trận
của lý thuyết đàn hồi.
4.1 Bán không gian đàn hồi trực hướng nén được
phủ lớp mỏng
4.1.1 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba
Xét bán không gian đàn hồi trực hướng, nén được x
2
≥ 0 phủ
một lớp đàn hồi trực hướng, nén được chiếm miền −h ≤ x
2
≤ 0.
Giả thiết các hướng chính vật liệu của lớp và bán không gian
trùng nhau. Giả sử lớp đàn hồi là mỏng và gắn chặt với bán
không gian.
Hình 4.1. Mô hình bài toán
Sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng, toàn bộ ảnh
hưởng của lớp mỏng lên bán không gian được thay thế bằng điều
kiện biên hiệu dụng sau:
13
σ
12
+ h(r
1
σ
22,1
− r

3
u
1,11
− ¯ρ¨u
1
)
+
h
2
2

r
2
σ
12,11
+
¯ρ
¯c
66
¨σ
12
− r
3
u
2,111
− ¯ρ(1 + r
1
)¨u
2,1


+
h
3
6

r
4
σ
22,111
+ ¯ρr
5
¨σ
22,1
− r
6
u
1,1111
−¯ρr
7
¨u
1,11
−
¯ρ
2
¯c
66
¨u
1,tt

= 0

tại x
2
= 0, (22)
σ
22
+h(σ
12,1
−¯ρ¨u
2
)+
h
2
2

r
1
σ
22,11
+
¯ρ
¯c
22
¨σ
22
−r
3
u
1,111
−¯ρ(1+r
1

)¨u
1,1

+
h
3
6

r
2
σ
12,111
+ ¯ρr
8
¨σ
12,1
−r
3
u
2,1111
−¯ρ(1+2r
1
)¨u
2,11
−
¯ρ
2
¯c
22
¨u

2,tt

= 0,
tại x
2
= 0, (23)
trong đó: σ
ij
, u
i
là các thành phần ứng suất, chuyển dịch của bán không
gian, ¯c
ij
, ¯ρ là các hằng số vật liệu và mật độ khối lượng của lớp, dấu
phẩy chỉ đạo hàm riêng, dấu "." chỉ đạo hàm theo biến thời gian t, và:
r
1
=
¯c
12
¯c
22
, r
2
= r
1
+
r
3
¯c

66
, r
3
=
¯c
2
12
− ¯c
11
¯c
22
¯c
22
, r
4
= r
1
r
2
+
r
3
¯c
22
,
r
5
=
1 + r
1

¯c
22
+
r
1
¯c
66
, r
6
= (r
1
+ r
2
)r
3
, r
7
= r
2
1
+ 2r
2
, r
8
=
1 + r
1
¯c
66
+

1
¯c
22
.
4.1.2 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng
Rayleigh
Thay thế các biểu thức của chuyển dịch và ứng suất của bán không
gian vào điều kiên biên hiệu dụng (22), (23), ta thu được phương trình
tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng có dạng:
D
0
+ D
1
ε +
D
2
2
ε
2
+
D
3
6
ε
3
+ O(ε
4
) = 0, (24)
trong đó:
D

0
=(e
2
3
− e
1
e
2
+ e
2
x)b
1
b
2
+ (e
1
− x)x,
D
1
=r
µ

(e
1
− x)r
2
v
x + e
2
(¯e

2
¯e
2
3
− ¯e
1
+ r
2
v
x)b
1
b
2

(b
1
+ b
2
),
14
D
2
= −

¯e
2
¯e
2
3
− ¯e

1
+ (1 + ¯e
2
)r
2
v
x

D
0
+2r
µ

e
3
(¯e
1
− ¯e
2
¯e
2
3
) + (¯e
2
¯e
3
e
3
− e
3

− r
µ
¯e
2
¯e
2
3
+ r
µ
¯e
1
)r
2
v
x −r
µ
r
4
v
x
2

b
1
b
2
+2r
µ

¯e

1
− ¯e
2
¯e
2
3
+ (¯e
2
¯e
3
− 1 + r
µ
¯e
2
¯e
2
3
− r
µ
¯e
1
)r
2
v
x + r
µ
r
4
v
x

2

(x −e
1
),
D
3
= r
µ

(x−e
1
)

2(¯e
1
−¯e
2
¯e
2
3
)+(3¯e
2
¯e
2
3
+2¯e
2
¯e
3

−3¯e
1
−2)r
2
v
x+(3+ ¯e
2
)r
4
v
x
2

−e
2

(2¯e
2
¯e
3
+¯e
2
¯e
2
3
−¯e
1
)(¯e
2
¯e

2
3
−¯e
1
)
+ (¯e
2
2
¯e
2
3
+ 2¯e
2
¯e
3
+ 2¯e
2
¯e
2
3
− 2¯e
1
− 3¯e
1
¯e
2
)r
2
v
x

+ (1 + 3¯e
2
)r
4
v
x
2

b
1
b
2

(b
1
+ b
2
),
với b
1
b
2
=
√
P , b
1
+ b
2
=


S + 2
√
P , S =
e
2
(e
1
−x) +1 −x −(1 +e
3
)
2
e
2
,
P =
(1 −x)(e
1
− x)
e
2
, x =
ρc
2
c
66
, e
1
=
c
11

c
66
, e
2
=
c
22
c
66
, e
3
=
c
12
c
66
,
¯e
1
=
¯c
11
¯c
66
, ¯e
2
=
¯c
66
¯c

22
, ¯e
3
=
¯c
12
¯c
66
, r
µ
=
¯c
66
c
66
, r
v
=
c
2
¯c
2
, c
2
=

c
66
ρ
, ¯c

2
=

¯c
66
¯ρ
và c
ij
, ρ là các hằng số vật liệu và mật độ của bán không gian, c là số
sóng, k là số sóng, ε = kh.
Ta thấy rằng, vận tốc sóng không thứ nguyên x phụ thuộc vào 9
tham số không thứ nguyên: e
k
, ¯e
k
(k = 1, 2, 3), r
µ
, r
v
và ε.
4.1.3 Công thức vận tốc xấp xỉ bậc hai
Do ε nhỏ, ta có
x(ε) = x
0
+ x

(0) ε +
x

(0)

2
ε
2
+ O(ε
3
) (25)
trong đó x
0
= x(0) là vận tốc của sóng Rayleigh trong bán không gian
đàn hồi trực hướng nén được, xác định bởi công thức sau:
x
0
=
√
s
1
s
2
s
3
/

(
√
s
1
/3)(s
2
s
3

+ 2) +
3

R +
√
D +
3

R −
√
D

(26)
s
1
= e
2
/e
1
, s
2
= 1 −e
2
3
/(e
1
e
2
), s
3

= e
1
x

(0) = −
D
1
D
0x





x=x
0
, x

(0) = −
D
0xx
D
2
1
− 2D
1x
D
1
D
0x

+ D
2
D
2
0x
D
3
0x





x=x
0
15
với R, D được xác định bởi (11) trong đó b
1
, b
2
, b
3
được thay thế bằng
s
1
, s
2
, s
3
.

4.2 Bán không gian đàn hồi trực hướng không nén
được phủ một lớp mỏng
4.2.1 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba
Xét bán không gian đàn hồi trực hướng,không nén được x
2
≥ 0 phủ
một lớp đàn hồi trực hướng, không nén được chiếm miền −h ≤ x
2
≤ 0.
Giả thiết các hướng chính vật liệu của lớp và bán không gian trùng
nhau. Giả sử lớp đàn hồi là mỏng và gắn chặt với bán không gian (xem
hình 4.1).
Sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng, toàn bộ ảnh hưởng
của lớp mỏng lên bán không gian được thay thế bằng điều kiện biên
hiệu dụng sau:
σ
12
+ h(σ
22,1
+
¯
δu
1,11
− ¯ρ¨u
1
) +
h
2
2
(r

1
σ
12,11
+
¯ρ
¯c
66
¨σ
12
+
¯
δu
2,111
− 2¯ρ¨u
2,1
)
+
h
3
6
(r
1
σ
22,111
+
¯ρ
¯c
66
¨σ
22,1

− r
2
u
1,1111
− ¯ρr
3
¨u
1,11
−
¯ρ
2
¯c
66
¨u
1,tt
) = 0
tại x
2
= 0, (27)
σ
22
+ h(σ
12,1
− ¯ρ¨u
2
) +
h
2
2
(σ

22,11
+
¯
δu
1,111
− 2¯ρ¨u
1,1
)
+
h
3
6
(r
1
σ
12,111
+
2¯ρ
¯c
66
¨σ
12,1
+
¯
δu
2,1111
− 3¯ρ¨u
2,11
) = 0 tại x
2

= 0, (28)
trong đó:
¯
δ = ¯c
11
+ ¯c
22
− 2¯c
12
, r
1
= 1 −
¯
δ
¯c
66
, r
2
=
¯
δ(
¯
δ
¯c
66
− 2), r
3
=
2r
1

+ 1.
4.2.2 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng
Rayleigh
Thay thế các biểu thức của chuyển dịch và ứng suất của bán không
gian vào điều kiên biên hiệu dụng (27), (28), ta thu được phương trình
tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng có dạng sau:
D
0
+ D
1
ε +
D
2
2
ε
2
+
D
3
6
ε
3
+ O(ε
4
) = 0, (29)
16
trong đó:
D
0
=(x −e

δ
)(
√
P − 1) − S − P − 1,
D
1
=r
µ

r
2
v
x + (xr
2
v
− ¯e
1
− ¯e
2
+ 2¯e
3
)
√
P


S + 2
√
P ,
D

2
= −

xr
2
v
− ¯e
δ

D
0
− 2r
2
µ
r
2
v
x

xr
2
v
− ¯e
δ

+ r
µ
¯e
δ
(x −e

δ
+ S + 2
√
P ),
D
3
= −r
µ

S + 2
√
P

−3xr
2
v
(¯e
δ
− xr
2
v
) + 2¯e
δ
+
√
P

¯e
δ
(¯e

δ
− 2) + xr
2
v
(xr
2
v
− 2¯e
δ
)


,
¯e
δ
=¯e
1
+ ¯e
2
− 2¯e
3
, e
δ
= e
1
+ e
2
− 2e
3
,

P =1 −x, S = e
δ
− 2 − x
và:
x =
ρc
2
c
66
, e
1
=
c
11
c
66
, e
2
=
c
22
c
66
, e
3
=
c
12
c
66

, ¯e
1
=
¯c
11
¯c
66
, ¯e
2
=
¯c
22
¯c
66
,
¯e
3
=
¯c
12
¯c
66
, r
µ
=
¯c
66
c
66
, r

v
=
c
2
¯c
2
, c
2
=

c
66
ρ
, ¯c
2
=

¯c
66
¯ρ
.
Rõ ràng rằng, vận tốc sóng không thứ nguyên x phụ thuộc vào 5
tham số không thứ nguyên: e
δ
, ¯e
δ
, r
µ
, r
v

và ε.
4.3 Bán không gian đàn hồi có ứng suất trước phủ
lớp mỏng
4.3.1 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba
Xét một lớp vật liệu thuần nhất có độ dày h phủ lên một bán không
gian thuần nhất, cả hai là vật liệu đàn hồi đẳng hướng nén được chịu
biến dạng thuần nhất (xem hình 4.5). Các hướng chính của biến dạng
trong lớp và bán không gian là trùng nhau và một hướng vuông góc với
mặt phẳng x
2
= 0. Một hệ tọa độ Đềcác vuông góc (x
1
, x
2
, x
3
) được
sử dụng với các trục của nó trùng với các hướng chính của biến dạng.
Lớp vật liệu chiếm miền −h < x
2
< 0 và bán không gian tương ứng với
miền x
2
> 0
17
Hình 4.5. Mô hình bài toán
Tương tự như hai phần trên, điều kiện biên hiệu dụng có dạng sau:
s
21
+ h(r

1
s
22,1
− r
3
u
1,11
− ¯ρ¨u
1
) (30)
+
h
2
2

r
6
s
21,11
+
¯ρ
¯γ
2
¨s
21
− r
7
u
2,111
− ¯ρr

5
¨u
2,1

+
h
3
6

t
1
s
22,111
+ ¯ρt
2
¨s
22,1
− t
3
u
1,1111
− ¯ρt
4
¨u
1,11
−
¯ρ
2
¯γ
2

¨u
1,tt

= 0 tại x
2
= 0,
s
22
+ h(r
2
s
21,1
− r
4
u
2,11
− ¯ρ¨u
2
)
+
h
2
2

r
8
s
22,11
+
¯ρ

¯α
22
¨s
22
− r
7
u
1,111
− ¯ρr
5
¨u
1,1

(31)
+
h
3
6

t
5
s
21,111
+ ¯ρt
6
¨s
21,1
− t
7
u

2,1111
− ¯ρt
8
¨u
2,11
−
¯ρ
2
¯α
22
¨u
2,tt

= 0 tại x
2
= 0,
trong đó s
ij
, u
i
α
ij
là nhiễu ứng suất, nhiễu chuyển dịch của bán không
gian, ¯α
ij
,¯γ
k
và ¯ρ là các hằng số vật liệu, mật độ khối của lớp và
r
5

= r
1
+ r
2
, r
6
=
r
3
¯γ
2
+ r
1
r
2
, r
7
= r
2
r
3
+ r
1
r
4
,
r
8
=
r

4
¯α
22
+ r
1
r
2
, t
1
=
r
7
¯α
22
+ r
1
r
6
, t
2
=
r
5
¯α
22
+
r
1
¯γ
2

,
t
3
= r
1
r
7
+ r
3
r
6
, t
4
=
r
3
¯γ
2
+ r
1
r
5
+ r
6
, t
5
=
r
7
¯γ

2
+ r
2
r
8
,
t
6
=
r
5
¯γ
2
+
r
2
¯α
22
, t
7
= r
2
r
7
+ r
4
r
8
, t
8

=
r
4
¯α
22
+ r
8
+ r
2
r
5
.
(32)
4.3.2 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba
Thay thế các biểu thức của nhiễu chuyển dịch, nhiễu ứng suất của bán
không gian vào điều kiên biên hiệu dụng (30), (31), ta thu được phương
trình tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng dưới dạng sau:
D
0
+ D
1
ε +
D
2
2
ε
2
+
D
3

6
ε
3
+ O(ε
4
) = 0, (33)
18
trong đó D
k
(k = 0, 1, 2, 3) được xác định từ:
D
0
= e
5
[e
2
3
− e
2
(e
1
− x)]b
1
b
2
+ (e
1
− x)[e
2
4

− e
5
(1 −x)],
D
1
= r
µ
e
5

(¯e
2
4
¯e
5
− 1 + r
2
v
x)(e
1
− x) + e
2
(¯e
2
¯e
2
3
− ¯e
1
+ r

2
v
x)b
1
b
2

(b
1
+ b
2
),
D
2
= −

¯e
2
(¯e
2
4
¯e
5
− 1) + ¯e
5
(¯e
2
¯e
2
3

− ¯e
1
) + (¯e
2
+ ¯e
5
)r
2
v
x

D
0
− 2r
µ
¯e
5

r
µ
(¯e
2
¯e
2
3
− ¯e
1
+ r
2
v

x)(¯e
2
4
¯e
5
− 1 + r
2
v
x) −e
3

¯e
2
¯e
3
(¯e
2
4
¯e
5
− 1)
− ¯e
4
¯e
5
(¯e
2
¯e
2
3

− ¯e
1
) + (¯e
2
¯e
3
− ¯e
4
¯e
5
)r
2
v
x


b
1
b
2
+ 2r
µ
(x −e
1
)

r
µ
(¯e
2

¯e
2
3
− ¯e
1
+ r
2
v
x)(¯e
2
4
¯e
5
− 1 + r
2
v
x)
+ e
4

¯e
2
¯e
3
(¯e
2
4
¯e
5
− 1) − ¯e

4
¯e
5
(¯e
2
¯e
2
3
− ¯e
1
) + (¯e
2
¯e
3
− ¯e
4
¯e
5
)r
2
v
x


,
D
3
= r
µ
e

5
(x −e
1
)

(¯e
2
4
¯e
5
− 1 + r
2
v
x)

¯e
2
(¯e
2
4
¯e
5
− 1) + 4¯e
2
¯e
3
¯e
4
¯e
5

+ (¯e
2
+ 3¯e
5
)r
2
v
x + 3¯e
5
(¯e
2
¯e
2
3
− ¯e
1
)

− 2¯e
4
¯e
5

¯e
2
¯e
3
(¯e
2
4

¯e
5
− 1)
+ ¯e
4
¯e
5
(¯e
2
¯e
2
3
− ¯e
1
) + (¯e
2
¯e
3
+ ¯e
4
¯e
5
)r
2
v
x


(b
1

+ b
2
)
− r
µ
e
2
e
5

(¯e
2
¯e
2
3
− ¯e
1
+ r
2
v
x)

3¯e
2
(¯e
2
4
¯e
5
− 1) + 4¯e

2
¯e
3
¯e
4
¯e
5
+ (3¯e
2
+ ¯e
5
)r
2
v
x + ¯e
5
(¯e
2
¯e
2
3
− ¯e
1
)

− 2¯e
2
¯e
3


¯e
2
¯e
3
(¯e
2
4
¯e
5
− 1)
+ ¯e
4
¯e
5
(¯e
2
¯e
2
3
− ¯e
1
) + (¯e
2
¯e
3
+ ¯e
4
¯e
5
)r

2
v
x


b
1
b
2
(b
1
+ b
2
),
(34)
với:
b
1
b
2
=
√
P , b
1
+ b
2
=

S + 2
√

P , P =
(e
1
− x)(1 −x)
e
2
e
5
,
S =
e
2
(e
1
− x) + e
5
(1 −x) −(e
3
+ e
4
)
2
e
2
e
5
(35)
và:
x =
ρc

2
γ
1
, e
1
=
α
11
γ
1
, e
2
=
α
22
γ
1
, e
3
=
α
12
γ
1
, e
4
=
γ
∗
γ

1
, e
5
=
γ
2
γ
1
,
¯e
1
=
¯α
11
¯γ
1
, ¯e
2
=
¯γ
1
¯α
22
, ¯e
3
=
¯α
12
¯γ
1

, ¯e
4
=
¯γ
∗
¯γ
1
, ¯e
5
=
¯γ
1
¯γ
2
, (36)
r
µ
=
¯γ
1
γ
1
, r
v
=
c
2
¯c
2
, c

2
=

γ
1
ρ
, ¯c
2
=

¯γ
1
¯ρ
.
trong đó α
ij
, γ
k
, ρ là các hằng số vật liệu và mật độ khối của bán không
gian
19
Rõ ràng rằng vận tốc sóng Rayleigh không thứ nguyên bình phương
x phụ thuộc vào 13 tham số không thứ nguyên: e
k
, ¯e
k
(k = 1, 2, 3, 4, 5),
r
µ
, r

v
và ε.
4.4 Kết luận
Trong chương này, luận án thu được các kết quả chính như sau:
• Ba điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ bậc ba.
• Sử dụng các điều kiện biên hiệu dụng này, luận án tìm ra các
phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng Rayleigh truyền trong các
bán không gian.
• Công thức vận tốc xấp xỉ bậc hai dạng tường minh của sóng
Rayleigh cho trường hợp cả bán không gian là trực hướng nén được.
Các kết quả mới của chương này đã được đăng trên các tạp chí:
"Wave Motion, Vol. 49, 681-689, 2012", "International Journal of Non-
Linear Mechanics, 50 (2013) 91–96", "Hội nghị Cơ học toàn quốc lần
thứ IX ".
Chương 5. Sóng trong cấu trúc mỏng
tuần hoàn
Chương này xây dựng các công thức truy hồi Ω
2m+1
∀m ≥ 0 trong
khai triển: c
2
=
ω
2
k
2
= Ω
1
+ khΩ
2

+ (kh)
2
Ω
3
+ đối với sóng SH trong
môi trường đàn hồi phân lớp tuần hoàn, đẳng hướng nén được và sóng
Lamb trong môi trường đàn hồi đẳng hướng không nén được, có biến
dạng trước.
Phương pháp được sử dụng để để tìm ra các công thức này là
phương pháp khai triển tiệm cận
5.1 Sóng SH trong môi trường vô hạn phân lớp
tuần hoàn, các lớp đều mỏng
5.1.1. Đặt bài toán
Khảo sát sự truyền của sóng SH trong trường vô hạn, phân lớp
tuần hoàn, mỗi chu kỳ gồm N lớp vật liệu đàn hồi đẳng hướng nén
được khác nhau (N ≥ 2) có độ dày h
1
, h
2
, , h
N
(xem hình 5.1). Đại
20
lượng h =
N

i=1
h
i
được gọi là độ dày của một chu kỳ. Giả thiết hướng

truyền sóng tạo với trục Ox
1
một góc θ.
2
x
N
h
k
1
x
1
h
h
o
Hình 5.1. Mô hình bài toán
5.1.2. Các công thức xác định Ω
k
Sử dụng phương pháp khai triển tiệm cận, luận án tim được các
công thức sau:
• Công thức xác định Ω
1
Ω
1
=
1/µ
−1
ρ
cos
2
θ +

1
ρ
sin
2
θ. (37)
ở đây, ta sử dụng ký hiệu: < f >=:
1

0
f(y
2
)dy
2
• Công thức xác định Ω
3
Ω
3
=

1
µ

−1
ρ
−1

sin
4
θ
3

−

1
µ

f
2
21
−f
2
12
(ρΩ
1
− µcos
2
θ) +

f
1
11
−
sin
2
θ
2

f
1
22
−

sin
2
θ
2


(38)
trong đó:
p
12
 = 1/µ
−1
, p
21
 = ρ − µcos
2
θ
f
1
11
=
1

0
p
12
(x
1
)dx
1

x
1

0
p
21
(x
2
)dx
2
, f
1
22
=
1

0
p
21
(x
1
)dx
1
x
1

0
p
12
(x

2
)dx
2
,
f
2
12
=
1

0
p
12
(x
1
)dx
1
x
1

0
p
21
(x
2
)dx
2
x
2


0
p
12
(x
3
)dx
3
,
21
f
2
22
=
1

0
p
21
(x
1
)dx
1
x
1

0
p
12
(x
2

)dx
2
x
2

0
p
21
(x
3
)dx
3
.
• Công thức truy hồi cần tìm
Ω
2n+1
=ρ
−1

1
µ

−1
g
2n
12
(1)

ρΩ
1

− µcos
2
θ

− ρ
−1
g
2n
21
(1)
+ρ
−1

1
µ

−1
u+v=2n

0<u,v<2n
det

A
u
B
v

(39)
trong đó các biểu thức g
n

12
(1), g
n
21
(1), A
u
, B
v
(0 < u, v < 2n) được xác
định qua các tham số vật liệu và Ω
1
, Ω
3
, , Ω
2n−1
và các biểu thức của
chúng đã được trình bầy chi tiết trong luận án.
5.2. Sóng Lamb trong môi trường vô hạn phân lớp
tuần hoàn không nén được có biến dạng trước
5.2.1. Đặt bài toán
Xét môi môi trường vô hạn, phân lớp tuần hoàn, mỗi chu kỳ gồm
N lớp vật liệu khác nhau (N ≥ 2). Giả sử các lớp vật liệu là không nén
được và có biến dạng ban đầu thuần nhất. Tại trạng thái biến dạng
ban đầu ta sử dụng hệ tọa độ Đề-các vuông góc Ox
1
x
2
x
3
chung cho cả

môi trường, trong đó mặt phẳng Ox
1
x
3
trùng với mặt đáy của lớp đầu
tiên của một chu kỳ nào đó (xem hình 5.2). Ký hiệu h
i
và h là độ dày
lớp thứ i và độ dày một chu kỳ tại trạng thái ban đầu.
2
x
N
h
1
x
1
h
h
Hình 5.2. Mô hình bài toán
22
5.2.2 Công thức tính Ω
k
Sử dụng phương pháp khai triển tiệm cận, luận án tìm được công
thức sau:
• Công thức xác định Ω
1
Ω
1
=
B

1212
 −
B
∗2
1221
B
2121
 −

B
∗
2112
B
2121

2

B
−1
2121

−1
ρ
(40)
trong đó B
ijkl
là các tham số vật liệu, B
∗
ijkl
= B

ijkl
+ p, p là áp suất
thủy tĩnh.
• Công thức xác định Ω
3
Ω
3
= −

ρs
0
13

−1

s
2
12
s
0
43
− s
2
13
s
0
42
+ s
2
43

s
0
12
− t
2
42
(1)s
0
13
− M

, (41)
trong đó s
0
ij
s
2
ij
, t
2
ij
, M được xác định qua các tham số vật liệu và Ω
1
,
các biểu thức của chúng được trình bầy chi tiết trong luận án.
• Công thức truy hồi
Ω
2n+1
=−


ρs
0
13

−1


t
2n
12
(1)s
0
43
−t
2n
13
(1)s
0
42
+t
2n
43
(1)s
0
12
−t
2n
42
(1)s
0

13
−
u+v+s+t=2n

0≤u,v,s,t<2n
det[A
u
B
v
C
s
D
t
]


,
(42)
∀n ≥ 1,
trong đó t
2n
ij
(1), A
u
, B
v
, C
s
, D
t

(0 ≤ u, v, s, t ≤ 2n) được xác đinh qua
các tham số vật liệu và Ω
1
, Ω
,
3, , Ω
2n−1
, biểu thức của chúng được
trình bầy chi tiết trong luận án.
5.3. Kết luận
Trong chương này, luận án đã tìm ra các công thức tính Ω
1
, Ω
3
và công
thức truy hồi tính Ω
2m+1
, ∀m ≥ 2 cho cả hai sóng SH, sóng Lamb.
23
Kết luận
Truyền sóng trong các môi trường đàn hồi là cơ sở lý thuyết cho nhiều
ứng dụng thực tế, trải dài từ dự báo động đất đến việc chế tạo các thiết
bị vi nhỏ trong công nghệ viễn thông. Các kết quả nghiên cứu mới về
sóng đàn hồi sẽ làm cho các ứng dụng của chúng ngày càng mở rộng
và hiệu quả hơn. Các kết quả nghiên cứu của luận án là mới và là một
sự đóng góp nhỏ bé cho tác động này.
Các kết quả chính mà luận án thu được là:
• Tìm ra hai công thức chính xác của vận tốc sóng và hai công
thức xấp xỉ có độ chính xác cao của sóng Rayleigh trong bán
không gian đàn hồi đẳng hướng không nén được chịu tác dụng

của trọng trường.
• Tìm được phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh
trong bản mỏng đàn hồi trực hướng bán vô hạn. Chứng minh
được các tính chất đối xứng của đường cong vận tốc được phát
hiện gần đây bởi Cerv.
• Đối với sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi không nén
được nằm dưới một lớp nước có độ dầy tùy ý dưới tác dụng của
trọng trường, đã tìm ra phương trình tán sắc chính xác của sóng
và từ đó:
(i) Thu được phương trình xấp xỉ bậc nhất của Bromwich.
(ii) Khảo sát sự tồn tại và duy nhất của sóng Rayleigh.
(iii) Thiết lập được phương trình xấp xỉ bậc bốn cho trường hợp
khi lớp nước được giả thiết là mỏng. Hơn nữa, các công thức xấp
xỉ bậc hai cho vận tốc sóng cũng đã được thiết lập cho trường hợp
này dựa trên phương pháp nhiễu và phương pháp bình phương
tối thiểu.
(iv) Tìm ra được công thức xấp xỉ bậc hai cho vận tốc sóng
Rayleigh cho trường hợp khi lớp nước mỏng và ảnh hưởng của
trọng trường là nhỏ. Công thức xấp xỉ của Bromwich như là một
trường hợp đặc biệt.
• Sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng đã tìm ra phương
trình tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng Rayleigh trong bán không
gian trực hướng (nén được, không nén được) phủ một lớp mỏng
trực hướng (nén được, không nén được).