Giáo án đại số 12: MẶT CẦU pdf

Giáo án đại số 12: MẶT CẦU


1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R







2
Rczbyax:R)S(I,
222

(1)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222

(2) (
0dcbavôùi
222

)
 Tâm I(a ; b ; c) và
d
cbaR 
222

2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho






2
Rczbyax:(S)
222

và (): Ax + By + Cz + D
= 0
Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến
mp() :
 d > R : (S)   = 
 d = R : () tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, ():
tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là h chiếu của tâm I trên mp

)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và
vuông góc mp(): ta có

na
d

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

 d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt












2
0DCzByAx :
Rczbyax:(S)
222

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính
2 2
r= R -d (I,a)

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp())
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và
vuông góc mp() : ta có

na
d


 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu









tazz
tayy
taxx
d
3o
2o
1o
:
(1) và






2
Rczbyax:(S)
222
 (2)

+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª






2
Rczbyax:R)S(I,
222

(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp()
. .
2 2 2
tâ
( )

bán kính
Ax B y C z D
I I I
A B C
m I
S
R
  

 

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2)
0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222

A,B,C,D  mc(S)

hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € ()

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222

(2)
 A,B,C  mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2).
 I(a,b,c) (S): thế a,b,c vào pt (S).
 Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d.
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.
Tiếp diện (


) của mc(S) tại A : (

) qua A,

 IA n vtpt



3. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Trong các phương trình sau đây ,phương trình
nào là phương trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ
tâm và bán kính của nó ,biết:
a)


02642:
222
 zyxzyxS b)


09242:
222
 zyxzyxS
c)


03936333:
222
 zyxzyxS d)



07524:
222
 zyxzyxS
e)


022:
222
 yxzyxS
Bài 2: Cho họ mặt cong (S
m
) có phương trình:


04624:
2222
 mmzmymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn nằm trên một đường thẳng
cố định.
Bài 3: Cho họ mặt cong (S
m

) có phương trình:


05824:
22222
 mymmxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt
cầu .
b) Tìm quĩ tích tâm của họ (S
m
) khi m thay đổi.
c) Tìm điểm cố định M mà (S
m
) luôn đi qua.
Bài 4: Cho họ mặt cong (S
m
) có phương trình:


03cos2sin2:
222
 mymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m

) là một họ mặt
cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn chạy trên một đường
tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B.
Đường thẳng y=m(-1<m<1 ,m

0) ,cắt (C) tại T, S ,
đường thẳng qua A , T cắt đường thẳng qua B ,S tại P
.Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4.
b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc
0x.
d) Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bài 6: Cho 3 đường thẳng (d
1
),(d
2
), (d
3
) có phương
trình :
 
1
1
4

2
3
2
:
1





zyx
d ,
 
1
9
2
3
1
7
:
2






zyx
d ,
 

1
2
2
3
3
1
:
3







zyx
d
a) Lập phương trình đường thẳng (d) cắt cả hai
đường thẳng(d
1
),(d
2
) và song song với đường thẳng
(d
3
).
b) Giả sử







Add 
1
,






Bdd 
2
.Lập phương trình
mặt cầu đường kính AB.
Bài tập về nhà
Bài 7: Cho 2 đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình :

 
R
tz
ty
tx
d 









t
2
1
2
:
1
,
 
1
9
2
3
1
7
:
2






zyx

d
a) CMR (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung
của (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phương trình mật cầu (S) có đường kính
là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
d) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
cách đều (d
1
) và (d
2
).
Bài 8: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng
(P):6x-3y+2z-11=0.
b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc
với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P):

x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).
Bài 9: (ĐH Huế-96):
Trong không gian với hệ toạ 0xyz, cho bốn
điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng
đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD.
Bài10: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1),
S(0;5;8)
a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.
b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên
mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là
giao điểm của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định
toạ dộ của K.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD.
d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lượt là điểm giữa
của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB
sao cho PQ và KM cắt nhau.
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho
bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc
của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b) (HVKTQS-98): Viết phương trình tham số
đường thẳng vuông góc chung của AC và BD.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-

1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tham
số của đường thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm
toạ độ của điểm H.
b) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tổng
quát của (BCD) .Tìm khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (BCD).
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD.
Bài 13: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết
toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-
1;4), D(3;1;0).
a) Lập phương trình các mặt của hình chóp.
b) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình
chóp .
c) Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 14: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-
1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện
bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ
diện.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp
tứ diện ABCD.