Giáo án đại số 12: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ppt

Trường THPT Lai Vung 2
1

Giáo án đại số 12: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
(Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT)


A) Tóm tắt kiến thức cơ bản:
Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các
kiến thức sau :
1) Bảng các nguyên hàm:
Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm
của những
hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của
những hàm số hợp
đơn giản
Nguyên hàm
của những hàm
số hợp
Trường THPT Lai Vung 2
2
Cxdx 


 
1
1

1









C
x
dxx

 
0ln 

xCx
x
dx

Cedxe
xx





10
ln



aC
a
a
dxa
x
x

Cxxdx 

sincos
Cxxdx 

cossin
Cxdx
x


tan
cos
1
2

Cxdx
x


cot
sin

1
2


tan ln cos
xdx x c
  


cot ln sin
xdx x c
 





kdx kx C
 


 


 
1
1
1
1











C
bax
a
dxbax
 
0ln
1



xCbax
a
b
ax
dx

Ce
a
dxe
baxbax




1



   
Cbax
a
dxbax 

sin
1
cos
   
Cbax
a
dxbax 

cos
1
sin
 
 
Cbax
a
dx
bax




tan
1
cos
1
2

 
 
Cbax
a
dx
bax



cot
1
sin
1
2

Cudu 


 
1
1
1










C
u
duu
 
0ln 

uCu
u
du

Cedue
uu



 
10
ln


aC
a

a
dxa
u
u
Cuudu 

sincos
Cuudu 

cossin
Cudu
u


tan
cos
1
2

Cudu
u


cot
sin
1
2

Trường THPT Lai Vung 2
3

2) Các tính chất tích phân:
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]

( ) 0
a
a
f x dx


;
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
 
 

 . ( )
b
a
k f x dx


( )
b
a
k f x dx


( k là hằng số)

[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
  
  

Trường THPT Lai Vung 2
4

( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f c dx f x dx
 
  
( với a < c < b )
3) Các công thức lượng giác:
a) Công thức nhân đôi:
* sin2a = 2sina.cosa
* cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2

a
b) Công thức hạ bậc:
* sin
2
a =
1 cos2
2
a


* cos
2
a =
1 cos2
2
a


c) Công thức biến đổi tích thành tổng:
*
 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
   
*
 
1
sin .cos sin( ) sin( )

2
a b a b a b
   
*
 
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
    
4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:
Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :
*
1
n
n
a a

và
m
n m
n
a a


Trường THPT Lai Vung 2
5
*
. .
n n n

a b a b
 ;
n
n
n
a a
b
b

* a
0
= 1; a
1
= a ; a
-n
=
1
n
a

*
.
a a a
   


;
a
a
a


 




*
 
. .
a b a b

 

;
a a
b b



 

 
 

*


.
a a


  


5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
* a
2
– b
2
= (a+b)(a – b)
*
 
2
2 2
2
a b a ab b
   

*
3 3 2 2
( )( . )
a b a b a a b b
   m
*
 
3
3 2 2 3
3 3
a b a a b ab b
    

B) Ví dụ và bài tập:
I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các
tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp
từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý
Trường THPT Lai Vung 2
6
rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ
sau:
Ví dụ 1: Tính các tích phân
a) I
1
=
1
3
0
(3 1)
x dx



b) I
2
=
2
2
0
x
e dx
 



c) I
3
=
0
1
3
2 1
dx
x

 


Giải:
a) I
1
=
1
3
0
(3 1)
x dx


=
 
1
4

4
4
0
1 (3 1) 1 5
. 3 1 ( 1)
3 4 12 4
x 
 
    
 

Vậy: I
1
=
5
4

b) I
2
=
2
2
0
x
e dx
 

=
2
2

0
1
1
x
e
 

= – ( e
– 2+2
– e
2
) = e
2
–1
Vậy: I
2
= e
2
–1
c) I
3
=
0
1
3
2 1
dx
x

 


=
0
1
1
3. ln 2 1
2
x

 

=
3
(ln1 ln3)
2
 
Vậy: I
3
=
3
ln3
2

Ví dụ 2: Tính các tích phân
Trường THPT Lai Vung 2
7
a) J
1
=
 

2
2
2
0
1
x dx



b) J
2
=
1
0
2 3
2
x
dx
x




c) J
3
=
8
6
6
1

2
x x
dx
x



Giải:
a) Ta có: (x
2
+ 1)
2
= (x
2
)
2
+2.x
2
.1 + 1
2
= x
4
+ 2x
2
+ 1
suy ra J
1
=
 
2

2
2
0
1
x dx


=
2
4 2
0
( 2 1)
x x dx
 

=
2
5 3
0
2
5 3
x x
x
 
 
 
 
=
206
15

Vậy: J
1
=
206
15

b) Ta có :
2 3 1
2 7.
2 2
x
x x

  
 

suy ra J
2
=
1
0
2 3
2
x
dx
x




=
 
1
1
0
0
1
( 2 7. ) 2 7ln 2
2
dx x x
x
     


= (–2 –7ln1) – (0 –
7ln2) = 7ln2 – 2
Vậy: J
2
= 7ln2 – 2
c)
1/2 1/6
6
1/2 1/6 1/3
1/6
6
2 2
2 2
x x x x
x x
x

x

 
    

suy ra J
3
=
 
8
8
1/3 4/3
1
1
3
2 2
4
x dx x x
 
  
 
 

=
4/3
3 3
8 2 8 ( 2)
4 4
 
   

 
 
=
101
4
= 25,25
Vậy: J
3
=
101
4

Trường THPT Lai Vung 2
8
Ví dụ 3: Tính các tích phân
a) K
1
=
4
0
sin3 .cos
x xdx



b) K
2
=
8
2

0
cos 2
xdx



c) K
3
=
1
2 1
0
1
x
e dx




Giải:
a) Ta có: sin3x.cosx =
 
1
sin4 sin2
2
x x

suy ra K
1
=

1
2
4
0
(sin4 sin2 )
x x dx

 

4
0
1 1 1
cos4 cos2
2 4 2
x x

 
 
 
 
=
1
2

Vậy: K
1
=
1
2

b) K
2
=
8
2
0
cos 2
xdx



Ta có: cos
2
2x =
1 cos4
2
x


suy ra K
2
=
1
2
8
0
(1 cos4 )
x dx

 


8
0
1 1
sin 4
2 4
x x

 

 
 
=
1
2
 
1 4
sin 0
8 4 8
 
 
 
 
 
 
 
 
=
1 1
2 8 4


 

 
 

Vậy: K
2
=
1
1
8 2

 

 
 

c) K
3
=
1
2 1
0
1
x
e dx




Trường THPT Lai Vung 2
9
Ta có : e
2x–1
– 1 = 0

e
2x–1
= 1 = e
0


2x – 1 = 0

x =
1
2


0;1

Suy ra K
3
=
1
1
2
2 1 2 1
1

0
2
( 1) ( 1)
x x
e dx e dx
 
  
 
=
1
1
2
2 1 2 1
1
0
2
1 1
2 2
x x
e x e x
 
   
  
   
   

=
0 1
1 1 1
0

2 2 2
e e

   
  
   
   
+
0
1 1 1
1
2 2 2
e e
   
  
   
   
=
1
1
2
e

 +
1
1
2
e
 


 
 


Vậy K
3
=
1
1 1
1
2 2
e e

 


 Các bài tập tự luyện:
Tính các tích phân:
1) L =


1
0
24
)23( dxxx
KQ: L =
5
6

2) I =



4
6
2
3
sin
sin1


dx
x
x
KQ: I =
2
223 

3) J =
dx
x
x



1
0
34
2
KQ: J =
9

4ln103



4) K =
dx
x
xx


2
1
2
23
52
KQ: K = – 2
5) M =

12
0
5sin.7sin

xdxx
KQ: M =
8
1

Trường THPT Lai Vung 2
10
6) N =

4
1
2
x dx


KQ: N =
5
2

7) P =
3
2
0
sin 3
xdx


KQ: P =
6


8) Q =
4
2
0
tan
xdx



KQ: 1
4



9) R =
/4
2 2
/6
sin .cos
dx
x x



KQ:
2 3
3

II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I =
( )
b
a
f x dx


1) Loại 1: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt
+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm
hai cận mới.

+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi
tính.

Ví dụ 4: Tính tích phân
a) I
1
=
2
2
0
4
x dx



Trường THPT Lai Vung 2
11
b) I
2
=
3
2
0
1
9
dx
x


Giải:

a) I
1
=
2
2
0
4
x dx



+ Đặt x = 2sint , t
;
2 2
 
 
 
 
 
(u(t) = 2sint)

dx = 2costdt
+ Cận mới:
x= 0

2sint = 0

sint = 0

t = 0

x = 2

2sint = 2

sint = 1

t =
2


+ I
1
=
2
2
0
4
x dx


=
2
2
0
4 4sin .2cot
t dt



= 4

2
2
0
1 sin .cot
t dt



=
4
2
2
0
cos .cost
t dt


=4
2
2
0
cos
tdt



I
1
= 2
2

0
(1 cos2 )
t dt



= 2
2
0
1
sin2
2
t t

 

 
 
=


Vậy I
1
=


Chú ý:
+ Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh chỉ thu
được kết quả gần đúng của số


là 3,141592654.
Trường THPT Lai Vung 2
12
+ Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK
Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính
2 2
0
a
a x dx


, đặt
x = asint , t
;
2 2
 
 
 
 
 
(u(t) = asint)

dx = acostdt rồi thực hiện
các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ.

b) I
2
=
3
2

0
1
9
dx
x


+ Đặt x = 3tant, t
;
2 2
 
 
 
 
 

dx = 3(1 +tan
2
t)dt
+ Cận mới:
x = 0

3tant = 0

tant = 0

t = 0
x = 3

3tant = 3


tant = 1

t =
4


+ I
2
=
3
2
0
1
9
dx
x

=
2
4
2
0
3(1 tan )
9 9tan
t
dt
t





=
2
4
2
0
3(1 tan )
9(1 tan )
t
dt
t




=
1
3
4
0
dt


=
1
3
4
0
t


=
1
3
.
4


Vậy I
2
=
12



Chú ý:
Trường THPT Lai Vung 2
13
Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích
12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính
2 2
0
1
a
dx
a x

, đặt x = a.tant ,
t
;

2 2
 
 
 
 
 

dx = a(1 + tan
2
t)dt thực hiện các bước tiếp tương tự.

2) Loại 2: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx
+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là

và

thì

=u(a)


= u(b) .
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi
tính.

Ví dụ 5: Tính các tích phân
a) J
1
=

2
2
1
x
xe dx


b) J
2
=
1
1 ln
e
x
dx
x



c) J
3
=
1
3 4 5
0
( 1)
x x dx



Trường THPT Lai Vung 2
14
d) J
4
=
2
2
0
4 .
x xdx



e) J
5
=
/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx
x




Giải:
a) J

1
=
2
2
1
x
xe dx


+ Đặt u = x
2


du = 2xdx

xdx =
1
2
du
+ Đổi cận: x = 1

u = 1
2
= 1; x = 2

u = 2
2
= 4 (

= 1,


=
4)
+ J
1
=
2
2
1
x
xe dx

=
4
1
1
2
u
e du

=
1
2
4
1
u
e
=
1
2

( e
4
– e
1
) =
1
2
( e
4
– e)
+ Vậy J
1
=
1
2
( e
4
– e)
b) J
2
=
1
1 ln
e
x
dx
x



+ Đặt u =
1 ln
x


u
2
= 1 + lnx

2udu =
1
x
dx
+ Đổi cận: x = 1

u =
1 ln1

= 1; x = e

u =
1 ln
e
 =
2

+ J
2
=
1

1 ln
e
x
dx
x


=
2
1
u.2
udu

=
2
3
2
3
1
u =
2
3
3 3
( 2) 1

) =
2
(2 2 1)
3


+ Vậy J
2
=
2
(2 2 1)
3


Trường THPT Lai Vung 2
15
Ghi nhớ:
 Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnx

du =
1
x
dx
 ln1 = 0 và lne = 1

c) J
3
=
1
3 4 5
0
( 1)
x x dx



+ Đặt u = x
4
– 1

du = 4x
3
dx

x
3
dx =
1
4
du
+ Đổi cận: x = 0

u = 0 – 1 = –1; x = 1

u = 1
4
– 1 = 0
+ J
3
=
1
3 4 5
0
( 1)
x x dx



=
0
5
1
1
4
u du


=
1
4
0
6
1
6
u

=
1
24

+ Vậy J
3
=
1
24


d) J
4
=
2
2
0
4 .
x xdx



+ Đặt u =
2
4
x


u
2
= 4 – x
2


2udu = – 2xdx

xdx = –udu
+ Đổi cận: x = 0

u =
2

4 0

= 2; x = 2

u =
2
4 2

= 0
+ J
4
=
2
2
0
4 .
x xdx


=
0
2
u.( )
u du


=
0
2
2

u
du


=
1
3
2
3
0
u
=
8
3

+ Vậy J
4
=
8
3

Trường THPT Lai Vung 2
16
e) J
5
=
/2
4
0
cos

(1 sin )
x
dx
x




+ Đặt u = 1 + sinx

du = cosxdx
+ Đổi cận: x = 0

u = 1 +sin0 = 1; x =
2


u = 1 + sin
2

= 2
+ J
5
=
/2
4
0
cos
(1 sin )
x

dx
x



=
2
4
1
du
u

=
2
4
1
u du


=
1
3

2
3
1
u

=
7

24

+ Vậy J
5
=
7
24



 Các bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
a) I =
dxxx


6
0
cos.sin41

KQ: I =
6
133 

b) J =
dxxx


2
0

23 3
.8
KQ: J = –4
c) K =
dxxe
x


1
0

2
KQ: K =
e
e
2
1


d) L =


e
x
dxx
1
)ln3(
KQ: L =
8
13

Trường THPT Lai Vung 2
17
e) M =


21
0
2
7 x
dx
KQ: M =
73


g) N =


1
0
2
x
x
e
dxe
KQ: N = ln
3
2 e


h) P =
1
2010
0
( 1)
x x dx


KQ: P =
1
4046132

2) Tính các tích phân:
a) I
1
=
2
0
(2sin 3)cos
x xdx



KQ: 4
b) J
1
=
2
2
1

3
x x dx


KQ:
7 7 8
3


c) P =
1
2
0
4 2
1
x
dx
x x

 

KQ: 2ln3
d) Q=
2
4
2
0
5 tan
cos
x

dx
x



KQ: 16/3
e) L
1
=
2
1
1 3ln
ln
e
x
xdx
x


KQ: 116/135
g) N
1
=
2
1
1
x
x
e
dx

e 

KQ: ln(e+1)

III) Phương pháp tích phân từng phần:

Trường THPT Lai Vung 2
18
 Công thức:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
 
 

 Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính
( ). ( )
b
a
I P x Q x dx



Dạng
hàm


P(x): Đa

thức
Q(x):
sinkx
hay coskx

P(x): Đa
thức
Q(x):e
kx
P(x): Đa thức

Q(x):ln(ax+b)

P(x): Đa thức

Q(x):
2
1
sin
x
hay
2
1
cos
x

Cách
đặt
* u = P(x)
* dv là

Phần còn
lại của
biểu thức
dưới dấu
tích phân
* u = P(x)
* dv là
Phần còn
lại của
biểu thức
dưới dấu
tích phân
* u = ln(ax +
b)
* dv = P(x)dx
* u = P(x)
* dv là Phần
còn lại của
biểu thức dưới
dấu tích phân
Ví dụ 6: Tính các tích phân
a) I
1
=
/4
0
2 cos2
x xdx



b) I
2
=
1
2
0
( 1)
x
x e dx



Trường THPT Lai Vung 2
19
c) I
3
=
3
2
2 ln( 1)
x x dx



Giải:
a) I
1
=
/4

0
2 cos2
x xdx



 Đặt: u = 2x

du = 2dx;
dv = cos2xdx

v =
1
2
sin2x
 I
1
=
/4
0
2 cos2
x xdx


=
/4
0
.sin2
x x


–
/4
0
sin 2
xdx


=
/4
0
1
sin 0 cos2
4 2 2
x

 
 
=
1
(cos cos0)
4 2 2
 
  =
1
4 2



Vậy: I
1

=
1
4 2



b) I
2
=
1
2
0
( 1)
x
x e dx



 Đặt: u = x +1

du = dx;
dv = e
2x
dx

v =
1
2
e
2x

 I
2
=
1
2
0
( 1)
x
x e dx


=
1
2
0
1
( 1)
2
x
x e

–
1
2
0
1
2
x
e dx


=
1
2 0 2
0
1 1
[(1 1) (0 1) ]
2 4
x
e e e
   
=
2 2
1 1
(2 1) ( 1)
2 4
e e
  
=
2
3 1
4
e


Vậy: I
2
=
2
3 1
4

e


Trường THPT Lai Vung 2
20
c) I
3
=
3
2
2 ln( 1)
x x dx



 Đặt: u = ln(x – 1)

du =
1
1
x

dx;
dv = 2xdx

v = x
2

 I
3

=
3
2
2 ln( 1)
x x dx


=
3
2
2
ln( 1)
x x 
–
3
2
2
1
x
dx
x 

= 9ln2 – 0 –
3
2
1
( 1 )
1
x dx
x

 



= 9ln2 –
3
2
2
( ln 1)
2
x
x x   = 8ln2 –
7
2

Vậy: I
3
= 8ln2 –
7
2

 Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu
Đặt: u = ln(x – 1)

du =
1
1
x

dx;

dv = 2xdx

v = x
2
– 1 = ( x + 1)( x – 1)
Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm
thích hợp của 2x. Như đã biết
2
2
xdx x c
 

, trong đa số các trường
hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0. Trong bài tích
phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp hơn.
Ví dụ 7: Tính các tích phân
a) J
1
=

4
0
2
cos

x
xdx

Trường THPT Lai Vung 2
21

b) J
2
=
2
2
1
ln
xdx
x


Giải:
a) J
1
=

4
0
2
cos

x
xdx

 Đặt: u = x

du = dx;
dv =
2
1

cos
dx
x


v = tanx
 J
1
=

4
0
2
cos

x
xdx
=
/4
0
.tan
x x

–
/4
0
tan
xdx



=
/4
0
tan 0 ln cos
4 4
x

 
  =
2
ln
4 2

 =
ln 2
4


Vậy: J
1
=
ln 2
4


Ghi chú: Nếu học sinh không nhớ nguyên hàm tan ln cos
xdx x c
  


thì có thể biến đổi tanx =
sin
cos
x
x
rồi đặt u = cosx (đổi biến loại
2).
b) J
2
=
2
2
1
ln
xdx
x


 Đặt: u = lnx

du =
1
x
dx
Trường THPT Lai Vung 2
22
dv =
2
1
dx

x
dx

v =
1
x

(HD:
2
2
1
x
x


nên có 1 nguyên
hàm là
1
1
1
x
x

 

)
 J
2
=
2

2
1
ln
xdx
x

=
2
1
1
ln
x
x

+
2
2
1
1
dx
x

=
2
1
1 1
ln 2 ln1
2
x
  

=
1 1
ln 2 ( 1)
2 2
  
=
1
(1 ln 2)
2

Vậy: J
2
=
1
(1 ln 2)
2

 Các bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
a) I
1
=
1
1
( 3)
x
x e dx




KQ: I =
2
3 1
e
e


b) I
2
=


e
xdxx
1
ln)21(
KQ:
2
1
2
e

c) I
3
=

4
0
2
cos


x
xdx
KQ: M =
4

– ln
2

d) I
4
=
2
1
2ln
e
x
dx
x

KQ: N = 2(1 –
e
2
)

2) Tính các tích phân:
a) K
1
=
2

0
.cos .sin
x x xdx


KQ:
8


Trường THPT Lai Vung 2
23
b) K
2
=
2
3
1
ln
x
dx
x

KQ:
3 1
ln 2
16 8

c) K
3
=


1
0
dxe
x
KQ: J = 2
d) K
4
=
2
1
ln
e
x xdx

KQ:
3
2 1
9
e


IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể
tích:
1) Diện tích hình phẳng:
Cơ sở lí thuyết:
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y
= f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính
bởi: S =
( )

b
a
f x dx

(1).
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y
= f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính bởi: S =
( ) ( )
b
a
f x g x dx


(2).
Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm
số y = x
2
– 1; y = 0; x = 0; x = 2.
Giải:
Trường THPT Lai Vung 2
24
 Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S =
( )
b
a
f x dx


thì S =
2

2
0
1
x dx



 Phương trình: x
2
-1= 0

x =

1 , nghiệm x = 1

[0;2]
 Vậy S =
1
2
0
( 1)
x dx


+
2
2
1
( 1)
x dx



=
1
3
0
( )
3
x
x
 +
2
3
1
( )
3
x
x
 = 2 (đvdt)
Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm
số y = 2 – x
2
và y = x.
Giải:
 Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x
2

= x

x

2
+ x –
2 = 0

x = 1 và x = -2
 Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S =
( ) ( )
b
a
f x g x dx


thì S =
1
2
2
2
x x dx

 


 Vậy S =
1
2
2
2
x x dx

 


=
1
2
2
( 2)
x x dx

 

=
1
3 2
2
2
3 2
x x
x

  =
9
2
(đvdt)
* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu
hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b].
2) Thể tích vật thể tròn xoay:
Cơ sở lí thuyết:
Trường THPT Lai Vung 2
25
Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y =

f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính
bởi: V =
2
( )
b
a
f x dx


(3)
Ví dụ 10:
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x
2
và y = 0.
Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó
khi nó quay quanh trục Ox.
Giải:
 Phương trình 2x – x
2
= 0

x = 0 và x = 2
 Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V =
2
( )
b
a
f x dx



Ta có V =
2 0
2 2 2 3 4
0 0
(2 ) (4 4 )
x x dx x x x dx
 
   
 
=
5
2
3 4
0
4
( )
3 5
x
x x

  =
16
15

(đvtt)
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x
2
và y = x
3

.
Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó
khi nó quay quanh trục Ox.
Giải:
 Phương trình – x
2
= x
3


x = 0 và x = –1