TOÁN 12: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - NGUYỄN HỒNG ĐIỆP

Nguyễn Hồng Điệp
Tích phân và ứng dụng
𝑧 = 0.8
𝐴
𝐵
𝐶
𝑎
𝑢𝑣
𝐹
16 tháng 01, 2014
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
2
nd
−L
A
T
E
X−2014
01
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Copyright
c
○ 2014 by Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Lời nói đầu
Đôi khi người ta tung đồng xu không phải để xem mặt
sấp hay ngửa, cái quan trọng là biết ta đang đợi mặt nào.
Các em học sinh cuối cấp đang đứng trước bước ngoặt cuộc
đời. Chúc các em có kết quả thi tốt nhất và chọn đúng

ngành mình yêu thích. Những năm gần đây 1, 0 điểm phần
Tích phân trong đề thi tuyển sinh không còn là vấn đề quá
khó khăn. Hy vọng tài liệu nhỏ này có thể có ích cho một ai
đó.
Tài liệu này cũng không có gì quá đặc biệt, chỉ là tổng
hợp lại các kiến thức từ nhiều nguồn khác nhau. Tất cả các
hình vẽ đều thực hiện bằng L
A
T
E
X để được mịn màng trong
từng đường nét. Đây là sản phẩm mang tính cá nhân nên
bất kì sự sai sót nào đều là do người soạn. Bản thân người
soạn cũng cảm thấy đôi chổ chưa hoàn chỉnh nhưng do kinh
nghiệm chưa nhiều nên mong sự đóng góp của mọi người
qua địa chỉ
Thị trấn Vĩnh Bình, Lễ hội Kỳ Yên năm Quý Tỵ
— Nguyễn Hồng Điệp.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Mục lục
1 Tích phân 7
1.1 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng . . . . . . . . . 7
1.1.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Phương pháp phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max . . . . . . . . . . 12
1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Dạng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau . . . . . . . 20
1.4.3 Dạng phân thức
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.4 Dạng biểu thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.5 Biểu thức có logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Đổi biến sang lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.3 Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.4 Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.5 Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6 Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.1 Tích phân chứa nhị thức . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.2 Tích phân chứa tam thức . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.3 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7.1 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7.2 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7.3 Các trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . 47
5
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Mục lục Mục lục
1.7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác 58
1.7.5 Dùng hàm phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.8 Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.8.1 Biểu thức có tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . 67
1.8.2 Phép thế Eurle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.8.3 Dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.9 Tính tính phân bằng tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.9.1 Tích phân có cận đối nhau . . . . . . . . . . . . . 79
1.9.2 Tích phân có cận là radian . . . . . . . . . . . . . 88
1.10 Phương pháp tính tích phân từng phần . . . . . . . . . . 95
1.10.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.10.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.10.3 Phương pháp hằng số bất định . . . . . . . . . . 103
1.11 Các bài toán đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2 Ứng dụng của Tích phân 111
2.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.1.1 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.2.1 Hình phẳng quay quanh Ox . . . . . . . . . . . . 116
2.2.2 Hình phẳng quay quanh Oy - Nâng cao . . . . . . 118
3 Bài tập tổng hợp 121
3.1 Các đề thi tuyển sinh 2002-2013 . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chương 1
Tích phân
1.1 Các công thức
1.1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng

0𝑑𝑥 = 𝐶


𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

𝑥
𝛼
𝑑𝑥 =
𝑥
𝛼+1
𝛼+1
+ 𝐶

(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝛼
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑥
𝛼+1
𝛼+1
+ 𝐶

1
𝑥
𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶

1
𝑎𝑥+𝑏
𝑑𝑥 =
1
𝑎

ln |𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶

𝑒
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒
𝑥
+ 𝐶

𝑒
𝑎𝑥+𝑏
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑒
𝑎𝑥+𝑏
+ 𝐶

𝑎
𝑥
𝑑𝑥 =
𝑎
𝑥
ln 𝑎
+ 𝐶

𝑢
′
𝑎
𝑢
𝑑𝑥 =

𝑎
𝑢
𝑙𝑛𝑎
+ 𝑐

cos 𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

cos(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =
1
𝑎
sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶

sin 𝑥𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶

sin(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = −
1
𝑎
cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶)

1
cos
2
𝑥
𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶

1
cos
2
𝑎𝑥
𝑑𝑥 = tan(𝑎𝑥) + 𝐶


1
sin
2
𝑥
𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶

1
sin
2
𝑎𝑥
𝑑𝑥 = −cot(𝑎𝑥) + 𝐶
7
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.1. Các công thức Chương 1. Tích phân
1.1.2 Tích phân xác định
1.2.1 Định nghĩa
Cho 𝑦 = 𝑓(𝑥) là một hàm số liên tục trên [𝑎, 𝑏] và 𝑦 = 𝐹 (𝑥) là một
nguyên hàm của nó. Tích phân xác định từ 𝑎 đến 𝑏 được định nghĩa và
kí hiệu như sau:
𝑏

𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎)
1.2.2 Tính chất
∙
0

0

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
∙
𝑏

𝑎
𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘
𝑏

𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∙
𝑏

𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −
𝑎

𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∙
𝑏

𝑎
[𝑓(𝑥) ±𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 =
𝑏

𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ±
𝑏


𝑎
𝑔(𝑥)𝑑𝑥
∙
𝑏

𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑐

𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +
𝑏

𝑐
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∙ Nếu 𝑓(𝑥) ≥ 0 trên [𝑎; 𝑏] thì
𝑏

𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0
8
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.2. Phương pháp phân tích Chương 1. Tích phân
∙ Nếu 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) trên [𝑎; 𝑏] thì
𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥
𝑏

𝑎
𝑔(𝑥)𝑑𝑥
1.2 Phương pháp phân tích
Ví dụ 1.2.1. Tính các tích phân sau:
(a) 𝐼
1
=
2

1
𝑥
2
− 2𝑥
𝑥
3
𝑑𝑥 (b) 𝐼
2
=
3

1
(𝑥
2
− 1)
2
𝑥
𝑑𝑥

(c) 𝐼
3
=
1

0
𝑒
𝑥
+ 1
𝑒
2𝑥
𝑑𝑥 (d) 𝐼
4
=
1

0

√
𝑒
𝑥
− 1

2
𝑑𝑥
(e) 𝐼
5
=
2


0
6𝑥 − 3
𝑥
2
− 𝑥 + 5
𝑑𝑥
Giải
(a) Ta có: 𝐼
1
=
2

1

1
𝑥
−
2
𝑥
2

𝑑𝑥 =

ln |𝑥| +
2
𝑥

⃒
⃒
⃒

⃒
2
1
= ln 2 − 1.
(b) Ta có: 𝐼
2
=
3

1
𝑥
4
+ 2𝑥
2
+ 1
𝑥
𝑑𝑥 =
3

1

𝑥
3
+ 2𝑥 +
1
𝑥

𝑑𝑥
=


1
4
𝑥
4
+ 𝑥
2
+ ln |𝑥|

⃒
⃒
⃒
⃒
3
1
= 28 + ln 3.
(c) Ta có: 𝐼
3
=
1

0

1
𝑒
𝑥
+
1
𝑒
2𝑥


𝑑𝑥 =
1

0

𝑒
−𝑥
+ 𝑒
−2𝑥

𝑑𝑥
=

−𝑒
−𝑥
−
1
2
𝑒
−2𝑥

⃒
⃒
⃒
⃒
1
0
=
3
2

−
1
𝑒
−
1
2𝑒
2
.
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 9
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.2. Phương pháp phân tích Chương 1. Tích phân
(d) Ta có: 𝐼
4
=
1

0

𝑒
𝑥
− 2
√
𝑒
𝑥
+ 1

𝑑𝑥 =
1


0

𝑒
𝑥
− 2𝑒
𝑥
2
+ 1

𝑑𝑥
=

𝑒
𝑥
− 4𝑒
𝑥
2
+ 𝑥

⃒
⃒
1
0
= 𝑒 − 4
√
𝑒 + 4.
(e) Ta có: 𝐼
5
= 3

2

0
2𝑥 − 1
𝑥
2
− 𝑥 + 5
𝑑𝑥 = 3

ln |𝑥
2
− 𝑥 + 5|

⃒
⃒
2
0
(dạng

𝑢
′
𝑢
𝑑𝑥)
= 3 ln
7
5
Ví dụ 1.2.2. Tính các tích phân sau:
(a) 𝐼
1
=

1

0
𝑥(1 − 𝑥)
2004
𝑑𝑥 (b)𝐼
2
=
1

0
1
√
𝑥 − 2 −
√
𝑥 − 3
𝑑𝑥
Giải
(a) Ta có: 𝐼
1
=
1

0
[(𝑥 − 1) + 1](𝑥 −1)
2004
𝑑𝑥
=
1


0
[(𝑥 − 1)
2005
+ (𝑥 − 1)
2004
] 𝑑𝑥
=
1

0
(𝑥 − 1)
2005
𝑑𝑥 +
1

0
(𝑥 − 1)
2004
𝑑𝑥
=

(𝑥 − 1)
2006
2006
−
(𝑥 − 1)
2005
2005

⃒

⃒
⃒
⃒
1
0
= −
1
4022030
.
(b) Nhận xét: khi trục căn thức ta sẽ triệt tiêu được 𝑥 ở mẫu.
Ta có: 𝐼
2
=
1

0

√
𝑥 − 1 −
√
𝑥

𝑑𝑥 =
2
3

(𝑥 + 1)
3
2
− 𝑥

3
2

⃒
⃒
⃒
4
3
=
4
3
(
√
2 − 1)
10
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.2. Phương pháp phân tích Chương 1. Tích phân
Bài toán tương tự
1.
4

3
1
√
𝑥 + 2 −
√
𝑥 − 3

𝑑𝑥. Đáp số:
2
15
(6
√
6 − 5
√
5 + 1).
2.
𝜋
2

−
𝜋
2
sin 7𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥. Đáp số:
4
45
.
3.
𝜋
2

𝜋
6
1 + sin 2𝑥 + cos 2𝑥
sin 𝑥 + cos 𝑥
𝑑𝑥. Đáp số: 1.
4.
𝜋

4

0
sin
2

𝜋
4
− 𝑥

𝑑𝑥. Đáp số:
𝜋−2
8
.
5.
𝜋
2

0
sin
4
𝑥 𝑑𝑥. Đáp số:
3𝜋
16
6.
𝜋
4

0
tan

2
𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: 1 −
𝜋
4
.
7.
𝜋
2

0
tan
3
𝑥 𝑑𝑥. Đáp số:
3
2
− ln 2.
8.
16

0
1
√
𝑥 + 9 −
√
𝑥
𝑑𝑥. Đáp số: 12.
9.
5

2

1
√
𝑥 + 2 +
√
𝑥 − 2
𝑑𝑥. Đáp số:
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 11
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.3. Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max Chương 1. Tích phân
10.
1

0

𝑒
2𝑥
+
3
𝑥 + 1

𝑑𝑥. Đáp số:
𝑒
2
2
+ 3 ln 2 −
1
2
11.

1

0
𝑥
𝑥 +
√
𝑥
2
+ 1
𝑑𝑥. Đáp số: −
2
3
+
2
3
√
2
1.3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max
1. Tính 𝐼 =
𝑏

𝑎
|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 ta xét dấu 𝑓(𝑥) trên [𝑎, 𝑏] để khử dấu giá
trị tuyệt đối.
2. Tính 𝐼 =
𝑏

𝑎
max[𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥, 𝐼 =
𝑏


𝑎
min[𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 ta xét
dấu hàm ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) trên [𝑎, 𝑏] để tìm min[𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)],
max[𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)].
Ví dụ 1.3.1. Tính 𝐼 =
2

0
|𝑥
2
− 𝑥|𝑑𝑥
Giải
Cho 𝑥
2
− 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1
Bảng xét dấu
𝑥
𝑥
2
+ 𝑥
0 1 2
0
−
0
+
Khi đó: 𝐼 =
1

0

(−𝑥
2
+ 𝑥) 𝑑𝑥 +
2

1
(𝑥
2
− 𝑥) 𝑑𝑥 = 1
12
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.3. Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max Chương 1. Tích phân
Ví dụ 1.3.2. Tính 𝐼 =
2𝜋

0
√
1 + sin 𝑥 𝑑𝑥
Giải
Ta có: 𝐼 =
2𝜋

0
√
1 + sin 𝑥 𝑑𝑥 =
2𝜋


0


sin
𝑥
2
+ cos
𝑥
2

2
𝑑𝑥
=
2𝜋

0
⃒
⃒
⃒
sin
𝑥
2
+ cos
𝑥
2
⃒
⃒
⃒
𝑑𝑥
Cho sin

𝑥
2
+ cos
𝑥
2
= 0 ⇔ tan
𝑥
2
= −1 ⇔ 𝑥 = −
𝜋
2
+ 𝑘2𝜋
Do 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] ta có 𝑥 =
3𝜋
2
Bảng xét dấu
𝑥
sin
𝑥
2
+cos
𝑥
2
0
3𝜋
2
2𝜋
0
+
0

−
Khi đó: 𝐼 =
3𝜋
2

0

sin
𝑥
2
+ cos
𝑥
2

𝑑𝑥 +
2𝜋

3𝜋
2
−

sin
𝑥
2
+ cos
𝑥
2

𝑑𝑥
= 2


−cos
𝑥
2
+ sin
𝑥
2

⃒
⃒
⃒
3𝜋
2
0
+ 2

cos
𝑥
2
− sin
𝑥
2

⃒
⃒
⃒
2𝜋
3𝜋
2
= 4 ln 2.

Ví dụ 1.3.3. Tính 𝐼 =
2

−1
(|𝑥| − |𝑥 − 1|) 𝑑𝑥
Giải
Bảng xét dấu chung
𝑥
𝑥
𝑥 − 1
−1
0 1 2
−
0
+ +
− −
0
+
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 13
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.3. Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max Chương 1. Tích phân
Khi đó: 𝐼 =
0

−1
(−𝑥 + 𝑥 − 1) 𝑑𝑥+
1


0
(𝑥 + 𝑥 − 1) 𝑑𝑥+
2

1
(𝑥 − 𝑥 + 1) 𝑑𝑥
= −
0

−1
𝑑𝑥 +
1

0
(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 +
2

1
𝑑𝑥 = 0.
Ví dụ 1.3.4. Tính 𝐼 =
2

0
max{𝑥
2
, 3𝑥 + 2}𝑑𝑥
Giải
Xét hàm số ℎ(𝑥) = 𝑥
2
− 3𝑥 + 2 trên [0, 2]

Bảng xét dấu
𝑥
ℎ(𝑥)
0 1 2
0
+
0
−
Do đó:
∙ Với 𝑥 ∈ [0, 1] thì max[𝑥
2
, 3𝑥 + 2] = 𝑥
2
.
∙ Với 𝑥 ∈ [1, 2] thì max[𝑥
2
, 3𝑥 + 2] = 3𝑥 − 2.
Khi đó: 𝐼 =
1

0
𝑥
2
𝑑𝑥 +
2

1
(3𝑥 − 2) 𝑑𝑥 =
17
6

.
Bài toán tương tự
1.
2

−2
|𝑥
2
− 1|𝑑𝑥. Đáp số: 4
2.
2

−3
|𝑥
2
− 3𝑥 + 2|𝑑𝑥. Đáp số:
59
2
14
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.3. Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max Chương 1. Tích phân
3.
𝜋
2

0
√

5 − 4 cos
𝑥
−4 sin 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: 2
√
3 − 2 −
𝜋
6
4.
5

−5
(|𝑥 + 2| −|𝑥 −2|) 𝑑𝑥. Đáp số: 8
5.
1

−1
(|2𝑥 − 1| −|𝑥|) 𝑑𝑥. Đáp số:
3
2
6.
1

−1
|𝑥|
𝑥
4
− 𝑥
2
− 12
𝑑𝑥. Đáp số:

2
7
ln
3
4
7.
4

1
√
𝑥
2
− 6𝑥 + 9 𝑑𝑥. Đáp số:
5
2
8.
1

−1

4 − |𝑥|𝑑𝑥. Đáp số: 2 − (5 −
√
3)
9.
1

−1

|𝑥| − 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số:
2

√
2
3
10.
3

0
|2
𝑥
− 4|𝑑𝑥. Đáp số: 4 +
1
ln 2
.
11.
3

0
√
𝑥
3
− 2𝑥
2
+ 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số:
24+
√
3+8
15
.
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 15

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
12.
𝜋
2

−
𝜋
2
|sin 𝑥|𝑑𝑥. Đáp số: 2.
13.
𝜋

0
√
2 + 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: 4.
14.
𝜋

0
√
1 − sin 2𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: 2
√
2.
15.
2𝜋

0
√

1 + sin 𝑥 𝑑𝑥. Đáp số: 4
√
2.
16.
2

0
max(𝑥, 𝑥
2
) 𝑑𝑥. Đáp số:
55
6
.
17.
2

0
min(𝑥, 𝑥
3
) 𝑑𝑥. Đáp số:
4
3
.
18.
𝜋
2

0
min(sin 𝑥, cos 𝑥) 𝑑𝑥
1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản

Thông thường khi gặp:
∙ Một căn thức ta đặt t là căn thức.
∙ Một phân thức ta đặt t là mẫu thức.
∙ Một hàm số lấy lũy thừa ta đặt t là biểu thức lấy lũy
thừa.
∙ Một hàm số mũ ta đặt t là biểu thức ở trên mũ.
16
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
1.4.1 Dạng căn thức
Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng
𝑛

𝑓(𝑥) nói chung trong nhiều trường hợp ta đặt 𝑡 =
𝑛

𝑓(𝑥)
Ví dụ 1.4.1. Tính
1

0
𝑥
√
𝑥
2
+ 1 𝑑𝑥
Giải

Đặt 𝑡 =
√
𝑥
2
+ 1 ⇒ 𝑡
2
= 𝑥
2
+ 1 ⇒ 𝑥
2
= 𝑡
2
− 1 ⇒ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑑𝑡
Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 =
√
1 ⇒ 𝑡 =
√
2
Khi đó: 𝐼 =
1

0
√
𝑥
2
+ 1.𝑥 𝑑𝑥 =
√
2

1

𝑡.𝑡 𝑑𝑡
=
√
2

1
𝑡
2
𝑑𝑡 =
𝑡
3
3
⃒
⃒
⃒
⃒
√
2
0
=
1
3

2
√
2 − 1

Lưu ý: một số học sinh thường quên đổi sang cận mới theo 𝑡. Phép đổi
biến này xuất phát từ nhận xét đạo hàm trong căn (𝑥
2

+ 1)
′
= 𝑥 nên
ta triệt tiêu được 𝑥 ngoài dấu căn. Bài này ta còn có thể giải theo cách
khác như ở Ví dụ 1.5.7 trang 33.
Ví dụ 1.4.2. Tính 𝐼 =
√
3

0
𝑥
3
√
𝑥
2
+ 1 𝑑𝑥
Giải
Đặt 𝑡 =
√
𝑥
2
+ 1 ⇒ 𝑥
2
= 1 − 𝑡
2
⇒ 𝑥𝑑𝑥 = −𝑡𝑑𝑡
Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0 ; 𝑥 =
√
3 ⇒ 𝑡 = 2
Khi đó: 𝐼 =

√
3

0
𝑥
2
√
𝑥
2
+ 1.𝑥 𝑑𝑥 =
2

0
(1 − 𝑡)𝑡(−𝑡) 𝑑𝑥 =
2

0
(𝑡
3
− 𝑡
2
) 𝑑𝑥
=

𝑡
4
4
−
𝑡
3

3

⃒
⃒
⃒
⃒
2
0
=
4
3
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 17
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
Nhận xét: Trước khi đổi sang biến 𝑡 ta có bước phân tích làm xuất
hiện kết quả vi phân 𝑥𝑑𝑥 là 𝑥
3
𝑑𝑥 = 𝑥
2
.𝑥𝑑𝑥 và ta thấy cần chuyển 𝑥
2
theo biến 𝑡 thì phép đổi biến mới thành công.
Bài toán tương tự
1.
1

0
𝑥 − 1

√
3𝑥
2
− 6𝑥 + 7
𝑑𝑥.
Đáp số :
2−
√
7
3
2.
ln 𝑥

0
𝑒
2𝑥
√
1 + 𝑒
𝑥
𝑑𝑥.
Đáp số :
2
√
2
3
3.
5

1
2

𝑥
√
2𝑥 − 1 𝑑𝑥.
Đáp số :
144
5
4.
6

2
1
2𝑥 + 1 +
√
4𝑥 + 1
𝑑𝑥. Đáp số: ln
3
2
−
1
6
5.
𝜋
2

0
√
1 + 4 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥.
Ví dụ 1.4.3. Tính
√
3


1
3 − 2 ln 𝑥
𝑥
√
1 + 2 ln 𝑥
𝑑𝑥
Giải
Đặt 𝑡 =
√
1 + 2 ln 𝑥 ⇒ 𝑡
2
= 1 + 2 ln 𝑥 ⇒ 2 ln 𝑥 = 𝑡
2
− 1
⇒ 𝑡𝑑𝑡 =
1
𝑥
𝑑𝑥
Đổi cận: 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 =
√
2 ⇒ 𝑡 =
√
2
18
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân

Khi đó: 𝐼 =
√
3

1
3 − 2 ln 𝑥
√
1 + 2 ln 𝑥
·
1
𝑥
𝑑𝑥 =
√
2

1
(3 − 𝑡
2
+ 1)
𝑡
· 𝑡 𝑑𝑡
=
√
2

1
(4 − 𝑡
2
) 𝑑𝑡 =
10

√
2
3
−
11
3
Bài toán tương tự
1.
√
𝑒
3

1
3 − 2 ln 𝑥
𝑥
√
1 + 2 ln 𝑥
𝑑𝑥. Đáp số:
5
3
2.
𝑒

1
√
1 + 3 ln 𝑥 ·ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 (B-2004). Đáp số:
116
135

3.
𝑒
√
7

1
ln 𝑥
3

1 + ln
2
𝑥
𝑥
𝑑𝑥. Đáp số: ln
3
2
−
1
3
Ví dụ 1.4.4. Tính 𝐼 =
2
√
3

√
5
1
𝑥
√
4 + 𝑥

2
𝑑𝑥 (A-2003)
Giải
Đặt 𝑡 =
√
4 + 𝑥
2
⇒ 𝑥
2
= 𝑡
2
− 4 ⇒ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑑𝑡
Đổi cận: 𝑥 =
√
5 ⇒ 𝑡 = 3 ; 𝑥 = 2
√
3 ⇒ 𝑡 = 4
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 19
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
Khi đó: 𝐼 =
2
√
3

√
5
1

𝑥
√
4 + 𝑥
2
𝑑𝑥 =
2
√
3

√
5
1
𝑥
2
√
4 + 𝑥
2
· 𝑥 𝑑𝑥
=
4

3
1
(𝑡
2
− 4)𝑡
· 𝑡 𝑑𝑡 =
4

3

1
𝑡
2
− 4
· 𝑡 𝑑𝑡 =
4

3
1
𝑡
2
− 4
𝑑𝑡
=
4

3
1
(𝑡 − 2)(𝑡 + 2)
𝑑𝑡 =
1
4
4

3
1
𝑡 − 2
−
1
𝑡 + 2

𝑑𝑡
=
1
4
(ln |𝑡 − 2|−ln |𝑡 + 2|)|
4
3
=
1
4
· ln
5
3
Nhận xét: khi ta phân tích làm xuất hiện vi phân 𝑥𝑑𝑥 ta thấy hàm
ban đầu chưa có kết quả này do đó ta cần nhân tử và mẫu biểu thức
dưới dấu tích phân cho 𝑥. Sau đó ta cần chuyển 𝑥
2
theo biến 𝑡 thì phép
đổi biến mới thành công.
Bài toán tương tự
1.
ln 8

ln 3
1
√
1 + 𝑒
𝑥
𝑑𝑥. Đáp số: ln
3

2
2.
ln 2

0
√
𝑒
𝑥
− 1 𝑑𝑥
1.4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau
Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng

𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑐𝑥 + 𝑑

𝑚
𝑛
, . . . ,

𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑐𝑥 + 𝑑

𝑟
𝑠
ta đặt
𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑐𝑥 + 𝑑
= 𝑡
𝑘
với 𝑘 là

mẫu số chung nhỏ nhất của các số mũ
𝑚
𝑛
, . . . ,
𝑟
𝑠
.
Ví dụ 1.4.5. Tính 𝐼 =
63

0
1
3
√
𝑥 + 1 +
√
𝑥 + 1
𝑑𝑥
20
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
Giải
Đặt 𝑥 + 1 = 𝑡
6
⇒ 𝑥 = 𝑡
6
− 1 ⇒ 𝑑𝑥 = 6𝑡

5
𝑑𝑡
Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 = 63 ⇒ 𝑡 = 2
Khi đó: 𝐼 =
2

1
6𝑡
5
𝑡
3
+ 𝑡
2
𝑑𝑡 = 6
2

1
𝑡
3
𝑡 + 1
𝑑𝑡
=
2

1

𝑡
2
− 𝑡 + 1 −
1

𝑡 + 1

𝑑𝑡 = 11 + 6 ln
2
3
Nhận xét: do
3
√
𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)
1
3
,
√
𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)
1
2
và mẫu số chung
của các số mũ
1
3
,
1
2
là 6 nên ta đổi biến 𝑥 + 1 = 𝑡
6
.
Bài toán tương tự
1.
729


64
1
3
√
𝑥 −
√
𝑥
𝑑𝑥
2.
3

2
3

𝑥 − 1
𝑥 + 1
·
1
𝑥 + 1
𝑑𝑥.
Hướng dẫn: đặt
𝑥+1
𝑥−1
= 𝑡
3
và kết hợp phương pháp giải mục 1.5.3
trang 32.
1.4.3 Dạng phân thức
1
Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng

𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
nói chung trong nhiều trường hợp ta đặt 𝑡 = 𝑔(𝑥).
Ví dụ 1.4.6. Tính 𝐼 =
4

0
√
2𝑥 + 1
1 +
√
2𝑥 + 1
𝑑𝑥
1
Phương pháp giải tổng quát xem mục 1.6 trang 37
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 21
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
Giải
Đặt 𝑡 = 1 +
√
2𝑥 + 1 ⇒ 𝑡 − 1 =
√
2𝑥 + 1
⇒ 2𝑥 + 1 = (𝑡 − 1)
2
⇒ 𝑑𝑥 = (𝑡 − 1)𝑑𝑡
Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 2 ; 𝑥 = 4 ⇒ 𝑡 = 4

Khi đó: 𝐼 =
4

2
𝑡 − 1
𝑡
· (𝑡 − 1) 𝑑𝑡 =
4

2
(𝑡 − 1)
2
𝑡
𝑑𝑡
=
4

2
𝑡 − 2 +
1
𝑡
𝑑𝑡 = 2 + ln 2
Nhận xét: bài này ta có thể đổi biến dạng căn thức 𝑡 =
√
2𝑥 + 1 nhưng
sẽ phức tạp hơn, cách đổi biến 𝑡 = 1 +
√
2𝑥 + 1 là phù hợp.
Ví dụ 1.4.7. Tính 𝐼 =
1


0
𝑥
3
𝑥
2
+ 1
𝑑𝑥
Giải
Đặt 𝑡 = 𝑥
2
+ 1 ⇒ 𝑥
2
= 𝑡 − 1 ⇒ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
2
Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 2
Khi đó: 𝐼 =
1

0
𝑥
2
𝑥
2
+ 1
· 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
2

1

𝑡 − 1
𝑡
·
1
2
𝑑𝑡
=
1
2
2

1

1 −
1
𝑡

𝑑𝑥 =
1
2
−
ln 2
2
Nhận xét: bài này gọn nhất là giải bằng phương pháp Tích phân
hàm hữu tỉ
2
ở đây đưa ra hướng giải khác để thấy nhiều cách tiếp cận
một bài tích phân.
2
Xem mục 1.6 trang 37

22
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
Bài toán tương tự
1.
𝜋
2

0
sin
3
𝑥
1 + cos 𝑥
𝑑𝑥
1.4.4 Dạng biểu thức lũy thừa
Thông thường ta đặt 𝑡 là biểu thức lấy lũy thừa.
Ví dụ 1.4.8. Tính 𝐼 =
1

0
𝑥
3
(𝑥
4
− 1)
5
𝑑𝑥.

Giải
Đặt 𝑡 = 𝑥
4
− 1 ⇒ 𝑑𝑡 = 4𝑥
3
𝑑𝑥 ⇒ 𝑥
3
𝑑𝑥 =
1
4
𝑥
3
Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = −1 ; 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 0
Khi đó: 𝐼 =
1
4
0

−1
𝑡
5
𝑑𝑡 =
1
24
𝑡
6
⃒
⃒
⃒
⃒

0
−1
= −
1
24
.
Nhận xét: do (𝑥
4
)
′
= 4𝑥
3
nên ta khử được 𝑥
3
trong đề bài.
Bài toán tương tự
1.
1

0
𝑥
3
(1 + 𝑥
4
)
3
𝑑𝑥. Đáp số:
15
16
.

2.
1

0
𝑥
3
(1 − 𝑥
3
)
6
𝑑𝑥. Đáp số:
1
168
.
3.
1

0
𝑥
3
(1 − 𝑥)
2014
𝑑𝑥
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 23
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
4.
𝜋


0
cos(2𝑥 + 𝜋) 𝑑𝑥
5.
1

0
𝑥
2
𝑒
3𝑥
3
𝑑𝑥
6.
𝜋
4

0
sin 2𝑥.𝑒
sin
2
𝑥
𝑑𝑥
1.4.5 Biểu thức có logarit
Dạng thường gặp là biểu thức chứa
1
𝑥
và ln 𝑥. Ta thường đổi
biến 𝑡 = ln 𝑥 hoặc 𝑡 = biểu thức chứa ln 𝑥.
Ví dụ 1.4.9. Tính các tích phân sau:

(a) 𝐼
1
=
𝑒

1
(1 + ln 𝑥)
2
𝑥
𝑑𝑥 (b) 𝐼
2
=
𝑒

1
ln 𝑥.
3

1 + ln
2
𝑥
𝑥
𝑑𝑥
Giải
(a) Đặt 𝑡 = 1 + ln 𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 =
1
𝑥
Đổi cận: 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 = 𝑒 ⇒ 𝑡 = 2
Khi đó: 𝐼
1

=
2

1
𝑡
2
𝑑𝑡 =
𝑡
3
3
⃒
⃒
⃒
⃒
2
1
=
7
3
.
(b) Đặt 𝑡 =
3

1 + ln
2
𝑥 ⇒ 𝑡
3
= 1 + ln
2
𝑥 ⇒ 3𝑡

2
𝑑𝑡 = 2 ·
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
⇒
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 =
3
2
· 𝑡
2
𝑑𝑡
Đổi cận: 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 = 𝑒 ⇒ 𝑡 =
3
√
2
Khi đó: 𝐼
2
=
3
2
3
√
2

1
𝑡
3

𝑑𝑡 =
3
8
· 𝑡
4
⃒
⃒
⃒
⃒
3
√
2
1
=
3
8
(
3
√
16 − 1)
24
c
○ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
1.4. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1. Tích phân
Bài toán tương tự
1.
𝑒
2


𝑒
1
𝑥 ln 𝑥
𝑑𝑥. Đáp số: ln 2
2.
√
3

0
ln

𝑥 +
√
𝑥
2
+ 1

√
𝑥
2
+ 1
𝑑𝑥.
3.
𝑒

1
1
𝑥


9 − ln
2
𝑥
𝑑𝑥
4.
𝑒

1
√
1 + ln 𝑥
2𝑥
𝑑𝑥. Đáp số:
2
√
2−1
3
5.
𝑒
3

1
1
𝑥
√
1 + ln 𝑥
𝑑𝑥. Đáp số: 2.
c
○ Nguyễn Hồng Điệp 25
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com