Chuyên đề giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số pot

TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
TỔ TOÁN





Giáo Viên : Trần Phú Vinh



Năm Học : 2009-2010
A.Lời nói đầu :
Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên
một đoạn là một bài toán thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT trong các
năm vừa qua .Nhưng phần lớn học sinh không giải được bài toán này với các lý
do sau : Các em không nắm được phương pháp giải , tính đạo hàm sai, tìm nghiệm
của đạo hàm sai , tính các giá trị sai, không biết loại hoặc nhận nghiệm , kết luận
GTLN-GTNN sai . vv…vv . Vì các lý do trên nên tôi quyết định chọn chuyên đề
này để nêu ra các loại hàm số thường cho trong bài tìm GTLN-GTNN của hàm số
trên một đoạn để nhầm giúp học sinh hạn chế những sai sót trên .
B Nội Dung.: Giả sử tìm GTLN-GTNN của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
[ ]
;a b
Quy Tắc :
1.Tìm các điểm

1 2
; ; ;
n
x x x
trên khoảng
( )
;a b
, tại đó
( )
/
f x
bằng không hoặc
( )
/
f x
không xác
định
2.Tính :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
; ; ; ; ; .
n
f a f x f x f x f b
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Khi đó
( )
[ ]
;
max
a b

M f x
=
;
( )
[ ]
;
min
a b
m f x
=
Chú ý: Để học sinh dể nhớ, ta có thể tóm tắt quy tắc trên thành phương pháp
tìm GTLN-GTNN của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
[ ]
;a b
như sau :
1. Tính đạo hàm
( )
/
f x
2. Giải phương trình :
( )
/
0f x =
, tìm các nghiệm
( )
1 2
; ; ; ;

n
x x x a b
∈
(nếu
có)
3. Tính các giá trị :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
; ; ; ; ; .
n
f a f x f x f x f b
4. Kết luận :
( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
;
af ax ; ; ; ;
n
a b
m x M m f a f x f x f x
= =

( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
;

min min ; ; ; ;
n
a b
x m f a f x f x f x
= =
C.Các loại hàm số thường gặp: Ta thường gặp các loại hàm số cho trong bài
tìm GTLN-GTNN của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
[ ]
;a b
sau :
1) Hàm đa thức :
1.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
3 2
) 2 6 1a y f x x x= = − +
trên đoạn
[ ]
1;1−
( )
4 2
) 2 4 3b y f x x x= = − + +
trên đoạn
[ ]
0;2
( )
3 2
1

) 2 1
3
c y f x x x x= = − + − +
trên đoạn
[ ]
1;0−
Giải
5. Ta có :
( )
/ 2
6 12f x x x= −

( )
/ 2 0
2
0 6 12 0
x
x
f x x x
=
=

= ⇔ − = ⇔

(
2x
=
loại )
Tính :
( ) ( ) ( )

1 7; 0 1; 1 3f f f
− =− = −
Trang 1
Vậy :
( )
[ ]
1;1
max
1
f x
−
=
;
( )
[ ]
1;1
min 7f x
−
= −
6. Ta có :
( )
/ 3
8 8f x x x= − +

( )
/ 3 0
1
0 8 8 0
x
x

f x x x
=
=±

= ⇔ − + = ⇔

(
1x = −
loại )
Tính :
( ) ( ) ( )
0 3; 1 6; 2 13f f f
= = =−
Vậy :
( )
[ ]
0;2
max
6
f x
=
;
( )
[ ]
0;2
min 13f x
=−
7. Ta có :
( )
/ 2

2 2f x x x= − + −

( )
/ 2
0 2 2 0f x x x
= ⇔ − + − =
(vô nghiệm)
Tính :
( ) ( )
11
1 ; 0 1
3
f f
− = =
Vậy :
( )
[ ]
1;0
max
11
3
f x
−
=
;
( )
[ ]
1;0
min 1f x
−

=
1.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
3 2
1
)
3
a y f x x x= = −
trên đoạn
[ ]
1;3
( )
4 2
1 1
)
2 2
b y f x x x= = − + +
trên đoạn
[ ]
0;2
( )
3 2
) 2 3 12 1c y f x x x x= = − − +
trên đoạn
5
2;
2
 
−
 

 
( )
3 2
) 3 5d y f x x x= = − +
trên đoạn
[ ]
1;4−
( )
4 2
) 8 16e y f x x x= = − +
trên đoạn
[ ]
1;3−
( )
4 2
) 1g y f x x x= = − +
trên đoạn
1
0;
2
 
 
 
2) Hàm phân thức :
2.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
2 1
)
1
x

a y f x
x
+
= =
−
trên đoạn
[ ]
2;4
( )
2 1
)
2
x
b y f x
x
+
= =
−
trên đoạn
1
;1
2
 
−
 
 
( )
4
) 1
2

c y f x x
x
= = − + −
+
trên đoạn
[ ]
1;2−
( )
2
2 3
)
2
x x
d y f x
x
+ −
= =
+
trên đoạn
[ ]
0;3
Giải
8. Ta có :
( )
( )
/
2
3
0 1
1

f x x
x
= > ∀ ≠
−
Trang 2
Tính :
( ) ( )
2 5; 4 3f f= − −
Vậy :
( )
[ ]
2;4
max
3
f x
=
−
;
( )
[ ]
2;4
min 5f x
= −
9. Ta có :
( )
( )
/
2
5
0 2

2
f x x
x
=− < ∀ ≠
−
Tính :
( )
1
0; 1 3
2
f f
 
− = =−
 ÷
 
Vậy :
( )
1
;1
2
max
0
f x
 
−
 
 
=
;
( )

1
;1
2
3minf x
 
−
 
 
= −
10. Ta có :
( )
( )
/
2
4
1
2
f x
x
= − +
+

( )
( )
/ 0
4
2
4
0 1 0
2

x
x
f x
x
=
=−

= ⇔ − + = ⇔

+
(
4x = −
loại )
Tính :
( ) ( ) ( )
1 2; 0 1; 2 2f f f
− =− =− =−
Vậy :
( )
[ ]
1;2
max 1f x
−
= −
;
( )
[ ]
1;2
2minf x
−

= −
11. Ta có :
( )
( )
2
/
2
4 7
2
x x
f x
x
− +
=
+

( )
/ 2
0 4 7 0f x x x
= ⇔ − + =
(Vô nghiệm )
Tính :
( ) ( )
3 12
0 ; 3
2 5
f f
=− =
Vậy :
( )

[ ]
0;3
max
12
5
f x
=
;
( )
[ ]
0;3
min
3
2
f x
=
−
2.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
2
)
2
x
a y f x
x
− +
= =
+
trên đoạn
1

;4
2
 
 
 
( )
1
)
2
b y f x
x
= =
−
trên đoạn
[ ]
0;1
( )
9
) 3
2
c y f x x
x
= = + +
−
trên đoạn
[ ]
3;6
( )
2
3

)
1
x x
d y f x
x
+
= =
−
trên đoạn
[ ]
0;3
( )
2
)
3 1
x
e y f x
x
= =
−
trên đoạn
[ ]
1;3
Trang 3
( )
1 2
)
2 4
x
g y f x

x
−
= =
−
trên đoạn
[ ]
2;1−
3) Hàm phân thức :
3.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
) 5 4a y f x x= = −
trên đoạn
[ ]
1;1−
( )
2
) 4b y f x x x= = −
trên đoạn
1
;3
2
 
 
 
( )
2
) 4c y f x x x= = + −

Giải
a) Ta có :

( )
/
2 5
0 ;
4
5 4
f x x
x
 
=− < ∀ ∈ −∞
 ÷
−
 
Tính :
( ) ( )
1 3; 1 1f f
− = =
Vậy :
( )
[ ]
1;1
max 3f x
−
=
;
( )
[ ]
1;1
min 1f x
−

=
12. Ta có :
( )
/
2
2
4
x
f x
x x
−
=
−

( )
/
0 2 0 0 2f x x x
= ⇔ − = = ⇔ =

Tính :
( ) ( )
1 7
; 2 2; 3 3
2 2
f f f
 
= = =
 ÷
 
Vậy :

( )
1
;3
2
max
2
f x
 
 
 
=
;
( )
1
;3
2
7
min
2
f x
 
 
 
=
c) MXĐ :
[ ]
2;2D = −
. Ta xét hàm số trên MXĐ của nó.
Ta có :
( )

/
2
1
4
x
f x
x
= −
−

( )
/ 2
2
2
0 1 0
4
x
x
x
f x
x
=
=−

= ⇔ − = ⇔

−

Tính :
( ) ( )

( ) ( )
2 2; 2 2; 2 2 2; 2 0f f f f
= − =− = − =
Vậy :
( )
[ ]
2;2
max
2 2
f x
−
=
;
( )
[ ]
2;2
minx
2
f x
−
= −
3.2) Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
2
) 9 7a y f x x= = −
trên đoạn
[ ]
1;1−
( ) ( )
2

) 6 4b y f x x x= = − +
trên đoạn
[ ]
0;3
( )
2
) 4 4c y f x x= = + −


( )
2
1
)
1
x
d y f x
x
+
= =
+
trên đoạn
[ ]
1;2−
Trang 4
( ) ( )
2
) 3 1e y f x x x= = − +
trên đoạn
[ ]
0;2

4) Hàm số mũ, hàm số lôgarit:
4.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

( )
) 2 .
x
a y f x x= = l
trên đoạn
[ ]
1;2−
( )
2
)
x
b y f x x= = − l
trên đoạn
[ ]
1;0−
( )
ln
)
x
c y f x
x
= =
trên đoạn
2
1;
 
 

l
( ) ( )
2
) ln 1 2d y f x x x= = − −
trên đoạn
[ ]
1;0−
Giải
a) Ta có :
( )
/
2 2
x x
f x x= +l l

( )
/
0 1f x x
= ⇔ = −

Tính :
( ) ( )
2
2
1 ; 2 4f f
− =− =
l
l
Vậy :
( )

[ ]
2
1;1
max 4f x
−
=
l
;
( )
[ ]
1;1
2
min f x
−
= −
l
b) Ta có :
( )
/ 2
1 2
x
f x = − l

( )
/ 2
1
0 1 2 0 ln 2
2
x
f x x= ⇔ − = ⇔ = −l

Tính :
( ) ( )
1 1 1 1
1 1 ; ln 2 ln 2 ; 0 1
2 2 2
f f f
 
− =− − − =− − =−
 ÷
 
l
Vậy :
( )
[ ]
1;0
1
max ln 2
2
1
2
f x
−
= −
−
;
( )
[ ]
1;0
min

1
1
f x
−
=
− −
l
c) Ta có :
( )
/
2
1 ln x
f x
x
−
=

( )
/
0 1 ln 0f x x x
= ⇔ − = ⇔ =
l

Tính :
( ) ( )
( )
2
2
1 2
1 0; ;f f f

= = =
l l
l l
Vậy :
( )
2
1;
max
1
f x
 
 
=
l
l
;
( )
2
1;
min 0f x
 
 
=
l
d) Ta có :
( )
/
1
2
1 2

f x x
x
= +
−

( )
/ 1
1
2
2
0 2 0
1 2
x
x
f x x
x
=
=−

= ⇔ + = ⇔

−

(
1x
=
loại )
Trang 5
Tính :
( ) ( )

1 1
2 4 ln5; ln 2; 0 0
2 4
f f f
 
− = − − = − =
 ÷
 
Vậy :
( )
[ ]
2;0
max
4 ln5
f x
−
=
−
;
( )
[ ]
2;0
1
max ln 2
4
f x
−
= −
4.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

( )
2
) .
x
a y f x x= = l
trên đoạn
[ ]
2;1−
( )
)
x
b y f x x= = − l
trên đoạn
[ ]
1;2−
( )
2
ln
)
x
c y f x
x
= =
trên đoạn
3
1;
 
 
l
( )

) lnd y f x x x= =
trên đoạn
[ ]
1;l
( )
)
x
x
e y f x
e
= =
+
l
l
trên đoạn
[ ]
ln 2;ln 4
( )
2
) .lng y f x x x= =
trên đoạn
[ ]
1;l
( )
) .
x
h y f x x
−
= = l
trên đoạn

[ ]
1;2−
5) Hàm số lượng giác:
5.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
) sin 2a y f x x x= = −
trên đoạn
;
2 2
π π
 
−
 
 
( )
) 2 cosb y f x x x= = +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
( )
2
) sin 2cos 2c y f x x x= = − +

Giải
a) Ta có :
( )

/
2 os2x 1f x c= −

( )
/
6
6
0
x
x
f x
π
π
=
=−

= ⇔


( Do
;
2 2
x
π π
 
∈ −
 
 
)
Tính :

3 3
; ; ;
2 2 6 2 6 6 2 6 2 2
f f f f
π π π π π π π π
       
− = − =− + = − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Vậy :
( )
;
2 2
max
2
f x
π π
π
 
−
 
 
=
;
( )
;
2 2
min
2
f x

π π
π
 
 
 
= −
b) Ta có :
( )
/
1 2sinxf x = −

( )
/
0
4
f x x
π
= ⇔ =
( Do
0;
2
x
π
 
∈
 
 
)
Tính :
( )

0 2; 1;
4 4 2 2
f f f
π π π π
   
= = + =
 ÷  ÷
   
Trang 6
Vậy :
( )
0;
2
max 1
4
f x
π
π
 
 
 
= +
;
( )
0;
2
min 2f x
π
 
 

 
=
c) MXĐ :
D R=
Ta có :
( )
2
os 2 s 3f x c x co x
=− − +
Đặt :
2
sint x=
;
[ ]
1;1 ;t x R∈ − ∀ ∈
Ta xét hàm số :
( )
2
2 3g t t t= − − +
trên đoạn
[ ]
1;1−
Ta có :
( )
/
2 2g t t= − −

( )
/
0 1g t t

= ⇔ = −

Tính :
( ) ( )
1 4; 1 0g g
− = =
Vậy :
( ) ( )
[ ]
1;1
max max 4
R
f x g t
−
= =
;
( ) ( )
[ ]
1;1
min max 0
R
f x g t
−
= =
5.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
) 2sin sin 2a y f x x x= = −
trên đoạn
3
0;

2
π
 
 
 
( )
) 2 cos2 4sinxb y f x x= = +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
( )
3 2
) 2sin cos 4sin 1c y f x x x x= = + − +

( )
) sin 2d y f x x x= = −
trên đoạn
;
6 2
π π
 
−
 
 
( )
sinx

)
2 cos
e y f x
x
= =
+
trên đoạn
[ ]
0;
π
( )
) 3. 2sinxg y f x x= = −
trên đoạn
[ ]
0;
π
D.Kết Luận:
Kính thưa quý thầy cô và các em học sinh , trên đây tôi đã nêu các loại hàm số
thường gặp trong bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
một đoạn .
Do thời gian thực hiện chuyên đề có hạn, nên chắc chắn nhông tránh những
thiếu sót , mong quý thầy cô trong tổ nhiệt tình đóng góp để chuyên đề này
hoàn chỉnh hơn , nhầm giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn . Xin chân thành
cám ơn nhiều ! èèè

Trà Cú Ngày 08
tháng12năm 2009
Giáo hiên thực
hiện

Trần Phú Vinh
Trang 6