Đề thi chọn học sinh giỏi môn toán lớp 12 trường THPT Bỉm Sơn tỉnh Thanh Hóa pps

1

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN

Đề đề nghị: BẢNG A
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN
TOÁN LỚP 12
NĂM HỌC 2005 - 2006
(Thời gian làm bài 180 phút)


Bài 1: (4 điểm)
1) (Đề 48 I
2
trong 150 đề tuyển sinh Đại học)
Tìm trên đồ thị hàm số y =
1
2

x
x
hai điểm A và B đối
xứng nhau qua đường thẳng y = x -1
2) (Tự sáng tác)
Cho a, b, c  R với a  0 và m N
*
thoả mãn:
0
2

4




m
c
m
b
m
a
.
Chứng minh rằng:

2

Đồ thị hàm số: y = ax
4
+ bx
2
+ c luôn cắt trục ox tại
ít nhất một điểm thuộc khoảng (0;1).
Bài 2: (5 điểm)
1) (Tự sáng tác)
Tìm tổng tất cả các nghiệm x  [1;100] của phương
trình:
Sin
4
x + Sin
4

( x +
4

) + Sin
4
(x + xSinx 4
2
3
)
4
3
(sin)
2
44




2) ( Toán học tuổi trẻ năm 2003)
Cho tam giác ABC không có góc tù thoả mãn hệ thức:
6
5
coscos)2cos2(cos
2
1
)3cos3(cos
3
1
 BABABA
Hãy tính các góc của tam giác đó.

Bài 3: (4 điểm)
1) (Toán Bồi dưỡng giải tích tổ hợp của Hàn Liên Hải -
Phan Huy Khải)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
23
24
5
 xx
x

2) (Tự sáng tác)
Giải phương trình: 3x
2
+ 1 + log
2006

6
26
2
1
24
x
xx
x




Bài 4: (4 điểm)

3

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
1) ( Đề thi tuyển sinh vào ĐHXD - Hà Nội năm học
2000-2001)
Cho điểm A(4;0) và đường thẳng : 4x - 9 = 0. Chứng
minh rằng tập hợp các điểm M có tỷ số khoảng cách từ
đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng  bằng
3
4
là
một Hypebol. Hãy viết phương trình của Hypebol đó.



2) ( Chuyên đề về hình học giải tích của Cam Duy Lễ -
Trần Khắc Bảo)
Cho Parabol y
2
= 2px (p > 0) và đường thẳng d di động
nhưng luôn đi qua tiêu điểm F của Parabol. Gọi M, N là
các giao điểm của parabol với đường thẳng d. Chứng
minh rằng đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với
một đường thẳng cố định.
Bài 5: (3 điểm) (500 Bài toán về bất đẳng thứccủa
Phan Huy Khải -Tập II)

4

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi

K là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AK cắt các
cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V
1
, V thứ tự là
thể tích của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ số
V
V
1
.















5

6