Sáng kiến kinh nghiệm " Nhận xét về bài toán điện có 2 kết quả " pps

Nhận xét về bài toán điện có 2 kết quả
(Hà Phương Nghĩa)

Cho mạch điện R,L,C mắc nối tiếp . Hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu mạch và tần số dòng điện qua mạch
không thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa R, Z
L
, Z
C
để điện áp hiệu dụng hai đầu phần tử L đạt cực đại?
Bài giải:

Cách 1:
Ta có: U
L
= I.Z
L
=
 
2
2
.
L
L
L C
U ZU
Z
Z
R Z Z

 

U
L
max
2 2
ax
( )
L
L
Z
m
R Z Zc

 

Do mạch điện có 3 phần tử R,L,C mắc nối tiếp nên Z
L
khác không, nên ta có phương trình tương đương:
2
2
2
(1 )
L
C
L L
U
U
ZR
Z Z

 

U
L
max
2
2
2
(1 ) min
C
L L
Z
R
Z Z
   . Theo định lí CÔSI ta có:
2
2
2
(1 )
C
L L
Z
R
Z Z
  
2 (1 )
C
L L
Z
R
Z Z

 
Dấu bằng xảy ra khi: + biểu thức trong căn nhỏ nhất.
+ 1
C
L L
Z
R
Z Z
  giải ra ta được
L C
R Z Z
  .
Vậy
L C
R Z Z
 
.thì U
L
max


Cách 2:
Ta có: U
L
= I.Z
L
=
 
2
2

.
L
L
L C
U ZU
Z
Z
R Z Z

 

U
L
max
2 2
ax
( )
L
L
Z
m
R Z Zc

 

Do mạch điện có 3 phần tử R,L,C mắc nối tiếp nên Z
L
khác không, nên ta có phương trình tương đương:
2
2

2
(1 )
L
C
L L
U
U
Z
R
Z Z

 

U
L
max
2
2
2
(1 ) min
C
L L
Z
R
Z Z
  

 
2
2

2
(1 ) min
C
L
L L
Z
R
f Z
Z Z
   


 
2
2 2
2
2 2 2
{ (1 ) 2 1}min
C C C
L
L L L L L
Z Z Z
R R
f Z
Z Z Z Z Z
       
. Đặt
1
L
X

Z

điều kiện
0
X




2 2 2
( ) 2 1
C C
f X R Z X Z X
    

Ta khảo sát hàm số f(X)
f(X)' = 2R
2
X - 2Z
C .
Hàm số f(X) đạt cực tiểu tại điểm :
2 2
C
C
Z
X
R Z



Hay
2 2
1
C
L C
Z
Z R Z



2 2
.
C L C
R Z Z Z
  
Vậy
2 2
.
C L C
R Z Z Z
 
thì U
L
max




Nhận xét : Bài toán 2 cách giải
Cách 1:

- Từ biểu thức :
2
2
2
1
L
C
L L
U
U
Z
R
Z Z

 
 
 
 
Vì :U = Const . Nên

2
2
max
2
2
2
2
1
1
C

L
L L
C
L L
ZU R
U
Z Z
Z
R
Z Z
 
   
 
 
 
 
 
 
min
Mà :
2 2
2 2
2 2
1 min 1 min
C C
L L L L
Z ZR R
Z Z Z Z
 
   

 
    
   
 
   
 

Theo bất đẳng thức Cosi (Áp dụng cho 2 số không âm ) ta có :
2
2
2
1 2 . 1
C C
L L L L
Z Z
R R
Z Z Z Z
   
   
   
   

( Bài giải chỉ lấy căn bậc hai ở một vế )
Vì : Tích 2 số :
2
2
2
. 1
C
L L

ZR
Z Z
 

 
 
Không phải là một hằng số .
Nên dấu bằng không thể xảy ra khi :
2
2
2
1
C
L L
Z
R
Z Z
 
 
 
 
.Vì vậy không thể dẫn đến kết quả:
L C
R Z Z
 

Cách 2:
- Từ biểu thức : f (X) =



2 2 2
2 1
C C
R Z X Z X
  
. Đây là hàm số bậc hai có hệ số a>0 . Hàm số đạt cực tiểu tại
X=
2
b
a

, giá trị cực tiểu tại Y =
4
a


.Tọa độ đỉnh S(
,
2 4
b
a a

 
) .
* Trường hợp 1: Nếu bài toán là tìm mối liên hệ giữa R, Z
L
, Z
C
để điện áp hiệu dụng 2 đầu phần tử L đạt cực
đại .Nghĩa là đã chấp nhận hàm số U

L
có cực đại .Hay hàm số Y= f (X) có cực tiểu.Vậy kết luận bài toán trên
là đúng .Vì chúng quan hệ nhau bỡi hệ thức : X=
2 2
1
C
L C
Z
Z R Z




2 2
C
R Z

= Z
L
.Z
C

* Trường hợp 2 : Nếu bài toán là tìm giá trị cực đại của U
L
.Thì các đại lượng R, Z
L
, Z
C
liên hệ với nhau như
thế nào ?

+ Với giá trị X =
2
b
a
 =
2 2
C
C
Z
R Z

có giá trị luôn thay đổi .
+ Nên tọa độ Y= f (X) không thể có giá trị xác định Y
m in
xác định . Vì Y=
4
a


=
2
2 2
C
R
R Z

luôn thay đổi.
+ Nếu giá trị :
2
2 2

C
R
R Z

= Const . Thì f (X) có giá trị cực tiểu .Nghĩa là R và C thay đổi . Nhưng tỷ số

2
2 2
C
R
R Z

là không thay đổi .Biểu thức này không thõa mãn quan hệ giữa R, Z
L
, Z
C
.