BÀI TẬP TOÁN LỚP 12 NĂM 2014 2015

Chương 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
Bài 1 : Hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến.
Cho hàm số y =
( )
f x
có đạo hàm trên (a;b).
1. Điều kiện đủ:
• Nếu
( )
'f x
> 0 trên khoảng
( )
; a b
thì hàm số đồng biến trên khoảng
( )
; a b
.
• Nếu
( )
'f x
< 0 trên khoảng
( )
; a b
thì hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
; a b
.
2. Điều kiện cần.
• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng
( )
; a b

⇒
( )
'f x

0
≥
trên khoảng
( )
; a b
.
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
; a b

0)('
≤⇒
xf
trên khoảng
( )
; a b
.
Chú ý: Dấu bằng của đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm x
0

∈
(a; b) hoặc không xảy ra trên (a;b).
3. Các bước xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số.
• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 2: Tính đạo hàm y’ của hàm số.

o Giải phương trình y’=0 tìm các nghiệm
0
x
.
o Tìm các điểm
0
x
làm cho hàm số không có đạo hàm hoặc không xác định.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên.
o Dựa vào bảng biến thiên kết luận đồng biến và nghịch biến.
Chú ý: Nếu
( )
0
' 0f x
=
thì
0
x
là nghiệm của phương trình
( )
' 0f x
=
.
4. Định lí về dấu tam thức bậc hai
( ) ( )
2
x , 0f x a bx c a
= + + ≠
.
• Nếu

0
<∆
thì
( )
f x
= ax
2
+ bx + c luôn cùng dấu với a,
x
∀ ∈
¡
.
• Nếu
0
=∆
thì
( )
f x
luôn cùng dấu với a,
a
b
x
2
−≠∀
.
• Nếu
0
>∆
thì
( )

f x
có hai nghiệm x
1
, x
2
và
( )
1 2
x x
<
. Khi đó ta có bảng xét dấu sau:
x -
∞
x
1
x
2
+
∞
f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a
Chú ý: Nếu đa thức bậc ba
( )
3
axf x bx
= +
có 3 nghiệm phân biệt
( )
1 2 3 1 2 3
, x , x ; x x x x
< <

.
Thì ta có bảng xét dấu sau:
x -
∞
x
1
x
2
x
3
+
∞
f(x) Cùng dấu a 0 Đổi dấu 0 Đổi dấu 0 Đổi dấu
1
1
Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau.
1.
3 2
3 4y x x
= + −
2.
3
3 1y x x
= − + −
3.
3 2
3 3 1y x x x
= + + +
4.
3

3 10y x x
= − − +
.
5.
4 2
2 1y x x
= − +
6.
4 2
2 4y x x
= − +
7.
4 2
1y x x
= + +
8.
4 2
2y x x
= − −
.
9.
2 1
3
x
y
x
+
=
+
10.

4
3
x
y
x
+
=
+
11.
2
3
x
y
x
=
−
12.
4
3
y
x
=
−
.
BTVN: Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau.
1.
3 2
2 3y x x
= −
2.

3
3y x x
= − +
. 3.
3
2 1y x x
= + +
4.
3
1y x
= +
.
5.
4 2
2y x x
= −
6.
4 2
2 4 2y x x
= − + −
. 7.
4 2
y x x
= +
8.
4 2
2y x x
= − −
.
9.

2 2
3
x
y
x
−
=
+
10.
3 2
1
x
y
x
+
=
+
. 11.
2
4 3y x x
= − +
12.
1 2y x x
= − − −
.
13.
2
1
1
x x

y
x
+ −
=
−
14.
2
2 3
2
x x
y
x
− − +
=
+
15.
2
5 15
3
x x
y
x
+ +
=
+
16.
4
( ) 1
2
f x x

x
= − + −
+
Bài 2: Cực trị của hàm số.
1. Định nghĩa:
Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và
( )
0
;x a b
∈
.
a. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x
0
),
);;(
00
hxhxx
+−∈∀
và x
0
x
≠
thì ta nói hàm số f(x) đạt
cực đại tại x
0
.
b. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x
0
),
);(

00
hxhxx
+−∈∀
và x
0
x
≠
thì ta nói hàm số f(x) đạt
cực tiểu tại x
0
.
2. Định lí 1:
Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x
0
– h ; x
0
+ h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x
0
},
với h > 0. Khi đó:
2
2
a. Nếu



+∈∀<
=∈∀>
);(,0)('
);(,0)('

00
00
hxxxxf
xhxxxf
thì x
0
là điểm cực đại của f(x).
b. Nếu



+∈∀>
−∈∀<
);(,,0)('
);(,0)('
00
00
hxxxxf
xhxxxf
thì x
0
là điểm cực tiểu của f(x).
3. Định lí 2:
Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (a;b) và
( )
0
;x a b
∈
. Khi đó:
a. Nếu

0
0
'( ) 0
"( ) 0
f x
f x
=


>

thì x
0
là điểm cực tiểu của f(x).
b. Nếu
0
0
'( ) 0
"( ) 0
f x
f x
=


<

thì x
0
là điểm cực đại của f(x).
4. Quy tắc tìm cực trị của y = f(x).

a. Quy tắc 1:
• Tìm tập xác định của hàm số.
• Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
b. Quy tắc 2.
• Tìm tập xác định của hàm số.
• Tính f’(x). Giải pt f’(x) = 0 và kí hiệu x
i
(i =1, 2, 3…n) là các nghiệm của nó.
• Tính f”(x) và f”(x
i
).
• Dựa vào dấu của f”(x
i
) suy ra tính chất cực trị của x
i
.
Câu hỏi: Trình bài quy tắc tìm cực trị của hàm số?
5. Chú ý:
• Cực đại và cực tiểu được gọi là cực trị của hàm số.
• Hàm số đạt cực trị tại x
0
thì
( )
0
' 0f x
=
.
• Nếu hàm số đạt cực đại tại
0

x
thì
0
0
'( ) 0
"( ) 0
f x
f x
=


<

.
• Nếu hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
thì
0
0
'( ) 0
"( ) 0
f x
f x
=


>

.

• Hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến thì không có cực trị.
• Hàm số bậc ba
( )
3 2
ax , a 0y bx cx d
= + + + ≠
.
o Nếu y’=0 có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số luôn có hai cực trị.
o Nếu y’=0 có ngiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số không có cực trị.
• Hàm số trùng phương
( )
4 2
ax , a 0y bx c
= + + ≠
.
o Nếu a và b cùng dấu thì hàm số chỉ có một cực trị.
3
3
o Nếu a và b trái dấu thì hàm số có ba cực trị.
Câu hỏi : Trình bày chú ý về cực trị của hàm số ?
Ví dụ: Tìm các cực trị của các hàm số sau đây.
1.
3 2
3 4y x x
= − − +
2.
3
3 2y x x
= − +
3.

3 2
3 3y x x x
= − +
4.
3
1y x x
= − − +
.
5.
4 2
2y x x
= − +
6.
4 2
2 4 1y x x
= − +
7.
4 2
y x x
= − −
8.
4 2
2 3y x x
= + −
9.
3 1x
y
x
+
=

10.
4x
y
x
+
=
−
11.
2
2
x
y
x
=
−
12.
2
2
x
y
x
−
=
BTVN: Tìm các cực trị của các hàm số sau đây.
1.
3 2
2 3y x x
= −
2.
3

3y x x
= − +
. 3.
3
2 1y x x
= + +
4.
3
1y x
= +
.
5.
4 2
2y x x
= −
6.
4 2
2 4 2y x x
= − + −
. 7.
4 2
y x x
= +
8.
4 2
2y x x
= − −
.
9.
2 2

3
x
y
x
−
=
+
10.
3 2
1
x
y
x
+
=
+
. 11.
2
4 3y x x
= − +
12.
1 2y x x
= − − −
.
13.
2
1
1
x x
y

x
+ −
=
−
14.
2
2 3
2
x x
y
x
− − +
=
+
15.
2
5 15
3
x x
y
x
+ +
=
+
16.
4
( ) 1
2
f x x
x

= − + −
+
Bài 3: Đường tiệm cận.
Cách tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ:
( )
( )
P x
Q x
.
 Tiệm cận đứng:
- Giải phương trình: Q(x)=0.
- Nếu phương trình Q(x)=0 vô nghiệm thì kết luận hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
- Nếu pt Q(x)=0 có nghiệm x=x
i
thì tính
( )
lim
( )
i
x x
P x
Q x
→
.
 Nếu
( )
lim
( )
i
x x

P x
Q x
→
= +∞
hoặc
( )
lim
( )
i
x x
P x
Q x
→
= −∞
thì đt x=x
i
là tiệm cận đứng.
4
4
 Nếu
( )
lim
( )
i
x x
P x
Q x
→
≠ ±∞
thì đt x=x

i
không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
 Tiệm cận ngang :
- Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) thì trục hoành Ox là tiệm cận ngang.
- Nếu bậc của P(x)=bậc của Q(x). Tính
0
0
( )
lim
( )
x
a
P x
Q x b
→±
=
µ
thì
0
0
a
y
b
=
là tiệm cận ngang,
trong đó a
0
, b
0
tương ứng là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất của P(x) và Q(x).

Chú ý: Cách tìm tiệm cận đứng và ngang của hàm nhất biến
ax b
y
cx d
+
=
+
.
 Giải pt:
0
d
cx d x
c
+ = ⇔ = −
.
 Tiệm cận đứng:
d
x
c
= −
vì
lim
d
x
c
y
 
→ −
 ÷
 

= ±∞
, (chú ý ta phải tính giới hạn trái và phải).
 Tiệm cận ngang:
a
y
c
=
vì

lim
x
a
y
c
→ ± ∞
=
.
Ví dụ 1: Tìm đường tiệm cận đứng và ngang của các hàm số sau:
1.
2
1
x
y
x
−
=
−
2.
2 1
2 2

x
y
x
−
=
−
3. y=
4 2
2 4
x
x
−
−
4.
2
1
y
x
=
−
5.
1
1
3
y
x
= −
−
Ví dụ 2: Tìm đường tiệm cận đứng và ngang của các hàm số sau:
1.

2
3
4
x
y
x
+
=
−
2.
2
10
1
x
y
x
−
=
−
3.
2
2
1
4
x x
y
x
− +
=
−

4.
2
2
1
x
y
x
+
=
−
5.
3
3
1
1
x
y
x
+
=
−
.
Bài 4 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.
• Bước 1 : Tìm tập xác định:
=
D ?
• Bước 2: Sự biến thiên:
o Tính
y' ?

=
.
o Cho
= ⇔ =
y' 0 x ?
tìm nghiệm.
o Lập bảng biến thiên (ghi đầy đủ mọi chi tiết).
 Kết luận : Đồng biến, nghịch biến. (Chiều biến thiên của hàm số)
 Kết luận: Về cực trị của hàm số.
 Kết luận: Các giới hạn (Kết luận các tiệm cận nếu có).
5
5
o Xác định tính đối xứng:
 Tâm đối xứng I của hàm số bậc ba là trung điểm đoạn thẳng nối cực đại và
cực tiểu.
 Tâm đối xứng I của hàm nhất biến là giao điểm của hai tiệm cận.
 Hàm trùng phương đối xứng qua trục tung (Oy).
• Bước 3: Đồ thị.
o Xác định giao điểm của đồ thị (C) với hai trục tọa độ.
 Giao điểm của (C) với Oy:
x 0 y ?
= ⇒ =
 Giao điểm của (C) với Ox:
y 0 x ?
= ⇔ =
 Điểm cho thêm:………
o Vẽ đồ thị:
2. Hàm số y = ax
3
+ bx

2
+ cx + d (a
)0
≠
Nghiệm của y’ a > 0 a < 0
• y’ = 0
có hai nghiệm
phân biệt.
2
-2
O
2
-2
• y’ = 0 có
nghiệm kép
2
2
• y’ = 0 vô
nghiệm
2
4
2
Ví dụ : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
1.
3 2
3 4y x x
= − − +
2.
3
3 2y x x

= − +
3.
3 2
3 3 1y x x x
= − + −
4.
3
2y x x
= − − +
.
6
6
5.
3 2
6 9y x x x
= − + −
6.
3
2 6 4y x x
= − +
7.
3
3 4y x x
= + −
8.
3
2 2y x
= − +
.
BTVN: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

1.
3 2
2 3y x x
= −
2.
3
3y x x
= − +
. 3.
3
2 1y x x
= + +
4.
3
1y x
= −
.
5.
3 2
2 3y x x
= − +
6.
3
3y x x
= −
. 7.
3
2y x x
= − −
8.

3
2y x
= +
.
Câu hỏi ôn tập:
Câu 1: Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số? Các bước xét tính đồng biến và nghịch biến?
Câu 2: Quy tắc tìm cực trị của hàm số?
Câu 3 : Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba? Các dạng đồ thị của hàm bậc ba?
Câu 4 : Trình bày chú ý về tính đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số ?
3. Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
)0
≠
.
a > 0 a < 0
• y’ = 0 có
ba nghiệm
phân biệt
-2
2
• y’ = 0 có
một nghiệm
x=0
2
-2
Ví dụ: : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
1.

4 2
2y x x
= − +
2.
4 2
2 4 1y x x
= − +
3.
4 2
y x x
= − −
4.
4 2
2 3y x x
= + −
.
5.
4 2
4 3y x x
= − +
6.
4 2
6 5y x x
= − +
7.
4 2
2 3y x x
= − +
8.
4 2

2 2y x x
= − − −
BTVN: : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
7
7
1.
4 2
2 2y x x
= − +
2.
4 2
2 4 2y x x
= − + −
3.
4 2
2y x x
= − − +
4.
4 2
2 1y x x
= + −
.
5.
4 2
4 3y x x
= − + −
6.
4 2
6 5y x x
= − + −

7.
4 2
2 3y x x
= − − −
8.
4 2
4y x x
= + −
Câu hỏi: Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm trùng phương ? Các dạng đồ thị của hàm trùng phương?
4. Hàm số nhất biến: y =
ax b
cx d
+
+
. Điều kiện:
( 0, 0)c ad bc
≠ − ≠
D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0
4
2
4
2
-2
Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
1.
2 2
1
x
y
x

+
=
−
2.
1
2
x
y
x
+
=
−
3.
2
1
x
y
x
=
−
4.
4
2
y
x
=
−
.
5.
2 3

2
x
y
x
−
=
−
6.
2 1
2
x
y
x
+
=
−
7.
2
x
y
x
=
+
8.
2
1
y
x
−
=

−
.
BTVN: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
1.
2 1
1
x
y
x
+
=
+
2.
1
2
x
y
x
−
=
+
3.
2
1
x
y
x
−
=
+

4.
2
2
y
x
−
=
+
.
8
8
5.
2 3
2
x
y
x
+
=
+
6.
2 1
2 1
x
y
x
−
=
+
7.

1
x
y
x
−
=
−
8.
1
2
y
x
−
=
−
.
Câu hỏi: Các bước khảo sát vẽ đồ thị hàm nhất biến? Các dạng đồ thị hàm nhất biến?
Bài 5: Bài toán liên quan đến đồng biến, nghịch biến, cực trị và đồ của thị hàm số.
Vấn đề 1: Bài toán liên quan đến đồ thị.
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C).
- Cho hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị (C).
- Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình
( )
; 0f x m
=
?

o Biến đổi phương trình
( )
; 0f x m
=
về dạng
( ) ( )
f x g m
=
.
o Trong đó:

( )
y f x
=
có đồ thị (C).

( )
y g m
=
là một đường thẳng d song song với trục hoành.
o Số nghiệm của phương trình
( ) ( )
f x g m
=
chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng d.
o Dựa vào đồ thị ta lập bảng sau:
( )
g m
m

Số giao điểm của d
và (C).
Số nghiệm của
phương trình
9
9
( )
g m
=CĐ
( )
g m
>CĐ
( )
g m
=CT
( )
g m
<CT
CT<
( )
g m
<CĐ
Ví dụ 1: Cho hàm số y=
3 2
3 1x x
− +
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
3 2

3 1 0x x m
− − + =
.
3. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
3 2
2 6 2 2 0x x m
− + + =
.
Ví dụ 2: Cho hàm số y=
3
1
3
4
x x
−
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
3
12 4 4 0.x x m
− + − =
BTVN: Cho hàm số y=
3 2
6 9 1x x x
− + −
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
3 2
6 9x x x

− +
+m=0.
3. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
3 2
6 9x x x
− + −
+2m=0.
Ví dụ 3: Cho hàm số y=
4 2
2x x
−
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
4 2
2x x
− +
+2m-4=0.
3. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
4 2
1 1
4 2
x x
−
-m+
1
2
=0.
Ví dụ 4: Cho hàm số y=
4 2

2 1x x
− +
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
4 2
2x x
−
-2+m=0.
3. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
4 2
2x x
− +
+2m-1=0.
BTVN: Cho hàm số y=
4 2
2x x
− +
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
4 2
2x x
−
-2+m=0.
10
10
3. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
4 2
2x x

− +
+2m-4=0.
Ví dụ 5: Cho hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
1
1
x
x
−
+
=m.
3. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
1
1
x
x
−
+
-1+m=0.
Ví dụ 6: Cho hàm số

2
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
2
1
x
x
−
−
=m.
3. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
2
1
x
x
−
−
-1+2m=0.
Câu hỏi: Các bước biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị?
Dạng 2: Tìm tham số m để đường thẳng song song trục hoành cắt đồ thị (C).
- Cho hàm số
( )

y f x
=
có đồ thị (C).
- Cho đường thẳng d:
( )
y g m
=
song song với trục hoành.
o Tìm tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị (C)?
o Cách giải: Do d song song trục hoành nên dựa vào đồ thi (C) ta suy ra m.
Ví dụ 1: Cho hàm số y=
3 2
6 9x x x
− + −
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm tham số m để đường thẳng y=m+1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
3. Tìm tham số m để đường thẳng y=1-2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
4. Tìm tham số m để đường thẳng y=-4m cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất.
Ví dụ 2: Cho hàm số y=
4 2
2 4 2x x
− +
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm tham số m để đường thẳng y=m+1 cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt.
3. Tìm tham số m để đường thẳng y=1-2m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
4. Tìm tham số m để đường thẳng y=-4m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
BTVN 1: Cho hàm số y=
3

2 6x x
− +
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm tham số m để đường thẳng y=m+1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
3. Tìm tham số m để đường thẳng y=1-2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
4. Tìm tham số m để đường thẳng y=-4m cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất.
BTVN 2: Cho hàm số y=
4 2
2 4x x
− +
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
11
11
2. Tìm tham số m để đường thẳng y=m+1 cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt.
3. Tìm tham số m để đường thẳng y=1-2m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
4. Tìm tham số m để đường thẳng y=-4m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Câu hỏi: Các bước tìm tham số m để một đường thẳng song song trục hoành cắt đồ thị hàm số tại số
điểm đã chỉ ra?
Vấn đề 2: Tìm giao điểm của hai đồ thị.
Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C).
o Cho hàm số
( )y f x
=
có đồ thi (C) và đường thẳng d:
( )y g x
=
.
o Tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d?

Cách giải:
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm:
( ) ( )f x g x
=
(*).
- Bước 2: Số nghiệm pt (*) bằng với số giao điểm của (C) và d.
o Nếu pt (*) có một nghiệm thì (C) cắt d tại một điểm.
o Nếu pt (*) có hai nghiệm thì (C) cắt d tại hai điểm.
o Nếu pt (*) có ba nghiệm thì (C) cắt d tại ba điểm.
o Nếu pt (*) có bốn nghiệm thì (C) cắt d tại bốn điểm.
o Nếu pt (*) vô nghiệm thì (C) không cắt d.
Chú ý: Cách tìm giao điểm của hai đồ thị (C).
o Cho hàm số
( )y f x
=
có đồ thi (C
1
) và
( )y g x
=
có đồ thị (C
2
).
o Tìm giao điểm của (C
1
) và (C
2
)?
Cách giải:
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm:

( ) ( )f x g x
=
(*).
- Bước 2: Số nghiệm pt (*) bằng với số giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
và đường thẳng x-y+3=0.
Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
và đường thẳng y=-5x+2.
Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số
3 2

6 8 1y x x x
= − + +
và đường thẳng x+y-1=0.
Ví dụ 4: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số
4 2
2 1y x x x
= − + +
và đường thẳng 2x-y+1=0.
BTVN
1. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
và đường thẳng x-y=0.
2. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
3 3 4y x x x
= + + −
và đường thẳng 3x-y-4=0
3. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
3 1y x x
= − +
và đường thẳng y=x-2.
4. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số

3
4 3y x x
= −
và đường thẳng y=x+2.
12
12
Ví dụ 5: Tìm giao điểm của hai đường cong:
1.
4 2 2
2 1, 2 1y x x y x
= − + = +
. 2.
4 2 2
2 1, 2 2y x x y x
= − + = −
.
3.
2
2
, 1
2
y y x
x
= = +
−
. 4.
2 4
1
x
y

x
− −
=
+
,
2
4y x
= −
5.
2 2
2 3, 2y x x y x x
= + − = − − +
6. y=
3 2
2 3 1x x
+ +
, y=2x
2
+1.
Câu hỏi: Các bước tìm giao điểm của đường thẳng d và đường cong (C).
Dạng 2: Biện luận số giao điểm theo tham số m.
o Cho hàm số
( ; )y f x m
=
có đồ thi (C
1
) và đường thẳng d:
( ; )y g x m
=
.

o Tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d?
Cách giải:
- Bước 1:
o Lập phương trình hoành độ giao điểm:
( ; ) ( ; )f x m g x m
=
(*).
o Thu gọn phương trình hoành độ giao điểm.
- Bước 2:
o Số nghiệm pt (*) bằng với số giao điểm của (C) và d.
o Dựa vào phương trình hoành độ giao điểm biện luận số giao điểm theo m.
Ví dụ 1: Cho hàm số
4
4
y
x
=
−
có đồ thị (C) và đường thẳng d: y=mx-2m. Biện luận theo m số giao
điểm của (C) và d.
Ví dụ 2: Cho hàm số
1
x
y
x
=
−
có đồ thị (C) và đường thẳng d: y=mx+1. Tìm m để đường thẳng d cắt
đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số

( )
3 2
3 2 3y x x m x
= − + −
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
BTVN:
Câu 1: Tìm m để đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số y
2
2
x
x
−
=
+
tại hai điểm phân biệt.
Câu 2: Tìm m để đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số y
2
2
x
x
−
=
+
tại hai điểm phân biệt thuộc hai
nhánh khác nhau.
Câu 3: Tìm m để đồ thị hàm số
( ) ( )
3 2
2 1 1y mx m x m x
= − − + +

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Câu 4: Tìm m để đường thẳng
8
3
y mx
= +
cắt đồ thị hàm số
3 2
2 8
4
3 3
y x x x
= − − +
tại 3 điểm phân biệt.
Câu 5: Tìm m để đồ thị hàm số
4 2
2 1y x mx
= − +
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
13
13
Ví dụ 3: Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=
1
1
x
x
−
+
luôn luôn cắt đường thẳng (d): y=m-x với
mọi giá trị m.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=
2
4
1
x x
y
x
− +
=
−
luôn luôn cắt đường thẳng (d):
y=2x+m với mọi giá trị m.
BTVN
Câu 1: Chứng minh rằng đường thẳng (d): y=-x+m luôn luôn cắt đồ thị (C) của hàm số y=
2 1
2
x
x
+
+
tại hai
điểm phân biệt.
Câu 4: Chứng minh rằng đường thẳng y=2x+m cắt đồ thị hàm số y
2 2
1
x
x
+
=
−

tại hai điểm phân biệt thuộc
hai nhánh khác nhau.
Câu 5: Chứng minh rằng đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số y
2
2
x
x
+
=
−
tại hai điểm phân biệt thuộc
hai nhánh khác nhau.
Câu hỏi: Các bước biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng d.
Câu hỏi: Các bước chứng minh đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt?
Vấn đề 3: Phương trình tiếp tuyến.
o Có hai dạng phương trình tiếp tuyến.
 Tiếp tuyến tại điểm
( )
0 0
;M x y
nằm trên đồ thị (C) của hàm số.
 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.
o Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và hệ số góc của tiếp tuyến.
 Tìm điểm thuộc đồ thị thỏa mãn về tính chất của hệ số góc.
 Tìm tham số m thỏa mãn về tính chất của hệ số góc.
• Các dạng phương trình tiếp tuyến:
Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm
( )
0 0
;M x y

thuộc đồ thị hàm số.
Bước 1:
 Phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
0 0
;M x y
có dạng:
0 0 0
'( )( )y f x x x y
= − +
(1).
Bước 2:
o Nếu đề cho x
0

thì ta tính y
0
sau đó tính hệ số góc là
0
'( )f x
.
o Nếu đề cho y
0
thì ta tính x
0
sau đó tính hệ số góc là
0
'( )f x
.
Bước 3:

 Thế x
0
, y
0
và
0
'( )f x
vào phương trình
0 0 0
'( )( )y f x x x y
= − +
thu gọn ta được pttt.
14
14
Chú ý: Các trường hợp sau.
• Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.
o Ta có:
0
0x
=
, tính
0
y
.
• Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.
o Ta có:
0
y
=0, giải phương trình tìm
0

x
.
• Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d.
o Bước 1: Ta giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm giao điểm của d và (C).
o Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm vừa tìm được.
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
3 4y x x
= + −
có đồ thị (C).
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -2.
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng -4.
3. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục tung.
4. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành.
BTVN: Cho hàm số
3 2
3 4y x x
= − − +
có đồ thị (C).
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -2.
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 4.
3. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục tung.
4. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành.
Ví dụ 2: Cho hàm số
4 2
2 1y x x
= − +
có đồ thị (C).
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -2.
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 1.

3. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục tung.
4. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành.
BTVN: Cho hàm số
4 2
2 1y x x
= − + −
có đồ thị (C).
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -2.
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng -1.
3. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục tung.
4. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2.
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng
5
2
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục tung.
4. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành.
BTVN: Cho hàm số
2 2

2
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C).
15
15
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -3.
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng -4.
3. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục tung.
4. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành.
Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm được chỉ ra:
a.
( )
( )
4 2
: 6 5C y f x x x= = - +
tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình
( )
0
'' 0f x
=
.
b.

( )
( )
3 2
: 6 9 1C y f x x x x= = - + +
tại điểm có hoành độ x
0
, biết
( )
0 0
'' 6 12 0f x x
+ − =
.
c.
( )
( )
2 1
:
2
x
C y f x
x
-
= =
+
tại điểm có hoành độ x
0
, biết
( )
0
' 5f x

=
.
BTVN: Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm được chỉ ra:
a.
( )
( )
4 2
1
: 2 1
4
C y f x x x= = - +
tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình
( )
0
'' 8f x
=
.
b.
( )
( )
4 2
1
: 2
4
C y f x x x= = -
tại điểm có hoành độ x
0

, biết
( )
0
'' 1f x
= −
.
c.
( )
( )
3 2
: 3 2C y f x x x= = - +
tại điểm có hoành độ x
0
, biết
( )
0
'' 2 0y x
+ =
.
d.
( )
( )
2
:
2
x
C y f x
x
= =
-

tại điểm có hoành độ x
0
, biết
( )
0
' 4 0f x
+ =
.
Ví dụ 5: Cho hàm số
2 x 1
y
x 1
+
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
là nghiệm của phương trình:
( )
3y' x 1 0
+ =
.
Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đt hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−

và đường thẳng x-y+3=0.
Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đt hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
và đường thẳng y=-5x+2.
Ví dụ 8: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
6 9 9y x x x
= − + − +
và đường
thẳng x+y-9=0.
BTVN: Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại các giao điểm của
( )
C
với các đường được chỉ ra:
a.
( )

3 2
: 2 3 9 4 & : 7 4C y x x x d y x= - + - = +
.

b.
( )

3 2 2
: 2 3 9 4 & : 8 3C y x x x d y x x= - + - = - + -
.
16
16
c.
( ) ( )

3 2 3 2
: 2 3 9 4 & ' : 4 6 7C y x x x C y x x x= - + - = - + -
.
Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.
• Đề đã cho hệ số góc k, ta đi tính x
0
và y
0
.
Bước 1:
 Phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
0 0
;M x y
có dạng:
0 0 0
'( )( )y f x x x y
= − +
(1).

Bước 2:
o Nếu đề cho hệ số góc k thì ta giải phương trình
0
'( )f x
=k để tìm x
0
rồi tính y
0
.
o Nếu đề cho tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì:
 Tiếp tuyến có hệ số góc k=a.
 Ta giải phương trình
0
'( )f x
=k=a để tìm x
0
rồi tính y
0
.
o Nếu đề cho tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì:
 Tiếp tuyến có hệ số góc
. 1k a
= −
hay k=
1
a
−
.
 Ta giải phương trình
0

'( )f x
=k=
1
a
−
để tìm x
0
rồi tính y
0
.
Bước 3:
Thế x
0
, y
0
và hệ số góc
( )
0
'f x k
=
vào phương trình
0 0 0
'( )( )y f x x x y
= − +
suy ra pttt.
Chú ý:
 Nghiệm của phương trình
0
'( )f x
=a chính là hoành độ tiếp điểm.

 Điểm
( )
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến
D

của
( )
C
, biết rằng
D
có hệ số góc
k
được chỉ ra:
a.
( )

3
: 3 2; 9C y x x k= - + =
b.
( )

2 1
: ; 3
2
x
C y k
x

-
= = -
-
BTVN: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.
a.
( )

3 2
: 6 9 3; 9C y x x x k= - + - =
b.
( )

2
: ; 4
2
x
C y k
x
= = -
-
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho
trước.
a.
( )
d: 9x+y=0
3 2
: 6 9 ,C y x x x= - + -
17
17
b.

( )
d: y=3x+2
5
: ;
2
x
C y
x
-
=
-
BTVN: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho
trước.
a.
( )
d: y=4x+2
3 2
1 1 4
: 2 ,
3 2 3
C y x x x= + - -
b.
( )
d: y=4-4x
2
: ;
2
x
C y
x

- +
=
+
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho
trước.
a.
( )
d: x-4y=0
3 2
2 8
: 4 ,
3 3
C y x x x= - - +
b.
( )
d: x+y+1=0
1
: ;
2
x
C y
x
+
=
+

( )
d: x-3y=0
2
3 6

. : ;
1
x x
c C y
x
+ +
=
+
BTVN: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho
trước.
a.
( )
d: x+9y=0
3
: 3 2,C y x x= - +
b.
( )
1 1
d: y=- x+
2 2
1
: ;
1
x
C y
x
-
=
+
Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến

D
của
( )
C
, biết
D
tạo với chiều dương trục hoành
Ox
một
góc
a
. Chú ý: Nếu đường thẳng d: y=kx+m hợp với chiều dương trục Ox một góc
α
thì
tank
α
=
.
( )

3
2
. : 2 4 ; 45
3
o
x
a C y x x
a
= - + - =
.

( )

3 2
. : ; 45
1
o
x
b C y
x
a
+
= =
+
Ví dụ 5. Viết phương trình tiếp tuyến
D
của
( )
C
, biết
D
tạo với đường thẳng
d
một góc
a
:
Chú ý: Cho d: y=kx+m và d’: y=k’x+m’. Nếu d và d’ hợp với nhau một góc
a
thì
'
tan

1 . '
k k
k k
α
−
=
+
.
( )

3
2
. : 2 4 & : 3 7 ; 45
3
o
x
a C y x x d y x
a
= - + - = + =
.
18
18
( )

4 3
. : & : 3 ; 45
1
o
x
b C y d y x

x
a
-
= = =
-
.
Ví dụ 6. Tính diện tích tam giác chắn hai trục tọa độ bởi tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm được chỉ ra:
( )

5 11
. :
2 3
x
a C y
x
+
=
-
tại điểm
A
có hoành độ là
2
A
x =
.
( )

2
. : 27 25b C y x x= - +
tại điểm
B
có
0
B
x =
.
Ví dụ 7. Tìm
m
để tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm được chỉ ra chắn hai trục tọa độ một tam giác có
diện tích
S
cho trước:
( )

2
. :
1
x m
a C y
x
+
=
-
tại điểm

A
có
2
A
x =
và
1
2
S =
.
( )
( )

3
. : 1 1b C y x m x= + - +
tại điểm
C
có
0
C
x =
và
8S =
.
Ví dụ 8: Cho hàm số
4 2
1 1
2 2
y x x
= − +

có đồ thị (C). Tìm các điểm
0
M
thuộc đồ thị (C), biết tiếp
tuyến tại
0
M
song song với đường thẳng y=1-12x.
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm háy xuất phát từ điểm A.
• Điều kiện để hai đường tiếp xúc nhau
- Điều kiện cần và đủ để hai đường
( ) ( )
1
:C y f x=
và
( ) ( )
2
:C y g x=
tiếp xúc nhau là hệ phương
trình
( ) ( )
( ) ( )
( )

' '
f x g x
f x g x
ì
ï
=

ï
ï
*
í
ï
=
ï
ï
î
có nghiệm.
- Nghiệm của hệ
( )
*
là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
3 2
1
3
y x x
= −
, biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(3;0).
Bài giải
- Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;0) và có hệ số góc là k.
- Phương trình đường thẳng d có dạng:
( )
0 0
y k x x y
= − + ⇔
y=kx-3k.

- Để đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ phương trình
( )
( )
3 2
2
1
3 1
3
2 2
x x kx k
x x k

− = −



− =


có nghiệm.
19
19
- Thế (2) và (1) giải phương trình ta được:
0 0 0
3 3 3 9
x k y
x k y x
= ⇒ = ⇒ =



= ⇒ = ⇒ = −

BTVN:
1. Viết pt tiếp tuyến với đt hàm số
3 2
2 6 5y x x
= − + −
, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;-13).
2. Viết pt tiếp tuyến với đt hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;3).
Ví dụ 2: Cho hàm số
3
2 16y x mx
= − +
có đồ thị (C
m
). Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với trục hoành.
Bài giải
- Trục hoành có phương trình là: y=0.
- (C

m
) có phương trình là:
3
2 16y x mx
= − +
.
- Để (C
m
) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi hệ phương trình
( )
( )
3
2
2 16 0 1
3 2 0 2
x mx
x m

− + =


− =


có nghiệm.
o Từ (2) suy ra: 2m=3x
2
.
o Thế vào (1), ta được:
3 3 3

3 16 0 2 16 0x x x
− + = ⇔ − + =

3 3
2 16 8 2x x x
⇔ − = − ⇔ = ⇔ =
Vậy với x=2, suy ra m=6.
BTVN:
1. Tìm m để hàm số
3
y x mx m
= − + +
tiếp xúc với trục Ox.
2. Tìm m để đồ thị hàm số
( )
3 2
2 1 1y x m x m
= − + + − −
tiếp xúc với đường thẳng y=2mx-m-1.
• Chú ý: Nếu
( )
1
:C y p x q= +
và
( )
2
2
:C y ax bx c= + +
thì
( )

1
C
tiếp xúc với
( )
2
C

Û
phương trình
2
ax bx c px q+ + = +
có nghiệm kép.
Vấn đề 4: Bài toán tham số m về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Dạng 1. Tìm tham số m để hàm số bậc ba luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên
¡
.
Phương pháp:
 Tập xác định: D=
¡
. Tính y’ theo biến x.
 Để hàm số luôn luôn đồng biến trên
¡
⇔
y’
≥
0,
x
∀ ∈
¡
0

0
a
>

⇔

∆ ≤

.
 Để hàm số luôn luôn nghịch biến trên
¡
⇔
y’
≤
0,
x
∀ ∈
¡
0
0
a
<

⇔

∆ ≤

.
 Cần nhớ : Cho tam thức bậc hai:
( ) ( )

2
x , 0f x a bx c a
= + + ≠
.
20
20

2
0 0
x 0, x v
0 ' 0
a a
a bx c
> >
 
+ + ≥ ∀ ∈ ⇔
 
∆ ≤ ∆ ≤
 
¡


2
0 0
x 0, x v
0 ' 0
a a
a bx c
< <
 

+ + ≤ ∀ ∈ ⇔
 
∆ ≤ ∆ ≤
 
¡
.
Ví dụ:
1. Tìm m để hàm số
3 2
1
( 6) (2 1)
3
y x mx m x m
= + + + − +
luôn luôn đồng biến trên tập xác định.
2. Tìm m để hàm số y=
3 2
1
2
3
x mx mx
− − + −
luôn luôn nghịch biến trên tập xác định của hàm số.
3. Tìm m để các hàm số y = mx
3
+ 3x
2
+ 3mx nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
4. Chứng minh rằng không có giá trị m để hàm số y=
3 2 2

( 1) (2 3 2) 2 ( 1)x m x m m x m m
− + − − + + −

luôn luôn đồng biến trên
¡
với mọi m.
BTVN :
1. Tìm m để hàm số y=
3 2
2 3( 2) 6( 1) 3 5x m x m x m
− + + + − +
luôn luôn đồng biến trên
¡
.
2. Tìm m để hàm số y=
3 2
4 ( 3)x m x mx
+ + +
luôn luôn đồng biến trên tập xác định của nó.
3. Chứng minh rằng hàm số
3 2 2
(2 1)y x mx m m x m
= − + − − + +
luôn luôn nghịch biến với mọi m.
Dạng 2 : Tìm tham số m để hàm số y=
ax b
cx d
+
+
(đk

0, 0c ad bc
≠ − ≠
) luôn luôn đồng biến hoặc luôn
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Phương pháp:
 Tập xác định: D=
\
d
c
 
−
 
 
¡
. Tính y’=
2
( )
ad bc
cx d
−
+
.
 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
' 0,y x D
⇔ > ∀ ∈
.
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
' 0,y x D
⇔ < ∀ ∈
.

Ví dụ.
1. Tìm m để hàm số y=
1
1
mx
x
+
−
đồng biến trên tập xác định của hàm số.
2. Tìm m để hàm số y
(2 3) 2
2
m x
x
− −
=
−
nghịch biến trên tập xác định của nó.
3. Chứng minh rằng hàm số y=
1
2
mx
x m
−
+
luôn luôn đồng biến trên tập xác định của nó.
BTVN.
1. Tìm m để hàm số y=
2mx m
x m

− +
+
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
21
21
2. Chứng minh rằng hàm số y=
2
2
mx
x m
+
−
luôn luôn nghịch biến trên tập xác định của nó.
Vấn đề 5: Bài toán tham số m về cực trị của hàm số.
Dạng 1: Tìm m để hàm số bậc ba có cực trị (có cực đại và có cực tiểu):
Cách giải:
- Tập xác định: D=
¡
.
- Tính đạo hàm y’=….Cho y’=0 (*).
- Để hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
⇔

0
0
a
≠



∆ >

.
Ví dụ.
1. Tìm m để hàm số y=
3 2
3 3 1x x mx m
− + + −
có cực đại và cực tiểu (có cực trị).
2. Tìm m để hàm số y=
3 2
1 1
( 1)
3 2
x x m x
+ + +
có cực đại và cực tiểu (có cực trị).
3. Chứng minh rằng hàm số y=
3 2
2 1
3 2
x mx
x
− − +
luôn có cực đại và cực tiểu.
4. Chứng minh rằng hàm số y=
3
2 2 2
( 1) 1

3
x
mx m x m
− + − + −
luôn có cực đại và cực tiểu.
BTVN.
1. Tìm m để hàm số y=
3 2 2 2
3( 1) (3 7 1) 1x m x m m x m
− + + − + − + −
có cực đại và cực tiểu.
2. Tìm m để hàm số
3
( 3) 2 3y m x mx
= − − +
có cực đại và cực tiểu.
3. Chứng minh rằng hàm số y=
3 2
2 1
3 2
x mx
x
− − +
luôn có cực đại và cực tiểu.
4. Chứng minh rằng hàm số y=
3
2 2 2
( 1) 1
3
x

mx m x m
− + − + −
luôn có cực đại và cực tiểu.
5. Chứng minh rằng hàm số y=
3 2 2
(2 1)x mx m m x m
− + − − + +
không có cực trị.
6. Tìm m để hàm số
y
=
( ) ( )
2
2 1 1x m x m
x m
− + + + −
−
có cực trị.
7. Tìm m để hàm số
y
=
2
2
1
x mx
x
− +
+
có cực đại và cực tiểu.
8. Chứng minh rằng hàm số

( )
( )
2 2
1 2 1x m x m
y
x m
− + − +
=
−
không có cực trị với mọi m.
Dạng 2: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x
0
.
Loại 1: Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x
0
: Loại 2: Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x
0
:
22
22
- Tập xác định D=
¡
.
- Tính
'
''
y
y
=



=

- Hàm số đạt cực đại tại x
0

0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=

⇔

<


- Tập xác định D=
¡
.
- Tính
'
''
y
y
=



=

- Hàm số đạt cực tiểu tại x
0

0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=

⇔

>

.
Ví dụ 1. Cho hàm số
( )
4 2
1 4 2y m x mx
= + − +
.
1. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=0.
2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
3. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=-1.
Ví dụ 2.
1. Tìm m để hàm số y=
3 2 2

1
( 1) 1
3
x mx m m x
− + − + +
đạt cực đại tại x=1.
BTVN.
2. Tìm m để hàm số y=
3 2
(2 1) ( 5) 1x m x m x
− − − + − +
đạt cực tiểu tại x=1.
3. Tìm m để hàm số y=
3 2
2
( ) 5
3
x mx m x
− + − +
đạt cực tiểu tại x=1.
4. Tìm m để hàm số y=
3 2
1x mx
+ +
đạt cực đại tại x=0.
Chú ý : Nếu bài toán chỉ yêu cầu định m để hàm số đạt cực trị (tức đạt cực đại hoặc cực tiểu) tại x
0
thì
ta áp dụng điều kiện sau:
Hàm số đạt cực trị tại x

0
khi va chỉ khi
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


≠

.
Ví dụ. Định m để hàm số y=
3 2
(2 1) ( 5) 1x m x m x
− − − + − +
đạt cực trị tại x=1.
BTVN.
1. Định m để hàm số y=
3 2
3 5 2mx x x
+ + +
đạt cực trị tại x=2.
2. Định m để hàm số y=
3 2 2 2
1
( 2) (3 1)
3

x m m x m x m
+ − + + + +
đạt cực trị tại x=-2.
Dạng 3: Tìm m để hàm trùng phương y=ax
4
+bx
2
+c có cực trị.
Loại 1: Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
(hay hàm số có ba cực trị).
Loại 2: Tìm m để hàm số có cực đại hoặc cực tiểu
(hay hàm số chỉ có một cực trị)
- Tập xác định: D=R.
- Tính y’=4ax
3
-2bx.
- Tập xác định D=R.
- Tính y’=4ax
3
-2bx.
- Cho y’=0
23
23
- Cho y’=0
3
2
2
4 2 0
(4 2 ) 0
0

( ) 4 2 0 (*)
ax bx
x ax b
x
f x ax b
⇔ − =
⇔ − =
=

⇔

= − =

- Để hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ
khi pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

0
(0) 0f
∆ >

⇔

≠


3
2
2
4 2 0
(4 2 ) 0

0
( ) 4 2 0 (*)
ax bx
x ax b
x
f x ax b
⇔ − =
⇔ − =
=

⇔

= − =

- Để hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ
khi pt (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
hoặc có nghiệm bằng 0

0
(0) 0f
∆ ≤

⇔

=

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số có ba cực trị.
1.
4 2
2 1y x mx m

= − + +
2.
4 2 2
( 1) 1y mx m x
= + − +
BTVN. Tìm m để hàm số có ba cực trị.
1.
4 2
2y mx x m
= − +
2.
4 2
2 1y mx mx
= + −
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số có một cực trị.
1.
4 2
2 1y x mx m
= − + +
2.
4 2 2
( 4) 1y mx m x
= + − +
BTVN. Tìm m để hàm số có một cực trị.
1. y=
4 2 2
( 4) 1mx m x
+ − −
2. y=
4 2

( 2) 5 1mx m x m
+ − − +
.
Vấn đề 5: Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số thỏa điều kiện cho trước.
Dạng 1: Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ là các số nguyên.
Cách giải:
Thực hiện phép chia biến đổi về dạng:
ax b B
y A
cx d cx d
+
= = +
+ +
hoặc
2
a'x ' 'b x c B
y x
cx d cx d
α β
+ +
= = + +
+ +
- Gọi M(x;y) là điểm thuộc đồ thị (C) có tọa độ là các số nguyên.
- Để x, y nguyên
⇔
B chia hết cho (cx+d) (hay cx+d là ước của B).

1
2
: ( ; ).

: ( ; )

cx d x y M
cx d x y M
+ = ⇒ = ⇒ =


⇔ + = ⇒ = ⇒ =



Ví dụ. Tìm trên đồ thị hàm số các điểm có tọa độ là những số nguyên.
1. y=
2 1
1
x
x
+
+
2. y=
3
1
x
x
+
+
3. y=
2
2
1

x x
x
+ +
−
BTVN. Tìm trên đồ thị hàm số các điểm có tọa độ là những số nguyên.
1. y=
1
1
x
x
+
−
2. y=
2
2 4
4
x x
x
− −
−
3. y=
2
1
x
x
−
Dạng 2: Tìm trên đồ thị hàm số các điểm cách đều hai trục tọa độ.
24
24
Phướng pháp.

- Gọi M(x;y) là điểm thuộc đồ thị và cách đều hai trục tọa độ.
- Để M(x;y) cách đều hai trục Ox và Oy
y x
x y
y x
=

⇔ = ⇔

= −

.
- Vậy M là giao điểm của đồ thị (C) và hai đường phân giác y=x và y=-x.
Ví dụ. Tìm trên đồ thị hàm số các điểm cách đều hai trục tọa độ.
1.
2 1
1
x
y
x
+
=
+
2.
2
1
2
x x
y
x

− +
=
+
3.
2 3
1
x
y
x
+
=
−
4.
2
3 1
1
x x
y
x
− +
=
−
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
25
25