BÀI TẬP ÔN MÔN TOÁN LỚP 11 ppsx

Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


64















O DIN: TRUNG đp trai hehe
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


2
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


63
®Ò 2

Bài 1: Tìm
a)
6
293
lim
3
23
2
−
−
−−+
→
x
x
xxx
x
b)
2
1
32
lim
1
x
x
x
→
+
−
−

Bài 2: Xét tính liên tc ca hàm s sau trên tp xác đnh ca nó:

⎧
++
≠
−
⎪
=
+
⎨
⎪
⎩
2
32
, khi x 2
()
2
3 , khi x = -2
xx
fx
x

Bài 3: Cho hàm s y = f(x) = 2x
3
– 6x +1 (1)
a) Tìm đo hàm cp hai ca hàm s (1) ri suy ra (5)f
′
′
−
.

b) Vit phng trình tip tuyn ca đ th hàm s (1) ti
đim M
o
(0; 1).
c) Chng minh PT f(x) = 0 có ít nht mt nghim nm
trong khong (-1; 1).
Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cnh
a có góc BAD = 60
0
và SA=SB = SD = a.
a) Chng minh (SAC) vuông góc vi (ABCD).
b) Chng minh tam giác SAC vuông.
c) Tính khong cách t S đn (ABCD).











www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


62
MT S  THI THAM KHO

®Ò 1

Câu 1:
Tính gii hn ca hàm s
a)
2
3
299
lim
3
x
xx
x
→
−−
−
b)
2
241
lim
32
x
x
x
x
→−∞
−
+
−
+

Câu 2:
Xét tính liên tc ca hàm s trên tp xác đnh ca nó:
f(x) =
2
210
2
24
417 2
xx
x
x
xx
⎧
−++
<−
⎪
+
⎨
⎪
+≥−
⎩
nÕu
nÕu

Câu 3:
Tính đo hàm ca các hàm s:
a) y = 3x
3
- 4x

2
+ 8
b) y =
2
251
34
x
x
x
+−
−

c) y = 3sin3x - 3cos
2
4x
Câu 4:

a) Vit phng trình tip tuyn ca đ th hàm s (C)
y = - 2x
4
+ x
2
– 3 ti đim thuc (C) có hoành đ x
0
= 1.
b) Cho hàm s y = x.cosx.
Chng minh rng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân  B và


A
BC
=120
0
, SA ⊥ (ABC) và SA = AB = 2a. Gi O là trung
đim ca đon AC, H là hình chiu ca O trên SC.
a) Chng minh: OB ⊥ SC.
b) Chng minh: (HBO) ⊥ (SBC).
c) Gi D là đim đi xng vi B qua O. Tính khong
cách gia hai đng thng AD và SB.


Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


3
Chng I:
HÀM S LNG GIÁC – PHNG TRÌNH
LNG GIÁC

PHN 1. HÀM S LNG GIÁC

Bài 1. Tìm tp xác đnh ca các hàm s sau:
1.
1
sin
1
+
=
−

x
y
x
2.
3sin2
2cos3
=
x
y
x

3.
cot(2 )
4
π
=−yx
4.
2
tan( 5 )
3
π
=+yx

5.
1
cos
1
−
=
+

x
y
x
6.
sin 2
cos 1
+
=
+
x
y

7.
1
sin cos
=
−
y
x
x
8.
22
3tan
cos sin
+
=
−
x
y
x

x

9.
sin cos
cos 1 1 sin
=+
−+
x
x
y
x
x
10.
2
1
2sin
tan 1
=+ −
−
yx
x

Bài 2. Xác đnh tính chn, l ca các hàm s:
1.
cos3
x
y
x
= 2. 22sinyx x
=

−
3.
2
sinyxx=+ 4.
2
1
tan 1
2
yx
=
+
5.
2
3sin cosyxx=−
6.
tan 2cosyx x
=
+

Bài 3. Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca các hàm s:
1.
y 2sin(x ) 3
3
π
=−+ 2.
1
y=3- cos2x
2

3.

2
13cos
y=
2
x
+
4. 24sincosyxx
=
−
5.
2
4sin cos2yxx=− 6. 3cos2 1yx
=
+
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


4
7. 73sin3yx=− 8.
22
52sin cosyxx=−

Bài 4. Hãy xét s bin thiên và v đ th các hàm s sau:
1. sinyx=− 2. 2sinyx=−
3.
sin( )
3
yx
π

=+ 4. cos 1yx=+

PHN 2. PHNG TRÌNH LNG GIÁC

DNG 1. PHNG TRÌNH LNG GIÁC C BN

Bài 1. Gii các phng trình sau:
1.
1
sin3
2
x =
2.
2
cos2
2
x =−

3.
tan( ) 3
4
x
π
−= 4.
sin2 sin2 cos 0
x
xx
−
=

5. sin3 cos2 0
x
x−= 6. tan4 cot2 1
x
x
=

7.
2cos( ) 1 0
6
x
π
−+= 8. tan(2 ) tan3 0
3
xx
π
+
+=
9.
2
cos 2sin 0
2
x
x −= 10.
44
2
cos sin
2
xx−=

11.
1
sin cos sin cos
23 322
xx
ππ
+=
12.
33
2
sin cos cos sin
8
xx xx−=

13.
22 2
cos cos 2 cos 3 1xxx++=
14.
2
2
17
sin 2 cos 8 sin( 10 )
2
x
xx
π
−= +
15.
46
cos sin cos2

x
xx+=
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


61
3. Dng và tính đ dài đon vuông góc chung ca AB và
SD
4. Tính : d
[
]
)(, SACM
Bài 6. Cho hình lng tr ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′
= a, đáy ABC là tam giác vuông ti A có BC = 2a, AB = a 3 .
1. Tính khong cách t AA′ đn mt phng (BCC′B′).
2. Tính khong cách t A đn (A′BC).
3. Chng minh rng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khong cách
t A′ đn mt phng (ABC′).
Bài 7. Cho hình lp phng ABCD.A’B’C’D’.
1. Chng minh: B’D
⊥
(BA’C’); B’D
⊥
(ACD’)
2. Tính d
(BA'C'),(ACD')
⎡
⎤
⎣
⎦

3. Tính d (BC'),(CD')
⎡
⎤
⎣
⎦

www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


60
1. OA và BC 2. AI và OC.
Bài 2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O,
cnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính khong cách gia hai
đng thng:
1. SC và BD. 2. AC và SD.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
canh a, SA
⊥
(ABCD) và SA =
3a . Tính:
1. Gia SC và BD ; gia AC và SD.
2. d
[]
)(, ABCDA
3. d
[]
)(, SBCO vi O là tâm ca hình vuông.

4. d
[]
)(, ABCDI vi I là trung đim ca SC.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông ti A và D AB = DC = a , SA
⊥
(ABCD) và SA = 2a
Tính :
1. d
[]
)(, SCDA ; d
[]
)(, SBCA
2. d
[]
)(, SCDAB
3. d
[]
)(, SCDAB
4. d
[]
)(, SBCDE , E là trung đim ca AB
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cnh a ,tam
giac SAD đu và (SAD)
⊥
(ABCD) .gi I là trung đim ca Sb
va K =CM ∩ BI
1. Chng minh (CMF)
⊥
(SIB)

2. Chng minh : tam giac BKF cân ti K
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


5
16.
1cos4 sin4
0
2sin2 1 cos4
xx
xx
−
−
=
+

17.
2
21
sin cos cos
2
xx x
+
+=
18.
2
(2 3)cos 2sin ( )
24
1
2cos 1

x
x
x
π
−−−
=
−

Bài 2. Gii và bin lun phng trình:
1. sin 2 1
x
m
=
−
2. (4 1)cos cos 8mxmx−=−
3. 4tan ( 1)tan
x
mm x
−
=+
4.
2
(3 2)cos2 4 sin 0mxmxm−+ +=
Bài 3. Tìm m đ phng trình:
1.
2sin( )
4
x
m
π

+
= có nghim (0; )
2
x
π
∈
2.
7
(2 )sin( ) (3 2)cos(2 ) 2 0
2
mx m xm
π
π
++−+ −+−= có
nghim.

DNG 2. PHNG TRÌNH BC HAI I VI MT
HÀM S LNG GIÁC

Bài 1. Gii các phng trình sau:
1.
2
4cos 2( 3 1)cos 3 0xx
−
++=
2.
2
2cos x 5sinx – 4 0
+
=

3. 2cos2x – 8cosx 5 0
+
=
4. 2cosx.cos2x 1 cos2x cos3x
=
++
5.
2
2
3
32tan
cos
=+
x
x

6. 5tan x 2cotx 3 0
−
−=
7.
2
6sin 3 cos12 4xx
+
=

www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


6

8.
2
cos2 3cos 4cos
2
xx
x
−=
9.
2cos4
cot tan
sin2
x
xx
x
=+
10.
2
cos (2sin 3 2) 2sin 3
1
1sin2
xx x
x
++ −
=
+

11.
44
3tan 2tan 1 0xx+−=
12.

11
cos sin
sin cos
xx
x
x
−= −

13.
2
2
11
cos 2(cos ) 1
cos
cos
xx
x
x
+− +=

14.
22
11
4
sin cos
sin cos
xx
xx
+=

Bài 2. Tìm m đ phng trình sau có nghim:

1.
2
cos (1 )cos 2 6 0xmxm+− + −=

2.
2
4cos 2 4cos2 3 3 0xxm−−−=

Bài 3. Cho phng trình: cos2 ( 2)sin 1 0
x
axa++ −−=
1. Gii phng trình đã cho khi a = 1.
2. Vi giá tr nào ca a thì phng trình đã cho có
nghim?

DNG 3. PHNG TRÌNH BC NHT THEO
SINu VÀ COSu

Bài 1. Gii các phng trình sau:
1.
2sincos3 =− xx

2.
1sin3cos −=− xx

Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11

59
1. Chng minh: (SAB)
⊥
(SAD), (SAB)
⊥
(SBC).
2. Tính góc gia hai mp (SAD), (SBC).
3. Gi H, I ln lt là trung đim ca AB và BC. Chng
minh: (SHC)
⊥
(SDI).
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông ti A. Gi O, I, J ln lt là
trung đim ca BC và AB, AC. T O k đon thng
OS
⊥
(ABC).
1. Chng minh: (SBC)
⊥
(ABC).
2. Chng minh: (SOI)
⊥
(SAB).
3. Chng minh: (SOI)
⊥
(SOJ).
Bài 11. Cho tam din ba góc vuông Oxyz (3 tia Ox, Oy, Oz đôi
mt vuông góc). Ln lt ly trên Ox, Oy, Oz các đim B, C, A
sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Các đng cao CH va BK ca
tam giác ABC ct nhau ti I.
1. Chng minh: (ABC)

⊥
(OHC).
2. Chng minh: (ABC)
⊥
(OKB).
3. Chng minh: OI
⊥
(ABC).
4. Gi , ,  ln lt là góc to bi OA, OB, OC vi OI.
Chng minh: cos
2
 + cos
2
 + cos
2
 = 1.

KHONG CÁCH

Bài 1. Cho hình t din OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gi I
là trung đim ca BC. Hãy dng và tính đ dài đon vuông góc
chung ca các cp đng thng:
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


58
1. Chng minh: (SBC)
⊥
(ABC).

2. Chng minh: (SOI)
⊥
(ABC).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cnh a. Tam
giác SAB đu nm trong mt phng vuông góc vi đáy. I, J, K
ln lt là trung đim ca AB, CD, BC.
1. Chng minh: SI
⊥
(ABCD).
2. Chng minh: trên mt phng SAD và SBC là nhng tam
giác vuông.
3. Chng minh: (SAD)
⊥
(SAB), (SBC)
⊥
(SAB).
4. Chng minh: (SDK)
⊥
(SIC).
Bài 7. Cho t din ABCD có cnh AD
⊥
(BCD). Gi AE, BF
là hai đng cao ca tam giác ABC, H và K ln lt là trc tâm
ca tam giác ABC và tam giác BCD.
1. Chng minh: (ADE)
⊥
(ABC).
2. Chng minh: (BFK)
⊥
(ABC).

3. Chng minh: HK
⊥
(ABC).
Bài 8. Trong mp (P) cho hình thoi ABCD vi AB = a, AC =
26
3
a
. Trên đng thng vuông góc vi mp (P) ti giao đim O
ca hai đng chéo hình thoi ta ly S sao cho SB = a.
1.
Chng minh: ∆ SAC vuông.
2. Chng minh: (SAB)
⊥
(SAD).
Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Gi S là đim trong không gian
sao cho SAB là tam giác đu và (SAB)
⊥
(ABCD).
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


7
3. sin3 3cos3 2xx+=
4.
2
2cos 3sin2 2xx−=

5.
2sin2 cos2 3cos4 2 0xx x
+

+=
6.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx −=−

7.
4
1
)
4
(cossin
44
=++
π
xx

8.
tan 3cot 4(sin 3 cos )
x
xx x−= +

9.
2
1
sin 2 sin
2
xx
+
=
10.
3

3sin3 3cos9 1 4sin 3
x
xx−=+
11.
3(1 cos2 )
cos
2sin
x
x
x
−
=

12.
cos sin
cot tan
sin cos
x
x
xx
x
x
−
−=
Bài 2. nh m đ phng trình sau đây có nghim:
1.
sin 2cos 3mx x
+
=
2.

sin2 cos2 2 0
x
mxm
+
+=
3.
cos3 ( 2)sin3 2mxm x
+
+=
4.
(sin 2cos 3) 1 cos
x
xm x
+
+=+
5.
(cos sin 1) sinmx x x
−
−=

6.
(3 4 )cos2 (4 3)sin2 13 0mxm xm++−+=

Bài 3. Cho phng trình: sin cos 1
x
mx
+
=
1. Gii phng trình khi
3m

=
− .
2. nh m đ phng trình trên vô nghim.

DNG 4. PHNG TRÌNH THUN NHT BC HAI
THEO SINu VÀ COSu

Bài 1. Gii các phng trình sau:
1.
22
sin x 3sinxcosx – 4cos x 0
+
=

www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


8
2.
22
3sin x 8sinxcosx ( 8 3 9)cos x 0++−=
3.
22
4sin x 3sin2x – 2cos x 4+=
4.
22
2sin x – 5sinx.cosx – cos x 2=−
5.
22

4sin 3 3sin 2cos 4
22
xx
x+−=
6.
22
2sin 6sin cos 2(1 3)cos 5 3xxx x+++=+
7.
32 3
sin 2sin cos 3cos 0xxxx+−=
8.
32 3
4sin 3sin cos sin cos 0xxxxx+−−=
9.
33 22
sin 3 cos sin cos 3sin cos
x
xxx xx−= −
10.
2
2tan cot 3
sin2
xx
x
+=+
Bài 2. Tìm m đ phng trình sau có nghim:
1.
22
sin 2sin2 3 cos 2mx xm x++ =
2.

22
sin sin2 ( 1)cos 0xm x m x−−+=

DNG 5. PHNG TRÌNH I XNG – PHN XNG

Bài 1. Gii các phng trình sau:
1.
2(sin cos ) 3sin cos 2 0
x
xxx++ +=
2.
()
3 sinx cosx 2sin2x 3 0+++=
3.
()
sin2x –12 sinx –cosx 12=−
4.
()
2 cosx sinx 4sinxcosx 1+= +
5. cosx –sinx –2sin2x –1 0=
6.
(1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2 0xx xx++− −−=
7.
33
sin cos 1 sin cos
x
xxx+=−
8.
33
sin cos 2(sin cos ) 1xx xx+= +−

9.
tancot 2(sincos)
x
xxx+= +
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


57
3. Gi BE, DF là hai đng cao ca tam giác SBD. Chng
minh rng: (ACF)
⊥
(SBC), (AEF)
⊥
(SAC).
Bài 2. Cho t din ABCD có các mt ABD và ACD cùng vuông
góc vi mt BCD. Gi DE ,BK là đng cao tam giác BCD và
BF là đng cao tam giác ABC
1.
Chng minh : AD
⊥
(BCD)
2.
Chng minh : (ADE)
⊥
(ABC)
3.
Chng minh : (BKF)
⊥
(ABC)
4.

Chng minh : (ACD)
⊥
(BKF)
5.
Gi O và H ln lt là trc tâm ca hai tam giác BCD và
ABC chng minh : OH
⊥
(ABC)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cnh
a. SA= SB= SC=a. Chng minh :
1.
(ABCD)
⊥
(SBD)
2.
Tam giác SBD là tam giác vuông.
Bài 4. Cho tam giác đu ABC cnh a, I là trung đim ca cnh
BC, D là đim đi xng ca A qua I. Dng đon SD =
6
2
a

vuông góc vi (ABC). Chng minh:
1.
(SAB)
⊥
(SAC).
2.
(SBC)
⊥

(SAD).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác là tam
giác vuông ti A, AB = 2a, AC = a, SA = SB = SC =
2a . Gi
O là trung đim ca BC, I là trung đim ca AB.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


56
3. Tính góc [(SMC), (ABC)].
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông ti A và D vi AB = 2a, AD = DC = a, SA =
2a . SA
⊥
(ABCD). Tính góc gia các mt phng.
1. (SBC) và (ABC).
2. (SAB) và (SCB).
3. (SCB) và (SCD).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm
O, cnh a

ABC = 60
0
, SO
⊥
(ABCD) và SO =
3
4
a

. Tính s đo
nh din cnh AB.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cnh a, tâm O, SA
⊥
(ABCD) và SA = x (x>0).
1. Tính sđ [S, BC, A] theo a và x. Tính x theo a đ s đo nh
din trên bng 60
0
.
2. Tính sđ[B, BC, D] theo a và x. Tính x theo a đ s đo nh
din trên bng 120
0

HAI MT PHNG VUÔNG GÓC

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA
⊥
(ABCD).
1.
Chng minh: (SAC)
⊥
(SBD).
2.
Chng minh: (SAD)
⊥
(SCD), (SAB)
⊥
(SBC).
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11

9
10.
cos2
sin cos
1sin2
x
xx
x
+=
−


Bài 2. nh m đ phng trình sau có nghim:
1.
sin cos 1 sin2
x
xmx
+
=+
2.
2
sin2 2 2 (sin cos ) 1 6 0xmxx m
−
++−=

DNG 6. PHNG TRÌNH LNG GIÁC KHÔNG MU
MC

Bài tp. Gii các phng trình sau:
1. sin .sin2 1
x
x
=
−
2.
2 100
7cos 8sin 8xx
+
=
3.
sin cos 2(2 sin3 )
x
xx+=−
4.
33 4
sin cos 2 sin
x
xx+=−

MT S  THI I HC

1.
2
(1 2 sin ) cos 1 sin cos
x
xxx+=++
2.
3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0xxxx

−
−=
3.
3
sin cos sin 2 3 cos3 2(cos4 sin )
x
xx x x x++=+
4.
(1 2 sin ) osx
3
(1 2sin )(1 sinx)
xc
x
−
=
+−

5.
sin 3 3 cos3 2sin 2
x
xx−=
6.
2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cos
x
xx x
+
+=+
7.
33 22
sin 3 cos sin cos 3sin cos

x
xxx xx−= −
8.
11 7
4sin( )
3
sin 4
sin( )
2
x
x
x
π
π
+
=−
−

www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


10
9.
2
(sin cos ) 3 cos 2
22
xx
x
++ =

10.
2
2sin 2 sin7 1 sin
x
xx+−=

11.
22
(1 sin ) cos (1 cos ) sin 1 sin 2
x
xxxx+++=+
12.
cos3 cos 2 cos 1 0xxx+−−=
13.
cot sin (1 tan tan ) 4
2
x
xx x
++ =
14.
66
2(cos sin ) sin cos
0
22sin
xxxx
x
+−
=
−

15.
44
3
cos sin cos( )sin(3 ) 0
442
π
π
++− −−=xxx x
16.
1 sin cos sin 2 cos 2 0xx x x+++ + =
17.
22
cos 3 cos 2 cos 0xx x−=
18.
2
5sin 2 3(1 sin ) tan
x
xx−= −
19. (2 cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin
x
xx xx−+=−
20.
2
cot tan 4sin 2
sin 2
xx x
x
−+ =
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11

55
Bài 4. Cho hình vuông ABCD và tam giác đu SAB cnh a nm
trong hai mt phng vuông góc nhau. Gi I là trung đim ca
AB.
1.
Chng minh: SI (ABCD)
⊥
và tính góc gia SC và
(ABCD).
2.
Gi J là trung đim CD. Chng t: (SIJ) (ABCD)
⊥
. Tính
góc hp bi SI và (SDC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm
O, cnh a, SA
⊥
(ABCD) và SA = a. Tính:
1.
[SAB, (SCD)].
2.
[SAB, (SBC)].
3.
[SAB, (SAC)].
4.
[SCD, (ABCD)].
5.
[SBC, (SCD)].
6.

sđ [S, BC, A].
7.
sđ[C, SA, D].
8.
sđ[A, SB, D].
9.
sđ[B, SC, A].
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông
ti B, AB = 2a, BC =
3a , SA
⊥
(ABC) và SA = 2a. Gi M là
trung đim ca AB.
1.
Tính góc [(SBC), (ABC)].
2.
Tính đng cao AK ca ∆ AMC.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


54
4. Gi d là đng thng vuông góc vi (ABC) ti trung đim
K ca BC tìm d  (
α
).

- GÓC GIA NG THNG VÀ MT PHNG
- GÓC GIA HAI MT PHNG

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cnh a, tâm O, SO
⊥ (ABCD), M, N ln lt là trung đim ca
SA và BC, bit

0
(,( ))60MN ABCD = .
1.
Tính MN và SO.
2.
Tính góc gia MN và mp(BCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cnh a. SA
⊥
(ABCD) và SA = a
6 . Tính góc gia:
1.
SC và (ABCD)
2.
SC và (SAB)
3.
SC và (SBD)
4.
SB và (SAC)
Bài 3. Cho t din ABCD có AB
⊥
(BCD) và AB =
3a ,
BCD là tam giác đu cnh a. Tính góc gia:
1.

AC và (BCD).
2.
AD và (BCD).
3.
AD và (ABC).
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


11

Chng II. TÔ HP – XÁC SUT

PHN 1. HOÁN VN - CHNH HP - T HP

Bài 1. Có 25 đi bóng tham gia thi đu, c 2 đi thì đá vi nhau
2 trn ( đi và v). Hi có tt c bao nhiêu trn đu?
Bài 2.
1. T các ch s 1, 2, 3, 4, 5 có th lp đc bao nhiêu s
t nhiên có 5 ch s?
2.
T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th lp đc bao
nhiêu s t nhiên có 3 ch s và là s chn?
3.
Có bao nhiêu s t nhiên có 6 ch s đôi mt khác nhau
và chia ht cho 5?
Bài 3. Mt hi đng nhân dân có 15 ngi, cn bu ra 1 ch
tch, 1 phó ch tch, 1 th kí. Hi có my cách nu không ai
đc kiêm nhim?
Bài 4. Trong mt tun, An đnh mi ti đi thm 1 ngi bn
trong s 10 ngi bn ca mình. Hi An có th lp đc bao

nhiêu k hoch thm bn nu:
1.
Có th thm 1 bn nhiu ln?
2.
Không đn thm 1 bn quá 1 ln?
Bài 5. Có bao nhiêu cách xp 10 hc sinh thành mt hàng dc?
Bài 6. Có bao nhiêu cách xp 5 bn A, B,C,D,E vào mt gh dài
5 ch nu:
1.
Bn C ngi chính gia.
2.
Hai bn A và E ngi hai đu gh.
Bài 7. T các ch s 1,2,3,4,5,6 có th thit lp đc bao nhiêu
s có 6 ch s khác nhau mà hai ch s 1 và 6 không đng cnh
nhau?
Bài 8. Có 2 sách Toán khác nhau, 3 sách Lý khác nhau và 4
sách Hóa khác nhau.Cn sp xp các sách thành mt hàng sao
cho các sách cùng môn k nhau. Hi có bao nhiêu cách?
Bài 9. Gii :
1.
P
2
.x
2
– P
3
.x = 8
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11

12
2.
1
1
1
6
xx
x
PP
P
−
+
−
=

3.

12
4
15
.
−+
+
<
nnn
n
PPP
P

Bài 10. Sp xp 5 ngi vào mt bng gh có 7 ch. Hi có bao
nhiêu cách?
Bài 11. T tp hp
{}
X 0; 1; 2; 3; 4; 5= có th lp đc
my s t nhiên có 4 ch s khác nhau.
Bài 12. Có 10 quyn sách khác nhau và 7 cây bút khác nhau.
Cn chn ra 3 quyn sách và 3 cây bút đ tng cho 3 hc sinh,
mi em đc tng 1 quyn sách và 1 cây bút. Có my cách?
Bài 13. Gii:
1.

22
x2x
2A +50=A , x N∈
2.

32
5
nn
A
A+ = 2(n + 15)
3.

22
2
3420.
nn
AA−+=
4.

22
26 12
nnnn
PAPA+− =

5.

10 9 8
9.
x
xx
A
AA+=
6.

4
2
21
143
0
4
n
nn
A
PP
+
+−
−<
7.

4
4
15
( 2)! ( 1)!
n
A
nn
+
<
+−

Bài 14. Có 10 cun sách toán khác nhau. Chn ra 4 cun, hi có
bao nhiêu cách?
Bài 15. Mt nhóm có 5 nam và 3 n. Chn ra 3 ngi sao cho
trong đó có ít nht 1 n. Hi có bao nhiêu cách?
Bài 16. T 20 câu hi trc nghim gm 9 câu d, 7 câu trung
bình và 4 câu khó ngi ta chn ra 10 câu đ làm đ kim tra
sao cho phi có đ c 3 loi d, trung bình và khó. Hi có th
lp đc bao nhiêu đ kim tra ?
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


53
1. Xác đnh mt phng
α

2.
Tính din tích ca thit din ca t giác vi mt phng
α

Bài 12. Cho tam giác đu ABC có đng cao AH = 2a. Gi O là
trung đim ca AH. Trên đng thng vuông góc vi (ABC) ti
O, ly đim S sao cho OS = 2a. Gi I là mt đim trên OH, đt
AI = x (a<x<2a), (
α
) là mt phng qua I và vuông góc vi OH
1.
Xác đnh (
α
)
2.
Tìm thit din ca t din SABC và
α

3.
Tính din tích cua thit diên theo a và x
Bài 14. Cho t din SABC có hai mt ABC và SBC là 2 tam
giác đu cnh a và SA =
3
2
a
. Ly đim M thuc AB và AM =
x (0<x<a).gi (
α
) là mt phng qua M và vuông góc vói BC, D
là trung đim ca BC
1.
Chng minh: (
α
) // (SAD)

2.
Tìm thit din ca t din SABC và (
α
)
3.
Tính din tích ca thit din theo a và x
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông cân ti B,
AB = BC =2a. Cnh SA
⊥
(ABC) và SA =a 2
1.
Chng minh các mt ca hình chóp là các tam giac vuông
2.
Gi (
α
) là mt phng trung trc ca cnh SB. Tìm thit
din ca hình chóp vi (
α
)
3.
Tính din tích ca thit din
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


52
5. Tam giác ABC là tam giác nhn các góc ca tam giác đu
nhn.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tam giác đu cnh a, SA
⊥

(ABC). Gi O là trc tâm tam giác ABC, H là trc tâm tam
giác SBC, I là trung đim ca BC .
1.
Chng minh: BC
⊥
(SAI) và CO
⊥
(SAB).
2.
Chng minh: H = h/c O/(SBC).
3.
Gi N = OH  SA. Chng minh : SB
⊥
CN và SC
⊥

BN
Bài 9. Cho t din S.ABC có SA
⊥
(ABC). Gi H, K ln lt
là trc tâm ca các tam giác ABC và SBC. Chng minh:
1.
AH, SK, BC đng quy
2.
SC
⊥
(BHK)
3.
HK
⊥

(SBC)
Bài 10. Cho t din S.ABC có tam giác ABC vuông cân đnh B,
AB =a,SA
⊥
(ABC) và SA =a
3. Ly đim M tùy ý thuc
cnh AB vi AM =x (0<x<a). Gi
α
là mt phng qua M và
vuông góc vi AB
1.
Tìm thit din ca t din và
α

2.
Tính din tích ca thit din theo a và x
Bài 11. Cho t din S.ABC có tam giác ABC vuông cân đnh B,
AB =a, SA
⊥
(ABC) SA =a. Gi
α
là mt phng qua trung
đim M ca AB và vuông góc vói SB
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


13
Bài 17. Hi đng qun tr ca mt công ty gm 12 ngi, trong
đó có 5 n. T hi đng qun tr đó ngi ta bu ra 1 ch tch
hi đng qun tr, 1 phó ch tch hi đng qun tr và 2 y viên.

Hi có my cách bu sao cho trong 4 ngi đc bu phi có
n ?
Bài 18. i thanh niên xung kích ca mt trng ph thông có
12 hc sinh gm 5 hc sinh lp A, 4 hc sinh lp B và 3 hc
sinh lp C. Tính s cách chn 4 hc sinh đi làm nhim v sao
cho 4 hc sinh này thuc không quá 2 trong 3 lp trên.
Bài 19. Mt hp đng 15 viên bi khác nhau gm 4 bi đ, 5 bi
trng và 6 bi vàng. Tính s cách chn 4 viên bi t hp đó sao
cho không có đ 3 màu.
Bài 20. Mt lp hc có 30 hc sinh nam và 15 hc sinh n. Có 6
hc sinh đc chn ra đ lp mt tp ca. Hi có bao nhiêu cách
chn khác nhau.
1. Nu phi có ít nht là 2 n.
2. Nu phi chn tu ý.
Bài 21. Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th khác nhau. Ngi ta
mun chn ra 3 tem th và 3 bì th ri dán 3 tem th vào 3 bì
th đó. Có bao nhiêu cách ?
Bài 22. Mt đi thanh niên tình nguyn có 15 ngi, gm 12
nam, 3 n. Hi có bao nhiêu cách phân công đi đó v 3 tnh
min núi sao cho mi tnh đu có 4 nam, 1 n ?
Bài 23. Gii :
1.

123
xxx
7
C+C+C= x
2

2.

32 2
x-1 x-1 x-2
2
CC=A
3
−

3.

12 1
xx+1 x+4
11 7
=
CC 6C
−

4.
3032
22
1
<+
+ xx
AC
5.

10
6
2
1

32
2
+≤−
xx
x
x
C
x
AA

Bài 24. Tìm s hng không cha x trong khai trin ca nh thc:
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


14
1.
10
4
1
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
2.
12
3
3

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
x

3.
5
3
2
1
x
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
4.
7
4
3
1
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
+
x
x
Bài 25. Tìm s hng th 31 trong khai trin
40
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
x
Bài 26. Tìm s hng đng gia trong khai trin
10
3
5
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
+ x
x

Bài 27. Tìm h s ca s hng cha x
8
trong khai trin nh thc
Niu-tn
5
3
1
n
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
, bit rng
(
)
1
43
73
nn
nn
CC n
+

++
−=+.
Bài 28. Cho bit tng 3 h s ca 3 s hng đu tiên trong khai
trin
2
2
3
n
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
là 97. Tìm s hng cha x
4
.
Bài 29. Tính tng:
1.

012
1
.
n
nnn n
SCCC C=++++
2.

024
2

nnn
SCCC=+++

3.

135
3

nnn
SCCC=+++
4.

0122
4
2 2 2 2 .
kk nn
nn n n n
SC C C C C=+ + ++ ++
5.

02244
5
2 2
n
nn
SC C C=+ + +

Bài 30. Chng minh:
1.
nn

nnnn
CCCC 2
210
=++++

2.
02 4 2 1 3 5 21
222 2222 2

nn
nn n n n n n n
CCCCCCCC
−
+++++ =++++++

3.
0122
6 6 6 7
nn n
nn n n
CC C C++ ++ =
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


51
3. Chng minh: HK// BD OH=OK.
4.
Chng minh: HK
⊥
(SAC).

5.
Chng minh: AI
⊥
HK.
6.
Tìm mt phng trung trc ca đon BD và HK. Gii thích.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cnh a
SA
⊥
(ABCD) và SA=a 2 . Gi (
α
) là mt phng qua A và
vuông góc vi SC, ct SB, SC, SD ln lt H, M, K.
1.
Chng minh: AH
⊥
SB, AK
⊥
SD.
2.
Chng minh: BD // (
α
) suy ra BD // HK.
3.
Chng minh: HK qua trng tâm ca tam giác SAC.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O.
Bit rng SA=SC SB=SD. Chng minh:
1.
SO
⊥

(ABCD).
2.
AC
⊥
SD
Bài 6. Cho t din ABCD. Chng minh rng nu AB
⊥
BD và
AC
⊥
BD thì AD
⊥
BC.
Bài 7. Cho t din có OA, OB, OC đôi mt vuông góc vi nhau.
Gi H là hình chiu vuông góc ca đim O trên (ABC). Chng
minh:
1.
OA
⊥
BC, OB
⊥
CA, OC
⊥
AB.
2.
BC
⊥
(OAH), AB
⊥
(OCH)

3.
H là trc tâm ca tam giác ABC
4.
2222
1111
OH OA OB OC
=++
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


50
1. Xác đnh góc gia các cp vect: ''
A
BvaøAC


;
''
A
BvaøAD
 
; '
A
CvaøBD
 
.
2. Tính các tích vô hng ca các cp vect: ''
A
BvaøAC



;
''
A
BvaøAD
 
; '
A
CvaøBD
 
.


- NG THNG VUÔNG GÓC VI MT PHNG
- HAI NG THNG VUÔNG GÓC

Bài 1. Cho t din SABC có tam giác ABC vuông ti B và
SA
⊥
(ABC).
1.
Chng minh: BC
⊥
(SAB).
2.
Gi M và N là hình chiu ca A trên SB và SC, MN ct BC
ti I. Chng minh: AM
⊥
(SBC) , SC

⊥
(AMN).
3.
Chng minh AI
⊥
SC
Bài 2. Cho t din ABCD có AB=AC , DB=DC . Gi I là trung
đim ca BC.
1.
Chng minh BC
⊥
(AID).
2.
V dng cao AH ca tam giác AID. Chng minh
AH
⊥
(BCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm
O, SA
⊥
(ABCD). Gi H,I,K ln lt là hình chiu vuông góc
ca đim A trên SB, SC, SD.
1.
Chng minh: BC
⊥
(SAB) CD
⊥
(SAD) BD
⊥
(SAC).

2.
Chng minh: AH
⊥
SC AK
⊥
SC suy ra AH, AI, AK
đng phng .
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11


15
4.
17 0 1 16 1 17 17 17
17 17 17
3 4 .3 . 4 7CC C+++=

PHN 2. XÁC SUT

Bài 1. Gieo hai con xúc xc cân đi đng cht. Gi A là bin c
“ tng s chm trên mt ca hai con xúc xc bng 4 “
1. Lit kê các kt qu thun li ca bin c A
2. Tính xác sut ca bin c A
Bài 2. Chn ngu nhiên 5 con bài trong b bài tú –l –kh :
1. Tính xác sut sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân
bài đó thuc 1 b ( ví d : có 3 con 4)
2. Tính xác sut sao cho trong 5 quân bài đó có 4 quân bài
thuc mt b
Bài 3. Gieo mt con xúc xc 2 ln . Tính xác sut đ :
1. Mt 4 chm xut hin  ln đu tiên
2. Mt 4 chm xut hin  ít nht 1 ln

Bài 4. Trong mt bình có 3 qu cu đen khác nhau và 4 qu cu
đ khác nhau. Ly ra 2 qu cu. Tính xác sut đ :
1. Hai qu cu ly ra màu đen
2. Hai qu cu ly ra cùng màu
Bài 5. Gieo 3 con đng xu. Tính xác sut đ
1. Có đng xu lt nga
2. Không có đng xu nào sp
Bài 6. Cho mt hp đng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu
đ, 5 viên bi màu xanh. Ly ngu nhiên mi ln 3 viên bi. Tính
xác sut trong hai trng hp sau:
1.
Ly đc 3 viên bi màu đ
2.
Ly đc ít nht hai viên bi màu đ
Bài 7. Gieo đng thi hai con súc sc. Tính xác sut đ
1.
Tng s chm xut hin trên hai con là 9
2.
Tng s chm xut hin trên hai con là 5
3.
S chm xut hin trên hai con hn kém nhau 3
Bài 8. Gieo đng thi 3 con súc sc. Tính xác sut đ
1.
Tng s chm xut hin ca ba con là 10
2.
Tng s chm xut hin ca 3 con là 7
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT Ngô Thi Nhim Bài tp toán 11

16
Bài 9. Mt đt x s phát hành 20.000 vé trong đó có 1 gii
nht, 100 gii nhì, 200 gii ba, 1000 gii t và 5000 gii khuyn

khích. Tính xác sut đ mt ngi mua 3 vé trúng mt gii nhì
và hai gii khuyn khích.
Bài 10. Trong 100 vé x s có 1 vé trúng 100.000đ, 5 vé trúng
50.000đ và 10 vé trúng 10.000. Mt ngi mua ngu nhiên 3
vé.Tính xác sut đ
1.
Ngi mua trúng thng đúng 30.000
2.
Ngi mua trúng thng 20.000
Bài 11. Mt khách sn có 6 phòng đn. Có 10 khách đn thuê
phòng, trong đó có 6 nam và 4 n. Ngi qun lí chn ngu
nhiên 6 ngi. Tính xác sut đ
1.
Có 6 khách là nam
2.
Có 4 khách nam, 2 khách n
3.
Có ít nht 2 khách là n
Bài 12. Có 9 tm th đánh s t 1 đn 9. Chn ngu nhiên ra hai
tm th. Tính xác sut đ tích ca hai s trên tm th là mt s
chn
Bài 13. Mt lô hàng gm 100 sn phNm , trong đó có 30 sn
phNm xu. Ly ngNu nhiên 1 sn phNm t lô hàng.
1.
Tìm xác sut đ sn phNm ly ra là sn phNm tt
2.

Ly ra ngu nhiên (1 ln) 10 sn phNm t lô hàng. Tìm
xác sut đ 10 sn phNm ly ra có đúng 8 sn phNm tt
Bài 14. Kt qu (b,c) ca vic gieo hai con xúc xc cân đi hai
ln, đc thay vào phng trình x
2
+ bx+ c =0. Tính xác sut đ:
1. Phng trình vô nghim
2. Phng trình có nghêm kép
3. Phng trình có hai nghim phân bit
Bài 15. Mt hp cha 30 bi trng, 7 bi đ và 15 bi xanh. Mt
hp khác cha 10 bi trng , 6 bi đ và 9 bi xanh. Ly ngu nhiên
t mi hp bi. Tìm xác sut đ 2 bi ly ra cùng màu.
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


49
CHNG III. QUAN H VUÔNG GÓC

VECT TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1.
Chng minh rng G là trng tâm t din ABCD khi và
ch khi nó tha mãn mt trong hai điu kin sau:
1.
GA GB GC GD 0+++ =
    

2.
OA OB OC OD 4OG+++ =
    

vi O là mt đim tùy ý.
Bài 2. Trong không gian cho 4 đim tùy ý A, B, C, D. Chng
minh rng:
AB.DC BC.DA CA.DB 0
+
+=

      
.
Bài 3. Cho hình hp ABCD.A’B’C’D’. Gi P, R th t là trung
đim AB, A’D’. Gi P’, Q, Q’, R’ th t là giao đim ca các
đng chéo trong các mt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’,
ADD’A’. Chng minh rng:
1.
PP' QQ' RR' 0++=
  
.
2.
Hai tam giác PQR, P’Q’R’ có cùng trng tâm.
Bài 4. Cho t din ABCD. Gi G, G’ ln lt là trng tâm t
din ABCD và tam giác BCD. Chng minh rng: A, G, G’
thng hàng.
Bài 5. Cho hình lng tr tam giác ABC.A’B’C’. Gi I, J ln lt
là trung đim BB’, A’C’. K là đim trên B’C’ sao cho
KC' 2KB=−

 
. Chng minh bn đim A, I, J, K thng hàng.
Bài 6. Cho hình hp ABCD.A’B’C’D’ có
,',

B
AaBB bBCc===

     
. Gi M, N ln lt là hai đim nm trên
AC, DC’ sao cho . , ' '
==

   
M
CnACCNmCD.
1.
Hãy phân tích '
B
D


theo các véct ,,abc


.
2.
Chng minh rng: ( ) (1 )
M
Nmna mbnc
=
−+− +


.

3.
Tìm m, n đ MN //BD’.
Bài 7. Cho hình lp phng ABCD.A’B’C’D’.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


48
Bài 1. Cho hình lng tr ABC.A’B’C’.Gi I và I’ ln lt là
trung đim ca các cnh BC và B’C’
1.
Chng minh rng AI // A’I’.
2.
Tìm giao đim IA’ ∩ (AB’C’).
3.
Tìm giao tuyn ca (AB’C’) ∩ (BA’C’).
Bài 2. Cho lng tr tam giác ABC.A’B’C’. Gi I , K , G ln lt
là trng tâm ca các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’ . Chng
minh rng:
1.
(IKG) // (BB’C’C)
2.
(A’KG) // (AIB’)
Bài 3. Cho hình lng tr ABC.A’B’C’. Gi H là trung đim
A’B’
1.
Chng minh rng CB’ // (AHC’)
2.
Tìm giao tuyn d = (AB’C’) ∩ (A’BC) .
Chng minh rng: d // (BB’C’C)

Bài 4. Cho lng tr tam giác ABC.A’B’C’.
1.
Tìm giao tuyn ca (AB’C’) và (BA’C’).
2.
Gi M, N ln lt là hai đim bt kì trên AA’ và BC. Tìm
giao đim ca B’C’ vi mp(AA’N ) và giao đim ca MN
vi mp(AB’C’).
Bài 5. Cho hình hp ABCD.A’B’C’D’
1.
Chng minh rng (BA’C’) // (ACD’)
2.
Tìm các giao đim I = B’D ∩ (BA’C’); J = B’D ∩ (ACD’).
Chng minh rng 2 đim I, J chia đon B’D thành 3 phn
bng nhau.
3.
Gi M, N là trung đim ca C’B’ và D’D. Dng thit din
ca hình hp vi mt phng (BMN ).


Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


17
CHNG III.
DÃY S - CP S CNG – CP S NHÂN

PHNG PHÁP QUY NP

Bài 1. Chng minh rng vi mi
∗

∈ nn , ta có đng thc:
1.
2
)13(
13 852
+
=−++++
nn
n
.
2.
6
)12)(1(
321
2222
+
+
=++++
nnn
n .
3.
3
)14(
)12( 31
2
222
−
=−+++
nn
n .

4.
3
)12)(1(2
)2( 42
222
+
+
=+++
nnn
n
5.
4
)1(
321
22
3333
+
=++++
nn
n .
6.
.
3
)1()1(
)1( 4.33.22.1
+
−
=−++++
nnn
nn

7. ).1()13( 5.22.1
2
+=−+++ nnnn
8.
1)1(
1

3.2
1
2.1
1
+
=
+
+++
n
n
nn

9.
14)14)(34(
1

9.5
1
5.1
1
+
=

+−
+++
n
n
nn

10.
n
n
n
2
1
)
1
1) (
9
1
1)(
4
1
1(
2
+
=−−− .
Bài 2. Chng minh rng vi
∗
∈ nn , ta có:
1.
nnn 53
23

++
chia ht cho 3.
2. )132(
2
+− nnn chia ht cho 6.
3. 1154
−+ n
n
chia ht cho 9.
4. nn
−
5
chia ht cho 30.
5.
133
115
++
+
nn
chia ht cho 17.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


18
Bài 3. Cho n là mt s nguyên ln hn 1.Hãy chng minh bt
đng thc

24
13

2
1

2
1
1
1
>++
+
+
+
nnn

Bài 4. Chng minh vi mi s t nhiên 2≥n , ta có các bt
đng thc sau:
1. 133
+> n
n

2.
2
3
2
>− n
n

3.
322
1
+>

+
n
n

Bài 5. Chng minh vi mi s t nhiên 3≥n , ta có:
122
+> n
n


DÃY S


Bài 1. Xét tính đn điu các dãy s sau :
1.
2
1
1
n
u
n
=
+
2.
12
3
+
=
n
n

n
u
3.
1
2
n
n
u
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
4.
nnu
n
−+= 1 .
5.
21
2
n
n
n
u
−
=
6.
n
n
n
u

2
2
+
=

7. nu
n
n
−= 3 8.
1
2
−−= nnu
n
.
Bài 2. Xét tính b chn các dãy s sau :
1. 23
−= nu
n
2.
1
(1)
n
u
nn
=
+

3.
1
3.2

n
n
u
−
= 4.
n
n
u )3(−=
5.
34
34
+
−
=
n
n
u
n
6.
2
1
1
n
n
u
n
−
=
+

Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


47
2. Gi s AB ⊥ CD thì MN QG là hình gì? Tính S
MN PQ
bit
AM = x, AB = AC = CD = a. Tính x đ din tích này ln
nht.

HAI MT PHNG SONG SONG

Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF có chung cnh
AB và không đng phng . I, J, K ln lt là trung đim ca các
cnh AB, CD, EF. Chng minh:
1.
(ADF) // (BCE).
2. (DIK) // (JBE).
Bài 2. Cho t din ABCD.Gi H, K, L là trng tâm ca các tam
giác ABC, ABD, ACD. Chng minh rng (HKL)//(BCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O.
Tam giác SBD là tam giác đu. Mt mp (
α) di đng song song
vi (SBD) qua đim I trên đon AC. Xác đnh thit din ca
hình chóp ct bi (
α).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông
ti A và D; AD = CD = a ; AB = 2a, tam giác SAB vuông cân
tiA.Trên cnh AD ly đim M. t AM =x. Mt phng (
α) qua

M và //(SAB).
1.
Dng thit din ca hình chóp vi (α).
2. Tính din tích và chu vi thit din theo a và x.
Bài 5. Cho hai mp (P) và (Q) song song vi nhau và ABCD là
mt hình bình hành nm trong mp (P). các đng thng song
song đi qua A, B, C, D ln lt ct mp (Q) ti các đim A', B',
C', D'.
1.
T giác A'B'C'D' là hình gì?
2. Chng minh (AB'D') // (C'BD).
3. Chng minh rng đon thng A'C đi qua trng tâm ca hai
tam giác AB'D' và C'BD. Hai mp (AB’D’), (C’BD) chia
đon A'C làm ba phn bng nhau.

HÌNH LNG TR

www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


46
Chng minh : MN // (BCD) và MN // (ABC).
Bài 2. Cho t din ABCD .Gi I, J là trung đim ca BC và CD
1. Chng minh rng BD//(AIJ)
2. Gi H, K là trng tâm ca các tam giác ABC và ACD.
Chng minh rng HK//(ABD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G
là trng tâm ca tam giác SAB và E là đim trên cnh AD sao
cho DE = 2EA. Chng minh rng GE // (SCD).

Bài 4. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gi M , N theo th t là trung đim ca các cnh AB, CD .
1.
Chng minh MN // (SBC) và MN // (SAD)
2. Gi P là trung đim ca cnh SA. Chng minh SB //
(MN P) và SC // (MN P).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai đim bt kì trên
SB và CD. (
α) là mt phng qua MN và song song vi SC.
1.
Tìm các giao tuyn ca (α ) vi các mt phng (SBC),
(SCD) và (SAC).
2.
Xác đnh thit din ca S.ABCD vi mt phng (α) .
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gi
M,N là trung đim SA,SB. im P thay đi trên cnh BC
1.
Chng minh rng CD//(MN P)
2.
Dng thit din ca hình chóp vi mt phng (MN P) .
Chng minh rng thit din là 1 hình thang.
3.
Gi I là giao đim 2 cnh bên ca thit din ,tìm qu tích
đim I
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai đim trên AB,
CD, (
α ) là mt phng qua MN và song song vi SA.
1.
Xác đnh thit din ca hình chóp và mt phng (α).
2. Tìm điu kin ca MN đ thit din là hình thang.

Bài 8.
Cho t din ABCD. T đim M trên AC ta dng mt mp
(
α) song song AB và CD. Mp này ln lt ct BC, BD, AD ti
N , P, Q.
1. T giác MN QG là hình gì?
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


19
Bài 3. Cho dãy s ()
n
u xác đnh bi:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
=
+
1
2
1
1
1
n
n

n
u
u
u
u
;
1≥
∀
n .
Chng minh rng
n
u b chn trên bi
2
3
và b chn di bi 1.
Bài 4. Cho dãy s ()
n
u xác đnh bi:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
=
+
2
1
2

1
1
n
n
u
u
u
;
1≥
∀
n .

Chng minh rng
n
u là dãy gim và b chn.
Bài 5. Cho dãy s ()
n
u xác đnh bi:
⎩
⎨
⎧
++=
=
+
n
nn
nuu
u
2).1(
1

1
1

;
1≥
∀
n .
Chng minh rng :
1. ( )
n
u là dãy tng.
2.
n
n
nu 2).1(1 −+= , 1≥
∀
n .

CP S CNG

Bài 1. Tìm s hng đu và công sai ca các cp s cng, bit :
1.
⎩
⎨
⎧
=+
=+−
17
10
61

531
uu
uuu
2.
⎩
⎨
⎧
=
=−
75
8
152
37
uu
uu

3.
⎩
⎨
⎧
=
=+
129
14
12
53
s
uu
4.
⎩

⎨
⎧
=+
=+
1170
60
2
12
2
4
157
uu
uu

5.
⎩
⎨
⎧
−=−
=++
24
25
82
541
uu
uuu
6.
⎩
⎨
⎧

=
=−
75.
8
72
37
uu
uu


Bài 2.
1. Cho cp s cng có
1
a
=10, d = -4 .Tính
10
a và
10
S .
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


20
2. Mt cp s cng hu hn có s hng đu bng 2, công sai
bng -5 và tng các s hng bng -205. Hi cp s cng đó có
bao nhiêu só hng?
3. Cho cp s cng có s hng đu bng -2, công sai bng 3.
Hi 55 là s hng th bao nhiêu ca CSC. Tính tng ca 20 s
hng liên tip k t s hng th 15.

4. Tính tng tt c các nghi
m ca phng trình:
sin
2
3x-5sin3x +4=0 trên khong (0; 50
π
).
Bài 3. Hãy tìm s hng tng quát ca cp s cng (
n
u ), bit
rng:
⎩
⎨
⎧
=+
=−
450)()(
30
2
23
2
17
1723
uu
uu
.
Bài 4. Hãy tìm tng 16 s hng đu tiên ca cp s cng (
n
u )
có 30

152
=+ uu .
Bài 5. Tính các tng sau:
1.
999 531
1
++++=S
2.
2010 642
2
++++=S
3. 3003 963
3
++++=S
Bài 6. góc ca mt tam giác vuông lp thành mt cp s cng.
Tìm ba góc ca tam giác đó.

Bài 7. Mt cp s cng có 11 s hng. Tng các s hng là 176.
Hiu gia s hng cui và s hng đu là 30. Tìm cp s cng
đó.
Bài 8. Bn s lp thành mt cp s cng. Tng ca chúng bng
22. Tng các bình phng ca chúng bng 166. Tìm bn s đó.
Bài 9. N gi ta trng 3003 cây theo hình mt tam giác nh sau:
hàng th nht có 1 cây, hàng th hai có 2 cây, hàng th ba có 3
cây,…. Hi có tt c bao nhiêu hàng?
Bài 10. Tìm x đ 3 s sau lp thành cp s cng theo th t đó:
1.
x310 − ; 32
2
+x ; 7-4x

2.
23 +x ;
45
2
++ xx
;
68
3
++ xx

Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


45
2. Xác đnh thit din ca hình chóp vi mt phng (IJG).
Thit din là hình gì? Tìm điu kin đi vi AB và CD đ
thit din là hình bình hành.
Bài 6. Hình chóp S.ABCD,đáy ABCD là hình bình hành. Ly
mt đim M thuc cnh SC .Mt phng (ABM) ct cnh SD ti
đim N . Chng minh N M// CD.
Bài 7. Hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nm
trong mt mp. Trên AC ly mt đim M và trên BF ly mt
đim N sao cho
k
BF
BN
AC
AM
== . Mt mp(
α

) qua MN và song
song vi AB, ct cnh AD ti M' và cnh AF ti N '.
1.
Chng minh : M'N ' // DF.
2.
Cho
3
1
=k
, chng minh MN // DE.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vi các
cnh đáy AB và CD (AB > CD). Gi M, N ln lt là trung
đim ca SA và SB.
1.
Chng minh: MN // CD
2.
Tìm giao đim P ca SC và mt phng (ADN )
3.
Kéo dài AN và DP ct nhau ti . Chng minh SI // AB //
CD, t giác SABI là hình gì?

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành.
Gi M, N , P, Q là các đim nm trên BC, SC, SD, AD sao cho
MN // BS, N P // CD, MQ // CD
1.
Chng minh: PQ // SA.
2.
Gi K là giao đim ca MN và PQ, chng minh SK // AD
// BC.
3.

Qua Q dng các đng thng Qx // SC và Qy // SB. Tìm
giao đim ca Qx vi (SAB) và ca Qy vi (SCD).


NG THNG SONG SONG VI MT PHNG

Bài 1.
Cho t din ABCD. Gi M, N ln lt là trng tâm ca
tam giác ABD và ACD.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


44
2. Tìm giao đim ca SD vi mt phng (AMN ) ?
3.
Tìm tit din to bi mt phng (AMN ) vi hình chóp
Bài 18: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành .
M là trung đim SC
1.
Tìm giao đim I ca AM vi (SBD) ? Chng minh IA
= 2IM .
2.
Tìm giao đim F ca SD vi (AMB) ? Chng minh F là
trung đim SD ?
3.
Xác đnh hình dng tit din to bi (AMB) vi hình
chóp.
4.
Gi N là mt đim trên cnh AB .Tìm giao đim ca

MN vi (SBD) ?

HAI NG THNG SONG SONG

Bài 1. Cho t din ABCD. Gi I, J, K, L theo th t là trung
đim ca các cnh AB, BC ,CD ,DA Chng minh : IJ//KL và
JK//IL .
Bài 2. Cho t din ABCD .Gi H, K là trng tâm ca các tam
giác BCD và ACD .Chng minh rng HK//AB
.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là mt t giác li. Gi M
,N ,E ,F ln lt là trung đim ca các cnh bên SC, SB, SC và
SD.
1.
Chng minh rng ME//AC , N F//BD
2.
Chng minh rng ba đng thng ME ,N F ,và SO(O là
giao đim ca AC và BD) đng qui
3.
Chng minh rng 4 đim M,N ,E,F đng phng
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gi
H, K là trung đim SA, SB.
1.
Chng minh rng HK//CD
2.
Trên cnh SC ly đim M. Dng thit din ca hình chóp
vi mt phng (MKH).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vi các cnh
đáy là AB và CD. Gi I, J lm lt là trung đim ca DA và BC
và G là trng tâm tam giác SAB.

1.
Tìm giao tuyn ca (SAB) và (IJG)
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


21
Bài 11. Chng minh rng ba s dng a, b, c lp thành cp s
cng khi và ch khi các s:
baaccb +++
1
,
1
,
1
lp
thành cp s cng.
Bài 12. Tìm bn s hng liên tip ca mt cp s cng bit tng
ca chúng là 20 và tích ca chúng là 348.

CP S NHÂN

Bài 1. Trong các cp s nhân di đây, hãy tính s hng
n
u đã
ch ra:
1. 2; 1;
2
1
;
4

1
;… ?
7
=
u
2. -3; 6; -12; 24;… ?
10
=
u
3. 1;
3
1
;
9
1
;
27
1
;… ?
8
=
u
Bài 2. Tìm s hng đu, công bi ca các cp s nhân, bit :

1.
⎩
⎨
⎧
=
=

192
96
6
5
u
u
2.
⎩
⎨
⎧
=+
−=++
10
21
42
531
uu
uuu

3.
⎩
⎨
⎧
=−
=+
240
90
62
53
uu

uu
4.
⎩
⎨
⎧
=−
=−
144
72
35
24
uu
uu

5.
⎩
⎨
⎧
=+
=+−
325
65
71
531
uu
uuu
6.
⎩
⎨
⎧

=+−
=+−
20
10
653
542
uuu
uuu
.
Bài 3. Tìm cp s nhân (
n
u ) bit:
1234
2222
1234
15
85
uu uu
uuuu
+++=
⎧
⎪
⎨
+
++=
⎪
⎩

Bài 4. Hãy tìm s hng ca cp s nhân, bit cp s nhân đó:
1.Có 5 s hng vi công bi dng, s hng th hai bng 3

và s hng th t bng 6.
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


22
2. Có 5 s hng vi công bi bng
1
4
s hng th nht và
tng ca hai s hng du bng 24.

Bài 5. Cho mt cp s nhân có 7 s hng, s hng th t bng 6
và s hng th by gp 243 ln s hng th hai. Hãy tìm
các s hng còn li ca cp s nhân đó.
Bài 6. Hãy tìm s hng tng quát ca cp s nhân (
n
u ) có

⎩
⎨
⎧
−=+
=+
123
16
43
52
uu
uu

.
Bài 7. Tính tng:
1.

3
2
.)1(
9
4
3
2
1
1
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++−+−=
+
n
n
S

2.
1
32
+++= aaS vi

21
1
+
=
a

Bài 8. Tính tng tt c các s hng ca cp s nhân (u
n
) bit:

1
2
2
2
64 2
n
u
u
u
⎧
=
⎪
=−
⎨
⎪
=
⎩

Bài 9. Mt cp s cng và mt cp s nhân đu là các dãy tng.
Các s hng th nht đu bng 3, các s hng th hai bng

nhau. T s gia các s hng th ba ca cp s nhân và cp s
cng là 9/5 .Tìm hai cp s y.
Bài 10. Tìm hai s a, b bit rng 1,a,b là cp s cng và 1,a
2
,b
2

là cp s nhân.

Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


43
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, cnh đáy ln
AB. Gi I, J, K ln lt là các đim nm trên SA, AB, CD
1.
Tìm giao đim ca IK và (SBD).
2.
Tìm giao đim ca SD và (IJK).
3.
Tìm giao đim ca SC và (IJK) .

THIT DIN

Bài 1: Cho t din ABCD. Gi M, N ln lt là trung đim các
cnh AB và CD. P là đim nm trên cnh AD nhng không là
trung đim. Tìm thit din ca t din ct bi mt phng(MN P).
Bài 2: Cho t din ABCD. Trên các đon AC, BC, BD ly các
đim M, N , P sao cho MN không song song vi AB, N P không
song song vi CD. Xác đnh thit din to bi mt phng

(MN P) và t din ABCD.
Bài 6: Cho hình chóp SABCD. Gi M là 1 đim thuc min
trong ca tam giác SCD.
1.
Tìm giao tuyn ca hai mt phng (SBM) và (SAC).
2.
Tìm giao đim ca BM và mt phng (SAC).
3.
Tìm thit din ca hình chóp ct bi mt phng (ABM).
Bài 9: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O.
Mt đim M trên cnh SD sao cho SD = 3SM.
1.
Tìm giao tuyn ca (SAC) và (SBD).
2.
Xác đnh giao đim I ca BM và (SAC). Chng t I là
trung đim ca SO.
3.
nh thit din ca hình chóp SABCD và (MAB).
Bài 14: Cho t din ABCD ; đim I nm trên BD và  ngoài
BD sao cho ID = 3IB; M; N là hai đim thuc cnh AD; DC sao
cho MA=
2
1
MD; N D =
2
1
N C
1.
Tìm giao tuyn PQ ca (IMN ) vi (ABC) ?
2.

Xác dnh thit din to bi (IMN ) vi t din ?
3.
Chng minh MN ; PQ ; AC đng qui ?
Bài 17: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vi AB
là đáy . Gi M ; N là trung đim SB ; SC .
1.
Tìm giao tuyn ca (SAD) và (SBC) ?
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


42
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vi đáy
ln là AB. Gi I, J ln lt là trung đim ca SA, SB. M là đim
tu ý trên cnh SD.
1.
Tìm giao tuyn ca(SAD) và (SBC).
2.
Tìm giao đim K ca IM vi mt phng (SBC).
3.
Tìm giao đim N ca SC vi mt phng (IJM).
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gi M
là trung đim ca SC.
1.
Tìm giao đim I ca đng thng AM vi mt phng
(SBD).
2.
Chng minh IA= 2IM.
3.
Tìm giao đim F ca SD và (ABM).

4.
im N thuc AB. Tìm giao đim ca MN và (SBD).
Bài 8: Cho t giác ABCD nm trong mt phng (P) có hai cnh
AB và CD không song song. Gi S là đim nm ngoài (P) và M
là trung đim ca đon SC.
1.
Tìm giao đim N ca SD và (MAB)
2.
Gi O là giao đim ca AC và BD . CMR: SO, AM, BN
đng qui
Bài 9: Cho t din ABCD. Hai đim M, N ln lt nm trong
tam giác ABC và tam giác ABD. I là đim tu ý trên CD. Tìm
giao ca (ABI) và đng thng MN .
Bài 10: Cho hình chóp SABCD. Gi I, J là hai đim trên cnh
AD, SB
1.
Tìm các giao đim K, L ca IJ và DJ vi (SAC)
2.
AD ct BC ti O; OJ ct SC ti M. Chng minh A, K, L,
M thng hàng
Bài 11: Cho t din ABCD. Gi M, N ln lt là trung đim ca
AC, BC. K là đim trên cnh BD và không trùng vi trung đim
ca BD.
1.
Tìm giao đim ca CD và (MN K).
2.
Tìm giao đim ca AD và (MN K)
Bài 12: Cho t din ABCD. M, N là 2 đim trên cnh AC, AD.
O là 1 đim bên trong
Δ BCD. Tìm giao đim ca:

1.
MN và (ABO).
2.
AO và (BMN ).
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


23
CHNG IV. GII HN

GII HN CA DÃY S

Bài 1. Tính các gii hn sau:
1. lim
92
14
2
2
+
−−
n
nn
2. lim
37
7
6
652
−
+
−

+−
nn
nnn

3. lim
nn
n
108
2
5
+
+
−
4.
36
43
25
4
+
−
−
−+
nn
nn

5. lim
23
4
11100
3373

nn
nn
−
−+
6. lim
)32(3
)31(
23
22
nn
nn
+−
−

7. lim
23
32
)42(
)2()23(
n
nn
−
−−
8. lim
7
323
432
)5()51(
nn
nn

−
+
+−

Bài 2. Tính các gii hn sau:
1.
1
1
lim
+
+
n
n
2.
2
lim
3
3
+
+
n
nn

3.
32
232
lim
2
4
+−

−+
nn
nn
4.
12
21
lim
2
+
−+
n
nn

5. lim
756
1
4
3
362
−+
+++
nn
nnn
6.
12
lim
4
3
+
++

n
nnn

7.
nnn
nn
−+
++
43
2
1
lim
8.
23
11
lim
2
+
+−+
n
nn



Bài 3. Tính các gii hn sau:
1.
12
13
lim
−

+
n
n
2.
n
nn
5.37
5.23
lim
+
−

3.
11
5)3(
5)3(
lim
++
+−
+−
nn
nn
4. lim
52
12
24.5
43
++
++
−

−
nn
nn

www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


24
Bài 4. Tính các gii hn sau:
1. lim
(
)
nn −+1
2
2. lim( 3nn+− )
3.
(
)
nnn −++ 1lim
2
4.
12
1
lim
+−+ nn

5.
(
)

nnn −+1lim
2
6.
(
)
nnn +−
3
32
lim
7.
(
)
3
3
1lim nn −+ 8.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++ nnnnlim


GII HN CA HÀM S

Bài 1. Tính các gii hn sau:
1.
2
3

lim
3
2
1
+
−
−→
x
x
x
2.
622
35
lim
23
2
2
+++
++
−→
xxx
xx
x

3.
72
15
lim
1
+

−
→
x
x
x
4.
3
2
4
2
2
232
lim
+−
++
−→
xx
xx
x

Bài 2. Tính các gii hn sau:
1.
3
152
lim
2
3
−
−+
→

x
xx
x
2.
5
152
lim
2
5
+
−+
−→
x
xx
x

3.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
3
1
1

3
1
1
lim
x
x
x
4.
253
103
lim
2
2
2
−−
−+
→
xx
xx
x

5.
xx
xx
x
4
43
lim
2
2

4
+
−+
−→
6.
6)5(
1
lim
3
1
−+
−
→
xx
x
x

7.
6
44
lim
2
23
2
−−
++
−→
xx
xxx
x

8.
6
23
lim
2
23
2
−−
++
−→
xx
xxx
x

9.
6
293
lim
3
23
2
−−
−−+
→
x
x
xxx
x
10.
32

1
lim
2
4
1
−+
−
→
xx
x
x

Bài 3. Tính các gii hn sau:
1.
.
2
35
lim
2
2
−
−+
→
x
x
x
2.
2
153
lim

2
−
−−
→
x
x
x

3.
11
lim
0
−+
→
x
x
x
3.
x
x
x
−
−
→
5
5
lim
5

Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11

41

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O
là giao đim hai đng chéo; M ; N ln lt là trung đim SA;
SD. Chng minh ba đng thng SO; BN ; CM đng quy.


GIAO IM CA NG THNG VÀ MT PHNG

Bài 1: Cho t din ABCD. Gi M, N ln lt là trung đim ca
AC và BC. Gi K là mt đim trên cnh BD không phi là trung
đim. Tìm giao đim ca:
1.
CD và mt phng (MN K)
2.
AD và mt phng (MN K)
Bài 2: Cho t din ABCD. Trên các cnh AB và Ac ln lt ly
các đim M, N sao cho MN không song song vi BC. Gi O là
mt đim nm trong tam giác BCD.
1.
Tìm giao đim ca MN và (BCD)
2.
Tìm giao tuyn ca (OMN ) và (BCD)
3.
Mt phng (OMN ) ct các đng thng BD và CD ti H
và K. Xác đnh các đim H và K.
Bài 3: Cho hình chóp SABCD. Gi I, J, K ln lt là các đim
trên các cnh SA, AB, BC. Gi s đng thng JK ct các

đng thng AD, CD ti M, N . Tìm giao đim ca các đng
thng SD và SC vi mt phng (IJK).
Bài 4: Cho t din ABCD. Gi M, N , P là các đim ln lt trên
các cnh AC, BC, BD.
1.
Tìm giao đim ca CP và (MN D).
2.
Tìm giao đim ca AP và (MN D).
Bài 5: Cho 4 đim A, B, C, D không đng phng. Gi M, N ln
lt là trung đim ca AC và BC. Trên BD ly đim P sao cho
BP=2PD.
1.
Tìm giao đim ca các đng thng CD vi mt
phng(MN P)
2.
Tìm giao đim ca hai mt phng (MN P) và (ACD).
www.MATHVN.com www.MATHVN.com
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


40
SE, SB ln lt ti M, N . Mt mt phng (Q) qua BC ct SD và
SA ln lt ti H và R.
1.
Gi I là giao đim ca AM và DN , J là giao đim ca
BH và ER. CMR bn đim S, I, J, G thng hàng.
2.
Gi s K là giao đim ca AN và DM, L là giao đim
ca BR và EH. CMR ba đim S, K, L thng hàng.
Bài 9: Cho A; B; C không thng hàng  ngoài mt phng

(
)
α
.
Gi M; N ; P ln lt là giao đim AB; BC; AC vi
α. Chng
minh M; N ; P thng hàng ?
Bài 10: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy
là AD; BC. Gi M; N là trung đim AB; CD và G là trng tâm
ΔSAD. Tìm giao tuyn ca :
1.
(GMN ) và (SAB)
2.
(GMN ) và (SCD)
3.
Gi giao đim ca AB và CD là I; J là giao đim ca hai
giao tuyn  câu a và câu b. Chng minh S; I; J thng hàng .
4.


CHNG MINH BA NG THNG NG QUI

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB// CD) đim S nm ngoài mt
phng cha ABCD. Gi M, N ln lt là trung đim ca SC,
SD. Gi I là giao đim ca AD và BC, J là giao đim ca AN và
BM.
1.
CMR : S, I, J thng hàng.
2.
Gi O là giao đim ca AC và BD. CMR : SO, AM, BN

đng quy.
Bài 2. Cho t din ABCD. M, N ln lt là trung đim BC, BD.
Các đim P và S ln lt thuc AD, AC sao cho
1
3
A
RAD= ;
1
3
A
SAC= . CMR : ba đng thng AB, MS, N R đng quy.
Trng THPT N gô Thi N him Bài tp toán 11


25
5.
25
34
lim
2
5
−
−+
→
x
x
x
6.
x
xx

x
11
lim
2
0
−++
→

7.
(
)
x
xxx
x
+−+−
→
121
lim
2
0
8.
xx
x
x
336
1
lim
2
1
++

+
−→

9.
1
132
lim
2
1
−
+−
→
x
xx
x
10.
23
2423
lim
2
2
1
+−
−−−−
→
xx
xxx
x

Bài 4. Tính các gii hn sau:

1.
x
xx
x
−−+
→
55
lim
0
2.
x
xxx
x
11
lim
2
0
++−+
→

3.
x
x
x
141
lim
3
0
−+
→

4.
x
x
x
3
11
lim
3
0
+−
→

5.
11
lim
3
0
−+
→
x
x
x
6.
x
x
x
−−
+−
→
51

53
lim
4

7.
1
lim
2
1
−
−
→
x
xx
x
8.
23
1
lim
2
3
1
−+
+
−→
x
x
x

9.

x
xx
x
3
0
812
lim
−−−
→
10.
1
57
lim
2
3
1
−
−−+
→
x
xx
x


Bài 5. Gii hn mt bên:
1.
1
32
lim
1

x
x
x
+
→
−
−
2.
34
1
lim
2
4
3
+
+
+
+
−→
x
x
x
x

3.
)(lim
1
xf
x→
bit

()
⎩
⎨
⎧
>+
≤−
=
1;1
1;13
2
xx
xx
xf

4.
)(lim
1
xf
x→
;
)(lim
3
xf
x→
bit
()
⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⎨
⎧
≥−
<<−
≤+
=
3;3
31;56
1;)32(
5
1
2
xx
xx
xx
xf

Bài 6. Tính các gii hn sau:
www.MATHVN.com www.MATHVN.com