Giáo án đại số 11 học kì 2 trường THPT Nguyễn Huệ

Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
Chương III- DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN.
BÀI 1- PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
(tiết 47+48 NC ĐS&GT11)
A. Mục tiêu:
1. Kiến thức: Giúp cho học sinh
- Có khái niệm về suy luận quy nạp;
- Nắm được phương pháp quy nạp toán học.
2. Kĩ năng:
- Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các
bài toán cụ thể đơn giản.
3. Thái độ, tư duy:
- Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi.
- Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán.
B. Chuẩn bị của thầy và trò:
1. Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT.
2. Học sinh: đọc trước bài ở nhà.
C. Phương pháp giảng dạy: gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động.
D. Tiến trình bài học: (tiết 1: mục 1 và ví dụ 1 mục 2; tiết 2: tiếp mục 2 và BT SGK)
1. Ổn định tổ chức:
2. Bài mới:
Hoạt động 1:
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
-H1: Hãy kiểm tra với
n=1,2?
-H2: c/m n=3 đúng
bằng cách sử dụng H1
-H3: có thể thử với
mọi n không?
- Tuy nhiên dựa vào
lập luận trên ta có thể

đưa ra cách c/m bài
toán.
+n = 1,2: (1) đúng
+Cộng thêm hai vế
với 2.3 ta c/m đc (1)
đúng.
+ không thể.
1. Phương pháp quy nạp toán học:
Bài toán: Chứng minh mọi số nguyên dương n ta
có:
3
)2)(1(
)1( 3.22.1
++
=++++
nnn
nn
(1)
Khái quát: Ta có thể c/m được mệnh đề sau: Nếu
(1) đúng với n=k (nguyên dương) thì nó cũng đúng
với n=k+1.
Giái bài toán trên:
+ n = 1: 1=1 (đúng)
+ Giả sử (1) đúng với n=k (ng dương)
Ta có:
3
)2)(1(
)1( 3.22.1
++
=++++

kkk
kk
suy ra
3
)3)(2)(1(
)2)(1(
3
)2)(1(
)2)(1()1( 3.22.1
+++
=+++
++
=+++++++
kkk
kk
kkk
kkkk
Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương.
Phương pháp quy nạp toán học:
Để c/m mệnh đề A(n) đúng
∀
n
∈
N
*
ta thực hiện:
B1: C/m A(n) đúng khi n=1.
B2:
∀
n

∈
N
*
giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng
minh A(n) cũng đúng với n=k+1.
Hoạt động 2:
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
2.Một số ví dụ:
1
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
H1: Thử với n=1
H2: Thực hiện bước 2
+ 1=1 ( đúng)
+ Giả sử đúng với
n=k, cần chứng minh
đúng với n=k+1.
Vídụ1: CMR
∀
n
∈
N
*
, ta luôn có:
4
)1(
321
22
3333
+
=++++

nn
n

HD:
4
)2()1(
)44.(
4
)1(
)1(
4
)1(
)1( 321
22
2
2
3
22
33333
++
=++
+
=
++
+
=++++++
kk
kk
k
k

kk
kk
Hoạt động 3:
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+Gọi 2 hs lần lượt làm
2 bước
+ HS tự làm
+n=1: u
1
=10

5
+Giả sử đúng n=k, cần
cm đúng khi n=k+1.
+ 2
k+1
=2.2
k
>2(2k+1)=
4k+2>2k+3>2(k+1)+1
( vì k
≥
3)
Ví dụ 2: CMR u
n
=7.2
2n-2
+ 3
2n-1


5,
∀
n
∈
N
*
.
HD: u
k+1
=7.2
2(k+1)-2
+ 3
2(k+1)-1
=7.2
2k-2+2
+ 3
2k-1+2
=28.2
2k-2
+ 9.3
2k-1
=4(7.2
2k-2
+ 3
2k-1
)+5.3
2k-1

5

Chú ý: trong thức tế ta có thể gặp bài toán yêu
cầu CM A(n) đúng
∀
n
≥
p. Khi đó ta cũng cm
tương tự nhưng ở B1 thì thử với n=p.
Ví dụ 3: CMR 2
n
>2n+1,
∀
n
≥
3.
Bài tập SGK
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+ Gọi HS lên bảng
làm
+ Gọi HS lên bảng
làm
+ Gọi HS nói cách làm
+ Gọi HS trả lời tại
chỗ
+ HS làm bài.
+ HS làm bài.
+ HS trả lời.
+ Không được vì chưa
thử với n=1.
Bài 1: HS tự làm.
Bài 2: HS tự làm.

Bài 3: Khi n=k+1, ta có:
1
1
2
1
11

2
1
1
+
+<
+
++++
k
k
kk
1
1
11
1
1)1(2
+=
+
+++
<
+
++
= k
k

kk
k
kk
VP
(Côsi và k
≠
k+1)
Bài 4: HS tự làm ( lưu ý n
≥
2).
Bài 5: Khi n=k+1:
)1(2
1
12
1
2
1

3
1
2
1
+
+
+
+++
+
+
+ kkkkk
1

1
)1(2
1
12
1
2
1

3
1
2
1
1
1
+
−
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
=
kkkkkkk
24
13
)12)(1(2

1
2
1

3
1
2
1
1
1
>
++
+++
+
+
+
+
+
=
kkkkkk
Bài 6:(là ví dụ 2)
Bài 7: Cho số thực x>-1. CMR
nxx
n
+≥+ 1)1(
Khi n=k+1:
(1+x)
k+1
=(1+x)
k

(1+x)
≥
(1+kx)(1+x)
=1+(k+1)x +kx
2
≥
1+(k+1)x
Bài 8: Không đúng vì chưa thử với n=1.
2
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
3. Củng cố: Nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp và cách vận dụng.
4. Bài về nhà:
- Hết tiết 39: các bài tập SGK trang 100, 101.
- Hết tiết 40: 1) CMR u
n
=13
n
-1

6 ,
∀
n
∈
N.
2) CMR
6
)12)(1(
321
2222
++

=++++
nnn
n
,
∀
n
∈
N
*
.
E. Rút kinh nghiệm:
Tiết 49: BÀI TẬP
A. MỤC TIÊU :
+) Về kiến thức : nắm vững quy tắc cơ bản của phép quy nạp.
+) Về kĩ năng : Giúp học sinh thành thạo phưong pháp quy nạp
+) Thái độ, tư duy:
Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi.
Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán.
B.CHUẨN BỊ CỦA THÀY VÀ TRÒ
+) Giáo viên: Đồ dùng dạy học.
+) Học sinh : Học bài cũ, làm bài tập ở nhà.
C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
- Sử dụng PP gợi mở vấn đề, vấn đáp, đan xem hoạt động nhóm.
D. TIẾT TRÌNH BÀI HỌC:
1. Hỏi bài : Gọi một học sinh trung bình làm bài tập sau
Chứng minh : 1 + 3 + 5 + + (2n - 1) = n
2
(n ∈ IN
*
)

2 Bài tập
Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh
Bài 1 : Chứng minh
2
2
+ 4
2
+ +(2n)
n
=
3
)12)(1(2 ++ nnn
(n∈IN
*
)
Bài 2 : Chứng minh
n
n
2
1

2
1
1 <+++

(n∈IN
*
)
Bài3 : Chứng minh
n

n
n 2
11
1
9
1
1
4
1
1
2
+
=






−






−







−
* Gọi một học sinh trung bình làm bài tập.
Cả lớp theo dõi
* Gọi một học sinh khá làm bài tập. Cả
lớp theo dõi
Gọi một học sinh khá làm bài tập. Cả lớp
theo dõi
Bài 4 : Chứng minh
)1(
14
13
2
1

2
1
1
1
>++
+
+
+ nnn
(n∈IN
*
)
* Đây là bài khó, học sinh hay nhầm lẫn.
(H1). Khi n = k, thì (1) viết thế nào? Từ đó

chứng minh (1) đúng với n = k+1.
3
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
Bài 5 : Cho x > - 1. Chứng minh :
(1 + x)
n
≥ 1 + nx. (n nguyên dương)
* Đây là một bất đẳng thức quan trọng, học sinh
cần nhớ để vận dụng sau này.
(H). Dấu = xảy ra khi nào ?
Củng cố : Tóm tắt lại phương pháp qui nạp ở
các dạng,
* Cả 4 tổ cùng làm. Hỏi kết quả của từng
tổ một.
* Củng cố :
Tóm tắt lại phương pháp qui nạp ở các dạng.
* Bài tập về nhà :
Soạn các bài tập ôn chương về phương pháp qui nạp . (Sgk)
Tiết 50: §2. DÃY SỐ
I. MỤC TIÊU
* Về kiến thức:
Giúp học sinh: - Có một cách nhìn nhận mới, chính xác đối với khái niệm dãy số, cách
nhìn nhận theo quan điểm hàm số.
- Nắm vững 3 cách cho một dãy số.
* Về kỹ năng:
Giúp học sinh: - Biết cách cho một dãy số.
- Biết cách tính số hạng thứ k khi cho một dãy số bằng công thức
truy hồi hay cho công thức của số hạng tổng quát.
- Biết cách tìm số hạng tổng quát U
n

.
II. NỘI DUNG BÀI HỌC
HĐ1: Kiểm tra bài cũ
Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh
Giao nhiệm vụ
+ Cho ví dụ một hàm số có tập xác định là N*
và tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)
1 học sinh lên bảng làm. Các em khác
ở dưới lớp kiểm tra, xác định đúng
hay sai, còn thiếu chỗ nào.
HĐ2: Bài mới: § 2. DÃY SỐ
1. Định nghĩa dãy số:
Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh
Qua ví dụ ở trên, thầy giáo giải thích
Đặt: U
1
= f(1)
U
2
= f(2)

U
n
= f(n)
Thì các số: U
1
, U
2
, U
3

, , U
n
, lập thành một
dãy số vô hạn.
- Dãy số là hàm số như thế nào?
- Cho VD một dãy số
4
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
Chính xác hóa đối với dãy số (vô hạn)
Định nghĩa (dãy số vô hạn)
Ký hiệu: (U
n
)
- Cho VD dãy số tự nhiên lẻ?
- Cho VD dãy số chính phương
Định nghĩa (dãy số hữu hạn)
VD: cho dãy số hữu hạn: 1, 2, 2, 4, 8, 32, 256
Cho ví dụ về dãy số hữu hạn.
2. Cách cho một dãy số:
Một dãy số được xác định nếu ta biết cách tính mọi số hạng của dãy số đó.
Có 3 cách cho một dãy số:
a. Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát U
n
.
Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh
VD
1
: cho dãy số (U
n
) với U

n
=
2n3
1n
+
−
Giao nhiệm vụ
Hoạt động theo nhóm
H1: Tìm số hạng thứ 33 và 333 của dãy số. Thay n = 33, n = 333 vào Un
H2: Số
20
5
,
20
8
là số hạng thứ mấy của dãy
số trên.
Giải PT:
20
5
=
2n3
1n
+
−
;
20
8
=
2n3

1n
+
−
tìm n nguyên dương;
H3: Cho ví dụ một dãy số bởi công thức tổng
quát của U
n
.
U
n
= ?
H4: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng
quát của dãy nghịch đảo các số tự nhiên lẻ
1,
3
1
,
5
1
,
7
1
,
9
1
, ,
1n2
1
−
Cũng giống như hàm số, không phải mọi dãy số đều có thể cho bằng công thức số

hạng tổng quát U
n
. Do đó ta có thể cho hàm số bằng cách khác.
b. Cho dãy số bằng công thức truy hồi
VD
2
: Cho dãy số (U
n
) biết:
)3n*,Nn(
UUU
1UU
2n1nn
21
≥∈∀



+=
==
−−
Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh
Giao nhiệm vụ Làm theo nhóm
H1:
Tính U
3
, U
4
, U
5

, U
6
, U
7
, U
8,
U
9
, U
10
.
U
3
= 2; U
4
= 3; U
5
= 5; U
6
= 8; U
7
= 13;
U
8
= 21;

U
9
= 34; U
10

= 55
VD
3
: Cho dãy số (U
n
) biết:
)2n*,Nn(
1U2U
1U
1nn
1
≥∈∀



+=
=
−
Giao nhiệm vụ
H1: Tính U
2
, U
3
, U
4
, U
5
Làm theo nhóm
Nhóm nào xong trước lên trình bày.
Các nhóm khác theo dõi, nhận xét

đúng - sai.
H2: Qua 2 ví dụ trên hãy nêu cách cho dãy số
bằng phương pháp truy hồi.
Làm theo nhóm
Cho 1 nhóm phát biểu và các nhóm khác
theo dõi, bổ sung cho hoàn chỉnh.
H3: Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa U
1
, U
2
,
U
3
, U
4
, U
5
với 1, 2, 3, 4, 5
U
n
= ?
U
1
= 1 = 2
1
- 1 U
4
= 15 = 2
4
- 1

U
2
= 3 = 2
2
- 1 U
5
= 31 = 2
5
- 1
U
3
= 7 = 2
3
- 1
5
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
Tổng quát: U
n
= 2
n

- 1
H4: Có thể khẳng định
U
n
= 2
n
- 1 (
*Nn ∈∀
) được không? Cần

phải làm gì?
CM. U
n
= 2
n
- 1 là đúng
*Nn ∈∀

bằng phương pháp quy nạp.
Các nhóm thảo thuận cách chứng
minh và lên trình bày.
c. Cho dãy số bằng phương pháp mô tả
VD
4
: Cho dãy số (U
n
) biết: U
1
= 3,1 ;U
2
= 3,14; U
3
= 3,141; U
4
= 3,1415,.…
(Chú ý số π = 3,1415 )
VD
5
: Cho dãy số (U
n

) với U
n
là độ dài
của dây AM
n
trên hình vẽ bên (OA =
1)
Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh
Giao nhiệm vụ Làm theo nhóm
H1: Tính AM
n
H2: U
n
= ?
Sau 1 phút học sinh không giải được
thì gợi ý lấy I là trung điểm AM
n
.
Tính AI.
HĐ3: CỦNG CỐ BÀI HỌC
Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh
Giao nhiệm vụ, đánh giá kết quả của học sinh
làm.
Bài 1: Cho dãy số (U
n
), biết:
)3n*,Nn(
2U21UU
2U
1U

nnn
2
1
≥∈∀





−+−=
=
=
Tìm U
4
.
Gọi 3 học sinh lên bảng làm, mỗi em
làm 1 câu, các em khác theo dõi góp ý
đúng - sai và có cách nào làm hay hơn
không?
Bài 2: Tìm 5 số hạng đầu của dãy số (U
n
) biết:
u
n
=
n
3n2
2
−
Bài 3: Viết 5 số hạng đầu của dãy số gồm các

số tự nhiên chia cho 3 dư 1 và viết số hạng
tổng quát của U
n
HĐ4: BÀI TẬP VỀ NHÀ: 9 → 12 (tr. 100)
Tiết 51 LUYỆN TẬP VỀ DÃY SỐ
I/ Mục tiêu
1/ Về kiến thức
- Nắm được khái niệm về dãy số, số hạng của dãy số, các cách cho một dãy số.
6
A
B
O
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
- Nắm được định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn.
- Nắm được phương pháp quy nạp toán học.
2/ Về kĩ năng
- Vận dụng được phương pháp quy nạp vào chứng minh bài tập về dãy số.
- Vận dụng kiến thức tìm các số hạng của dãy số.
3/ Về tư duy, thái độ
- Rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp.
- Có thái độ cẩn thận, chính xác khi làm toán.
II/ Chuẩn bị
- Giáo viên: Đồ dùng dạy học.
- Học sinh : Học bài cũ, làm bài tập ở nhà.
III/ Phương pháp dạy học
- Phưong pháp gợi mở, vấn đáp.
IV/ Tiến trình bài học
1) Ổn định, điểm danh
2) Nội dung
Hoạt động 1

Bài 15/sgk. Cho dãy số (u
n
) xđịnh bởi u
1
= 3 và u
n+1
= u
n
+ 5 với mọi n
≥
1.
a) Hãy tính u
2,
u
4
và u
6
.
b) Cmr u
n
= 5n - 2 với mọi n
≥
1.
HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng
- Nghe, hiểu câu hỏi
- Trả lời câu hỏi
- Lên bảng trình bày.
- Theo dõi bài bạn, đưa ra
nhận xét
- Tái hiện lại kiến thức,

trả lời câu hỏi.
- Nghe, làm theo huớng
dẫn.
-Làm ra vở nháp, lên
bảng trình bày.
- Theo dõi bài làm,
nhận xét, chỉnh sửa
-Tiếp nhận ghi nhớ.
- Muốn tính u
2,
u
4
và u
6
ta
áp dụng kiến thức
nào?
- Gọi HS lên bảng trình
bày câu a
-Gọi 1 HS nhận xét
- GV nhận xét
- Nêu cách hiểu của em
về phương pháp quy
nạp toán học ?
- GV hưóng dẫn HS
vận dụng vào cm câu b
- Yêu cầu HS trình bày
hướng giải quyết theo
các bước đã học.
- GV nhận xét bài giải,

chính xác hoá.
- Củng cố kiến thức
a) Theo gt u
1
= 3 và
u
n+1
= u
n
+ 5 ta c ó
u
2
= u
1
+ 5 = 8
u
4
= u
3
+ 5 = 18
u
6
= u
5
+ 5 = 28
b) Cm u
n
= 5n - 2 (1)
*
Nn∈∀

Với n = 1, ta có
u
1
= 3 = 5.1- 2. Như thế
(1) đúng khi n = 1.
Giả sử (1) đúng khi
n = k, k
*
N∈
, ta sẽ cm nó
cũng đúng khi
n = k +1.
Thật vậy, từ công thức
xđịnh dãy số (u
n
) và giả
thiết quy nạp ta có
u
k+1
= u
k
+ 5 = 5k-2+5=
= 5(k+1) -2.
Vậy (1) đúng
*
Nn∈∀
.
Hoạt động 2
Bài 16/sgk 109
HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng

7
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
-Tái hiện kiến thức, trả lời
câu hỏi.
- Vận dụng gt vào cm
-Tiếp nhận
- Làm bài vào vở.
- Nêu cách cm dãy số
tăng?
-Yêu cầu HS cm.
-Nhận xét,chỉnh sửa
-Tương tự bài 15, yêu cầu
HS tự cm câu b
a) Từ gt ta có
u
n+1
-u
n
= (n+1).2
n
> 0,
1≥∀n
.
Do đó (u
n
) là 1 dãy số
tăng.
Hoạt động 3
Bài 17/sgk 109
HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng

- Tiếp nhận tri thức mới.
- Suy nghĩ, trả lời câu hỏi
-Thảo luận theo nhóm, cử
đại diện trình bày
- Nhận xét, chỉnh sửa
- Tiếp nhận, ghi nhớ
- Giới thiệu cho HS khái
niệm dãy số không đổi.
- Nêu câu hỏi gợi ý:
Muốn cm (u
n
) là dãy số
không đổi ta cm điều gì?
-Cho HS thảo luận theo
nhóm
-Nhận xét lời giải
- Củng cố kiến thức
Ta sẽ cm u
n
= 1,
1≥∀n
,
bằng phương pháp quy
nạp.
Với n = 1, ta có u
1
= 1.
Với n = k, ta có
u
1

= u
2
= . . .= u
k
= 1 và
u
k+1
=
1
1
2
2
=
+
k
u
Ta sẽ cm n = k +1 thì thì
u
n
= 1,
1≥∀n
.
Thật vậy, từ hệ thức xác
định dãy số (u
n
) và giả
thiết quy nạp ta có
u
k+2
=

1
11
2
1
2
2
1
=
+
=
+
+k
u
Vậy (u
n
) là dãy không
đổi
3/ Củng cố toàn bài
- Kiền thức về tìm số hạng của dãy.
- Vận dụng phương pháp quy nạp vào chứng minh.
Bài tập củng cố: Bài 18/sgk
Dặn dò: làm các bài tập tương tự trong sách bài tập. Xem trước bài Cấp số cộng.
Tiết 52-53. CẤP SỐ CỘNG
F. Mục tiêu:
1. Kiến thức: Giúp cho học sinh
- Nắm được khái niệm cấp số cộng;
- Nắm được một số tính chất cơ bản của ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng.
- Nắm được công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên.
2. Kĩ năng:
- Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng.

- Biết cách tìm số hạng tổng quát và tông n số hạng đầu.
8
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
- Biết vận dụng CSC để giải quyết một số bài toán ở các môn khác hoặc trong thức tế.
3. Thái độ, tư duy:
- Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi.
- Tư duy: phát triển tư duy logic, lên hệ trong thực tế.
G. Chuẩn bị của thầy và trò:
1. Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT.
2. Học sinh: đọc trước bài ở nhà.
H. Phương pháp giảng dạy: gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động.
I. Tiến trình bài học: (tiết 45: mục 1, 2, 3; tiết 46: mục 4 và bài tập)
1. Ổn định tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ:
- Nêu các tính chất của dãy số.
- Xác định tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số:
)13( +n
;
n
2
12
2
−
.
3. Bài mới:
Hoạt động 1:
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+ Có nhận xét gì các
sồ hạng của dãy số?
+Từ ví dụ trên hãy đưa

ra ĐN về cấp số cộng.
+ Dãy số đã cho có
phải là CSC không?
Nếu có hãy nêu công
sai và u
1
.
+ Số hạng sau hơn số
hạng ngay trước nó 1
đơn vị.
a) là CSC có d= 2 và
u
1
=0.
b)CSC:d=1,5và u
1
=3,5
1. Định nghĩa:
Ví dụ1: Nhận xét dãy số: 0, 1, 2,…, n,
n+1,
Nhận xét: Từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng
bằng tổng số hạng ngay trước nó cộng với
1.
ĐN: Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (u
n
) là
CSC
⇔
u
n

=u
n-1
+ d,
∀
n
≥
2.
+ d không đổi gọi là công sai.
+ Kí hiệu CSC:
÷
u
1
, u
2
, u
3
, …, u
n
, …
Ví dụ 2:
a) Dãy số 0, 2, 4, …, 2n, …
b) Dãy số 3,5; 5; 6,5; 9; 10,5; 12.
Hoạt động 2:
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+Tính u
k-1
, u
k+1
theo u
k

và d rồi tìm quan hệ
giữa 3 số hạng u
k
, u
k-1
,
u
k+1
.

+ Gọi HS lên bảng
làm.
+ u
k-1
= u
k
-d
u
k+1
= u
k
+d
suy ra
2
11 +−
+
=
kk
k
uu

u
+Giả sử A
≤
B
≤
C,ta
có:





+=
=
=++
CAB
C
CBA
2
90
180
0
0
⇒
A=30
0
; B=60
0
và
C=90

0
.
2. Tính chất
ĐL1: (u
n
) là CSC
⇔
2
11 +−
+
=
kk
k
uu
u
, (k
≥

2)
<H2> Cho CSC (u
n
) có u
1
=-1 và u
3
=3.
Tìm u
2
, u
4

.
Ví dụ 3: Ba góc A, B, C của tam giác
vuông ABC theo thứ tự lập thành CSC.
Tính 3 góc đó.
Hoạt động 3:
9
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+CSC có u
1
và d. Hình
thành công thức tính u
n
bất kỳ.
+ Gọi HS làm tại chỗ
+Cho học sinh tự
nghiên cứu.
+ u
1
= u
1
+ 0.d
u
2
=u
1
+ d
u
3
=u

2
+ d=u
1
+2d
u
4
=u
3
+ d=u
1
+4d
…
u
n
=u
1
+(n-1)d.
Chứng minh lại bằng
quy nạp.
+ u
31
=-77.
3. Số hạng tổng quát:
ĐL 2: Cho cấp số nhân (u
n
). Ta có:
u
n
=u
1

+(n-1)d.
<H3>Cho CSC (u
n
)có u
1
=13, d=-3. Tính
u
31.
<Ví dụ 2> trang 111 SGK.
Hoạt động 4:
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+ Nhận xét tích của
hai số hang trong
cùng một cột ở sơ đồ
trong SGK Từ đó rút
ra S
n
.
+ Viết lại CT trên dựa
vào CT u
n
=u
1
+(n-
1)d.
+ Gọi HS nêu cách
làm ví dụ 3 trang 113
SGK.
+<H4> Sử dụng chú
ý của ĐL3 làm cho

nhanh.
+<H5>Yêu cầu học
sinh tính tiền lương
sau n năm theo 2
phương án.
Dựa vào kết quả T
1
-
T
2
cho học sinh phát
biểu cách chọn.
+ bằng u
1
+u
n
.
2
)(
1
nuu
S
n
n
+
=
+ u
n
là mức lương ở
quý n. (u

n
) là CSC
với u
1
=4,5 và d=0,3.
Cần tính u
12
.
+ Hoc sinh tinh rồi
đọc kết quả
+ Trả lời
4. Tổng n số hạng đầu tiên của một CSC:
ĐL 3: Cho CSC (u
n
), gọi S
n
=u
1
+u
2
+…+u
n
2
)(
1
nuu
S
n
n
+

=
,
∀
n
≥
1.
Chú ý:
[ ]
2
)1(2
1
ndnu
S
n
−+
=
,
∀
n
≥
1.
<Ví dụ 3>trang 113 SGK.
Giải: Gọi u
n
là mức lương ở quý thứ n thì:
u
1
= 4,5 và d=0,3
⇒
u

12
=4,5+(12-1).0,3=7,8.
( )
( )
8,73
6
12.8,75,4
2
12
131
12
=
+
=
+
=
uu
S
triệu.
<H4> HS tự làm.
<H5>
( )
[ ]
( )
2
233
2
3136.2
1
+

=
−+
=
nnnn
T

( )
[ ]
( )
)3(
2
5
5,1322
2
5,0.147.24
21
2
n
n
TT
nn
nn
T
−=−⇒
+=
−+
=
Nếu làm trên 3 năm thì chọn PA 2, dưói 3
năm thì chọn PA 1.
Hoạt động 5: bài tập SGK

HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
Bài19:
10
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
+ Gọi học sinh nêu PP
và giải bài 19.
+ Gọi học sinh nêu PP
và giải bài 20.
+ Gọi HS trả lời TN.
+ Gọi HS làm tại chỗ
và đọc kết quả.
+ Bài 23: HDHS đưa
u
20
và u
51
về u
1
và d
rồi tính u
1
và d sau đó
viết công thức u
n
.
+ Biểu diễn u
m
, u
k
qua

u
1
và d.
+ DH hs c/m bằng
quy nạp.
+ Có thể tính u
1
và d
(AD bài 24) rồi tính
S
13
.
+ Học sinh trả lời.
+ Học sinh trả lời.
+ Học sinh trả lời.
+ Học sinh trả lời.
+ HS trả lời
a) u
n+1
-u
n
= 19,
∀
n
≥
1
⇒
(u
n
) là CSC.

b) u
n+1
-u
n
= a,
∀
n
≥
1
⇒
(u
n
) là CSC.
Bài 20: Ta có:
( )
[ ]
( )
12
8
1
8
1
2
2
−=−−= nnnu
n
π
π
4
1

π
=−⇒
+ nn
uu
,
∀
n
≥
1
⇒
(u
n
) là CSC
Chú ý: Để CM (u
n
) là CSC ta cần CM
u
n+1
-u
n
không đổi,
∀
n
≥
1 .
Bài 21: Trắc nghiệm: a) Tăng; b) Giảm.
Bài 22:
28=u
1
+u

3
=2u
2

⇒
u
2
=14
40=u
3
+u
5
=2u
4

⇒
u
4
=20
u
3
=(u
2
+u
4
)/2=17
u
1
=28-u
3

=11 và u
5
=40-u
3
=23.
Bài 23:
ĐS: u
n
=-3n+8.
Bài 24:
u
m
=u
1
+(m-1)d và u
k
=u
1
+(k-1)d
⇒
u
m
-u
k
=(m-k)d
⇒
u
m
=u
k

+(m-k)d.
Áp dụng: HS tự làm. ĐS: d=5.
Bài 25: ĐS: u
n
=5-3n.
Bài 26:CM bằng quy nạp:
HD:
( )( )
2
1
11
11
+
++
++
=+=
k
kkk
uuk
uSS
Bài 27: HS tự làm.
HD:
( )
( )
.690
2
23
2
23
222

231
23
=
+
=
+
=
uu
uu
S
Bài 28:là ví dụ 3 trong phần bài học.

4. Củng cố: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24.
5. Bài về nhà:
- Hết tiết 45: Bài tập SGK trang114, 115.
- Hết tiết 46:
Bài 1: CM các dãy số sau là CSC: a) u
n
=3n-7 b) u
n
=(3n+2)/5.
Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai CSC (u
n
) biết:



=
=−
75.

8
72
37
uu
uu
(ĐS: u
1
=3, -17;
d=2).
Bài 3: Bốn số lập thành CSC. Tổng của chúng bằng 22 và tổng bình phương thì bằng
166. Tìm 4 số đó. (ĐS: 1, 4, 7, 10).
J. Rút kinh nghiệm:
11
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
Tiết 54-55: §4: CẤP SỐ NHÂN
I. Mục tiêu bài học:
 Về kiến thức: Giúp học sinh
- Nắm vững khái niệm và tính chất về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân.
- Nắng vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số
hạng đầu tiên của một cấp số nhân.
 Về kỹ năng:
- Biết vận dụng định nghĩa để nhận biết một cấp số nhân.
- Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một
cấp số nhân.
- Biết vận dụng các kiến thức cấp số nhân vào giải các bài toán liên quan đến
cấp số nhân ở các môn học khác, cũng như trong thực tế.
 Tư duy – thái độ:
- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài.
- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt.
II. Chuẩn bị của thầy và trò:

 Chuẩn bị của G\v:
- Soạn giáo án.
- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
- Bảng phụ: tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu và bài toán đố vui.
 Chuẩn bị của học sinh:
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.
III. Phương pháp:
Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định tổ chức:
Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số vắng, vệ sinh của lớp.
2. Kiểm tra bài cũ:
H: G\v gọi học sinh nhắc lại định nghĩa, tính chất, số hạng tổng quát và tổng n số
hạng đầu tiên của một cấp số cộng?
3. Bài mới:
HĐ của GV HĐ của HS Nội dung ghi bảng
HĐ1: Hình thành đ\n của
cấp số nhân từ một bài toán
thực tế.
+ G\v treo bảng phụ: tóm tắt
nội dung của bài toán mở
đầu.
H: Biểu diễn u
2
theo u
1
, u
3
theo u
2

, ,u
n
theo u
n-1
?
+ H\s nghe và theo
dõi nội dung bài
toán trên bảng phụ
+ u
2
=u
1
+ u
1
.0,004
= u
1
. 1,004
u
3
= u
2
. 1,004
1. Định nghĩa:
a. Bài toán mở đầu:
(G\v treo bảng phụ)
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu u
n
là
số tiền người đó rút được (gồm cả vốn

và lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi. khi
đó, theo giả thiết bài toán ta có:
u
n
= u
n-1
+u
n-1
.0,004= u
n-1
.1,004
2n∀ ≥
Như vậy, ta có dãy số (u
n
) mà kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích
12
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
+ G\v gọi h\s phát biểu đ\n
cấp số nhân.
H: Vì sao dãy số (u
n
) với u
n
=
2
n
là một CSN?
H: Vì sao dãy số -2, 6,-18,
54, -162 là một CSN? tìm

công bội của nó?
+ G\v cho h\s thực hiện hđ 1
SGK theo nhóm đã phân
công.
HĐ2: G\v hướng dẫn h\s
lĩnh hội tính chất CSN.
H: Cho CSN (u
n
) có u
1
=-2
và q =
1
2
−
.
a. Viết 5 số hạng đầu tiên
của nó?
b. so sánh
2
2
u
với u
1
.u
3
và
2
3
u

với u
2
.u
4
?
Nêu nhận xét tổng quát
+ G\v cho h\s thực hiện hđ 2
SGK
HĐ3: Hình thành công thức
số hạng tổng quát của CSN.
H: Tìm số hạng đầu và công
bội của CSN (u
n
)?
+ G\v cho h\s thực hiện hđ 3
theo nhóm đã phân công
H: Em có nhận xét gì về sự
giống nhau của bài toán này
với bài toán mở đầu?
HĐ4: Hình thành công thức
tính tổng n số hạng đầu tiên
của CSN.
H: Nêu phương pháp tính
tổng n số hạng đầu tiên của
cấp số nhân?

u
n
= u

n-1
. 1,004
+ H\s phát biểu đ\n
cấp số nhân.
+ u
n
=
1
2 2 .2
n n−
=

1
.2 n 2
n
u
−
= ∀ ≥
Nên (u
n
) là CSN có
số hạng đầu u
1
=2 và
công bội q = 2
+ vì kể từ số hạng
thứ 2, mỗi số hạng
đều bằng số hạng
đứng ngay trước nó
nhân với -3.

+ H\s thảo luận
nhóm hđ 1 và cử
đại diện trình bày.
+ u
1
=-2, u
2
=1, u
3
=
1
2
−
, u
4
=
1
,
4
1
5
8
u = −
+
2
.
2 1 3
u u u=
và
2

.
3 2 4
u u u=
+ H\s đứng tai chỗ
trình bày hđ 2
+ u
1
= 10
7
.1,004 và
q = 1,004
+ H\s thảo luận hđ 3
theo nhóm và cử đại
diện trình bày.
+ Dân số của TP A
và số tiền rút được
đều tăng theo cấp
số nhân.
+ Tìm u
1
và q.
Nếu q = 1 thì S
n
=
của số hạng đứng ngay trước nó với
1,004.
b. Định nghĩa: SGK
(u
n
) là CSN

⇔
. 2
1
u u q n
n
n
= ∀ ≥
−
Số q được gọi là công bội của CSN.
Vd 1:
a. Dãy số (u
n
) với u
n
=
2
n
là một CSN
với số hạng đầu u
1
=2 và công bội q=2
b. Dãy số -2, 6,-18, 54, -162 là một CSN
với số hạng đầu u
1
= -2 và công bội q =
-3.
Vd 2: SGK
2. Tính chất:
Đlí 1: SGK
2

.
1 1
u u u
k k k
=
− +
C\m: SGK
Vd 3: Cho CSN (u
n
) với công bội q>0.
Biết u
1
= 1 và u
3
= 3, hãy tìm u
4
.
Giải: Ta có:
2
.
2 1 3
u u u=
(1)

2
.
3 2 4
u u u=
(2)
Từ (1), do u

2
> 0 (vì u
1
> 0 và q > 0), suy
ra
2 1 3
. u u u=
. Từ (2) suy ra:
2
3
4
1 3
9
3 3
. u 3
u
u
u
= = =
3. Số hạng tổng quát:
Đlí 2: SGK
n-1
1
. q
n
u u=
với q
0≠
Vd4: Trở lại bài toán mở đầu.
4. Tổng n số hạng đầu tiên của CSN

Giả sử có cấp số nhân (u
n
) với công bội
q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S
n
là
tổng n số hạng đầu tiên của nó: S
n
= u
1
+
u
2
+ + u
n
Nếu q=1 thì u
n
= u
1
với mọi n
1≥
. Khi
đó: S
n
= nu
1
.
Nếu q
1≠
, ta có kết quả:

Đlí 3: SGK
1
(1 )
1
n
n
u q
S
q
−
=
−
với q
1
≠
C\m: SGK
Vd 5: SGK
13
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
+ G\v cho h\s thảo luận theo
bài toán đó vui nhóm đã
phân công.
nu
1
Nếu q
1
≠
thì
1
(1 )

1
n
n
u q
S
q
−
=
−
+ H\s thảo luận theo
nhóm và cử đại diện
trình bày.
(G\v treo bảng phụ: tóm tắt nội dung của
bài toán đố vui)
V. Củng cố, dặn dò và bài tập về nhà:
+ G\v gọi học sinh nhắc lại định nghĩa và tính chất của cấp số nhân.
+ G\v gọi h\s nêu công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng
đầu tiên của cấp số nhân.
+ Lập bảng so sánh sự khác nhau giữa CSC và CSN về đ\n, t\c, số hạng tổng
quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên.
BTVN: Bài 29
→
37 SGK trang 120
• Rút kinh nghiệm:
Tiết 56. Luyện tập
A. Mục tiêu:
a. Kiến thức: Giúp cho học sinh
1. Củng cố và tổng hợp các kiến thức cơ bản về cấp số cộng và cấp số
nhân thông qua các bài tập.
b. Kĩ năng:

1. Vận dụng giải quyết một số bài tập liên quan.
c. Thái độ, tư duy:
1. Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu
hỏi.
2. Tư duy: phát triển tư duy logic, lên hệ trong thực tế.
B. Chuẩn bị của thầy và trò:
a. Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT.
b. Học sinh: Học bài và chuẩn bị bài tập ở nhà.
C. Phương pháp giảng dạy: gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động.
D. Tiến trình bài học:
a. Ổn định tổ chức:
b. Kiểm tra bài cũ:
1. Nêu đn, tính chất, số hạng tổng quát, tổng n số hạng đầu của CSC
và CSN.
c. Bài mới:
Hoạt động 1: Bài 38
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+ Gọi HS làm tại chỗ
bài 38
+ a: sai
b: đúng
c: sai.
a)Sai. Vì
bcab
1111
−≠−
b) Đúng. Dễ dàng c/m được
cab
1
.

11
2
=






14
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
c) Sai. Vì
( )
π
π
πππ
−
−
=++++
1
11
1
101
1002
.
Hoạt động 2 : Bài 39
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+ Từ giả thiết hãy rút
ra quan hệ giữa các
biểu thức rồi tìm x,y

*2(5x+2y)=(x+6y)+(8x+y)
⇔
x=3y (1)
* (y+2)
2
=(x-1)(x-3y) (2)
Giải bằng pp thế ta có: x=-6 và y=-
2
x+6y; 5x+2y; 8x+y là CSC
x-1; y+2; x-3y là CSN.
Tìm x,y.
ĐS: x=-6; y=-2.
Hoạt động 3: Bài 40 và 41
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+ Gọi HS nói cách làm
sau đó GV hướng dẫn
để các em làm ở nhà.
+ HS trả lời. Bài 40: +(u
n
) là CSC với d
≠
0.
+ u
1.
u
2
; u
2
.u
3

; u
3
.u
1
lập thành CSN với q
≠

0.
Tìm q.
HD: Nhận thấy u
1
.u
2
≠

0 vì nếu ngược lại
thì hai trong ba số u
1
, u
2
, u
3
bằng 0 (sẽ mâu
thuẫn với gt CSC có d
≠
0). Ta thấy q
≠
1.




=
=
⇒



=
=
2
23
21
2
2113
2132
quu
quu
quuuu
quuuu
Kết hợp (u
n
) là CSC nên:
2u
2
=u
2
q+u
2
q
2

(u
2

≠
0)
⇔
q
2
+q-2=0
⇔
q=-2 (loại q
≠
1).
+ Gọi hs lập luận để
suy ra q
≠
0,1 và u
2

≠

0
+ HS trả lời.
Bài 41:
* u
1
, u
2
, u
3

lập thành CSC với d
≠
0;
* u
2
, u
1
, u
3
lập thành CSN. Tìm q.
HD: Lập luận để có q
≠
0,1 và u
2

≠
0.
Ta có q
2
+q-2=0
⇔
q=-2 (loại q
≠
1).
Hoạt động 4: Bài 42
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+ Lập các mối liên
hệ giữa u
1
, u

2
, u
3


)3(
9
148
)2(4
)1(3
321
223
112
=++
+==
+==
uuu
duquu
duquu
Từ (1), (2)
⇒
( )
( )



=−
=−
dqu
dqu

4)1
31
2
1
TH1: q=1
⇒
u
1
= u
2
= u
3
=148/27 và
d=0.
TH2: q
≠
1:
⇒
q=u
2
/u
1
=4/3 ( kết hợp
(3))
⇒
u
1
=4; u
2
=16/3; u

3
= 64/9 và d=4/9.
Gọi u
1
, u
2
, u
3
là 3 số hạng của
CSN theo thứ tự đó, q là
công bội.
Gọi d là công sai của CSC
nói trong đề.
Dễ dàng thấy u
1

≠
0.
…(tiếp tục phần giải của hs)

15
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
Hoạt động 4: Bài 43
HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+ Gọi HS làm câu
a.
+ HS lên bảng làm. Giải: u
n
=1 và u
n+1

=5u
n
+8; v
n
=u
n
+2.
a) v
n+1
=u
n+1
+2=5u
n
+8+2=5(u
n
+2)=5v
n
Vậy (v
n
) là CSN với v
1
=u
1
+2=1+2=3; q=5
Số hạng tổng quát: v
n
=v
1
q
n-1

=3.5
n-1
.
b) u
n
=v
n
-2=3.5
n-1
-2.

d. Củng cố: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24.
e. Bài về nhà:
1. Ôn lại tất cả kiến thức của chương III, lập bảng tóm tắt đối với mỗi
bài trong chương.
2. Bài tập thêm: Cho dãy số (u
n
) với u
1
=m và u
n+1
=au
n
+b (m, a, b là
hằng số, a
≠
0,1).
a) Tìm số c sao cho dãy số (v
n
) với v

n
=u
n
+c là CSN với q=a.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy (u
n
).
c) Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy (u
n
) với : u
1
=1 và u
n+1
=9u
n
+8.
HD: a)v
n+1
=a.v
n
=a(u
n
+c). Mặt khác v
n+1
=u
n+1
+c =(au
n
+b)+c.
⇔

a(u
n
+c)=(au
n
+b)+c
⇔
ac=b+c
⇔
1
−
=
a
b
c
b)
⇒






−
+==
−− 11
1
.
1
nn
n

a
a
b
mqvv
1
.
1
1
−
−






−
+=−=
−
a
b
a
a
b
mcvu
n
nn
c) m=1, a=9, b=8
⇒
u

n
=2.9
n-1
-1. (Hãy kiểm tra lại kết quả Bài 43)
E. Rút kinh nghiệm:
Tiết: 57+58
Ôn tập chương III
A. MỤC TIÊU:
2. Về kiến thức:
- Nắm được các kiến thức về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và mạch kiến
thức của cả chương.
- Hiểu và vận dụng được các định nghĩa, tính chất, định lý và công thức
trong chương.
3. Về kỹ năng:
- Biết cách chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp.
- Biết các cách cho một dãy số; xác định tính tăng, giảm và bị chặn của dãy
số.
- Biết cách xác định các yếu tố còn lại của cấp số cộng (cấp số nhân) khi
biết một số yếu tố xác định cấp số đó, như: u
1
, d (q), u
n
, n, S
n
.
4. Về tư duy và thái độ:
- Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự. Biết quy lạ thành quen.
- Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi.
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS:
16

Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
- GV: Bài tập và câu hỏi trắc nghiệm, các slide, computer và projecter.
- HS: Ôn tập và làm bài tập trước ở nhà (ôn tập lại các kiến thức của chương
và làm các bài tập phần ôn tập chương).
C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
- Sử dụng PP gợi mở vấn đề, vấn đáp, đan xem hoạt động nhóm.
D. TIẾT TRÌNH BÀI HỌC:
HĐ HS HĐ GV NỘI DUNG TRÌNH CHIẾU
THỜI
- Nhắc
lại các
bước
QNTH
-Trao
đổi
nhóm về
bài tập
44 và 45
-Cử đại
diện trả
lời câu
hỏi khi
GV yêu
cầu và
nêu câu
hỏi thắc
mắc cho
các
nhóm
khác và

cho GV
cùng
trao đổi
HĐ1: PP
CM
QUY
NẠP
-Cho HS
nhắc lại
PPQNTH
-Trình
chiếu để
HS nhìn
lại tổng
thể
-Tổ chức
cho các
nhóm trao
đổi hai bài
tập 44 và
45 bằng
các câu
hỏi:
+Mệnh đề
A(n) và số
p trong
từng bài
tập là gì?
+Giả thiết
quy nạp ở

mỗi bài là
gì?
-Trình
chiếu để
HS nhìn
Bảng 1: PHƯƠNG PHÁP CM QUY NẠP TOÁN HOC
Bài toán: Cho p là một số nguyên dương. Hãy c/m
mệnh đề A(n) đúng với mọi n
≥
p.
Chứng minh quy nap:
Bước 1: CM A(n) đúng khi n=p
Bước 2: Giả sử A(n) đúng với n
≥
k (với k
≥
p)
Ta cần CM A(n) đúng với n=k+1
Bảng 2: BÀI TẬP MINH HOẠ PPCM QUY NẠP TH
Bài 44:
CMR 1.2
2
+2.3
2
+
…
+(n-1).n
2
=
12

)23)(1(
2
+− nnn
,
2
≥∀
n
(1)
Giải:
Bước 1: Với n=2, ta có: VT(1)=1.2
2
=4; VP(1)=4 suy ra
(1) đúng
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k (k
≥
2), tức là ta có:
1.2
2
+2.3
2
+
…
+(k-1).k
2
=
12
)23)(1(
2
+− kkk

Ta cần CM (1) cũng đúng n=k+1, tức là:
1.2
2
+2.3
2
+
…
+(k-1).k
2
+k.(k+1)
2
=
[ ]
[ ]
12
2)1(31)1()1(
2
++−++ kkk
(1’)
Thật vậy:
VT(1’)=
12
)53)(2_)(1( +++ kkkk
; VP(1’)=
12
)53)(2)(1( +++ kkkk
Vậy VT(1’)=VP(1’).
Bài 45: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:

u
1
=2, u
n
=
2
1
1
+
−n
u
,
2≥∀n
CMR: u
n
=
1
1
2
12
−
−
+
n
n
,
1≥∀n
(2)
Giải: Bước 1: Với n=1, từ (2) suy ra: u
1

=2 (đúng với
giả thiết)
Bước 2: Giả sử (2) đúng với n=k (k
≥
1), tức là ta có:
10
PHÚT
17
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
-Các
nhóm
trao đổi
để đưa
ra
phương
án trả
lời
-Theo
dõi và
nhận xét
phương
án trả
lời của
các
nhóm
khác
-Từng
nhóm
trao đổi
và phác

thảo sự
so sánh
lên giấy
và cử
đại diện
trả lời
lại tổng
thể
HĐ2: ÔN
TẬP
VỀ
DS
-Nói rõ
vấn đề cần
làm trong
hoạt động
này và
phân công
các nhóm
thực hiện
-Định
hướng HS
tìm các
DS có đủ
các yếu tố
trong
bảng
HĐ3: ÔN TẬP
CSC,
CSN

-Yêu cầu
HS so
sánh lại
các kiến
thức về
CSC và
CSN trên
các
phương
u
k
=
1
1
2
12
−
−
+
k
k
Ta cần CM (2) cũng đúng với n=k+1, tức là u
k+1
=
k
k
2
12 +
Thật vậy: Từ giả thiết ta có
u

k+1
=
2
1+
k
u
=
2
1
2
12
1
1
+
+
−
−
k
k
=
k
k
2
12 +
(đpcm)
Bảng 3: ÔN TẬP VỀ DÃY SỐ
Bài toán: Hoàn thành bảng sau:
Cách
cho DS
SHTQ

của dãy
số đó
Là DS
tăng
Là DS
giảm
Là DS bị
chặn
Cho
bằng
CT
Cho
bằng
PP mô
tả
Cho
bằng
PP truy
hồi
Bảng 4: ÔN TẬP VỀ CSC, CSN
CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN
1. ĐN: Dãy số (u
n
) là
CSC nếu:
u
n+1
=u
n
+d;

1
≥∀
n

d: Công sai
2. Số hạng tổng quát:
u
n
=u
1
+(n-1)d;
n
≥
2
3. Tính chất CSC:
2;
2
11
≥
+
=
+−
k
uu
u
kk
k
4. Tổng của n số hạng
đầu tiên:
S

n
=u
1
+u
2
+
….
+u
n
1. ĐN: Dãy số (u
n
) là
CSN nếu:
u
n+1
=u
n
.q;
1
≥∀
n

q: Công bội
2. Số hạng tổng quát:
u
n
=u
1
.q
n-1

; n
≥
2
3. Tính chất CSN:
2;.
11
2
≥=
+−
kuuu
kkk
Hay:
2;.
11
≥=
+−
kuuu
kkk
4. Tổng của n số hạng
đầu tiên:
S
n
=u
1
+u
2
+
….
+u
n

15
PHÚT
15
PHÚT
18
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
-Từng
nhóm
trao đổi
thực
hiện yêu
cầu của
GV
-Cử đại
diện trả
lời và
nhận xét
câu trả
lời của
nhóm
khác.
diện ĐN,
số hạng
TQ, TC
và tổng n
số hạng
đầu tiên
-Tổ chức
cho HS
làm các

bài tập 47,
48, 49
dưới dạng
các câu
hỏi sau:
+nhân ra
các CSC
và CSN?
+Tìm số
hạng tổng
quát?
+Tính
tổng n số
hạng đầu
tiên?
2
)(
1
nuu
S
n
n
+
=
[ ]
2
)1(2
1
ndnu
S

n
−+
=
)1(;
1
)1(
1
≠
−
−
= q
q
qu
S
n
n
HOẠT ĐỘNG 4: Củng cố kiến thức và bài tập về nhà:
1. Củng cố kiến thức: Qua bài học các em cần nắm được
a. Về kiến thức: Hiểu được mạch kiến thức trong chương
b. Về kỹ năng:
- Biết CM mệnh đề lien quan đến sô tự nhiên băng PPQN.
- Biết cách cho DS; biết xác định tính tăng, giảm, bị chặn của DS.
- Biết cách tìm các yếu tố còn lại khi cho biết một số yếu tố xác định của một
CSC, CSN.
c. Về thái độ và tư duy:
- Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tượng tự hoá và biết quy là về quen.
- Tích cực hoạt động trong học tập.
19
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
2. Bài tập về nhà: Làm các bài tập tù 50 đến 57 trong SGK.

KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG III GIẢI TÍCH 11
A . TRẮC NGHIỆM : ( 3 điểm )
Trong mỗi câu sau đây, hãy chọn phương án đúng trong các phương án đã cho:
Câu 1/ Cho dãy số
( )
n
u
biết :
1
2
1
1
n n
u
u u n
+
=



= +


. Số hạng
5
u
bằng :
A. 29 C. 31
B. 30 D. 32
Câu 2/ Dãy số

( )
n
u
sau đây là dãy số tăng :
A.
2
( 1) (5 1)
n n
n
u = − +
C.
1
1
n
u
n n
=
+ +

B.
1
3 ( 1)
4 ( 1)
n
n
n
n
u
n
+

+ −
=
+ −
D.
1
( 1) sin
n
n
u
n
π
+
= −

Câu 3/ Cho dãy số
( )
n
u
với
1 2
3
n
n
u
−
=
. Kết luận nào sau đây đúng :
A.
( )
n

u
không tăng cũng không giảm C.
( )
n
u
giảm
B.
( )
n
u
tăng D.
( )
n
u
giảm và bị chặn
Câu 4/ Cho dãy số
( )
n
u
với
3 5
n
n
u = +
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.
1
3 6
n
n

u
+
= +
C.
1
3.3 5
n
n
u
+
= +

B.
1
3 8
n
n
u
+
= +
D.
1
3.3 6
n
n
u
+
= +

Câu 5/ Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng ?

A.
4 1
n
u n= −
C.
2 1
n
n
u = +

B.
2 2
( 1)
n
u n n= + −
D. 25, 21, 17, 13, 9,
Câu 6/ Cho ba số
, ,a b c
lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng :
A.
2 2
2 2a c ab bc+ = +
C.
2 2
2 2a c ab bc− = −

B.
2 2
2 2a c ab bc+ = −
D.

2 2
a c ab bc= −
Câu 7/ Xác định x để ba số :
2
1 ; ; 1x x x− +
lập thành một cấp số cộng.
A.
2x
= ±
C.
0x
=

B.
1x = ±
D. Không có giá trị nào của x
Câu 8/ Cho cấp số cộng
( )
n
u
, biết
4 14
12 , 18u u= − =
. Ta có
1
u
và
d
của cấp số cộng là :
A.

1
20; 3u d= − = −
C.
1
21; 3u d= − = −

20
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
B.
1
21; 3u d= − =
D.
1
20; 3u d= − =
Câu 9/ Hãy chọn cấp số nhân
( )
n
u
trong các dãy số sau :
A.
1
2
1 1
2
n
u
u u
+
=




=


C.
1
1
3
1
n n
u
u u
+
= −


= +


B.
1
1
1
3
n n
u
u u
+
= −



=

D.

7,77,777, ,777 7
n chu so
1 2 3
Câu 10/ Cho dãy số
1; ; 0,64x−
. Chọn
x
để ba số trên lập thành một cấp số nhân :
A.
0,008x = −
C. Không có giá trị nào của x
B.
0,008x =
D. Một kết quả khác
Câu 11/ Cho cấp số nhân
( )
n
u
biết
1
2
3,
3
u q= − =

. Số
96
243
−
là số hạng thứ mấy của cấp số
này?
A. Thứ 5 C. Thứ 7
B. Thứ 6 D. Không là một số hạng nào của cấp
số
Câu 12/ Cho cấp số nhân
( )
n
u
có 9 số hạng, biết
1 9
5, 1280u u= =
thì tổng
9
S
bằng :
A.
1275
C. A, B đều đúng
B.
425
−
D. A,B đều sai

B. TỰ LUẬN: ( 7 điểm )
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên

1n ≥
, ta luôn có bất đẳng thức :

1 1 1
1
1 2 3 1n n n
+ + + >
+ + +
Bài 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số
( )
n
u
với
3 1
4
n
n
n
n
u
+
=
Bài 3. Tìm hai số
a
và
b
biết ba số :
1
,
8a

+
,
b
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
và
ba số
1, , a b
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Bài 4. Một cấp số nhân
( )
n
u
có 5 số hạng, biết công bội
1
4
q =
và
1 4
24u u+ =
. Tìm các số
hạng của cấp số nhân này.

Tiết 60-61. §1: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
II. Mục tiêu bài học:
 Về kiến thức: Giúp học sinh
- Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn 0.
21
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
- Ghi nhớ một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp.
 Về kỹ năng:

- Biết vận dụng định lí và các kết quả đã nêu ở mục 2) để chứng minh một dãy
số có giới hạn 0.
 Tư duy – thái độ:
- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài.
- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt.
II. Chuẩn bị của thầy và trò:
 Chuẩn bị của G\v:
- Soạn giáo án.
- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trị của | u
n
| như trong SGK.
 Chuẩn bị của học sinh:
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.
III. Phương pháp:
Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình bài dạy:
4. Ổn định tổ chức:
Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số vắng, vệ sinh của lớp.
5. Kiểm tra bài cũ:
Kết hợp trong quá trình giảng dạy.
6. Bài mới:
HĐ của GV HĐ của HS Nội dung ghi bảng
HĐ1: Hình thành đ\n dãy số
có giới hạn 0.
+ G\v hướng dẫn h\s xét một
dãy số cụ thể (u
n
) với
( 1)

n
u
n
n
−
=
có giới hạn 0.
+ G\v treo bảng phụ: vẽ hình
4.1.
H: Em có nhận xét gì về
khoảng cách từ điểm u
n
đến
điểm 0 thay đổi như thế nào
khi n đủ lớn?
+ G\v cho h\s thực hiện hđ1
SGK.
+Tổng quát hoá đi đến đ\n
dãy có giơi hạn 0.
+ H\s theo dõi và
trả lời câu hỏi gợi ý
của G\v.
+ Khoảng cách
1
u
n
n
=
từ điểm u
n

đến điểm 0 càng
nhỏ khi n càng lớn.
+ H\s đứng tại chỗ
thực hiện hđ1 SGK.
+ H\s phát biểu đ\n
dãy số có giới hạn
0.
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:
Xét dãy số(u
n
) với
( 1)
n
u
n
n
−
=
, tức là
dãy số
1 1 1 1 1 1 1 1
1, , , , , , , , , ,
2 3 4 5 10 11 23 24
− − − − −
(Bảng phụ: hình 4.1)
Khoảng cách
1
u
n
n

=
từ điểm u
n
đến
điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được
miễn là n đủ lớn.
(Bảng phụ vẽ bảng giá trị của |u
n
|)
Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy
ý cho trước. Ta nói rằng dãy số
( 1)
n
n
−
 
 ÷
 

có giới hạn 0.
Định nghĩa: SGK
Nhận xét:
a. Dãy số (u
n
) có giới hạn 0 khi và
chỉ khi (|u
n
|) có giới hạn 0.

22
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
HĐ2: Chiếm lĩnh tri thức về
một số dãy số có giới hạn 0
và vận dụng các đlí vào bài
tập.
+G\v đặt vấn đề: để c\m một
dãy số có giới hạn 0 bằng
đ\n là khá phức tạp, đlí 1 sẽ
cho ta một phương pháp
thường dùng để c\m một dãy
số có giới hạn 0.
H: Từ đlí 1, nêu phương
pháp để c\m dãy số (u
n
) có
giới hạn 0?
+ Áp dụng đlí 1 giải các vd.
+ G\v cho h\s thực hiện hđ 2
theo nhóm đã phân công
+ Từ đlí 1, ta có thể c\m
được kết quả sau thể hiện
trong đlí 2.
+ G\v cho h\s thực hiện hđ 3
theo nhóm đã phân công
+ H\s phát biểu đlí
1 trong SGK.
+ h\s nghe và hiểu
cách c\m định lí.
+ PP: tìm dãy (v

n
)
có giới hạn 0 sao
cho | u
n
|
≤
v
n
với
mọi n
+ H\s thảo luận theo
nhóm và cử đại diện
trình bày.
+ H\s phát biểu đlí
2 trong SGK.
+ H\s thảo luận theo
nhóm và cử đại diện
trình bày.
Vd: lim
1
0
n
=
vì
1 ( 1)
n
n n
−
=

và
lim
( 1)
0
n
n
−
=
b. Dãy số không đổi (u
n
) với u
n
=0 có
giới hạn 0.
2. Một số dãy số có giới hạn 0:
Dựa vào đ\n, người ta c\m được rằng:
a.
1
lim 0
n
=
b.
3
1
lim 0
n
=
Đlí 1: Cho hai dãy số (u
n
) và (v

n
)
Nếu | u
n
|
≤
v
n
với mọi n và lim v
n
= 0
thì lim u
n
= 0.
C\m: SGK
Vd 1: C\m: lim
sin
0
n
n
=
Giải:
Ta có:
sin 1n
n n
≤
và lim
1
0
n

=
Từ đó suy ra đpcm.
Đlí 2: Nếu | q | < 1 thì lim q
n
= 0
Vd 2:
a. lim
1 1
lim 0
2 2
n
n
 
= =
 ÷
 
b. lim
( )
2
2
lim 0
3 3
n
n
n
−
−
 
= =
 ÷

 
VI. Củng cố, dặn dò và bài tập về nhà:
+ G\v gọi học sinh nhắc lại định nghĩa dãy số có giới hạn 0
+ G\v gọi h\s nêu một số dãy có giới hạn 0 đã học.
H: Nêu phương pháp thường dùng để c\m một dãy số có giới hạn 0?
BTVN: Bài 1, 2, 3, 4 SGK trang 130
• Rút kinh nghiệm:
Tiết 62 §2.DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
A. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
• Giúp HS nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn là một số thực L và các định lí về
giới hạn hữu hạn
• Hiểu cách lập công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Từ đó áp dụng
công thức vào giải một số bài toán cơ bản.
23
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
• HS biết áp dụng định nghĩa và các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số để tìm giới
hạn của một dãy số .
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS:
1. GV: Chuẩn bị bảng phụ trình bày các định lí về giới hạn. Chia 4 nhóm, mỗi nhóm
có nhóm trưởng.
2. HS : Nghiên cứu trước ở nhà lý thuyết có thể tìm lời giải ban đầu cho các hoạt
động trong sách giáo kgoa.
C. PHƯƠNG PHÁP: Thuyết trình kết hợp sử dụng một vài câu hỏi gợi mở giúp học sinh
tư duy giải toán.
D. TIẾN TRÌNH GIỜ DẠY
I. Ổn định lớp :
II. Kiểm tra bài cũ: Nêu ĐN dãy số có giới hạn 0 và nội dung định lí 1, 2.
Áp dụng : CMR lim
0
sin

2
=
+
+
nn
nn
III. Bài mới:
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi bảng
Tính lim (u
n
– 3)
Ví dụ 1: Xét dãy (u
n
):
u
n
= 3 +
n
n
)1(−
. Tính lim(u
n
–
3)?
GV kết luận dãy số có giới
hạn là 3 và đi đến định nghĩa
một dãy số có giới hạn L
1.Định nghĩa dãy số có giới
hạn:
limu

n
= L ⇔ lim(u
n
– L ) = 0
Dãy số (u
n
) có giới hạn là số
thực L
Tính nhanh limC (C
là hằng số)
Ví dụ 2:Cho dãy số không đổi
(u
n
): u
n
= C(hằng số) thì limC ?
limC = C (C: hằng số)
Nhóm 1, 2: giải ví
dụ a.; nhóm 3,4 :
giải ví dụ b.
Ví dụ 3: CMR lim
33
)1(
−=









−
−
n
n
.
HD: Biết lim
0
)1(
=






−
n
n
.
Sau đó cho học sinh hoạt động
theo nhóm.
Chứng minh rằng:
a. lim
11
5
2
=









+






n
b. lim
2
5
2
52 −
=






−
n
n

GV theo dõi và cho đại diện
hai nhóm chọn ra để lên bảng
*Chú ý: Không phải mọi dãy số
đều có giới hạn.
Ví dụ: dãy số ((-1)
n
) không có
giới hạn.
-1, 1,-1,1,
24
Giáo án đại số 11 Trường THPT chuyên Nguyên Huệ
trình bày.
Hs giải theo nhóm
Treo bảng phụ chứa nội
dung định
Vídụ:
lim
4
3sin
16 =+
n
n
16)
3sin
16lim( =+
n
n
vì
Cho hs tìm lim
3

2
2
27
n
nn −
2. Một số định lí:
a. Định lí 1: (SGK trang 132)
HS theo dõi và ghi
chép.
GV hướng dẫn hs giải ví dụ :
tìm lim
nn
nn
2
3
3
2
+
+−
.
b. Định lí 2: (SGK trang 132)
GV hướng dẫn HS tính tổng
của cấp số nhân :
,
2
1
, ,
2
1
,

2
1
,
2
1
32 n
3. Tổng của CSN lùi vô hạn:
Xét CSN u
1
, u
1
q, u
1
q
2
, …, u
1
q
n
,
…có vô số số hạng và
1<q
(gọi
là CSN lùi vô hạn)
Tổng của cấp số nhân trên là:
S = u
1
+ u
1
q + u

1
q
2
+ … =
q
u
−1
1

IV. Củng cố :
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
25