Giáo án Đại số 11 học kỳ II

TIEÁT 52 : DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
I. Mục tiêu bài học:
 Về kiến thức: Giúp học sinh
- Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn 0.
- Ghi nhớ một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp.
 Về kỹ năng:
- Biết vận dụng định lí và các kết quả đã nêu ở mục 2) để chứng minh một dãy
số có giới hạn 0.
 Tư duy – thái độ:
- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài.
- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt.
II. Chuẩn bị của thầy và trò:
 Chuẩn bị của G\v:
- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trị của | u
n
| như trong SGK.
 Chuẩn bị của học sinh:
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.
III. Phương pháp:
Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định tổ chức:
Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số vắng, vệ sinh của lớp.
2. Kiểm tra bài cũ:
3. Bài mới:
HĐ của GV HĐ của HS Nội dung ghi bảng
HĐ1: Hình thành đ\n dãy
số có giới hạn 0.
+ G\v hướng dẫn h\s xét
một dãy số cụ thể (u

n
) với
( 1)
n
u
n
n
−
=
có giới hạn 0.
+ G\v treo bảng phụ: vẽ
hình 4.1.
H: Em có nhận xét gì về
khoảng cách từ điểm u
n
đến điểm 0 thay đổi như
thế nào khi n đủ lớn?
+ G\v cho h\s thực hiện
hđ1 SGK.
+ H\s theo dõi và
trả lời câu hỏi gợi
ý của G\v.
+ Khoảng cách
1
u
n
n
=
từ điểm u
n

đến điểm 0 càng
nhỏ khi n càng
lớn.
+ H\s đứng tại chỗ
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:
Xét dãy số(u
n
) với
( 1)
n
u
n
n
−
=
, tức là
dãy số
1 1 1 1 1 1 1 1
1, , , , ,..., , ,..., , ...
2 3 4 5 10 11 23 24
− − − − −
(Bảng phụ: hình 4.1)
Định nghĩa: SGK
Nhận xét:
a. Dãy số (u
n
) có giới hạn 0 khi và
chỉ khi (|u
n
|) có giới hạn 0.

Vd: lim
1
0
n
=
vì
1 ( 1)
n
n n
−
=
và
lim
( 1)
0
n
n
−
=
+Tổng quát hoá đi đến
đ\n dãy có giơi hạn 0.
HĐ2: Chiếm lĩnh tri thức
về một số dãy số có giới
hạn 0 và vận dụng các đlí
vào bài tập.
+G\v đặt vấn đề: để c\m
một dãy số có giới hạn 0
bằng đ\n là khá phức tạp,
đlí 1 sẽ cho ta một phương
pháp thường dùng để c\m

một dãy số có giới hạn 0.
H: Từ đlí 1, nêu phương
pháp để c\m dãy số (u
n
) có
giới hạn 0?
+ Áp dụng đlí 1 giải các
vd.
+ G\v cho h\s thực hiện hđ
2 theo nhóm đã phân công
+ Từ đlí 1, ta có thể c\m
được kết quả sau thể hiện
trong đlí 2.
+ G\v cho h\s thực hiện hđ
3 theo nhóm đã phân công
thực hiện hđ1
SGK.
+ H\s phát biểu
đ\n dãy số có giới
hạn 0.
+ H\s phát biểu đlí
1 trong SGK.
+ h\s nghe và hiểu
cách c\m định lí.
+ PP: tìm dãy (v
n
)
có giới hạn 0 sao
cho | u
n

|
≤
v
n
với
mọi n
+ H\s thảo luận
theo nhóm và cử
đại diện trình bày.
+ H\s phát biểu đlí
2 trong SGK.
+ H\s thảo luận
theo nhóm và cử
đại diện trình bày.
b. Dãy số không đổi (u
n
) với u
n
=0
có giới hạn 0.
2. Một số dãy số có giới hạn 0:
Dựa vào đ\n, người ta c\m được rằng:
a.
1
lim 0
n
=
b.
3
1

lim 0
n
=
Vd 1: C\m: lim
sin
0
n
n
=
Giải:
Ta có:
sin 1n
n n
≤
và lim
1
0
n
=
Từ đó suy ra đpcm.
Vd 2:
a. lim
1 1
lim 0
2 2
n
n
 
= =
 ÷

 
b. lim
( )
2
2
lim 0
3 3
n
n
n
−
−
 
= =
 ÷
 
V. Củng cố, dặn dò và bài tập về nhà:
+ G\v gọi học sinh nhắc lại định nghĩa dãy số có giới hạn 0
+ G\v gọi h\s nêu một số dãy có giới hạn 0 đã học.
H: Nêu phương pháp thường dùng để c\m một dãy số có giới hạn 0?
BTVN: Bài 1, 2, 3, 4 SGK trang 130
TIEÁT53,54 : DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
A. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
• Giúp HS nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn là một số thực L và các định lí về giới hạn
hữu hạn
• Hiểu cách lập công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Từ đó áp dụng công thức
vào giải một số bài toán cơ bản.
• HS biết áp dụng định nghĩa và các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số để tìm giới hạn của
một dãy số .
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS:

1. GV: Chuẩn bị bảng phụ trình bày các định lí về giới hạn.
2. HS : Nghiên cứu trước ở nhà lý thuyết có thể tìm lời giải ban đầu cho các hoạt động trong
sách giáo kgoa.
C. PHƯƠNG PHÁP: Thuyết trình kết hợp sử dụng một vài câu hỏi gợi mở giúp học sinh tư duy
giải toán.
D. TIẾN TRÌNH GIỜ DẠY
I. Ổn định lớp :
II. Kiểm tra bài cũ: Nêu ĐN dãy số có giới hạn 0 và nội dung định lí 1, 2.
Áp dụng : CMR lim
0
sin
2
=
+
+
nn
nn
III. Bài mới:
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi bảng
Tính lim (u
n
– 3)
Ví dụ 1: Xét dãy (u
n
):
u
n
= 3 +
n
n

)1(
−
. Tính lim(u
n
– 3)?
GV kết luận dãy số có giới hạn là 3
và đi đến định nghĩa một dãy số có
giới hạn L
1.Định nghĩa dãy số có giới
hạn:
limu
n
= L ⇔ lim(u
n
– L ) = 0
Dãy số (u
n
) có giới hạn là số
thực L
Tính nhanh limC (C là
hằng số)
Ví dụ 2:Cho dãy số không đổi (u
n
):
u
n
= C(hằng số) thì limC ?
Ví dụ 3: CMR lim
33
)1(

−=








−
−
n
n
.
HD: Biết lim
0
)1(
=






−
n
n
.
Sau đó cho học sinh hoạt động theo
nhóm.

Chứng minh rằng:
a. lim
11
5
2
=








+






n
b. lim
2
5
2
52
−
=







−
n
n
limC = C (C: hằng số)
*Chú ý: Không phải mọi dãy số
đều có giới hạn.
Ví dụ: dãy số ((-1)
n
) không có
giới hạn.
-1, 1,-1,1,...
GV theo dõi và cho đại diện hai
nhóm chọn ra để lên bảng trình
bày.
Hs giải theo nhóm
Treo bảng phụ chứa nội dung
định
Vídụ:
lim
4
3sin
16
=+
n
n

16)
3sin
16lim(
=+
n
n
vì
Cho hs tìm lim
3
2
2
27
n
nn −
2. Một số định lí:
a. Định lí 1: (SGK trang 132)
HS theo dõi và ghi chép. GV hướng dẫn hs giải ví dụ : tìm lim
nn
nn
2
3
3
2
+
+−
.
b. Định lí 2: (SGK trang 132)
GV hướng dẫn HS tính tổng của cấp
số nhân :
,...

2
1
,...,
2
1
,
2
1
,
2
1
32 n
3. Tổng của CSN lùi vô hạn:
Xét CSN u
1
, u
1
q, u
1
q
2
, …, u
1
q
n
,…
có vô số số hạng và
1
<
q

(gọi là
CSN lùi vô hạn)
Tổng của cấp số nhân trên là:
S = u
1
+ u
1
q + u
1
q
2
+ … =
q
u
−
1
1

IV. Củng cố : qua BT
Cho HS trả lời kết quả bài 6
Tính p
1
, p
2
, p
3
,…,p
n.
S
1

, S
2
, S
3
,…, S
n.
Hãy nhận xét tính chất của (p
n
), (S
n
)
Bài 6:AD định nghĩa:
a) 2 b) -1 c) 1 d) 1
Bài 8:a)(p
n
) : p
n
=
0lim
2
3
=⇒
n
n
p
a
(S
n
) : S
n

=
0lim
4
1
.
4
3
2
=⇒






n
n
S
a
b) p
1
+ p
2
+…+ p
n
+…=
ap
p
32
2

1
1
1
1
==
−
S
1
+ S
2
+…+ S
n
+ …=
12
3
3
4
4
1
1
2
11
a
SS
==
−
Tiết: 55 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
A. MỤC TIÊU:
1. Về kiến thức:
- Nắm được khái niệm dãy số có giới hạn vơ cực.

- Hiểu và vận dụng được các quy tắc trong bài.
2. Về kỹ năng:
- Biết cách sử dụng định nghía để tính một số giới hạn.
- Biết cách áp dụng các quy tắc vào giải tốn.
3. Về tư duy và thái độ:
- Biết khái qt hố. Biết quy lạ thành quen.
- Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi.
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS:
- GV: Chuẩn bị các ví dụ và bảng phụ.
- HS: Ơn tập lại kiến thức bài cũ và chuẩn bị trước bài mới ở nhà.
C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
- Sử dụng PP gợi mở vấn đề, vấn đáp, đan xem hoạt động nhóm.
D. TIẾT TRÌNH BÀI HỌC:
Hoạt động của HS Hoạt động của GV
Nội dung cần ghi
-Nắm được vấn đề đặt ra và
thao luận tìm câu trả lời
-Cử đại diện tra lời và nhận
xét câu trả lời của các nhóm
khác.
-Lắng nghe kết luận của GV
và hình dung định nghĩa
-Theo dõi bảng phụ
HĐ1: ĐẶT và NÊU VẤN
ĐỀ
-Nêu các ví dụ và nêu câu
hỏi theo ý đồ
-Tổ chức cho các nhóm trả
lời câu hỏi
-Rút ra kết luận theo đúng ý

đồ xây dựng định nghĩa sau
khi các nhóm đã hồn thành
Ví dụ 1 và Ví dụ 2
-Trình bày BẢNG PHU 1 để
các lớp xem
I. DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN + ∞
hoặc - ∞ :
Ví dụ 1: Xét dãy số u
n
=2n-3, n=1,2,
….
- Với M=1000, tìm các số hạng của
dãy lớn hơn M?
u
n
>M,
502
≥∀
n
- Với M=2000, tìm các số hạng của
dãy lớn hơn M?
u
n
>M,
1002
≥∀
n
Ví dụ 2: Xét dãy số
u
n

=-2n+3, n=1,2,…
- Với M=-1000, tìm các số hạng của
dãy bé hơn M?
u
n
<M,
502
≥∀
n
-Với M=-2000, tìm các số h ạng c
ủa d ãy b é h ơn M?
u
n
<M,
1002
≥∀
n
BẢNG PHỤ 1
-Các nhóm tích cực trao đổi
đề giải ví dụ 3 và cử đại
diện trả lời
-Theo dõi bảng phu 2
-Theo dõi sự mô tả của GV
để nắm được định lý
-Theo dõi bảng phụ 3
-Lắng nghe mô tả của giáo
viên và hình dung các quy
tắc
-Tổ chức cho các nhom làm
ví dụ 3

-Trình bày BẢNG PHỤ 2
cho học sinh theo dõi
-Mô tả nhân xét trên bảng
đen
HĐ2: THỰC HÀNH CÁC
QT
-Trình bày BẢNG PHỤ 3
cho cả lớp nhìn
-Mô tả lại bằng lời và trên
bảng đen nhằm giúp HS hình
dung quy tăc về dấu của tích
hai số nguyên
ĐỊNH NGHĨA 1: Ta nói dãy
số (u
n
) có giới hạn là +∞ nếu
với mỗi số dương tuỳ ý cho
trước, mọi số hạng của dãy
số, kể từ một số hạng nào đó
trở đi, đều lớn hơn số dương
đó.
Khi đó ta viết:
lim(u
n
)=+∞; limu
n
=+∞ hoặc
+∞→
n
u

ĐỊNH NGHĨA 2: Ta nói
rằng dãy số (u
n
) có giới hạn là
-∞ nếu với mọi số âm tuỳ ý
cho trước, mọi số hạng của
dãy số, kể từ một số hạng nào
đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm
đó.
Khi đó ta viết:
lim(u
n
)=-∞; limu
n
=∞ hoặc
−∞→
n
u
CHÚ Ý: Ta gọi các dãy số có
giới hạn như trên là dãy số có
giới hạn vô cực hay dân đến
vô cực
Ví dụ 3: Áp dụng định nghĩa tìm
các giới hạn sau:
a. limn b. lim
3
n
c. lim(-
n
) d. lim(-2n)

BẢNG PHỤ 2:
NHẬN XÉT: Một phân số có
tử số là hằng số thì nó sẽ dẫn
tới 0 nếu mẫu số càng lớn
hoặc càng bé. Từ đó ta đi đến
định lý sau đây:
ĐỊNH LÝ:
Nếu lim
n
u
=+∞ th ì lim
n
u
1
=0.
-Các nhóm tích cực trao đổi
để tìm ra đáp số
-Cử đại diện trình bày và
theo doi nhận xét kết quả
của các nhóm khác
Lần lượt áp dụng các quy
tắc trên làm các ví dụ sau
đây:
Ví dụ 4: Tính limn
2
Ví dụ 5: Tính
a. lim(3n
2
-101n-51)
b.

511013
5
lim
2
−−
−
nn
Ví dụ 6: Tính
nn
nn
−
−+
2
2
2
123
lim

-Tổ chức cho học sinh làm
lần lượt các ví dụ 4,5,6.
II. MỘT VÀI QUY TẮC TÌM
GIỚI HẠN VÔ CỰC:
BẢNG PHỤ 3:
QUY TẮC 1: Nếu limu
n
=±∞
v à limv
n
=∞ th ì lim(u
n

v
n
)
được cho bởi bảng sau:
limu
n
limv
n
lim(u
n
v
n
)
+∞
+∞
-∞
-∞
+∞
-∞
+∞
-∞
+∞
-∞
-∞
+∞
QUY TẮC 2: Nếu limu
n
=±∞
và limv
n

=L≠0 thì lim(u
n
v
n
)
được cho bởi bảng sau:
limu
n
dấu
của L
lim(u
n
v
n
)
+∞
+∞
-∞
-∞
+
-
+
-
+∞
-∞
-∞
+∞
QUY TẮC 3: Nếu
limu
n

=L≠0, limv
n
=0 và v
n
>0
hoặc v
n
<0 kể từ một số hạng
nào đó trở đi thì
n
n
v
u
lim
được
cho bởi bảng sau:
dấu của
L
dấu của
v
n
n
n
v
u
lim
+
+
-
-

+
-
+
-
+∞
-∞
-∞
+∞
HOẠT ĐỘNG 3: CỦNG CỐ và BÀI TẬP VỀ NHÀ
- GV: Giúp HS hệ thống lại các kiến thức trong bài bằng cách lật lại các Bảng phụ
- HS: Theo dõi để nắm được kiến thức của cả bài học
- GV: Bài tập về nhà: Làm các bài từ 11 tới 15 SGK.
TIẾT 56 LUYỆN TẬP
A. Mục tiêu :
1. Về kiến thức: Nắm vững lại các kiến thức về giới hạn dãy số - dãy số có giới hạn 0, giới hạn
L, giới hạn vơ cực và các quy tắc tìm giới hạn.
2. Về kĩ năng: Biết cách vận dụng các kiến thức đã học để tìm giới hạn của các dãy số, tính
tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn.
3. Tư duy, thái độ: Rèn luyện óc tư duy logic, tính khái qt hố, đặc biệt hố, quy lạ về quen.
Và tính tích cực hoạt động, tính cẩn thận, chính xác trong giải tốn.
B. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Giáo án, bảng phụ hệ thống lý thuyết, các câu hỏi trắc nghiệm, đèn chiếu, bút chỉ
bảng.
2. Học sinh: Kiến thức về giới hạn dãy số, ơn tập và làm bài tập trước ở nhà, bảng thảo luận
nhóm, bút lơng viết bảng.
C. Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp kết hợp hoạt động nhóm.
D. Tiến trình dạy học:
1. Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, vệ sinh.
2. Bài mới:
Hoạt động 1: Hệ thống lại lý thuyết về giới hạn dãy số:

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Nội dung cần ghi
Cho HS nhắc lại những kiến
thức cơ bản đã học về giới hạn
dãy số.
- Nêu lại các tính chất về dãy
số có giới hạn 0? Một vài giới
hạn đặc biệt?
- Nêu lại định lý về dãy số có
giới hạn hữu hạn.
- Cơng thức tính tổng CSN lùi
vơ hạn.
- Nêu lại các qui tắc về giới
hạn vơ cực.
GV trình chiếu bằng đèn chiếu
bảng tóm tắt lý thuyết.
Nhớ lại kiến thức đã học, hệ
thống lại và trả lời câu hỏi của
GV.
)1q ( 0qlim*
)Nk ( 0
n
1
lim*
n
*
k
<=
∈=
* Nêu lại ĐL 1 & 2 về giới hạn

hữu hạn.
*
q1
u
S
1
−
=

* Các QT 1, 2, 3.
• Dãy số có giới hạn 0:
• Dãy số có giới hạn L:
• Dãy số có giới hạn vơ cực:
(Tóm tắt lý thuyết ở bảng phụ)
Hoạt động 2: Giải bài tập về tìm giới hạn dãy số dạng :
)n(Q
)n(P
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi Bảng
Bài 1: Câu a dùng pp nào?
Vận dụng lý thuyết nào để tìm
được giới hạn?
Ta ra được kq như thế nào?
Tương tự nêu pp giải câu b?
Cho học sinh thảo luận nhóm,
Đọc kĩ đề, dựa trên việc chuẩn
bị bt ở nhà để trả lời câu hỏi.
Chia tử và mẫu cho n
3
Sử dụng
0

n
1
lim
k
=
Tử có giới hạn là 0, mẫu có giới
hạn bằng 4.
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
1n2n4
4n3n
lim)a
23
2
−+
+−
0
4
0
n
1
n
2
4
n
4
n
3
n
1
lim

3
32
==
−+
+−
=
nhận xét giới hạn của tử, mẫu
và rút ra kết luận.
Nhận xét sự khác nhau giữa câu
a và b? ( chú ý vào bậc của tử,
mẫu ở từng dãy số).
So sánh kq 2 câu và rút ra nhận
xét.
Tiếp tục cho HS thảo luận và
nêu pp giải câu c.
Nhận xét bậc của tử và mẫu của
câu c?
Chú ý: n
2
khi đưa vào dấu căn
bậc 2 thì thành n mũ mấy?
Nhận xét kết quả, rút ra kết luận
gì?
HS thảo luận pp giải câu d, sử
dụng tính chất nào?
Chia tử và mẫu cho n
5
Tử có giới hạn là 1. Mẫu có
giới hạn 0. Nên dãy số có giới
hạn là +∞.

HS so sánh bậc của tử và mẫu
rút ra nhận xét: Nếu bậc tử bé
hơn bậc của mẫu thì kq bằng
0, lớn hơn thì cho kq bằng vô
cực.

Bậc của tử=Bậc của mẫu=2
Chia tử và mẫu cho n
2
Trong căn bậc 2 ở tử thì chia
cho n
4
Tử có giới hạn là
2
, mẫu có
giới han là 2.
Nếu bậc của tử bằng mẫu thì
kq là thương hệ số của n có
bậc cao nhất ở tử và mẫu.
Chia tử và mẫu cho 5
n
)1q ( 0qlim
n
<=
Tử có giới hạn là -2, mẫu có
giới hạn là 3.
7nn4
1n3nn
lim)b
24

235
+−
+−+
+∞=
+−
+−+
=
53
532
n
7
n
2
n
4
n
1
n
3
n
1
1
lim
2
2
n
3
n
1
2

n
2
n
3
2
lim
3nn2
2n3n2
lim)c
2
43
2
4
=
+−
−+
=
+−
−+
PP chung: Chia tử và mẫu cho n có
bậc cao nhất.
(
)
3
2
3
5
7
2
5

3
lim
5.37
5.23
lim)d
n
n
n
nn
−=
+
−
=
+
−
PP chung: chia tử và mẫu cho luỹ
thừa có cơ số lớn nhất.
Hoạt động 3: Giải bài tập về tìm giới hạn dãy số dần tới vô cực.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi Bảng
Bài 2: Vận dụng lý thuyết nào
để tìm được giới hạn?
Ta ra được kq như thế nào?
Tương tự nêu pp giải câu b, c?
Nhận xét kq mỗi câu?
Cho học sinh thảo luận nhóm.
Nêu pp giải câu d?
Sử dụng qui tắc 2
02)
n
5

n
3
2lim(
nlim)a
2
>=+−
+∞=
Nên
+∞=+−
)5n3n2lim(
2
Nếu số hạng bậc cao nhất
dương thì kq là +
∞
, Nếu số
hạng bậc cao nhất âm thì kq là
-
∞
.
Rút 3
n
ra làm thừa số chung
Sử dụng tính chất
)1q ( 0qlim
n
<=
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
+∞=+−=
+−
)

n
5
n
3
2(nlim
)5n3n2lim()a
2
2
+∞=+−−=
+−−
)
n
2
n
1
n
1
3(nlim
2nnn3lim)b
432
2
24
−∞=−+=
−+
3
3
3
32
3
n

1
n
1
n lim
n3n1lim)c
PP chung: rút n bậc cao nhất làm
thừa số chung và dùng quy tắc 2 về
giới hạn vô cực.
(
)
+∞=
−+−=
−+−
n
n
n
n
nn
3
1
3
2
3
n
2)3lim(
12n3.2lim)d
Tìm
n
3
n

lim
như thế nào?
HS xem lại kq bài tập 4 trang
130.
0
3
n
lim
n
=
(BT4/130)
( )
0
3
1
lim
n
=
nên
+∞=
n
)3lim(
PP chung: đưa luỹ thừa có cơ số cao
nhất ra làm thừa số chung. Dùng
quy tắc 2.
Hoạt động 4: Củng cố, dặn dò,heä thoáng lyù thuyeát
Dãy số có giới hạn 0
0ulim
0vlim
n,vu

*
)1q ( 0qlim* )Nk ( 0
n
1
lim*
n
n
nn
n*
k
=⇒



=
∀<
<=∈=
Dãy số có giới hạn L
• Lim c = c
• Giả sử
Lulim
n
=
thì:
a)
3
3
nn
Lulim ; Lulim
==

b) Nếu



=
≥
⇒∀≥
Lulim
0L
n,0u
n
n
c)
Mvlim
n
=
, c là hằng số thì
0)(M
M
L
v
u
lim* L.c)u.clim(*
M.L)vulim(* ML)vulim(*
n
n
n
nnnn
≠==
=±=±

• Tổng CSN lùi vô hạn:
q1
u
S
1
−
=
Dãy số có giới hạn vô cực Quy tắc 1, 2, 3 SGK trang 140 và 141.
TIẾT 57 KIỂM TRA 1T
Yêu cầu chung :
Vận dụngcác kiến thức về giới hạn dãy số - dãy số có giới hạn 0, giới hạn L, giới hạn vơ cực
vào bài kiểm tra
ĐỀ 1 :
Câu 1: Tính các giới hạn sau :






+
+
+
n
n
n
n
a
2
sin

1
2
lim.)
b)
−∞>−
x
lim
(
)1
2
nn
++

Câu 2 :
Cho
(
n
U
), với
2
3
2...642
n
n
U
n
++++
=
. Tìm đ
lim

n
n
U
→∞
Câu 3 :
1
1
2
1
1
2
( ) : ,
n
n
n
U
U n
U
U
+
=


≥

+
=


tìm số hạng tổng quát

n
U
và
lim
n
n
U
→∞

(Đáp án :
1
2 1
2 1
n
n
n
U
−
+
=
−
)
ĐỀ 2 :
Câu 1: (3đ) Tính các giới hạn sau :







+
+
+
n
n
n
n
a
3
cos
2
12
lim.)

nnb
−+
1lim.)
2
Câu 2 :
Cho
)(
n
U
với
2
3
)12(...531
n
n
U

n
−++++
=
. Tìm đ
lim
n
n
U
→∞
Câu 3 :
Cho dãy
( )
n
U
xác định bởi :
1
1
1
2 1 1
n n
U
U U n n
+
=


= + + ≥

. tìm số hạng tổng quát
n

U
Tìm
1
lim
2
+
n
U
n
(Đáp án :
2
nU
n
=
)
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC
TIẾT 58,59,60 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC ĐỊNH LÝ
A. Mục tiêu:
* Về kiến thức:
- Giúp học sinh nắm được các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số.
* Về kĩ năng:
- Giúp học sinh vận dụng thành thạo các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số để tìm giới
hạn của hàm số.
* Về tư duy, thái độ:
- Giúp học sinh có thái độ tích cực tham gia vào bài học.
- Hình thành tư duy suy luận logic cho học sinh
B. Chuẩn bị của thầy và trò:
1. Chuẩn bị của giáo viên: Máy projector, máy tính, đèn chiếu
2. Chuẩn bị của học sinh: Bút long, phim trong
C. Phương pháp dạy học:

- Đặt vấn đề, gợi mở
- Hoạt động nhóm
D. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số và vệ sinh lớp học
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng
GV gọi 1 HS lên bảng kiểm tra
bài cũ: nêu các định lí về giới
hạn hữu hạn của dãy số mà em
đã được học?
GV gọi HS dưới lớp kiểm tra,
nhận xét câu trả lời của bạn.
HS ghi lại các cơng thức lên
bảng
HS kiểm tra, đánh giá
Hoạt động 2: Giới thiệu bài mới
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng
GV dẫn dắt cho HS áp dụng
các định lí về giới hạn hữu hạn
của dãy số, nêu được định lí về
giới hạn hữu hạn của hàm số.
GV trình chiếu các định lí
GV lưu ý cho HS 2 định lí trên
vẫn đúng khi thay x → x
0
bởi x
→ + ∞ hay x → - ∞
HS phát biểu định lí
HS ghi bài vào vở
Định lí 1:

Giả sử
0
lim
xx
→
f(x)=L,
0
lim
xx
→
g(x)=M
Khi đó:
a)
0
lim
xx
→
[f(x) + g(x)] = L + M
b)
0
lim
xx
→
[f(x) - g(x)] = L – M
c)
0
lim
xx
→
[f(x).g(x)] = L.M

0
lim
xx
→
[c.f(x)] = c.L
(c: hằng số)
d)Nếu M ≠ 0 thì
0
lim
xx
→
)(
)(
xg
xf
=
M
L
Yêu cầu HS tính
0
lim
xx
→
ax
k
với a
là hằng số, k ∈ N
*

0
lim
xx
→
ax
k

=
0
lim
xx
→
a.
0
lim
xx
→
x.
0
lim
xx
→
x…
0
lim
xx
→
x
= a.(
0

lim
xx
→
x)
k

= ax
k
0

Định lí 2:
Giả sử
0
lim
xx
→
f(x)=L. Khi đó:
a)
0
lim
xx
→
f(x)= L
b)
0
lim
xx
→
3
3

)( Lxf
=
c) Nếu f(x) ≥ 0 ∀x ∈J \ { x
0
},
trong đó J là một khoảng nào đó
chứa x
0,
thì
L ≥ 0 và
0
lim
xx
→
Lxf
=
)(

Nhận xét:
0
lim
xx
→
ax
k
= ax
k
0
Hoạt động 3: Các ví dụ
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng

GV chiếu các ví dụ trên bảng,
hướng dẫn HS phương pháp
H: ở ví dụ 1a, dùng công thức
nào để tìm giới hạn?
H: ở ví dụ 1b, sử dụng công
thức nào?
Yêu cầu HS tìm giới hạn của
biểu thức dưới mẫu
Áp dụng định lí 1d được
không? Nêu cách làm
Gọi 1 HS trình bày cách thực
hiện?
Gọi 1 HS trình bày cách thực
hiện?
Đ: kết hợp định lí 1a, b và phần
nhận xét tìm ra kết quả
2
lim
→
x
(3x
2
- 7x + 11) = 9
Đ: HS có thể nhầm sử dụng liền
định lí 1d
HS dễ dàng tính được
1
lim
−→
x

(x
3
+ x
2
) = 0
Dựa vào điều kiện để hàm số có
nghĩa, rút gọn
x ≠ -1:
23
2
2
xx
xx
+
−−
=
2
2
x
x
−
⇒
1
lim
−→
x
23
2
2
xx

xx
+
−−
=
1
lim
−→
x
2
2
x
x
−
=
-3
Tương tự như cách tìm giới hạn
hữu hạn của dãy số, HS trình
bày:
- Chia tử và mẫu của hàm số cho
x
3
(bậc cao nhất)
- Tìm giới hạn của biểu thức trên
tử và ở mẫu sau khi chia
- Kết luận:
+∞→
x
lim
432
1023

3
2
−+
+−
xx
xx
=0
- Tìm giới hạn của biểu thức
Ví dụ 1: Tìm
a)
2
lim
→
x
(3x
2
- 7x + 11)
b)
1
lim
−→
x
23
2
2
xx
xx
+
−−
Ví dụ 2: Tìm

+∞→
x
lim
432
1023
3
2
−+
+−
xx
xx
Ví dụ 3: Tìm
1
lim
−→
x
x
3
+ 7x