Bài giảng toán ứng dụng: Phương pháp tính docx

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

KẾ HOẠCH BÀI GIẢNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

MÔN HỌC: TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 1: Tập hợp – Quan hệ - Ánh xạ
Chương 2: Hàm số và Ma trận
Chương 3: Đại số Boole
Chương 4: Tính toán và Xác suất
Chương 5: Phương pháp tính
THI CUỐI MÔN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

Chương 5:PHƯƠNG PHÁP TÍNH
I. Số xấp xỉ và sai số
II. Giải gần đúng các phương trình
III. Đa thức nội suy
IV. Phương pháp bình phương cực
tiểu
Giới thiệu và ý nghĩa cốt lõi của bài học
Giới thiệu và ý nghĩa cốt lõi của bài học
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

MỤC TIÊU BÀI HỌC
MỤC TIÊU BÀI HỌC
Nắm rõ các khái niệm về số xấp xỉ và sai số
Sử dụng thành thạo các phương pháp để tìm nghiệm gần đúng
của các phương trình
Làm được các bài tập cơ bản tiến tới các bài toán nâng cao
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ
Định nghĩa số xấp xỉ
Các định nghĩa sai số tuyệt đối
Sai số tương đối
Giới thiệu và ý nghĩa cốt lõi của bài Số xấp xỉ và sai số
Giới thiệu và ý nghĩa cốt lõi của bài Số xấp xỉ và sai số
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

I- Số xấp xỉ và sai số
1. Số xấp xỉ
Định nghĩa 1:a gọi là số xấp xỉ của số đúng A nếu a khác A không
đáng kể.
Ký hiệu: a ≈ A
Nếu a < A thì a gọi là xấp xỉ thiếu của A
Nếu a >A thì a gọi là xấp xỉ thừa của A
Ví dụ: Vì 3.14<∏<3.15 nên 3.14 là xấp xỉ thiếu của ∏ và 3.15 là xấp
xỉ thừa của ∏
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

I- Số xấp xỉ và sai số
2. Sai số tuyệt đối
Định nghĩa 2: Hiệu Δ= |Δa|= |a - A| gọi là sai số tuyệt đối của số xấp xỉ
a
Định nghĩa 3: Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a là số không nhỏ
hơn sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a
Gọi Δ
a
là sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a thì:
Δ= |Δa|= |a - A| ≤ Δ

a
Suy ra a - Δ
a
≤A ≤ a + Δ
a
Quy ước: A=a± Δ
a
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

I- Số xấp xỉ và sai số
Ví dụ: Xác định sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a=3.14 thay cho số ∏
3. Sai số tương đối
Định nghĩa 4: Sai số tương đối của số xấp xỉ a, ký hiệu là δ là
δ = Δ/|A|=|A-a|/|A|
Định nghĩa 5: Sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ a, ký hiệu là δ
a
là số
được xác định như sau:
δ
a
= Δ
a
/|a|
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II- Giải gần đúng các phương trình
Phương pháp dây cung
Phương pháp tiếp tuyến(Niu-tơn)
Phương pháp phối hợp
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II- Giải gần đúng các phương trình
Trước khi dùng 3 phương pháp trên để giải pt f(x)=0 cần cô lập
nghiệm, tức là tìm các đoạn [a,b] thỏa mãn:

f(a) và f(b) trái dấu (1)

f’(x) không đổi dấu trong (a,b) (2)

f’’(x) không đổi dấu trong (a,b) (3)
Lưu ý: Nếu tìm được [a,b] sao cho f(a),f(b) traí dấu nhưng
f’(x),f’’(x) có dấu thay đổi thì trong (a,b) ta sẽ thu hẹp
khoảng đó lại thành khoảng (c,d) (a<c<d<b) sao cho
• f(c),f(d) trái dấu
•
f’(x) không đổi dấu trong (c,d)
•
f’’(x) không đổi dấu trong (c,d)
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II- Giải gần đúng các phương trình
1.Phương pháp dây cung:
Giả sử đã tìm được khoảng (a,b) thỏa (1)-(3) của pt f(x)=0
nghĩa là f(a).f(b)<0
và
Thì f’(x).f’’(x) giữ̃ nguyên một dấu
Nội dung :Trong [a,b] thay đường cong y=f(x) bởi dây
cung của nó nghĩa là xem nghiệm gần đúng của f(x)=0
trùng với hoành độ giao điểm của dây cung nối 2
điểm A(a,f(a)),B(b,f(b)) với trục Ox

( , )x a b∀ ∈
1
x
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II- Giải gần đúng các phương trình
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II- Giải gần đúng các phương trình
Phương trình dây cung AB:
Trong đó có thế lấy là a(hoặc b) thì d sẽ là b(hoặc a)
Vì dây cung cắt trục hoành tại điểm nên ta được:
1
( ,0)x
0
x
0 0
0 0
( )
( ) ( )
y f x x x
f d f x d x
− −
=
− −
0
1 0 0
0
( ) (4)
( ) ( )

d x
x x f x
f d f x
−
= −
−
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình
Để nhận được nghiệm chính xác hơn, ta lặp lại quá trình trên đối với
khoảng , ta thu được:
Tiếp tục quá trình trên, trong trường hợp tổng quát ta nhận được:
Sự hội tụ của phương pháp: Dãy sẽ dần đến nghiệm đúng
của phương trình f(x)=0 nếu chọn sao cho f’’(x) và khác
dấu nhau, tức là
1
2 1 1
1
( )
( ) ( )
d x
x x f x
f d f x
−
= −
−
1
( )
( ) ( )
n

n n n
n
d x
x x f x
f d f x
+
−
= −
−
0 1
, , x x
0
x
0
( )f x
0
( ). ( ) 0f x f x
′′
<
1
( , )x d
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình
Ví dụ: Tìm nghiệm đúng của phương trình f(x)=x
3
-6x+2=0
Tách nghiệm:bằng phương pháp khảo sát hàm số y= x
3
-

6x+2 ta suy ra các đoạn [-3,-2],[0,1],[2,3] chứa nghiệm của
pt.
f’(x)=3x
2
-6
f’’(x)=6x
giữ nguyên dấu trong các khoảng trên
Các điều kiện (1)-(3) thỏa mãn. Ta tìm nghiệm gần đúng của
phương trình trong khoảng [0,1]
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình
Trong (0,1) thì f’’(x)>0 nên chọn x
0
=1 vì f(1)<0 và d =0
Theo công thức (4) ta có:
Để nhận nghiệm chính xác hơn,ta lặp lại quá trình trên với [0, 0.4]
Vì f(0.4)=-0.336 và f(0)=2 nên x
1
=0.4 và d=0
2
0 0.4
0.4 ( 0.336) 0.3424
2 0.336
x
−
= − − ≈
+
1
0 1 3

1 ( 3) 1 0,4
2 3 5
x
−
= − − = − =
+
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình
Trong các khoảng còn lại tìm tương tự
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình

2. Phương pháp tiếp tuyến:
Giả sử đã tìm được khoảng [a,b] thỏa (1)-(3) của pt f(x)=0
Nội dung :Trong [a,b] thay cung cong AB của đường cong
y=f(x) bởi tiếp tuyến của nó tại điểm A hoặc tại điểm B và
xem hoành độ x
1
của giao điểm của tiếp tuyến với trục
hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình
Giả sử chon x
0

=a thì tại A(x
0
,f(x
0
)), phương trình tiếp tuyến
với đường cong y=f(x) tại A là:
Vì tiếp tuyến cắt Ox tại (x
1
,0) nên :
0 0 0
( ) ( )( )y f x f x x x
′
− = −
0 0 1 0
( ) ( )( )f x f x x x
′
− = −
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình
Từ đó ta được:
Để tìm nghiệm chính xác hơn, ta lặp lại quá trình trên với
(x
1
,f(x
1
))

ta được
0

1 0
0
( )
( )
f x
x x
f x
= −
′
1
2 1
1
( )
( )
f x
x x
f x
= −
′
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình
Tiếp tục quá trình trên, trong trường hợp tổng quát ta nhận
được:

1
( )
( )
n
n n

n
f x
x x
f x
+
= −
′
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình
Đối với đường cong dạng nào thì nên chọn x
0
là a hay b?
Hình 1: f’’< 0,f’ > 0
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình
Hình 2: f’’>0,f’<0
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:

II-Giải gần đúng các phương trình
Hình 3: f’’>0,f’>0