Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian pdf

VŨ VĂN HẢI CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐT:01658199955
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 3. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ( d ) :
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
và mặt phẳng
( P ) : 2x + y- z +9 = 0. Gọi A là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( P ). Viết phương trình
đường thẳng
∆
nằm trong ( P ) ,
∆
đi qua A và vuông góc với (d).
Bài 4. Cho đường thẳng (d) :
2 2 3
2 1 1
x y z− + −
= =
−
và điểm A ( -4; -2 ; 4 ). Viết phương trình tham số
của đường thẳng
∆
biết
∆
đi qua A cắt và vuông góc với d.
Bài 5. Cho tam giác ABC có điểm A ( 1 ; 2; 5 ) và phương trình 2 đường trung tuyến là :
1
3 6 1

:
2 2 1
x y z
d
− − −
= =
−
,
2
4 2 2
:
1 4 1
x y z
d
− − −
= =
−
.
a. Viết phương trình chính tắc của các cạnh của tam giác ABC.
b. Viết phương trình tham số của đường phân giác trong của góc A.
Bài 6. Cho 2 đường thẳng :
1
2 4
:
1 1 2
x y z
d
− +
= =
−

,
2
8 6 10
:
2 1 1
x y z
d
+ − −
= =
−
a. Viết phương trình đường thẳng d biết d // Ox, cắt
1
d
tại M, cắt
2
d
tại N . Tìm tọa độ M, N.
b. Gọi
1 2
,A d B d∈ ∈
,
1 2
,AB d AB d⊥ ⊥
. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài 7. Cho đường thẳng
1 2
: 2
4
x t
d y t

z t
= +


= +


= −

và điểm M ( 0; 2; 3 ). Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa
đường thẳng ( d ) và
( )
;( ) 1d M P =
.
Bài 8. Cho mặt phẳng ( P ): x -2y +2z – 5 = 0 , điểm A ( -3 ; 0 ; 1 ), B ( 1 ; -1 ; 3 ) . Trong các đường
thẳng đi qua A và //( P ) hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là
lớn nhất .
Phần III. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng sau :
a.
12 9 1
:
4 3 1
x y z
d
− − −
= =
và
( )
:3x 5 2 0y z

α
+ − − =
b.
1 3
:
2 4 3
x y z
d
+ −
= =
và
( )
:3x - 3 2 5 0y z
α
+ − =
c.
Bài 2. Cho đường thẳng
3 1 1
:
2 3 2
x y z+ + +
∆ = =
và mặt phẳng
( )
: 2x-2 3 0y z
α
+ + =
a. Chứng minh rằng
∆
//

( )
α
b. Tính
( )
;( )d
α
∆
.
Bài 3. Cho mặt phẳng ( P ): 4x - 3y + 7z -7 = 0, đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( )
α
: 5x -3y +2z – 5 = 0 và
( )
: 2x 1 0y z
β
− − − =
a. Chúng minh rằng đường thẳng d chứa trong ( P ).
b. Viết phunwg trình mặt phẳng ( Q ) chứa d và vuông góc với ( P ).
Bài 4. Cho mặt phẳng ( P ) :
2x 2 0y− + =
và
m
d
là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( ) ( ) ( )
: 2 1 x+ 1- m 1 0m y m
α
+ + − =
và
( ) ( )

: x+ 2 1 4 2 0m m z m
β
+ + + =
. Xác định m để
m
d
// ( P ).
VŨ VĂN HẢI CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐT:01658199955
Bài 5. Cho mặt phẳng ( P ) : x-y-2z+5=0 , đường thẳng
m
d
là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( )
α
: x + 3my-z + 2 = 0 và
( )
: x-y+z+1 0m
β
=
. Tìm m để
m
d
vuông góc với ( P ).
Bài 6. Cho đường thẳng
k
d
:
( )
( )

( )
3 1
1 2 3
1 1
x k t
y k t
z k t
= + +

= − + +


= − + −

. Tìm k để
k
d
song song với 2 mặt phẳng
( )
: 6x 3z 13 0y
α
− − − =
và
( )
: x 2z 3 0y
β
− + − =
.
Bài 8. Cho A( 2; 1; 0 ), B( 1;2;2 ), C( 1;1;0 ) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z -20 = 0.Xác định tọa độ điểm
D thuộc AB sao cho đường thẳng CD // (P).

Phần IV. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a. (d):
1 7 3
2 1 4
x y z− − −
= =
và (d’) :
6 1 2
3 2 1
x y z− + +
= =
−
b. (d):
1 2
2 2 1
x y z− −
= =
−
và (d’) :
8 4
2 3 1
x y z+ −
= =
−
c. (d):
2 1
4 6 8
x y z− +
= =

− −
và (d’) :
7 2
6 9 12
x y z− −
= =
−
d. (d):
1 6 3
9 6 3
x y z− − −
= =
và (d’) :
7 6 5
6 4 2
x y z− − −
= =
Bài 2. Cho 2 đường thẳng
1
1 2 4
:
2 1 3
x y z
d
− + −
= =
−
và
2
1

:
2 3
x t
d y t
z t
= − +


= −


= − +

a. Chứng minh rằng
1 2
,d d
cắt nhau.
b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa
1 2
,d d
.
Bài 3. Cho điểm A( 1;-1; 1) và đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P ): 3x – y –z + 3 = 0 và
( Q ): 2x – y +1 = 0, đường thẳng d’ :
1 2
3
x t
y t
z t
=



= − −


= −

.
a. Chứng minh rằng
1 2
,d d
và điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa
1 2
,d d
.
Bài 4. Cho 2 đường thẳng
1
5 2
: 1
5
x t
d y t
z t
= +


= −


= −


và
2
3 2 '
: 3 '
1 '
x t
d y t
z t
= +


= − −


= −

a. Chứng minh rằng
1 2
/ /d d
.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa
1 2
,d d
.
c. Viết phương trình đường thẳng d song song cách đều 2 đường thẳng
1 2
,d d
và thuộc mặt phẳng chứa
1 2

,d d
.
Bài 5. Cho 2 đường thẳng
1
1 2 1
:
3 1 2
x y z
d
− + +
= =
−
,
2
d
là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( P ) :
2 0x y z+ − − =
và ( Q ):
3 12 0x y+ − =
.
a. Chứng minh rằng
1 2
/ /d d
. Viết phương trình mặt phẳng chứa
1 2
,d d
.
VŨ VĂN HẢI CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐT:01658199955

b. Mặt phẳng Oxy cắt cả 2 đường thẳng
1 2
,d d
lần lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB ( O là
gốc tọa độ ).
Bài 6. Cho hai đường thẳng
1
d
:
1 2 3
1 2 3
x y z− − −
= =
và
2
d
là giao tuyến của 2 mặt phẳng :
( P ) : x + 2y -3 = 0 và ( Q ): 2x – y +3z -5 = 0.
a. Chứng minh
1 2
,d d
chéo nhau.
b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song và cách đều
1
d
và
2
d
.
c. Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa

1
d
và song song với
2
d
.
Bài 7. Cho hai đường thẳng
1
0
: 1
1
x
d y
z t
=


=


= −

và
2
2 2 '
: 1
0
x t
d y
z

= − +


=


=

.
a. Chứng minh rằng
1 2
,d d
cắt nhau. Xác định tọa độ giao điểm của chúng .
b. Viết phương trình đường phân giác của góc hợp bởi
1 2
,d d
.
Bài 8. Cho 2 đường thẳng
1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và
2
1 2

: 1
3
x t
d y t
z
= − +


= +


=


a. Chứng minh
1 2
,d d
chéo nhau. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
1 2
,d d
.
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng
1 2
,d d
.
c. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P ): 7x + y – 4z =0 cắt cả 2 đường thẳng
1 2
,d d
.
Bài 9. Cho 4 đường thẳng

1
1 2
:
1 2 2
x y z
d
− −
= =
−
,
2
2 2
:
2 4 4
x y z
d
− −
= =
−
,
3
1
:
2 1 1
x y z
d
−
= =
4
2 1

:
2 2 1
x y z
d
− −
= =
−
.
a. Chứng minh rằng 2 đường thẳng
1 2
,d d
cùng nằm trong một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát
của mặt phẳng đó.
b. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả 4 đường thẳng đã cho. Viết phương trình chính tắc
của đường thẳng d đó .
Bài 10. Cho 2 đường thẳng
1
1
:
1 2 1
x y z
d
+
= =
và
2
d
là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P ) : 3x – z +1 =0
và ( Q ): 2x +y -1 =0.
a. Chứng minh

1 2
,d d
chéo nhau và vuông góc với nhau.
b. Viết phương tham số của đường thẳng d cắt cả 2 đường thẳng
1 2
,d d
và song song với đường thẳng
4 7 3
:
1 4 2
x y z− − −
∆ = =
−
.
Phần V. Các bài toán về hình chiếu.
Bài 1. Cho mặt phẳng ( P ) :
2 3z 14 0x y− − + =
và điểm M( 1 ; -1 ; 1 ).
a. Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua A và song song với ( P ).
b. Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của của M lên ( P ).
c. Hãy tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua ( P ).
Bài 2. Cho 4 điểm A( 2a; 0;0 ), B( 2a; 2a; o ), C( 0; 0; 2a ) , D( 0; 0; 2a ) (a>o).
a. Gọi E là trung điểm của BD, tìm tọa độ giao điểm F của đoạn thẳng OE với mặt phẳng ( ACD ).
b. Tính thể tích hình chóp D.OABC
c. Tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua đường thẳng BD.
VŨ VĂN HẢI CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐT:01658199955
Bài 3. Cho 2 đường thẳng
1
2 2

:
1 2 1
x y z
d
+ −
= =
−
và
2
d
là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P):x + y +2z =0
và ( Q ): x –y +z +1 = 0.
a. Xét vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
1 2
,d d
.
b. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của
1
d
lên (Oxy) và viết phương trình hình chiếu vuông góc
của
2
d
lên ( R ) : x – 2y + z +3 = 0.
Bài 4. Cho điểm A ( 2; 5; 3 ) và đường thẳng
1
1 2
:
2 1 2
x y z

d
− −
= =
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d.
b. Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến
( )
α
là lớn nhất.
Bài 4. Cho mặt phẳng ( P ) :
3 0x y z− + + =
và 2 điểm A(-1; -3; -2), B(-5; 7; 12).Tìm tọa độ điểm M
thuộc mặt mặt phẳng ( P ) sao cho MA + MB là nhỏ nhất .Tính giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài 5. Cho đường thẳng
d
là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( )
: 2x 11 0y
α
− − =
và
( )
: 5 0x y z
β
− − + =
,
đường thẳng
5 2 6

:
2 1 3
x y z− − −
∆ = =
. Viết phương trình tham số của đường thẳng
1
∆
là hình chiếu
song song của d lên mặt phẳng ( P ) : 3x – 2y =0 theo phương
∆
.
Bài 6. Cho 2 điểm A(1; 2;-1), B(7; -2; 3) và đường thẳng
1 2 2
:
3 2 2
x y z
d
+ − −
= =
−
.
a. Chứng minh rằng đường thẳng d và đường thẳng AB cùng nằm trong 1 mặt phẳng.
b. Tìm điểm I thuộc đường thẳng d sao cho AI + BI nhỏ nhất .
Bài 7. Cho đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P ) : x + y – z = 0 và mặt phẳng
( Q ) : 2z – y = 0, điểm A( 2; 0; 0) , B(2; -1;0), C(1; 0;1).
a. Tìm trên đường thẳng d điểm S sao cho
SA SB SC+ +
uur uur uuur
nhỏ nhất.
b. Tính thể tích của hình chóp OABC.

Bài 8. Cho điểm A(1 ;2 ;3) và đường thẳng
2 2 3
:
2 1 1
x y z− + −
∆ = =
−
. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với
A qua đường thẳng
∆
.
Bài 9. Cho 2 điểm A(3;1;1), B(7; 3; 9) và mặt phẳng
( )
: 3 0x y z
α
+ + + =
.Tìm điểm M trên
( )
α
sao
cho
MA MB+
uuur uuur
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 10. Cho 2 điểm A(3;1;0), B(-9;4;9) và mặt phẳng
( )
: 2 1 0x y z
α
− + + =
. Tìm tọa độ điểm M trên

( )
α
sao cho
MA MB−
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 11. Cho đường thẳng
12 9 1
:
4 3 1
x y z
d
− − −
= =
và mặt phẳng
( )
:3 5 2 0P x y z+ − − =
.Viết phương
trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua mặt phẳng ( P ).
Bài 12. Cho điểm A(10; 2;-1) và đường thẳng d có phương trình
1 2
1 3
x t
y t
z t
= +


=



= +

. Lập phương trình mặt
phẳng ( P ) đi qua điểm A song song với đường thẳng d và khoảng cách từ d tới ( P ) là lớn nhất.
Phần VI. Mặt cầu
Bài 1. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a. Tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy.
b. Đi qua 3 điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;01) và có tâm nằm trên mặt phẳng (P):x + y + z – 3 = 0.
VŨ VĂN HẢI CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐT:01658199955
c. Tâm nằm trên đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( )
: 1 0x y z
α
+ + + =
và
( )
: x- 1 0y z
β
+ − =
tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P):x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q):x + 2y + 2z + 7 = 0.
d. Có tâm nằm trên đường thẳng
1 2
:
3 1 1
x y z
d
− +
= =
tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 2 = 0

và có bán kính bằng 1.
e. Tâm I(2;3;-1) và cắt đường thẳng
( )
11 2
:
25 2
x t
d y t
z t
= +


=


= − −

tại 2 điểm A , B sao cho AB = 16.
f. Đi qua O(0;0;0) , A(0;0;4), B(2; 0;0) và tiếp xúc vói mặt phẳng ( P ): 2x + y –z -5 = 0.
Bài 2. Cho 4 điểm A(3;3;0), B(3;0;3) , C( 0;3;3) , D(3;3;3).
a. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D trên.
b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 3. Cho điểm I(1;2;-2) , đường thẳng d có phương trình
3 1 4
1 2 2
x y z− − −
= =
và mặt phẳng
(P): 2x+2y+z+5=0.
a. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho (P) cắt (S) theo đường tròn có chu vi bằng

8
π
.
b. Lập phương trình mặt phẳng chứa d tiếp xúc với (S).
c. Chứng minh rằng d tiếp xúc với (S).
Bài 4. Cho mặt phẳng (P): 5x - 4y + z – 6 = 0, (Q) :2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng (d) :
1 7
3
1 2
x t
y t
z t
= +


=


= +

a. Viết phương trình mặt cầu có tâm là giao điểm I của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) sao cho (Q)
cắt khối cầu theo giao tuyến là 1 đường tròn có diện tích là
2
20
π
.
b. Tìm tọa độ điểm I’ đối xứng với I qua (Q).
Bài 5.Cho 2 đường thẳng
( )
1

1 2
:
2 1 3
x y z
d
− −
= =
−
;
( )
2
d
là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P):x – 3y + 1 = 0
và (Q): 3x – y – 2z +7 =0. Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d
1
tại H(3;1;3) và có tâm thuộc
đường thẳng
( )
2
d
.
Bài 6. Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2x 2 4z 3 0x y z y+ + − + + − =
, đường thẳng
( )
d
là giao tuyến của 2 mặt
phẳng (P):x+2y-2=0 và (Q): x – 2z = 0,
( )

1
:
1 1 1
x y z−
∆ = =
−
. Viết phương trình tiếp diện của (S) biết nó
song song với
( )
d
và
( )
∆
.
Bài 7.Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2x-4 6z+5 0x y z y+ + + − =
, đường thẳng
( )
d
là giao tuyến của 2 mặt phẳng
(P):2x – y – 1 = 0 và (Q): z - 1 = 0. Viết phương trình tiếp diện của (S) biết nó chứa đường thẳng
( )
d
.
Bài 8. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng
( )
1
: 2
x t

d y
z t
= −


=


=

và cắt mặt phẳng
P): y – z = 0 theo giao tuyến là đường tròn lớn có bán kính bằng 4.
Bài 9. Cho 2 mặt cầu
( )
2 2 2
1
: 2z 0S x y z+ + − =
,
( )
2 2 2
2
: 4 0S x y z y+ + − =
a. Chứng minh hai mặt cầu trên cắt nhau.
b. Gọi (C) là giao tuyến của 2 mặt cầu trên . Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài 10. Cho mặt cầu (S):
2 2 2
4 6 6z 17 0x y z x y+ + − + + + =
và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z +1 = 0
VŨ VĂN HẢI CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐT:01658199955

a. Chứng minh rằng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn . Xác định tâm và bán kính đường
tròn đó .
b. Lập phương trình mặt cầu (S
1
) chứa (C) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q): x + y + z + 3 =0.
Bài 11. Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 6z 5 0x y z x y+ + − − − + =
và mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z +1 =0.Viết
phương trình tiếp diện của mặt cầu , biết tiếp diện song song với (P).
Bài 12. Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 2z - 3 0x y z x y+ + − + + =
và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z -14 = 0.
a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và căt (S) theo một giao tuyến là đường tròn có bán
kính bàng 3.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
Bài 13. Cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 4 4 4 0S x y z x y z+ + − − − =
. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC biết A, B, C lần lượt là giao điểm ( khác gốc tọa độ ) của (S) với các trục tọa độ.
Bài 14. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ và D(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0), D’(0;0;a). Gọi M là
trung điểm của AD , N là tâm của hình vuông CC’D’D. Tìm bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’ ,
M , N.
Bài 15. Cho 2 mặt cầu
2 2 2
1
( ) : 9S x y z+ + =

,
( )
2 2 2
2
: 2 2 2 6 0S x y z x y z+ + − − − − =
a.Chứng minh (S
1
), (S
2
) cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường tròn .Xác định tâm và bán kính đường tròn
đó.
b.Viết phương trình mặt phẳng qua giao điểm của (S
1
), (S
2
) và qua điểm M(-2;1;-1).
Bài 16. Cho 2 mặt phẳng song song
( )
: 2 2 1 0P x y z− + − =
,
( )
: 2 2 5 0Q x y z− + + =
và điểm A(-
1;1;1) nằm trong khoảng giữa 2 mặt phẳng đó. Gọi (S) là mặt cầu bất kì qua A và tiếp xúc với
(P), (Q).
a.Chứng minh bán kính mặt cầu (S) là 1 hằng số và tính bán kính đó.
b.Gọi I là tâm của mặt cầu (S). Chứng minh rằng I thuộc một đường tròn cố định . Xác định tạo độ tâm
và bán kính đường tròn đó.
Bài 17. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M là
trung điểm của AB, N là tâm của hình vuông ADD’A’.

a.Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm C, D’, M, N.
b. Tính bán kính đường tròn là giao tuyến của (S) với mặt cầu đi qua A’, B, C’ , D.
Tìm thiết diện của hình lập phương cắt bởi ( CMN).
Bài 18.Cho họ
2 2 2 2
( ) : 4 2 6 4 0
m
S x y z mx my z m m+ + − − − + + =
.
a.Tìm m để (S
m
) là phương trình của một mặt cầu .
b.Với m vừa tìm được , tìm quỹ tích tâm mặt cầu (S
m
).
Phần VII. Các bài toán giải đươc bằng phương pháp tọa độ.
Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ =
2a
, M là một điểm thuộc
AD, K là trung điểm của B’M.
a.Cho AM = m
( )
0 2m a≤ <
. Tính thể tích khối tứ diện A’KID trong đó I là tâm của hình hộp. Tìm vị
trí của M để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất
b.Khi M là trung điểm của AD. Hãy tìm thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (B’CK). Tính
diện tích thiết diện đó theo a.
Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cá AB = a, AD = 2a, AA’ = a.
a.Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD’ và B’C
b.Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỉ số AM = 3MD. Tính khoảng cách từ điểm M đến (AB’C’).

c. Tính thể tích tứ diện AB’D’C.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật , có AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình
chóp bằng nhau và bằng
2a
.
a.Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
VŨ VĂN HẢI CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐT:01658199955
b. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho AK =
3
a
. Tính
khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và SK.
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Trên AB lấy điểm M , trên CC’ lấy điểm
N , trên D’A’ lấy điểm P sao cho
( )
' , 0AM CN D P x x a= = = ≤ ≤
.
a. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều. Tính diện tích tam giác đó theo a và x. Tìm x để
diện tích tam giác đó nhỏ nhất.
b. Khi
2
a
x =
, hãy tính thể tích khối tứ diện B’MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ấy.
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, AB’ vuông góc với BC’. Tính thể
tích lăng trụ.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA =a và SA vuông góc
với đáy. Gọi M , N là 2 điểm lần lượt thuộc BC, DC sao cho BM = x, DN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa
x, y để (SAM)

( )
SMN⊥
.
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (BA’C) và (DA’C).
Bài 7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh là a, SO vuông góc với đáy. Gọi M, N
theo thứ tự là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng
0
60
.
a. Tính độ dài MN và SO.
b. Tính góc giữa đường thẳng MN và (SBD).
Bài 8. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a.Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh
AD, CD. Lấy điểm P thuộc BB
1
sao cho BP = 3PB
1
. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt
bởi (MNP).
Phần VIII. Một số bài toán khác
Bài 1. Tìm tập hợp tât cả những điểm M cách đều 2 trục Ox, Oy và điểm A(1;1;0).
Bài 2. Cho 2 đường thẳng
1 2
: 1
2
x t
d y t
z t
= +



= − +


= −

,
'd
là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 3y – z -7 =0,
(Q):3x + 3y - 2z – 17 = 0.
a. Chứng mionh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.
b. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d’ và vuông góc với d. Tìm tọa độ H là giao điểmcủa d và (R).
c. Gọi (Q) là mặt phẳng thay đổi và song song với (Oxy) , (Q) cắt d , d’ lần lượt tại M và M’. Tìm quỹ
tích trung điểm của MM’.
Bài 3. Cho 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó a, b, c đều khác 0.
a. Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC.
b. Cho a , b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện :
1 2 3
1
a b c
+ + =
. Chứng minh rằng (ABC) luôn đi qua 1 điểm
cố định.
Bài 4. Cho 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó a, b, c đều dương và thỏa mãn :
2 2 2
3a b c+ + =
. Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O(0;0;0) đến (ABC) là lớn nhất.
Bài 5. Cho x, y z là các số thực thỏa mãn :
2 2 2
2 4 4 0x y z x y z+ + + + + ≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn

nhất của biểu thức: A = 2x – y + 2z