Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - phần 7 ppsx

Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 84



1. Khái niệm tích phân
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
()
b
a
fxdx
ò
.

()()()
b
a
fxdxFbFa
=-
ò

· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

()()() ()()
bbb
aaa
fxdxftdtfuduFbFa
====-
òòò

· Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện
tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng
x = a, x = b là:
()
b
a
Sfxdx
=
ò

2. Tính chất của tích phân
·
a
a
fxdx
()0
=
ò
·
()()
ba
ab
fxdxfxdx
=-
òò
·
()()
bb
aa
kfxdxkfxdx

=
òò
(k: const)
·
[ ]
()()()()
bbb
aaa
fxgxdxfxdxgxdx
±=±
òòò
·
()()()
bcb
aac
fxdxfxdxfxdx
=+
òòò

· Nếu f(x)
³
0 trên [a; b] thì
()0
b
a
fxdx
³
ò

· Nếu f(x)

³
g(x) trên [a; b] thì
()()
bb
aa
fxdxgxdx
³
òò

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
[ ]
()
()
().'()()
ubb
aua
fuxuxdxfudu
=
òò

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác
định trên K, a, b Î K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b
Î
K thì:

bb
b

a
aa
udvuvvdu
=-
òò

Chú ý:
– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
b
a
vdu
ò
dễ tính hơn
b
a
udv
ò
.


II. TÍCH PHÂN
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 85

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:

()()()

b
a
fxdxFbFa
=-
ò

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và
phép tính vi phân.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
++
2
1
3
)12( dxxx
b)
x
xedx
x
2
231
1
3
+
æö
++
ç÷
èø

ò
c)
ò
-
2
1
2
1
dx
x
x

d)
2
2
1
2
x
dx
x
-
+
ò
e)
(
)
ò
-
-
+

1
2
2
2
4
4
dx
x
x
f)
e
xxdx
x
x
2
2
1
11
æö
+++
ç÷
èø
ò

g)
( )( )
xxxdx
2
1
11+-+

ò
h)
( )
xxxxdx
2
2 3
1
++
ò
i)
( )
ò
-+
4
1
43
42 dxxxx

k)
2
2
3
1
2
xx
dx
x
-
ò
l)

2
1
257
e
xx
dx
x
+-
ò
m)
8
3
2
1
1
4
3
xdx
x
æö
ç÷
-
ç÷
èø
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
2
1

1
xdx
+
ò
b)
dx
xx
5
2
22
++-
ò
c)
x
dx
x
2
2
0
2
+
ò

d)
x
dx
x
2
2
0

1+
ò
e)
x
dx
x
2
2
3
3
0
3
1+
ò
f)
xxdx
4
2
0
9.
+
ò

Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
xdx
0
sin2
6
p

p
æö
+
ç÷
èø
ò
b)
xxxdx
2
3
(2sin3cos)
p
p
++
ò
c)
( )
xxdx
6
0
sin3cos2
p
+
ò

d)
4
2
0
tan.

cos
xdx
x
ò
p
e)
3
2
4
3tan
xdx
ò
p
p
f)
4
2
6
(2cot5)
xdx
+
ò
p
p

g)
2
0
1sin
dx

x
+
ò
p
h)
2
0
1cos
1cos
x
dx
x
-
+
ò
p
i)
2
22
0
sin.cos
xxdx
ò
p

k)
3
2
6
(tancot)

xxdx
-
-
ò
p
p
l)
x
dx
x
2
2
sin
4
sin
4
p
p
p
p
-
æö
-
ç÷
èø
æö
+
ç÷
èø
ò

m)
4
4
0
cos
xdx
ò
p

Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a)
1
0
dx
xx
xx
ee
ee
-
-
-
+
ò
b)
2
2
1
(1).
ln
xdx

xxx
+
+
ò
c)
x
x
e
dx
e
1
2
0
4
2
-
+
ò

Nguyờn hm Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 86

d)
x
x
e
dx
e
ln2
0

1
+
ũ
e)
x
x
e
edx
x
2
1
1
-
ổử
-
ỗữ
ốứ
ũ
f)
x
x
e
dx
1
0
2
ũ

g)
x

exdx
2
cos
0
.sin
p
ũ
h)
x
e
dx
x
4
1
ũ
i)
e
x
dx
x
1
1ln+
ũ

k)
e
x
dx
x
1

ln
ũ
l)
x
xedx
2
1
0
ũ
m)
1
0
1
1
x
dx
e+
ũ


VN 2: Tớnh tớch phõn bng phng phỏp i bin s
Dng 1: Gi s ta cn tớnh
()
b
a
gxdx
ũ
.
Nu vit c g(x) di dng:
[

]
()().'()
gxfuxux
= thỡ
()
()
()()
ubb
aua
gxdxfudu
=
ũũ

Dng 2: Gi s ta cn tớnh
()
fxdx
ũ
b
a
.
t x = x(t) (t
ẻ
K) v a, b
ẻ
K tho món
a
= x(a),
b
= x(b)
thỡ

[ ]
()()'()()
bb
aa
fxdxfxtxtdtgtdt
==
ũũũ
b
a

[
]
(
)
()().'()
gtfxtxt
=
Dng 2 thng gp cỏc trng hp sau:



Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau (i bin s dng 1):
a)
ũ
-
1
0
19
)1( dxxx
b)

x
dx
x
1
3
23
0
(1)
+
ũ
c)
ũ
+
1
0
2
5
1
dx
x
x

d)
ũ
+
1
0
12x
xdx
e)

1
2
0
1
xxdx
-
ũ
f)
1
32
0
1
xxdx
-
ũ

g)
ũ
+
32
5
2
4xx
dx
h)
ũ
+
+
3
0

2
35
1
2
dx
x
xx
i)
ln2
0
1
x
x
e
dx
e+
ũ

f(x) cú cha Cỏch i bin
22
ax
-
sin,
22
xatt
=-ÊÊ
pp

hoc cos,0xatt
=ÊÊ

p

22
ax
+
hoc
ax
22
1
+

tan,
22
xatt
=-<<
pp

hoc cot,0xatt
=<<
p

22
xa
-


{}
,;\0
sin22
a

xt
t
ộự
=ẻ-
ờỳ
ởỷ
pp

hoc
[ ]
,0;\
cos2
a
xt
t
ỡỹ
=ẻ
ớý
ợỵ
p
p


Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 87

k)
( )
x
x

edx
e
ln3
3
0
1
+
ò
l)
ò
+
e
x
dxx
1
2
ln2
m)
ò
+
e
dx
x
xx
1
lnln31

n)
ò
+

2
0
22
sin4cos
2sin
p
dx
xx
x
o)
ò
+
2
0
2
3
sin1
sin.cos
p
dx
x
xx
p)
ò
+
6
0
22
cossin2
2sin

p
dx
xx
x

Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
a)
ò
-
2
1
0
2
1 x
dx
b)
ò
-
1
0
2
2
4 x
dxx
c)
ò
-
2
1
22

4 dxxx

d)
ò
+
3
0
2
3x
dx
e)
ò
++
1
0
22
)2)(1( xx
dx
f)
ò
++
1
0
24
1xx
xdx

g)
0
2

1
22
dx
xx
-
++
ò
h)
ò
-
2
1
3
2
1
dx
x
x
i)
( )
ò
+
1
0
5
2
1 x
dx

k)

2
3
2
2
1
dx
xx
-
ò
l)
2
2
2
2
0
1
x
dx
x-
ò
m)
2
2
0
2
xxxdx
-
ò

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:


Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
4
0
2sin
p
xdxx b)
ò
+
2
0
2
cos)sin(
p
xdxxx c)
ò
p
2
0
2
cos xdxx

d)
xxdx

2
4
0
cos
p
ò
e)
3
2
4
tan
xxdx
ò
p
p
f)
ò
-
1
0
2
)2( dxex
x

g)
dxxe
x
ò
2ln
0

h)
dxxx
e
ò
1
ln
i)
ò
-
3
2
2
)ln( dxxx

k)
ò
2
0
3
5sin
p
xdxe
x
l)
ò
2
0
cos
2sin
p

xdxe
x
m)
ò
e
xdx
1
3
ln

o)
dxxx
e
ò
1
23
ln
p)
ò
e
e
dx
x
x
1
2
ln
q)
dxxex
x

)1(
0
1
3
2
ò
-
++



().
b
x
a
Pxedx
ò
().cos
b
a
Pxxdx
ò
().sin
b
a
Pxxdx
ò

b
a

Pxxdx
().ln
ò

u P(x) P(x) P(x) lnx
dv
x
edx

cos
xdx

sin
xdx
P(x)dx

Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 88

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công
thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
2 dxx

b)
xxdx
2
2
0
-
ò
c)
xxdx
2
2
0
23
+-
ò

d)
xdx
3
2
3
1
-
-
ò
e)
( )
xxdx
5
2

22
-
+
ò
f)
x
dx
3
0
24
-
ò

g)
4
2
1
69
xxdx
-+
ò
h)
ò
+-
3
0
23
44 dxxxx
i)
1

1
4
xdx
-
-
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
p
2
0
2cos1 dxx
b)
0
1sin2.
xdx
p
-
ò
c)
xdx
2
2
sin
p
p
-

ò

d) 1sin
xdx
-
-
ò
p
p
e)
2
0
1cos
xdx
+
ò
p
f)
0
1cos2
xdx
+
ò
p

g)
3
22
6
tancot2

xxdx
+-
ò
p
p
h)
3
3
2
coscoscos
xxxdx
-
-
ò
p
p
i)
2
0
1sin
xdx
+
ò
p


VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:

a)
ò
+
3
1
3
xx
dx
b)
ò
+-
1
0
2
65xx
dx
c)
ò
++
3
0
2
3
12xx
dxx

d)
( )
ò
+

1
0
3
21
dx
x
x
e)
( )
ò
-
3
2
9
2
1 x
dxx
f)
ò
+
4
1
2
)1( xx
dx

g)
ò
-
4

2
)1(xx
dx
h)
(
)
ò
++
+
1
0
2
65
114
xx
dxx
i)
1
3
0
1
1
xx
dx
x
++
+
ò

k)

0
32
2
1
2699
32
xxx
dx
xx
-
-++
-+
ò
l)
3
2
3
2
333
32
xx
dx
xx
++
-+
ò
m)
1
2
3

0
(31)
x
dx
x +
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+-
2
0
2
22xx
dx
b)
(
)
ò
+
+
3
0
2
2
1
23
dx
x

x
c)
ò
+
+++
2
0
2
23
4
942
dx
x
xxx

d)
1
22
0
1
(2)(3)
dx
xx++
ò
e)
1
3
2
0
1

1
xx
dx
x
++
+
ò
f)
1
4
0
1
x
dx
x+
ò

Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 89

g)
2
4
1
1
(1)
dx
xx+
ò
h)

2
2008
2008
1
1
(1)
x
dx
xx
-
+
ò
i)
3
4
22
2
(1)
x
dx
x -
ò

k)
2
2
0
1
4
dx

x+
ò
l)
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
-
+
ò
m)
1
4
2
0
2
1
x
dx
x
-
+
ò

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
0
1
1
x
dx
x
+
-
ò
b)
ò
+
+
3
7
0
3
13
1
dx
x
x
c)

10
5
21
dx
xx

ò

d)
ò
++
-
1
0
132
34
dx
x
x
e)
6
2
2141
dx
xx
+++
ò
f)
ò
-+

2
1
11
dx
x
x

g)
ò
++
1
0
1 xx
dx
h)
ò
++
1
0
2
3
1
dx
xx
x
i)
ò
+
2
0

5
4
1
dx
x
x

k)
ò
+
22
0
2
1dxxx l)
ò
+
1
0
23
1dxxx
m)
3
53
2
0
1
xx
dx
x
+

+
ò

n)
23
2
5
4
dx
xx
+
ò
o)
2
3
2
2
1
dx
xx
-
ò
p)
2
3
1
1
dx
xx
+

ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
1
22
0
1
xxdx
+
ò
b)
3
2
22
1
1
1
x
dx
xx
+
+
ò
c)
1
23
0
(1)
dx

x+
ò

d)
2
2
1
2008
xdx
+
ò
e)
3
32
0
10
xxdx
-
ò
f)
1
2
0
1
xdx
+
ò

g)
1

2
1
11
dx
xx
-
+++
ò
h)
2
2
1
2008
dx
x +
ò
i)
1
3
2
0
1
xdx
xx
++
ò

k)
2
2

23
0
(1)
dx
x-
ò
l)
2
2
2
2
0
1
xdx
x
-
ò
m)
5
4
2
1
1248
xxdx

ò

Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
2

0
cos
7cos2
xdx
x
+
ò
p
b)
2
2
0
sincoscos
xxxdx
-
ò
p
c)
2
2
0
cos
2cos
xdx
x
+
ò
p

d)

2
6
35
0
1cossincos
xxxdx
-
ò
p
e)
2
0
sin2sin
13cos
xx
dx
x
+
+
ò
p
f)
3
0
cos
2cos2
xdx
x
+
ò

p

Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 90

g)
2
2
0
cos
1cos
xdx
x
+
ò
p
h)
3
2
4
tan
cos1cos
x
dx
xx
p
p
+
ò
i)

2
0
sin2sin
13cos
xx
dx
x
p
+
+
ò

Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a)
ln3
0
1
x
dx
e
+
ò
b)
ln2
2
0
1
x
x
edx

e
+
ò
c)
1
13lnln
e
xx
dx
x
+
ò

d)
ln3
2
ln2
ln
ln1
x
dx
xx+
ò
e)
0
23
1
(1)
x
xexdx

-
++
ò
f)
ln2
3
0
(1)
x
x
edx
e +
ò

g)
ln3
0
(1)1
x
xx
e
dx
ee+-
ò
h)
1
0
x
xx
e

dx
ee
-
+
ò
i)
ln2
0
1
x
edx
-
ò


VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
4
0
cos.2sin
p
xdxx b)
ò
4
0
tan

p
xdx c)
dxx
ò
p
0
2
sin

d)
ò
2
0
3
sin
p
xdx e)
2
33
0
(sincos)
xxdx
+
ò
p
f)
xdx
2
0
cos3

p
ò

g)
2
24
0
sincos
xxdx
ò
p
h)
ò
2
0
32
cossin
p
xdxx i)
2
45
0
sincos
xxdx
ò
p

k)
ò
+

2
0
cos31
sin
p
dx
x
x
l)
dx
x
2
0
1
cos1
p
+
ò
m)
ò
+
2
0
cos1
cos2sin
p
dx
x
xx

n)
3
2
0
cos
1cos
x
dx
x
+
ò
p
o)
p
p
ò
3
4
6
sin.cos
dx
xx
p)
3
3
4
sin.cos
dx
xx
p

p
ò

q)
3
2
2
0
sin
1cos
x
dx
x
+
ò
p
r)
4
3
0
tan
xdx
ò
p
s)
p
ò
3
4
0

tan
xdx

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
53
cossincos1
p
xdxxx b)
ò
+
++
2
6
cossin
2cos2sin1
p
p
dx
xx
xx
c) dx
xx
x
ò
+

3
4
2
cos1cos
tan
p
p

d)
2
44
0
cos2(sincos)
xxxdx
+
ò
p
e)
ò
+
4
0
sin
)cos(tan
p
dxxex
x
f)
( )
dxxx

ò
+
2
0
3
2
2sinsin1
p

Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 91

g)
3
0
sin.ln(cos)
xxdx
p
ò
h)
3
4
225
0
sin
(tan1).cos
x
dx
xx
p

+
ò
i)
3
22
3
1
sin9cos
dx
xx
p
p
-
+
ò

Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
2
3
1
sin
dx
x
ò
p
p
b)
2
0

2cos
dx
x
-
ò
p
c)
2
0
cos
2cos
x
dx
x
-
ò
p

d)
2
0
cos
1cos
x
dx
x
+
ò
p
e)

2
0
1
2sin
dx
x
+
ò
p
f)
2
0
sin
2sin
x
dx
x
+
ò
p

g)
2
0
1
sincos1
dx
xx++
ò
p

h)
2
2
sincos1
sin2cos3
xx
dx
xx
-
-+
++
ò
p
p
i)
p
p
æö
+
ç÷
èø
ò
4
0
coscos
4
dx
xx

k)

2
2
0
(1sin)cos
(1sin)(2cos)
xx
dx
xx
-
+-
ò
p
l)
p
p
p
æö
+
ç÷
èø
ò
3
4
sincos
4
dx
xx
m)
p
p

p
æö
+
ç÷
èø
ò
3
6
sinsin
6
dx
xx

Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
cos)12(
p
xdxx b)
ò
+
4
0
2cos1
p
x
xdx

c)
ò
3
0
2
cos
p
dx
x
x

d)
2
3
0
sin
xdx
ò
p
e)
2
2
0
cos
xxdx
ò
p
f)
2
21

0
sin2.
x
xedx
+
ò
p

g)
2
1
cos(ln)
xdx
ò
h)
x
dx
x
3
2
6
ln(sin)
cos
p
p
ò
i)
2
2
0

(21)cos
xxdx
-
ò
p

k)
22
0
sin
x
exdx
ò
p
l)
4
2
0
tan
xxdx
ò
p
m)
2
0
sincos
xxxdx
ò
p

n)
2
2
sin3
0
sincos
x
exxdx
ò
p
o)
4
0
ln(1tan)
xdx
+
ò
p
p)
ò
4
0
4
cos
p
x
dx

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+
1
0
1
x
x
e
dxe
b)
ò
+
2ln
0
5
x
e
dx
c)
1
0
1
4
x
dx

e +
ò

Nguyờn hm Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 92

d)
ũ
+
8ln
3ln
1
dx
e
e
x
x
e)
ln8
2
ln3
1.
xx
eedx
+
ũ
f)
ũ
+
-

2ln
0
1
1
dx
e
e
x
x

g)
2
1
1
1
x
dx
e
-
-
ũ
h)
2
2
0
1
x
x
e
dx

e +
ũ
i)
1
0
1
x
x
e
dx
e
-
-
+
ũ

k)
2
1
ln
(ln1)
e
x
dx
xx+
ũ
l)
1
2
0

1
x
x
e
dx
e
-
-
+
ũ
m)
ln3
0
1
1
x
dx
e +
ũ

Baứi 2. Tớnh cỏc tớch phõn sau:
a)
ũ
2
0
sin
p
xdxe
x
b)

ũ
2
0
2
dxxe
x
c)
ũ
-
1
0
dxxe
x

d)
ũ
+
2
0
cos)cos(
p
xdxxe
x
e)
( )
ũ
+
1
0
1ln dxxx

f)
2
1
1ln
e
x
dx
x
+
ũ

g)
2
lnln(ln)
e
e
xx
dx
x
+
ũ
h)
ũ
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố

ổ
+
+
e
dxx
xx
x
1
2
ln
1ln
ln
i)
3
2
ln(ln)
e
e
x
dx
x
ũ

k)
2
2
1
ln
x
dx

x
ũ
l)
3
2
6
ln(sin)
cos
x
dx
x
ũ
p
p
m)
1
0
ln(1)
1
x
dx
x
+
+
ũ


VN 9: Mt s tớch phõn c bit
Dng 1. Tớch phõn ca hm s chn, hm s l

ã
Nu hm s f(x) liờn tc v l hm s l trờn [a; a] thỡ
()0
a
a
fxdx
-
=
ũ


ã
Nu hm s f(x) liờn tc v l hm s chn trờn [a; a] thỡ
0
()2()
aa
a
fxdxfxdx
-
=
ũũ

Vỡ cỏc tớnh cht ny khụng cú trong phn lý thuyt ca SGK nờn khi tớnh cỏc tớch phõn cú
dng ny ta cú th chng minh nh sau:
Bc 1: Phõn tớch
0
0
()()()
aa
aa

Ifxdxfxdxfxdx

==+
ũũũ

0
0
();()
a
a
JfxdxKfxdx
-
ổử
ỗữ
==
ỗữ
ốứ
ũũ

Bc 2: Tớnh tớch phõn
0
()
a
Jfxdx
-
=
ũ
bng phng phỏp i bin. t t = x.
Nu f(x) l hm s l thỡ J = K
ị

I = J + K = 0
Nu f(x) l hm s chn thỡ J = K
ị
I = J + K = 2K
Dng 2. Nu f(x) liờn tc v l hm chn trờn R thỡ:

0
()
()
1
x
fx
dxfxdx
a
-
=
+
ũũ
aa
a
(vi
a

ẻ
R
+
v a > 0)
chng minh tớnh cht ny, ta cng lm tng t nh trờn.

0

0
()()()
111
xxx
fxfxfx
Idxdxdx
aaa

==+
+++
ũũũ
aa
aa

0
0
()()
;
11
xx
fxfx
JdxKdx
aa
-
ổử
ỗữ
==
ỗữ
++
ốứ

ũũ
a
a

tớnh J ta cng t: t = x.
Trn S Tựng Nguyờn hm Tớch phõn
Trang 93

Dng 3. Nu f(x) liờn tc trờn
0;
2
ộự
ờỳ
ởỷ
p
thỡ
22
00
(sin)(cos)
fxdxfxdx
=
ũũ
pp

chng minh tớnh cht ny ta t:
2
tx
=-
p

Dng 4. Nu f(x) liờn tc v
()()
fabxfx
+-=
hoc
()()
fabxfx
+-=-

thỡ t: t = a + b x
c bit, nu a + b =
p
thỡ t t =
p
x
nu a + b = 2
p
thỡ t t = 2
p
x
Dng 5. Tớnh tớch phõn bng cỏch s dng nguyờn hm ph
xỏc nh nguyờn hm ca hm s f(x) ta cn tỡm mt hm g(x) sao cho nguyờn hm
ca cỏc hm s f(x)

g(x) d xỏc nh hn so vi f(x). T ú suy ra nguyờn hm ca f(x).
Ta thc hin cỏc bc nh sau:
Bc 1: Tỡm hm g(x).
Bc 2: Xỏc nh nguyờn hm ca cỏc hm s f(x)

g(x), tc l:

1
2
()()()
(*)
()()()
FxGxAxC
FxGxBxC
ỡ
+=+
ớ
-=+
ợ

Bc 3: T h (*), ta suy ra
[ ]
1
()()()
2
FxAxBxC
=++
l nguyờn hm ca f(x).

Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau (dng 1):
a)
753
4
4
4
1

cos
xxxx
dx
x
-
-+-+
ũ
p
p
b)
( )
p
p
-
++
ũ
2
2
2
cosln1
xxxdx
c)
1
2
1
2
1
cos.ln
1
x

xdx
x
-
ổử
-
ỗữ
+
ốứ
ũ

d)
( )
1
2
1
ln1
xxdx
-
++
ũ
e)
-
-+
ũ
1
42
1
1
xdx
xx

f)
1
4
2
1
sin
1
xx
dx
x
-
+
+
ũ

g)
5
2
2
sin
1cos
x
dx
x
-
+
ũ
p
p
h)

2
2
2
4sin
xdx
x
p
p
-
-
ũ
i)
2
2
2
cos
4sin
xx
dx
x
p
p
-
+
-
ũ

Baứi 2. Tớnh cỏc tớch phõn sau (dng 2):
a)
1

4
1
21
x
x
dx
-
+
ũ
b)
1
2
1
1
12
x
x
dx
-
-
+
ũ
c)
1
2
1
(1)(1)
x
dx
ex

-
++
ũ

d)
2
sin
31
x
x
dx
-
+
ũ
p
p
e)
ũ
-
+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x
f)

1
2
1
(41)(1)
x
dx
x
-
++
ũ

g)
2
2
sinsin3cos5
1
x
xxx
dx
e
-
+
ũ
p
p
h)
66
4
4
sincos

61
x
xx
dx
-
+
+
ũ
p
p
i)
22
2
2
sin
12
x
xx
dx
-
+
ũ
p
p

Baứi 3. Tớnh cỏc tớch phõn sau (dng 3):
a)
2
0
cos

cossin
n
nn
x
dx
xx
+
ũ
p
(n
ẻ
N
*
) b)
7
2
77
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ũ
p
c)
2
0
sin

sincos
x
dx
xx
+
ũ
p

Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 94

d)
2009
2
20092009
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
e)
4
2
44
0
cos

cossin
x
dx
xx
p
+
ò
f)
4
2
44
0
sin
cossin
x
dx
xx
p
+
ò

Baøi 4. Tính các tích phân sau (dạng 4):
a)
2
0
.sin
4cos
xx
dx
x

-
ò
p
b)
2
0
cos
4sin
xx
dx
x
+
-
ò
p
c)
2
0
1sin
ln
1cos
x
dx
x
æö
+
ç÷
+
èø
ò

p

d)
4
0
ln(1tan)
xdx
+
ò
p
e)
2
3
0
.cos
xxdx
ò
p
f)
3
0
.sin
xxdx
ò
p

g)
0
1sin
x

dx
x
+
ò
p
h)
0
sin
2cos
xx
dx
x
+
ò
p
i)
2
0
sin
1cos
xx
dx
x
+
ò
p

k)
4
0

sin4ln(1tan)
xxdx
+
ò
p
l)
2
0
sin
94cos
xx
dx
x
+
ò
p
m)
4
0
sincos
xxxdx
ò
p

Baøi 5. Tính các tích phân sau (dạng 5):
a)
2
0
sin
sincos

x
dx
xx
-
ò
p
b)
2
0
cos
sincos
x
dx
xx
-
ò
p
c)
2
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p

d)

2
0
cos
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
e)
4
2
44
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
f)
4
2
44
0
cos
sincos

x
dx
xx
+
ò
p

g)
6
2
66
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
h)
6
2
66
0
cos
sincos
x
dx
xx

+
ò
p
i)
2
2
0
2sin.sin2
xxdx
ò
p

k)
2
2
0
2cos.sin2
xxdx
ò
p
l)
1
1
x
xx
e
dx
ee
-
-

-
ò
m)
1
1
x
xx
e
dx
ee
-
-
-
-
ò

n)
1
1
x
xx
e
dx
ee
-
-
+
ò
o)
1

1
x
xx
e
dx
ee
-
-
-
+
ò



VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
Giả sử cần tính tích phân
(,)
b
n
a
Ifxndx
=
ò
(n
Î
N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta
thường gặp một số yêu cầu sau:

·
Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn I

n
theo các I
n-k
(1
£
k
£
n).

·
Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.

·
Tính một giá trị
0
n
I
cụ thể nào đó.

Baøi 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 95

a)
2
0
sin
n
n
Ixdx

=
ò
p
· Đặt
1
sin
sin.
n
ux
dvxdx
-
ì
=
í
=
î

b)
2
0
cos
n
n
Ixdx
=
ò
p
· Đặt
1
cos

cos.
n
ux
dvxdx
-
ì
=
í
=
î

c)
4
0
tan
n
n
Ixdx
=
ò
p

·
Phân tích:
(
)
222
tantantan1tan
nnn
xxxx

=+-
d)
2
0
cos.
n
n
Ixxdx
=
ò
p

·
Đặt
cos.
n
ux
dvxdx
ì
=
í
=
î


2
0
sin.
n

n
Jxxdx
=
ò
p

·
Đặt
sin.
n
ux
dvxdx
ì
=
í
=
î

e)
nx
n
Ixedx
1
0
=
ò

·
Đặt
.

n
x
ux
dvedx
ì
ï
=
í
=
ï
î

f)
1
ln.
e
n
n
Ixdx
=
ò

·
Đặt
ln
n
ux
dvdx
ì
=

í
=
î

g)
1
2
0
(1)
n
n
Ixdx
=-
ò

·
Đặt
cos
xt
=

®
Đặt
2
sin
sin.
n
ut
dvtdt
ì

=
í
=
î

h)
1
2
0
(1)
n
n
dx
I
x
=
+
ò

·
Phân tích
22
222
11
(1)(1)(1)
nnn
xx
xxx
+
=-

+++

Tính
1
2
2
0
(1)
n
n
x
Jdx
x
=
+
ò
. Đặt
2
(1)
n
ux
x
dvdx
x
ì
=
ï
í
=
ï

+
î

i)
1
0
1.
n
n
Ixxdx
=-
ò

·
Đặt
1.
n
ux
dvxdx
ì
ï
=
í
=-
ï
î

k)
4
0

cos
n
n
dx
Idx
x
=
ò
p

·
Phân tích
1
1cos
coscos
nn
x
xx
+
=
®
Đặt
1
1
cos
n
t
x
+
=

Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 96



1. Diện tích hình phẳng
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
là:
()
b
a
Sfxdx
=
ò
(1)
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
là:
()()
b
a
Sfxgxdx
=-
ò
(2)
Chú ý:

·
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
()()
bb
aa
fxdxfxdx
=
òò


·
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới
dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:

()()()()
bcdb
aacd
fxdxfxdxfxdxfxdx
=++
òòòò

=
()()()
cdb
acd
fxdxfxdxfxdx

++
òòò

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

·
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.

()()
d
c
Sgyhydy
=-
ò

2. Thể tích vật thể
· Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm
các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x (a
£
x
£
b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là:
()
b
a

VSxdx
=
ò

· Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 97


2
()
b
a
Vfxdx
=
ò
p

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
là:
2
()
d
c

Vgydy
=
ò
p


VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng

Baøi 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) yxxyxx
2
45,0,2,4
= ==-=
b)
ln1
,0,,
x
yyxxe
xe
====

c)
1ln
,0,1,
x
yyxxe
x
+
====
d)

ln
,0,,1
2
x
yyxex
x
====

e)
1
ln,0,,
yxyxxe
e
====
f)
3
,0,2,1
yxyxx
===-=

g)
4
1
,0,0,
2
1
x
yyxx
x
====

-
h)
1
lg,0,,10
10
yxyxx
====

Baøi 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
31
,0,0
1
x
yyx
x

===
-
b)
,2,0
yxyxy
==-=

c)
,2,1
x
yeyx
===
d)

,20,0
yxxyy
=+-==

e)
22
2,21,2
yxyxxy
== =
f)
2
45,24,411
yxxyxyx
=-+=-+=-

g)
2
2
27
,,
27
x
yxyy
x
=== h)
22
2,44,8
yxyxxy
== =

i)
2
2,2210,0
yxxyy
=++==
k)
22
65,43,315
yxxyxxyx
=-+-=-+-=-

Baøi 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
1
,,0,
yxyyxe
x
====
b)
sin2cos,3,0,
yxxyxx
=-===p

c)
2
5,0,3,0
x
yyyxx
-
===-=

d)
22
22,36,0,4
yxxyxxxx
=-=+-==

e)
,0,4
yxyyx
===-
f)
22
22,45,1
yxxyxxy
=-+=++=

g)
,2,0
yxyxy
==-=
h)
2
1
,,1
x
x
yyex
e
-
-

===

Baøi 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
22
4,2
yxyxx
=-=-
b)
2
43,3
yxxyx
=-+=+

c)
22
11
,3
42
yxyx
==-+
d)
2
2
1
,
2
1
x
yy

x
==
+

e)
2
,2
yxyx
==-
f)
22
2,4
yxxyxx
=-=-+