Tài liệu ôn toán - Bài tập phương trình mũ logarit - phần 3 ppsx

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
- §Ỉt
(
)
2
t log x
= , bÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi

4 2 2
2
2
t 13t 36 0 4 t 9
1 1
3 log x 2
3 t 2
x

8 4
2 log x 3
2 t 3
4 x 8
− + < ⇔ < <



− < < −
− < < −
< <




⇔ ⇔ ⇔



< <
< <
< <






- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm
( )
1 1
, 4,8
8 4
 
∪
 
 
.

Ví dụ 3. Giải bất phương trình:
2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 2
5 4.5 5
− − − − + −
− <

Lời giải:
- §Ỉt
x 5 3 2
X 5 0, Y 5 0
x− −
= > = >
.Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
2
X
4X 5Y
Y
− <
(1)
- Do
Y 0
>
nªn

(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
x 5 1 3 x 2
1 X 4XY 5Y X 4XY 5Y 0 X Y X 5Y 0
X 5Y 0 X 5Y 5 5
x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
− + −

⇔ − < ⇔ − − < ⇔ + − <
⇔ − < ⇔ < ⇔ <
⇔ − < + − ⇔ − < −

-
BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hƯ sau

( )
x 2 0
I 2 x 6
x 6 0
− ≥

⇔ ≤ <

− <



( )
( ) ( )
2
2
x 6 0
x 6 x 6
II 6 x 18
x 21x 54 0 3 x 18
9 x 2 x 6
− ≥



≥ ≥


⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
  
− + < < <
− > −





- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ:
2 x 18
≤ <
.
BÀI TẬP
Giải các bất phương trình sau:
1)
(
)
(
)
x x
x
1
5 1 5 1 2
4
+ + − =

2)
(
)
2 2 2
2 1 4
2
log x log x 3 5 log x 3
+ − > −

3)
2x x x 4 x 4
3 8.3 9.9 0
+ + +
− − >
.


3. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1. Giải bất phương trình:
(
)
5 4
log 3 x log x
+ >

Lời giải:
-
ð
i

ề
u ki
ệ
n

x 0
>
.
-
§Ỉt
t
4
t log x x 4
= ⇔ =
, bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh
(
)
t
5
log 3 2 t
+ >


t
t t
t
3 2
3 2 5 1
5 5
 

⇔ + > ⇔ + >
 
 

- Hµm sè
( )
t
t
3 2
t
5 5
f
 
= +
 
 
nghÞch biÕn trªn
ℝ
vµ
(
)
1 1.
f
=

-
BÊt ph−¬ng tr×nh trë
(
)
(

)
t 1 t 1
f f
> ⇔ <
,
ta ®−ỵc
4
log x 1 0 x 4.
< ⇔ < <

Biờn son: GV HUNH C KHNH
- Vậy bất phơng trình có nghiệm là:
0 x 4
< <
.

Vớ d 2. Gii bt phng trỡnh:
2
2
3
2
x x 1
log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
> +
+

Li gii:
- Đặt

(
)
2 2
u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0
= + + = + > >
. Suy ra
2
v u x 3x 2
= +
.
-
Bất phơng trình đã cho tơng đơng với
( )
3 3 3 3 3
u
log v u log u log v v u log u u log v v 1
v
= = + > +
- Xét hàm số
( ) ( )
'
3
1
t log t t, ta co: t 1 0, t 0
tln3
f f
= + = + > >
nên hm s ủồng biến khi
t 0.
>

Từ (1) ta có
(
)
(
)
f u f v u v
> >


2 2
2
x x 1 2x 2x 3
x 3x 2 0
1 x 2.
+ + > +
+ <
< <

- Vậy bất phơng trình có nghiệm là:
1 x 2
< <
.
Lu ý:

1.
Với bất phơng trình dạng
log log
a b
u v
<

, ta thờng giải nh sau:
Đặt
log
a
t u
=
(hoặc
log
b
t v
= )
đa về bất phơng trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của
hàm số.
2.
Với bất phơng trình dạng
log log log
a a a
u
v u u u v v
v
< + < +
. Ta xét hàm số
(
)
log
a
f t t t
= +
đồng biến khi
0

t
>
, suy ra
(
)
(
)
.
f u f v u v
< <

BAỉI TAP
Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
1)
(
)
3
x
6 64
log x x log x
+

2)
x x x
2.2 3.3 6 1.
+ >

3)
x x x x
16 3 4 9 .

< +



4. PHệễNG PHAP VEế ẹO THề
Vớ d .
Gi

i b

t ph

ng trỡnh:
x
5 x
log
5 x
0
2 3x 1
+

<
+

Li gii:
-
Bất phơng trình trên tơng đơng với hai hệ
( )
x
5 x

log 0
I
5 x
2 3x 1 0
+

>




+ <

và
( )
x
5 x
log 0
II
5 x
2 3x 1 0
+

<




+ >

- Giải hệ (I)
+
5 x 5 x 2x
log 0 1 0 0 x 5
5 x 5 x 5 x
+ +
> > > < <


+
x
2 3x 1
<
, ta vẽ đồ thị của hai hàm số
x
y 2
=
và
y 3x 1
=
trên cùng một hệ trục toạ độ.
Khi đó ta đợc nghiệm là
1 x 3.
< <

- Do đó hệ (I) có nghiệm
1 x 3.
< <

Biờn son: GV HUNH C KHNH
- Giải hệ (II)
+
5 x 5
5 x 5
5 x 5 x
log 0 0 1 5 x 0
2x
x 0 x 5
5 x 5 x
0
5 x
< <

< <

+ +

< < < < <

< >

<




.
+
x

2 3x 1
>

x 1
<
hoặc
x 3
>
.
- Do đó hệ (II) có nghiệm
5 x 0.
< <

- Vậy bất phơng trình có nghiệm
( 5,0) (1,3)

.
BAỉI TAP

Gi

i b

t ph

ng trỡnh sau:
1 x
x
2 2x 1
0

2 1

+


.


5. MOT SO PHệễNG PHAP KHAC
Vớ d 1. Gii bt phng trỡnh:
( )
2 3
1
log x 2 4 log 8
x 1

+ +




Li gii:
- Điều kiện
x 2.


- Ta có nhận xét sau:
+
(
)

2
x 2 4 4 log x 2 4 2 VT 2.
+ +

+
1
x 2 x 1 1 x 1 1 1
x 1




3
1 1
8 9 log 8 2 VP 2
1 1x x

+ +




- Vậy bất phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi
VT 2
x 2 0
x 2
VP 2
x 2

=
=

=

=
=




.
- Vậy bất phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Vớ d 2. Gii bt phng trỡnh:
(
)
x
x 9
log log 3 9 1

<


Li gii:
- Để
(
)
x
9
log 3 9

có nghĩa, ta cần có
x x 2
3 9 3 3 x 2.
> > >

- Với điều kiện trên bất phơng trình đã cho tơng đơng với
( )
( )
9
x x
9
x 2
3x 9 1
log 3x 9 0
3 9 9
log 3x 9 x

>
>


>

<


<

-
Đặt
(
)
x
3 t, t 0
= >
, ta có hệ
x
3
2
t 10
t 0 3 10 x log 10
t t 9 0
>

> > >

+ >

.
Vớ d 3. Gii bt phng trỡnh:
(
)
2 3 4 2 2
2 2
5x 6x x x log x x x log x 5 5 6 x x
+ > + + +

Li gii:

- iu kin:
2
x 0
0 x 3
6 x x 0
>

<

+


- Bất phơng trình đã cho tơng đơng với
( )
(
)
( )
2
2
xlog x 5 6 x x 1 x 0 *
+ + >

-
Do
2 2 2
x 3 xlog x 3log 3 log 32 5


< =
. Vậy khi

0 x 3
<
thì
2
xlog x 5 0,
<
do đó
Biờn son: GV HUNH C KHNH
( )
2
2
0 x 3
0 x 3
5
* x 3
2x 3x 5 0
2
6 x x 1 x 0
<

<


<

>
+ + <

- Vậy nghiệm
5
x 3.
2
<

Vớ d 4. Gii bt phng trỡnh:
(
)
2 2 x x 1 2
4x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x
+
+ > + +

Li gii:
-

i

u ki

n:

2 x 2

(1)
- Bất phơng trình tơng đơng với
(
)

(
)
x 2
4 x.2 x 1 2 2 x 0
+ >
(2)
- Từ (1) ta có
3
x 2
2
x 2 x.2 2.2 2.2 4.


< =
. Do đó (2) tơng đơng với

2
2
2 x 2
2 2 x 1 x
x 1 2 2 x 0



>

+ >

(3)
-
(3) tơng đơng với hai hệ sau
+
( )
2
2 x 0
I : 1 x 2
1 x 0


<

<


+
( )
( )
( )
2
2
2
x 1
1 x 0
x 1
II : 1 x 1
7
5x 2x 7 0
4 2 x 1 x

1 x
5









<
>
< <





- Vậy tập nghiệm của bất phơng trình là
x 1; 2 .




Vớ d 5. Gii bt phng trỡnh:
( ) ( )
2 2
1 1
log x 1 log 3 2x

>
+

Li gii:
-

i

u ki

n:
1 x 0 3
0 x 1 1
1 x

2
3
0 3 2x 1
1 x
x 0;1
2


<

< +
< <

<
<








(
)
2
log x 1 0 x 1 1 x 0.
+ > + > >


(
)
2
log 3 2x 0 3 2x 1 x 1.
> > <

-
Ta có bảng xét dấu

-
Từ đó ta có các trờng hợp sau
+ TH1: Với
1 x 0

< <

thì
VT 0, VP 0
< >

suy ra bất phơng trình vô nghiệm
+ TH2: Với
0 x 1
< <

thì
VT 0, VP 0.
> >

Khi đó bất phơng trình tơng đơng với
(
)
(
)
2 2
log x 1 log 3 2x 3 2x x 1 0 x 1.
+ < > + < <

log
2
(3-2x)
x
-
1

0
1
-

+
+

+
+ -
2
3

log
2
(x+1)
Biờn son: GV HUNH C KHNH
+ TH3: Với
3
1 x
2
< <
thì
VT 0, VP 0,
> <
bất phơng trình có nghiệm với mọi
3
1 x
2
< <

.
- Vậy tập nghiệm của bất phơng trình là
{ }
3
0 x \ 1
2

< <


.
Lu ý:
Với bất phơng trình dạng
1 1
log log
a b
u v
>
, ta thờng giải nh sau:
+ Lập bảng xét dấu của
log
a
u
và
log
b
v
trong tập xác định của bất phơng trình.
+ Trong tập xác định đó nếu
log

a
u

và
log
b
v

cùng dấu thì bất phơng trình tơng đơng
với
log log .
a b
u v
<

Vớ d 6. Trong các nghiệm
(
)
x; y

của bất phơng trình
(
)
2 2
x 2y
log 2x y 1
+
+
, chỉ ra các
nghiệm có tổng

(
)
2x y
+
lớn nhất.
Li gii:
- Bất phơng trình trên tơng đơng với hai hệ sau

( )
2 2
2 2
0 x 2y 1
I :
2x y x 2y
2x y 0

< + <

+ +


+ >

và
( )
2 2
2 2
x 2y 1
II :
2x y x 2y

+ >

+ +


- Rõ ràng nếu
(
)
x; y
là nghiệm của bất phơng trình thì tổng
(
)
2x y
+ lớn nhất chỉ xảy ra khi
nó là nghiệm của hệ
(
)
II

( )
( )
2 2
2
2
x 2y 1
II
1 9
x 1 2y
8

2 2

+ >




+





-
Ta có
( )
1 1 9
2x y 2 x 1 2y
4
2 2 2

+ = + +


.

- p
dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số
1
x 1; 2y

2 2




và
1
2;
2



, ta đợc
( ) ( )
2
2
2
1 1 1 1 9 9 81
2 x 1 2y x 1 2y 4 .
2 8 2 16
2 2 2 2 2




+ + + =

( )
9 1 1 9 9
2 x 1 2y 0 2x y
4 4 2
2 2 2

+ < +



- Du
'' ''
=
xy ra khi v ch khi
9
2x y
2
x 2
9
1
2x y
2y
1
x 1
2
y

2 2
2
1
2
2

+ =

=



+ =



=

=





- Với
1
x 2, y
2
= =
thoă mãn bất phơng trình

2 2
x 2y 1.
+ >

Biờn son: GV HUNH C KHNH
- Vậy trong các nghiệm của bất phơng trình thì nghiệm
1
2;
2



là nghiệm có tổng
(
)
2x y
+
lớn nhất bằng
9
.
2

BAỉI TAP
Gii bt phng trỡnh sau:
1)
(
)
(
)
x

x 3
log log 9 72 1


2)
(
)
( )
3
a
a
log 35 x
3
log 5 x

>

vi
0 a 1
<
.
3)
( )
2
1
1
3
3
1 1
log x 1

log 2x 3x 1
>
+
+
.
4) Trong các nghiệm
(
)
x; y
của bất phơng trình
(
)
2 2
x y
log x y 1
+
+
. Tìm nghiệm có tổng
(
)
x 2y
+ lớn nhất.


BAỉI TAP LUYEN TAP
Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
1)
( ) ( )
x 1 x 3
x 3 x 1

10 3 10 3
+
+
< + (Hc vin GTVT nm 1998)

2)
( )
2
1
1
3
3
1 1
log x 1
log 2x 3x 1
>
+
+
(H Quc gia TPHCM 1999)

3)
(
)
(
)
2 2
4 2
1 log 2x 3x 2 log 2x 3x 2
+ + + > + +
(H Thu li 1999)

4)
2 3 2 3
log x log x 1 log x.log x
+ < + (H NT 1998)
5)
3
2x 3
log 1
1 x


<



(H SP Vinh 1998)
6)
x
1
log x 2
4




(H Hu 1998)
7)
3
x 2
log

x
5 1

<
(H ngõn hng TPHCM 1998)
8)
( )
2
3 1 1
3 3
1
log x 5x 6 log x 2 log x 3
2
+ + >
(H Bỏch khoa H Ni)
9)
(
)
( )
2
2
2
log x 9x 8
2
log 3 x
+
<

(H Tng hp TPHCM 1964)
10)

1
logx x 2
4




(H Hu 1998)
11)
(
)
x x
2
log 7.10 5.25 2x 1
> +
(H Thy sn 1999)
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
12)
(
)
( )
3
loga 35 x
3
loga 5 x
−
>
−
(ðH Y DƯỢC TPHCM)
13)

1 x x 1 x
8 2 4 2 5
+ +
+ − + >

14)
x 1 x x 1
15.2 1 2 1 2
+ +
+ ≥ − +

15)
2 1
1
x x
1 1
3. 12
3 3
+
   
+ >
   
   

16)
x x x
2.14 3.49 4 0
+ − ≥

17)

( ) ( )
x 1
x 1
x 1
5 2 5 2
−
−
+
+ ≥ −
18)
(
)
x x x
2 5 24 5 7 5 7
+ − − ≥ +

19)
( ) ( )
x 3 x 1
x 1 x 3
10 3 10 3
− +
− +
+ < −
20)
(
)
(
)
(

)
(
)
x x
2 3 7 4 3 2 3 4. 2 3
+ + + − > +
21)
(
)
(
)
2x 1 2x 1
2. 3 11 2 3 11 4 3
− −
+ + − ≤
22)
2
2 x 2 x x
3 5x 2x 3x 3x.5 . 3 5x 2x 9 .5
− −
+ − + > + − +

23)
2 x 2 2 x
3x 5x 2 2x 3 .2x. 3x 5x 2 4x .3
− − + + > − − + +

24)
2 3
3

log log x 3 1
− <

25)
(
)
(
)
x
x 9
log log 3 9 1
− ≤

26)
(
)
(
)
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +

27)
(
)
x
x
2

3 2
log 3 2 2.log 2 3 0
+
+ + − >

28)
2
2x
x
log 64 log 16 3
+ ≥

29)
( )
2
2
2
2
x 3
1 1 1
log x 6 2 log
2 12 64
+
− < +

30)
( )
( )
2
3

3
1 1
log x 1
log 2x 3x 1
>
+
− +

31)
( ) ( )
3x 5 6x 2
log 4 log 16 0
− − − −
− ≥

32)
(
)
2
lg x 3x 2
2
lgx lg2
− +
>
+

33)
( ) ( )
2 3
2 3

2
log x 1 log x 1
0
x 3x 4
+ − +
>
− −

34)
(
)
(
)
2 2
x
2 2
2 x 7x 12 1 14x 2x 24 . log
x x
   
+ − + − ≤ − − +
   
   

35)
(
)
( )
2
2
2

log x 9x 8
2
log 3 x
− +
<
−

36)
2 7 2 7
log x 2log x 2 log x.log x
+ ≤ +

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
37)
(
)
(
)
2 2
x 1 x
2 2
2 cosx.log x 6 2cosx 2 .log x 6
+
+ + ≥ + +

38)
1 1
x x
6 6
1

log 3.4 2.9 log 5
x
− −
 
+ + =
 
 

39)
(
)
2 2 2
2 1 4
2
log x log x 3 5 log x 3
+ − > −

40)
2 2
1 1
4 x
log 3 log 1
x 2
>
− −

41)
(
)
2 2

2 2
log x 3 x 1 2log x 0
+ − − + ≤

42)
( ) ( )
25 5 1
5
1
2log x 1 log .log x 1
2x 1 1
 
− ≥ −
 
− −
 

43)
(
)
(
)
2 2
4 2
log 2x 3x 2 1 log 2x 3x 2
+ + + > + +

44)
( )
2

log x 1
2
3 1
2 3
x
log log 2 3
2
1
1
3
−
 
 
 
+ +
 
 
 
 
 
 
≥
 
 

45)
(
)
(
)

2 2
2 3
log x 5x 5 1 log x 5x 7 2
− + + + − + ≤

46)
2
x
4x 2 1
log
x 2 2
 
−
≥
 
 
−
 

47)
(
)
(
)
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +

48)
(
)
2
x 3
log 5x 18x 16 2
− + >

49)
(
)
(
)
2 2
4 2
log 2x 3x 2 1 log 2x 3x 2
+ + + > + +

50)
1 3 x 3 x 1 3 x
8 2 4 2 5
+ − − + −
+ − + >
.
51)
2 2
3
2 2
x x 1 x x 1
x 1 2x 1

log log
2x 1 x 1
− − + −
 
+ +
 
>
 
 
+ +
 
 

52)
(
)
2 3
log 1 x log x
+ >

53)
(
)
2 x 1 2 x 2 2 x x 1
3 x 2 2 3x 2 2
− − − −
+ + > + +

54)
(

)
(
)
(
)
x 1 2 1 x 2 2 x
2 5x 11 2 x 24 x 1 x 9 2
+ − −
+ + − < − − −

55)
2x x x 4 x 4
3 8.3 9.9 0
+ + +
− − ≥

56)
(
)
(
)
2 3 5 7
log log x log log x
≤

57)
(
)
(
)

2 2
9 3
log 3x 4x 2 1 log 3x 4x 2
+ + + > + +

58)
1 1
2
2 2 2
log x log x
log x
3 x 2 6x
+ >
.

HẾT



Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH


1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
- §Ỉt ®iỊu kiƯn cho c¸c biĨu thøc trong hƯ cã nghÜa
-
Sư dơng c¸c phÐp thÕ ®Ĩ nhËn ®−ỵc tõ hƯ mét ph−¬ng tr×nh theo Èn x hc y (®«i khi lµ theo
c¶ hai Èn x vµ y)

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:
( )

1 4
4
2 2
1
log y x log 1
y
x y 25

− − =



+ =


Lời giải:
- ðiều kiện:
y 0
y x
>


>


- Víi ®iỊu kiƯn trªn hƯ t−¬ng ®−¬ng víi
(
)
4 4
2 2

log y x log y 1
x y 25

− − + =

+ =



( ) ( )
4 4
2
2 2 2 2
2
4x
x 3
y
3
log y log y x .4 y y x .4
x 3

x y 25 x y 25
4x
4x
x 25
y
3
3

=


=




= − = −
= −
  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ = + =
 


 

+ =
=
 
 
 
 

+ Víi
x 3
=
suy ra
y 4

=
(tmđk)
+ Víi
x 3
= −
suy ra
y 4
= −
(kh«ng
tm
đ
k
)
-
VËy hƯ cã nghiƯm
(
)
(
)
x; y 3; 4
= .

Ví dụ 2.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:

x y
x y
2 .3 12
3 .2 18

=

=


Lời giải:
-
L«garit c¬ sè
2
c¶ hai vÕ cđa hai ph−¬ng tr×nh trong hƯ ta đượ
c
2 2
2 2
x y.log 3 2 log 3
x.log 3 y 1 2.log 3
+ = +


+ = +


®©y lµ hƯ ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn
- Ta cã
2
2

2
2
1 log 3
D 1 log 3 0
log 3 1
= = − ≠


2 2
2
x 2
2
2 log 3 log 3
D 2 2log 3
1 2log 3 1
+
= = −
+



2
2
y 2
2 2
1 2 log 3
D 1 log 3
log 3 1 2log 3
+
= = −

+

CHUYÊN ĐỀ 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ – LOGARIT
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
- Suy ra hÖ cã nghiÖm
x
y
D
x 2
D
D
y 1
D

= =




= =


.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
( )
3 2
2 2 2
2log y log x 1

log y log x 1 .log 3
= +


= −


Lời giải:
- ðiều kiện:
x 0, y 0.
> >

-
HÖ ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi
3 2
2
2
2
2log y log x 1
log y
log x 1
log 3
= +



= −



3 2 2
3 2 3
2log y log x 1 log x 3
x 9

log y log x 1 log 2
y 8
y
= + =

=


⇔ ⇔ ⇔
  
= − =
=




-
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm
(
)
(
)
x; y 9; 8
= .

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:
2 4 4
3 9 9
4 16 16
log x log y log z 2
log y log x log z 2
log z log x log y 2
+ + =


+ + =


+ + =


Lời giải:
- ðiều kiện:
x 0, y 0, z 0
> > >
.
- Khi ñó hệ phương trình ñã cho tương ñương
(
)
( )
( )
(
)
( )

( )
2 2 4
2
4
4 4 4
2 2 2 4
9 9 9 9
2
2 2 4
16 16 16
16
log x yz 2 x yz 2
log x log y log z 2
log y log x log z 2 log xy z 2 xy z 3
log z log x log y 2
log xyz 2 xyz 4
 
= =

+ + =
 

 
+ + = ⇔ = ⇔ =
  
  
+ + =
= =

 

 

- Từ ñó suy ra
(
)
4
4 4 4 4
xyz 2 .3 .4 24
= = vì
xyz 0
>
nên
xyz 24
=
. Từ ñó suy ra
2 27 32
x ; y ; z .
3 8 3
= = =


Ví dụ 5. Tìm k ñể hệ bất phương trình có nghiệm:
( )
3
3
2
2 2
x 1 3x k 0 (1)
1 1
log x log x 1 1 (2)

2 3

− − − <


+ − ≤



Lời giải:
- Tõ bÊt ph−¬ng tr×nh (2) trong hÖ suy ra
(
)
3
x 1 0 x 1.
− > ⇔ >


(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 log x log x 1 1 log ( 1) 1 x x 1 2 1 x 2
x x
⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ < ≤

- Víi

1 x 2
< ≤
th×
(
)
(
)
3
1 x 1 3x k
⇔ − − <
.
- XÐt hµm sè
(
)
(
)
3
x x 1 3x
f
= − −
víi
1 x 2
< ≤
.

(
)
(
)
2

' x 3x 6x, ' x 0 x 0 x 2
f f
= − = ⇔ = ∨ =

Ta cã b¶ng biÕn thiªn