Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - phần 6 potx

Hm s lu tha m logarit Trn S Tựng
Trang 70




ã Khi gii cỏc bt phng trỡnh m ta cn chỳ ý tớnh n iu ca hm s m.

()()
1
()()
01
()()
fxgx
a
fxgx
aa
a
fxgx
ộ
ỡ
>
ớ
ờ
>
ợ
>
ờ
ỡ
<<
ờ

ớ
ờ
<
ợ
ở

ã Ta cng thng s dng cỏc phng phỏp gii tng t nh i vi phng trỡnh m:
a v cựng c s.
t n ph.
.
Chỳ ý: Trong trng hp c s a cú cha n s thỡ:

(1)()0
MN
aaaMN
> >


Baứi 1. Gii cỏc bt phng trỡnh sau (a v cựng c s):
a)
2
1
2
1
3
3
xx
xx

-

ổử

ỗữ
ốứ
b)
63
211
11
22
xxx
-+-
ổửổử
<
ỗữỗữ
ốứốứ

c)
23412
22255
xxxxx
+++++
>-
d)
12
33311
xxx
+-<

e)
22

3232
960
xxxx-+-+
-<
f)

13732
3.26
-++
<
xxx

g)
222
212
4.23.2.2812
xxx
xxxx
+
++>++
h)
93.3.23.3.6
212
++<++
+
xxxx
xxx

i)
1212

999444
xxxxxx
++++
++<++
k)

1342
7.3535
xxxx
++++
+Ê+

l)
212
2525
xxxx
+++
+<+
m)
1 2
2.3 36
xx-+
>

n)
( ) ( )
31
13
103103
xx

xx
-+
-+
+<- o)
( ) ( )
1
1
2121
x
x
x
+
-
+-
p)
2
1
2
1
2
2
x
xx
-
-
Ê q)
1
1
21
31

22
x
x
-
+


Baứi 2. Gii cỏc bt phng trỡnh sau (t n ph):
a)
2.143.4940
xxx
+-
b)
11
12
4230
xx

Ê

c)
2
(2)
2(1)
3
42852
x
xx
-
-

-+>
d)
44
1
8.399
xxxx
++
+>
e)
25.210525
xxx
-+>
f)
211
56305.30
xxxx
++
+>+

g)
62.33.260
xxx
+
h)
27122.8
xxx
+>

i)
111

493525
xxx
-Ê
k)
121
2
32120
x
xx++
<

l)
222
21212
25934.25
xxxxxx
-+-+-
+
m)
09.93.83
442
>
+++ xxxx

o)
1 1 1
45.2160
xxxx+-+-+
-+
p)

( ) ( )
32322
x
x
++-Ê

r)
21
1
11
312
33
xx
+
ổửổử
+>
ỗữỗữ
ốứốứ
s)
31
11
1280
48
xx-
ổửổử

ỗữỗữ
ốứốứ

t)

11
12
229
xx
+-
+<
u)
(
)
22 1
29.24.230
xx
xx
+
-++-

VII. BT PHNG TRèNH M
Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 71

Baøi 3. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a)
2
231
x
x
<+
b) 0
1
2

122
1
£
-
+-
-
x
xx

c) 1
2
3
23.2
2
£
-
-
+
xx
xx
d)
424
3213
xx++
+>

e)
2
332
0

42
x
x
x
-
+-
³
-
f)
2
34
0
6
x
x
xx
+-
>


g)
( )
2
22x
3x522x3.2x3x522x3
x
xx ++> ++
Baøi 4. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:
a)
4.230

xx
mm
-++£
b)
9.330
xx
mm
-++£

c) 2722
xx
m
++-£
d)
( ) ( )
22
1
21210
xx
m
-
++-+=

Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:
a)
(31).12(2).630
xxx
mm
++-+<
, "x > 0. b)

1
(1)4210
xx
mm
+
-+++>
, "x.
c)
( )
.9216.40
xxx
mmm
-++£
, "x Î [0; 1]. d)
2
.9(1).310
xx
mmm
+
+-+->
, "x.
e)
( )
coscos
2
42212430
xx
mm
+++-<
, "x. f)

1
43.20
xx
m
+
³
, "x.
g)
420
xx
m
³
, "x Î (0; 1) h) 3353
xx
m
++-£
, "x.
i)
2.25(21).10(2).40
xxx
mm
-+++³
, "x ³ 0. k)
1
4.(21)0
xx
m
-
-+>
, "x.

Baøi 6. Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
a)
( ) ( )
21
1
2
2
11
312(1)
33
23610(2)
xx
mxmxm
+
ì
æöæö
ï
ï
+>
ç÷ç÷
í
èøèø
ï
<
ï
î
b)
21
1
22

228(1)
42(1)0(2)
xx
xmxm
+
ì
ï
->
í
ï
<
î

c)
21
2
29.240(1)
(1)(3)10(2)
xx
mxmx
+
ì
ï
-+£
í
++++>
ï
î
d)
( )

21
2
2
11
9.12(1)
33
22230(2)
xx
xmxm
+
ì
æöæö
ï
ï
+>
ç÷ç÷
í
èøèø
ï
+++-<
ï
î

Hm s lu tha m logarit Trn S Tựng
Trang 72



ã Khi gii cỏc bt phng trỡnh logarit ta cn chỳ ý tớnh n iu ca hm s logarit.

1
()()0
log()log()
01
0()()
aa
a
fxgx
fxgx
a
fxgx
ộ

ỡ
>
ớ
ờ
>>
ợ
>
ờ
ỡ
<<
ờ
ớ
ờ
<<
ợ
ở

ã Ta cng thng s dng cỏc phng phỏp gii tng t nh i vi phng trỡnh
logarit:
a v cựng c s.
t n ph.
.
Chỳ ý: Trong trng hp c s a cú cha n s thỡ:

log0(1)(1)0
a
BaB
> >
;
log

0(1)(1)0
log
a
a
A
AB
B
> >


Baứi 1. Gii cỏc bt phng trỡnh sau (a v cựng c s):
a) )1(log1)21(log
5
5
++<- xx b)
(
)
29
log12log1
x
-<

c)
( )
11
33
log5log3
xx
-<-
d)

215
3
logloglog0
x
>

e)

0)
1
21
(loglog
2
3
1
>
+
+
x
x
f)
(
)
2
1
2
4log0
xx
->

g)
(
)
2
14
3
loglog50
x
ộự
->
ởỷ
h)
2
66
loglog
612
xx
x
+Ê

i)
(
)
(
)
22
log31log1
xx
++-
k)

( )
2
2
2
log
log
2
x
x
x+

l)
31
2
loglog0
x
ổử

ỗữ
ốứ
m)
81
8
2
2log(2)log(3)
3
xx
-+->

n)
(
)
(
)
22
1531
35
loglog1loglog1
xxxx
ộựộự
++>+-
ởỷ
ờỳ
ờỳ
ởỷ

Baứi 2. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
a)
(
)
( )
2
lg1
1
lg1
x
x
-
<

-
b)
( ) ( )
23
23
2
log1log1
0
34
xx
xx
+-+
>


c)
(
)
2
lg32
2
lglg2
xx
x
-+
>
+
d)
2
2

5log2loglog
180
x
xx
xx
-
+-<

e)

0
1
13
log
2
>
+
-
x
x
x
f)

2
3232
log.logloglog
4
x
xxx<+
g)

4
log(log(24))1
x
x
-Ê
h)
2
3
log(3)1
xx
x
-
->

i)
(
)
2
5
log8160
x
xx
-+
k)
(
)
2
2
log561
x

xx
-+<

VIII. BT PHNG TRèNH LOGARIT
Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 73

l)
62
3
1
loglog0
2
x
x
x
+
æö
-
>
ç÷
+
èø
m)
(
)
(
)
2
1

1
log1log1
x
x
xx
-
-
+>+

n)
2
3
(4167).log(3)0
xxx
-+->
o)
2
(412.232).log(21)0
xx
x
-+-£

Baøi 3. Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a)
2
log2log430
x
x
+-£
b)

(
)
(
)
5
5
log121log1
xx
-<++

c)
5
2loglog1251
x
x
-<
d)
2
2
log64log163
x
x
+³

e)
22
log2.log2.log41
xx
x
>

f)
22
11
24
loglog0
xx
+<

g)

42
2
222
loglog2
1log1log1log
xx
xxx
+>
-+-
h) 1
log2
2
log4
1
22
£
-
+
+ xx

i) 08log6log
2
2
2
1
£+- xx k)
2
333
log4log92log3
xxx
-+³-

l) )243(log1)243(log
2
3
2
9
++>+++ xxxx m)
55
12
1
5log1logxx
+<
-+

n)
2
11
88
19log14log

xx
->- o)
100
1
log100log0
2
x
x
->

p)
2
3
3
1log
1
1log
x
x
+
>
+
q)
2
16
1
log2.log2
log6
xx
x

>
-

Baøi 4. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a)
2
0,50,5
( x 1)log(25)log60
xxx
++++³
b) 2)24(log)12(log
32
£+++
xx

c)
( ) ( )
23
32
log1log1
xx
>
++
d)
5
lg
5
0
231
x

x
x
x
+
-
<
-+

Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:
a)
(
)
2
1/2
log23
xxm
-+>-
b)
1
log100log1000
2
xm
->

c)
12
1
5log1log
mm
xx

+<
-+
d)
2
1log
1
1log
m
m
x
x
+
>
+

e)
22
loglog
xmx
+> f)
22
log(1)log(2)
xmxm
xxx

->+-

Baøi 6. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:
a)
(

)
(
)
22
22
log77log4
xmxxm
+³++
, "x
b)
(
)
(
)
52log42log
2
2
2
2
£+-++- mxxmxx , "x Î[0; 2]
c)
22
55
1log(1)log(4)
xmxxm
++³++
, "x.
d)
2
111

222
2log21log21log0
111
mmm
xx
mmm
æöæöæö
+-+>
ç÷ç÷ç÷
ç÷ç÷ç÷
+++
èøèøèø
, "x
Baøi 7. Giải bất phương trình, biết x = a là một nghiệm của bất phương trình:
a)
(
)
(
)
22
log2log23;9/4
mm
xxxxa >-++=.
b).
22
log(23)log(3);1
mm
xxxxa
++£-=

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng
Trang 74

Baøi 8. Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
a)
22
11
24
22
loglog0(1)
60(2)
xx
xmxmm
ì
+<
ï
í
ï
+++<
î
b)
2
24
log(583)2(1)
210(2)
x
xx
xxm
ì
-+>ï

í
-+->
ï
î

Baøi 9. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
2
2
4
0
1664
lg7lg(5)2lg2
x
xx
xx
ì
+
>ï
í
-+
ï
+>
î
b)
( )
(
)
(
)

( )
1
1lg2lg21lg7.212
log22
xx
x
x
x
+
ì
-++<+
ï
í
+>
ï
î

c)
(
)
( )
2
4
log20
log220
x
y
y
x
-

-
ì
->
ï
í
->
ï
î
d)
1
2
log(5)0
log(4)0
x
y
y
x
-
+
ì
+<
ï
í
-<
ï
î

Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 75




Baøi 1. Giải các phương trình sau:
a)
211
1
2.4
64
8
xx
x
-+
-
=
b)
3182
93
xx

=

c)

0,5
0,2(0,04)
25
5
xx
+
=
d)
2
12119
595
.
3253
xxx++-
æöæöæö
=
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø

e)
211
1
7.714.72.748
7
xxxx++-
+=
f)
(
)
2

7,23,9
393lg(7)0
xx
x
-+
=

g)
2
1
1
3
2
2(2)4
x
x
x
-
+
æö
ç÷
=
èø
h)
1
5.8500
x
xx-
=
i)

2
1
1lg
3
3
1
100
x
x
-
= k)
lg2
1000
x
xx
=

l)
lg5
5lg
3
10
x
x
x
+
+
=
m)
( )

3
log1
3
x
x
-
=

Baøi 2. Giải các phương trình sau:
a)
22
22
49.280
xx++
-+=
b)
22
515
412.280
xxxx
-+=

c)
64.984.1227.160
xxx
-+=
d)
13
3
642120

xx
+
-+=

e)
22
13
936.330
xx
-+=
f)
4825
2
34.3282log2
xx++
-+=
g)
2122(1)
3316.33
xxxx
+++
=+-+ h)
( ) ( )
52452410
xx
++-=

i)
33
1log1log

932100
xx++
=
k)
2
lg1lglg2
462.30
xxx++
=

l)
22
sincos
24.26
xx
+=
m)
lg(tan)lg(cot)1
32.31
xx+
-=

Baøi 3. Giải các bất phương trình sau:
a)
65
25
225
54
x
x

-
+
æö
<
ç÷
èø
b)
1
1
21
2
21
x
x
-
+
-
<
+

c)
22
.550
xx
x
+
-<
d)
2
lg3lg1

1000
xx
x
-+
>

e)
424
2
1
x
x
x
+-
£
-
f)
2
32
8.1
3
32
x
x
xx
-
æö
>+
ç÷
èø

-

g)
23412
22255
xxxxx
+++++
>-
h)
2
2
log(1)
1
1
2
x -
æö
>
ç÷
èø

i)
2
2
1
9
3
x
x
+

-
æö
>
ç÷
èø
k)
12
2
11
3
27
x
x
+-
æö
>
ç÷
èø

l)
21
3
1
11
55
x
x
+
-
-

æöæö
>
ç÷ç÷
èøèø
m)
72
11
3 1
33
xx
æöæö
>
ç÷ç÷
èøèø

IX. ÔN TẬP HÀM SỐ
LU
Ỹ
TH
Ừ
A
–
M
Ũ

–
LOGARIT

Hm s lu tha m logarit Trn S Tựng
Trang 76

Baứi 4. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
a)
2
42.5100
xxx
>
b)
1
25550
xx +
-

c)
111
9.45.64.9
xxx

+<
d)
2
lg2lg5
332
xx++
<-

e)
1
4
4162log8

xx+
-< f)
23
21
1
221.20
2
x
x
+
+
ổử
-+
ỗữ
ốứ

g)
2(2)
2(1)
3
42852
x
xx
-
-
-+>
h)
23
43
1

335.60
3
x
x
-
-
ổử
-+
ỗữ
ốứ

i)
2
9339
xxx+
->-
k)
93293
xxx
+--

Baứi 5. Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
3
log(38)2
x
x
-=-
b)
2

5
log(265)2
x
xx
-
-+=

c)
77
log(21)log(27)1
xx
-+-=
d)
33
log(1log(27))1
x
+-=

e)
3
loglg
2
3lglg30
x
xx
-+-=
f)
3
log(12)
2

955
x
x
-
=-

g)
1lg
10
x
xx
+
=
h)
( )
5
log1
5
x
x
-
=

i)
22
lglg2
lg
lg
2
xx

x
x
+-
ổử
=
ỗữ
ốứ
k)
lg7
lg1
4
10
x
x
x
+
+
=

l)
39
1
loglog92
2
x
xx
ổử
++=
ỗữ
ốứ

m)
33
33
2log1log
71
xx
xx

+=


Baứi 6. Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)
( )
2
2log53log510
xx
-+=
b)
1/31/3
log3log20
xx
-+=

c)
2
22
log2log20
xx
+-=

d)
13
32log32log(1)
x
x
+
+=+

e)
(
)
22
3
log9.log4
x
xx
=
f)
(
)
2
31/21/2
loglog3log52
xx
-+=

g)
222
lg(100)lg(10)lg6
xxx

-+=
h)
22
222
9
log(2).log(16)log
2
xxx
=
i)
33
log(99)log(282.3)
xx
x+=+- k)
1
222
log(44)log2log(23)
xxx+
+=+-

l)
33
22
log(251)2log(51)
xx++
-=++
m)
lg(6.525.20)lg25
xx
x+=+

Baứi 7. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
a)
2
0,5
log(56)1
xx
-+>-
b)
7
26
log0
21
x
x
-
>
-

c)
33
loglog30
xx
<
d)
1/3
23
log1
x
x
-

-

e)
1/41/4
2
log(2)log
1
x
x
->
+
f)
2
1/34
loglog(5)0
x
ộự
->
ởỷ

g)
2
2
1/2
4
0
log(1)
x
x
-

<
-
h)
2
log(1)
0
1
x
x
+
>
-

i)
9
loglog(39)1
x
x
ộự
-<
ởỷ
k)
2
23
log1
x
x
+
<

l)
2
2
log(815)
21
x
xx
-
++
<
m)
1/3
2
5
log
3
(0,5)1
x
x
+
+
>

Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 77

Baøi 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
2
()1

41
5125
xy
xy

+
ì
ï
=
í
=
ï
î
b)
323
4128
51
xy
xy
+

ì
ï
=
í
=
ï
î
c)
2212

5
xy
xy
ì
+=
í
+=
î

d)
3.22.32,75
230,75
xx
xy
ì
ï
+=
í
-=-
ï
î
e)
7160
4490
x
x
y
y
ì
ï

-=
í
-=
ï
î
f)
3
3.2972
log()2
xy
xy
ì
ï=
í
-=
ï
î

g)
5
43.416
2128
xyx
yy
xy
-
ì
ï
-=
í

ï
-=-
î
h)
2
/2
3277
327
xy
xy
ì
ï
-=
í
-=
ï
î
i)
(
)
( )
2
2
2
2
21
96
yx
xy
xy

xy
-
-
ì
+=ï
í
+=
ï
î

Baøi 9. Giải các hệ phương trình sau:
a)
42
22
loglog0
540
xy
xy
ì
-=
í
-+=
î
b)
( )
8
2loglog5
yx
xy
xy

ì
=
ï
í
+=
ï
î
c)
lg
2
20
y
x
xy
ì
=
í
=
î

d)
22
24
log2log3
16
xy
xy
ì
+=
í

+=
î
e)
333
112
15
loglog1log5
xy
xy
ì
-=
ï
í
ï
+=+
î
f)
5
7
log2
log
log3
log
3
2
x
y
y
x
y

x
ì
ï
=
í
=
ï
î

g)
22
lg()1lg13
lg()lg()3lg2
xy
xyxy
ì
+-=
í
+ =
î
h)
22
2
2
9
8
loglog3
xy
yx
xy

ì
+=
ï
í
ï
+=
î
i)
2
3.2576
log()4
xy
yx
ì
ï=
í
-=
ï
î

k)
2
1
22
2log315
3.log2log3
y
yy
x
xx

+
ì
-=
ï
í
=+
ï
î
l)
33
432
log()1log()
xy
yx
xyxy
+
ì
ï
=
í
ï
-=-+
î
m)

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.


Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 78







1. Khái niệm nguyên hàm
· Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

'()()
Fxfx
=
, "x Î K
· Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
()()
fxdxFxC

=+
ò
, C Î R.
· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
· '()()
fxdxfxC
=+
ò
·
[
]
()()()()
fxgxdxfxdxgxdx
±=±
òòò

·
()()(0)
kfxdxkfxdxk
=¹
òò

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp


4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu ()()
fuduFuC

=+
ò
và
()
uux
=
có đạo hàm liên tục thì:

[
]
[
]
().'()()
fuxuxdxFuxC
=+
ò

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

udvuvvdu
=-
òò




CH
ƯƠ
NG III

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. NGUYÊN HÀM
· 0
dxC
=
ò

·
dxxC
=+
ò

·
1
,(1)
1
x
xdxC
+
=+¹-
+
ò
a
a
a
a

·
1

ln
dxxC
x
=+
ò

·
xx
edxeC
=+
ò

·
(01)
ln
x
x
a
adxCa
a
=+<¹
ò

· cossin
xdxxC
=+
ò

· sincos
xdxxC

=-+
ò

·
2
1
tan
cos
dxxC
x
=+
ò

·
2
1
cot
sin
dxxC
x
=-+
ò

·
1
cos()sin()(0)
axbdxaxbCa
a
+=++¹
ò

·
1
sin()cos()(0)
axbdxaxbCa
a
+=-++¹
ò

·
1
,(0)
axbaxb
edxeCa
a
++
=+¹
ò

·
11
ln
dxaxbC
axba
=++
+
ò


Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân

Trang 79

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.


Baøi 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2
1
()–3fxxx
x
=+
b)
4
2
23
()
x
fx
x
+
= c)
2
1
()
x

fx
x
-
=
d)
22
2
(1)
()
x
fx
x
-
= e)
34
()
fxxxx
=++ f)
3
12
()fx
xx
=-

g)
2
()2sin
2
x
fx= h)

2
()tan
fxx
= i)
2
()cos
fxx
=
k)
22
1
()
sin.cos
fx
xx
= l)
22
cos2
()
sin.cos
x
fx
xx
= m)
()2sin3cos2
fxxx
=

n)
(

)
()– 1
xx
fxee= o)
2
()2
cos
x
x
e
fxe
x
-
æö
=+
ç÷
ç÷
èø
p)
31
()
x
fxe
+
=
Baøi 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a)
3
()45;(1)3
fxxxF

=-+=
b)
()35cos;()2
fxxF
=-=
p

c)
2
35
();()1
x
fxFe
x
-
==
d)
2
13
();(1)
2
x
fxF
x
+
==

e)
3
2

1
()=;(2)0
x
fxF
x
-
-=
f)
1
();(1)2
fxxxF
x
=+=-

g)
()sin2.cos;'0
3
fxxxF
æö
==
ç÷
èø
p
h)
43
2
325
();(1)2
xx
fxF

x
-+
==

i)
xxx
fxF
x
32
2
337
();(0)8
(1)
++-
==
+
k)
x
fxF
2
()sin;
224
pp
æö
==
ç÷
èø

Baøi 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a)

2
()cos;()sin;3
2
gxxxxfxxxF
æö
=+==
ç÷
èø
p

b)
2
()sin;()cos;()0
gxxxxfxxxF
=+==
p

c)
2
()ln;()ln;(2)2
gxxxxfxxF
=+==-

Baøi 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
()(45)
()(41)
x
x
Fxxe

fxxe
ì
ï
=-
í
=-
ï
î
b)
4
53
()tan35
()4tan4tan3
Fxxx
fxxx
ì
ï
=+-
í
=++
ï
î

c)
2
2
22
4
()ln
3

2
()
(4)(3)
x
Fx
x
x
fx
xx
ì
æö
+
ï=
ç÷
ç÷
ï
+
èø
í
-
ï
=
ï
++
î
d)
2
2
2
4

21
()ln
21
22(1)
()
1
xx
Fx
xx
x
fx
x
ì
-+
=
ï
ï
++
í
-
ï
=
ï
+
î


Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 80

Baøi 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
32
2
()(32)43

()3104
Fxmxmxx
Tìmm
fxxx
ì
ï
=++-+
í
=+-
ï
î
b)
2
2
()ln5

23
()
35
Fxxmx
Tìmm
x
fx
xx

ì
=-+
ï
+
í
=
ï
++
î

c)
22
2
()()4
.,,.
()(2)4
Fxaxbxcxx
Tìmabc
fxxxx
ì
ï
=++-
í
= ï
î
d)
2
()()
.,,.
()(3)

x
x
Fxaxbxce
Tìmabc
fxxe
ì
ï
=++
í
=-
ï
î

e)
22
22
()()
.,,.
()(287)
x
x
Fxaxbxce
Tìmabc
fxxxe
-
-
ì
ï
=++
í

= +
ï
î
f)
2
2
()()
.,,.
()(32)
x
x
Fxaxbxce
Tìmabc
fxxxe
-
-
ì
ï
=++
í
=-+
ï
î

g)
bc
Fxaxxx
fxx
Tìmabc
()(1)sinsin2sin3

23
()cos
,,.
ì
ï
=+++
í
ï
=
î
h)
Fxaxbxcx
xx
fx
x
Tìmabc
2
2
()()23
20307
()
23
,,.
ì
=++-
ï
-+í
=
ï
-

î


VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
()
fxdx
ò
bằng phương pháp đổi biến số
·
Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) =
[
]
().'()
guxux
thì ta đặt
()'()
tuxdtuxdx
=Þ=
.
Khi đó:
()
fxdx
ò
=
()
gtdt
ò
, trong đó
()
gtdt

ò
dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính
()
gtdt
ò
theo t, ta phải thay lại t = u(x).
·
Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:


Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
a)
xdx
10
(51)-
ò
b)
5
(32)
dx
x
-
ò
c)
xdx
52-
ò

d)

27
(21)
xxdx
+
ò
e)
342
(5)
xxdx
+
ò
f)
2
5
x
dx
x
+
ò

g)
2
1.
xxdx
+
ò
h)
2
3
3

52
x
dx
x+
ò
i)
2
(1)
dx
xx
+
ò

k)
4
sincos
xxdx
ò
l)
5
sin
cos
x
dx
x
ò
m)
2
tan
cos

xdx
x
ò

n)
3
x
x
edx
e
-
ò
o)
2
1
.
x
xedx
+
ò
p)
x
e
dx
x
ò

f(x) có chứa Cách đổi biến
22
ax

-
sin,
22
xatt
=-££
pp

hoặc cos,0xatt
=££
p

22
ax
+
hoặc
ax
22
1
+

tan,
22
xatt
=-<<
pp

hoặc cot,0xatt
=<<
p

Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 81

q)
3
ln
x
dx
x
ò
r)
1
x
dx
e
+
ò
s)
tan
2
cos
x
e
dx
x
ò

Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
a)

23
(1)
dx
x-
ò
b)
23
(1)
dx
x+
ò
c)
2
1.
xdx
-
ò

d)
2
4
dx
x
-
ò
e)
22
1.
xxdx
-

ò
f)
2
1
dx
x
+
ò

g)
2
2
1
xdx
x
-
ò
h)
2
1
dx
xx
++
ò
i)
32
1.
xxdx
+
ò

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:


Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) .sin
xxdx
ò
b) cos
xxdx
ò
c)
2
(5)sin
xxdx
+
ò

d)
2
(23)cos
xxxdx
++
ò
e) sin2
xxdx
ò

f) cos2
xxdx
ò

g) .
x
xedx
ò
h)
2
3 x
xedx
ò
i) ln
xdx
ò

k) ln
xxdx
ò
l)
2
ln
xdx
ò
m)
2
ln(1)
xdx
+

ò

n)
2
tan
xxdx
ò
o)
22
cos
xxdx
ò
p)
2
cos2
xxdx
ò

q)
2
ln(1)
xxdx
+
ò
r) .2
x
xdx
ò
s) lg
xxdx

ò

Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau:
a)
x
edx
ò
b)
ln
xdx
x
ò
c) sin
xdx
ò

d) cos
xdx
ò
e) .sin
xxdx
ò
f)
3
sin
xdx
ò

g)
ln(ln)

x
dx
x
ò
h)
sin(ln)
xdx
ò
i)
cos(ln)
xdx
ò

Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) .cos
x
exdx
ò
b)
2
(1tantan)
x
exxdx
++
ò
c) .sin2
x
exdx
ò

d)
2
ln(cos)
cos
x
dx
x
ò
e)
2
ln(1)
x
dx
x
+
ò
f)
2
cos
x
dx
x
ò

g)
(
)
2
2
ln1

1
xxx
dx
x
++
+
ò
h)
3
2
1
x
dx
x+
ò
i)
2
ln x
dx
x
æö
ç÷
èø
ò




().
x

Pxedx
ò

().cos
Pxxdx
ò
().sin
Pxxdx
ò

().ln
Pxxdx
ò

u P(x) P(x) P(x) lnx
dv
x
edx

cos
xdx

sin
xdx
P(x)dx

Nguyờn hm Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 82

VN 4: Tớnh nguyờn hm bng phng phỏp dựng nguyờn hm ph

xỏc nh nguyờn hm ca hm s f(x), ta cn tỡm mt hm g(x) sao cho nguyờn hm ca
cỏc hm s f(x)

g(x) d xỏc nh hn so vi f(x). T ú suy ra nguyờn hm ca f(x).
Bc 1: Tỡm hm g(x).
Bc 2: Xỏc nh nguyờn hm ca cỏc hm s f(x)

g(x), tc l:

1
2
()()()
(*)
()()()
FxGxAxC
FxGxBxC
ỡ
+=+
ớ
-=+
ợ

Bc 3: T h (*), ta suy ra
[ ]
1
()()()
2
FxAxBxC
=++
l nguyờn hm ca f(x).

Baứi 1. Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a)
sin
sincos
x
dx
xx
-
ũ
b)
cos
sincos
x
dx
xx
-
ũ
c)
sin
sincos
x
dx
xx
+
ũ

d)
cos
sincos

x
dx
xx
+
ũ
e)
4
44
sin
sincos
x
dx
xx
+
ũ
f)
4
44
cos
sincos
x
dx
xx
+
ũ

g)
2
2sin.sin2
xxdx

ũ
h)
2
2cos.sin2
xxdx
ũ
i)
x
xx
e
dx
ee
-
-
ũ

k)
x
xx
e
dx
ee
-
-
-
ũ
l)
x
xx
e

dx
ee
-
+
ũ
m)
x
xx
e
dx
ee
-
-
+
ũ



VN 5: Tớnh nguyờn hm ca mt s hm s thng gp
1. f(x) l hm hu t:
()
()
()
Px
fx
Qx
=
Nu bc ca P(x)

bc ca Q(x) thỡ ta thc hin phộp chia a thc.

Nu bc ca P(x) < bc ca Q(x) v Q(x) cú dng tớch nhiu nhõn t thỡ ta phõn tớch
f(x) thnh tng ca nhiu phõn thc (bng phng phỏp h s bt nh).
Chng hn:
1
()()
AB
xaxbxaxb
=+



2
22
1
,40
()()
ABxC
vụựibac
xm
xmaxbxcaxbxc
+
=+=-<
-
-++++
D


2222
1
()()()()

ABCD
xaxb
xaxbxaxb
=+++



2. f(x) l hm vụ t
+ f(x) = ,
m
axb
Rx
cxd
ổử
+
ỗữ
+
ốứ

đ
t
m
axb
t
cxd
+
=
+

+ f(x) =

1
()()
R
xaxb
ổử
ỗữ
ỗữ
++
ốứ

đ
t
txaxb
=+++


ã
f(x) l hm lng giỏc
Ta s dng cỏc phộp bin i lng giỏc thớch hp a v cỏc nguyờn hm c bn.
Chng hn:
Trn S Tựng Nguyờn hm Tớch phõn
Trang 83

+
[
]
sin()()
11
.
sin().sin()sin()sin().sin()

xaxb
xaxbabxaxb
+-+
=
++-++
,
sin()
1
sin()
ab
sửỷduùng
ab
ổử
-
=
ỗữ
-
ốứ

+
[
]
sin()()
11
.
cos().cos()sin()cos().cos()
xaxb
xaxbabxaxb
+-+
=

++-++
,
sin()
1
sin()
ab
sửỷduùng
ab
ổử
-
=
ỗữ
-
ốứ

+
[
]
cos()()
11
.
sin().cos()cos()sin().cos()
xaxb
xaxbabxaxb
+-+
=
++-++
,
cos()
1

cos()
ab
sửỷduùng
ab
ổử
-
=
ỗữ
-
ốứ

+ Nu
(sin,cos)(sin,cos)
RxxRxx
-=-
thỡ t t = cosx
+ Nu
(sin,cos)(sin,cos)
RxxRxx
-=-
thỡ t t = sinx
+ Nu
(sin,cos)(sin,cos)
RxxRxx
=-
thỡ t t = tanx (hoc t = cotx)

Baứi 1. Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a)
(1)

dx
xx
+
ũ
b)
(1)(23)
dx
xx
+-
ũ
c)
2
2
1
1
x
dx
x
+
-
ũ

d)
2
710
dx
xx
-+
ũ
e)

2
69
dx
xx
-+
ũ
f)
2
4
dx
x
-
ũ

g)
(1)(21)
x
dx
xx++
ũ
h)
2
232
x
dx
xx

ũ
i)
3

2
32
x
dx
xx
-+
ũ

k)
2
(1)
dx
xx
+
ũ
l)
3
1
dx
x
+
ũ
m)
3
1
x
dx
x
-
ũ

Baứi 2. Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a)
1
11
dx
x++
ũ
b)
1
2
x
dx
xx
+
-
ũ
c)
3
1
11
dx
x++
ũ

d)
4
1
dx
xx

+
ũ
e)
3
x
dx
xx
-
ũ
f)
(1)
x
dx
xx+
ũ

g)
34
2
dx
xxx
++
ũ
h)
1
1
xdx
xx
-
+

ũ
i)
3
1
1
xdx
xx
-
+
ũ

k)
2
3
(21)21
dx
xx
+-+
ũ
l)
2
56
dx
xx
-+
ũ
m)
2
68
dx

xx
++
ũ

Baứi 3. Tớnh cỏc nguyờn hm sau:
a) sin2sin5
xxdx
ũ
b) cossin3
xxdx
ũ
c)
24
(tantan)
xxdx
+
ũ

d)
cos2
1sincos
x
dx
xx
+
ũ
e)
2sin1
dx
x

+
ũ
f)
cos
dx
x
ũ

g)
1sin
cos
x
dx
x
-
ũ
h)
3
sin
cos
x
dx
x
ũ
i)
coscos
4
dx
xx
ổử

+
ỗữ
ốứ
ũ
p

k) coscos2cos3
xxxdx
ũ
l)
3
cos
xdx
ũ
m)
4
sin
xdx
ũ