bài tóan hình học phẳng qua cách giải bằng góc định hướng

Cáikhó, khôngthấyđượcgiảinóbằnggócđịnhhướng.
Khiđãthấy, tathấytoánhọcsaomàhấpdẫnlạ!
I.CÁCĐỊNHNGHĨA
1.Gócđịnhhướngcủahaivectơchunggốc.
Kíhiệu :
(
)
OB OA, .
OA
:làvectơđầu;
OB
:làvectơcuối.
sd
(
)

p a
2 , k OB OA + = ; hoặc sd
(
)
) 2 (mod ,
p a
º OB OA .TrongđógocAOB=
a

( )

p a
2 0 £ £
làgóckhôngđịnhhướng.
2.Gócđịnhhướngcủahaivectơkhôngchunggốc.

Cho haivectơ CD AB, (đềukhácvectơkhông).LấyđiểmOdựng CD ON AB OM = = ,
Tacó
( ) ( )
, , 2sd AB CD sd OM ON k
a p
= = +
uuur uuur uuuur uuur
3.Gócđịnhhướngcủahaiđườngthẳng.
Kí hiệu:(a,b).alàđườngthẳngđầu;blàđườngthẳngcuối.
sd(a, b)=

p a
k +
,hay ) (mod
p a
= b) sd(a, .trongđó
a
làgóckhôngtùcủagóchaiđườngthẳngavàb
khônghướng.
II.CÁC TÍNH CHẤT.
1.(AB,CD)=
(
)
CD AB, ;.(AB,CD) ) , ( DC AB º (mod
p
);.(AB,CD) ) , ( CD BA º (mod
p
)
2.Haiđườngthẳnga,btrùngnhauhoặcsongsongkhivàchỉkhi
( ) ( )

p
mod 0 , º b a
3.Haiđườngthẳnga,bvuônggócnhaukhivàchỉkhi
( ) ( )

p
p

mod
2
, º b a
4.Góc (a,b) º (b,a)
( )

p
mod
5.HệthứcSale:(a,b)=(a,c)+(c;b).
( )

p
mod .
6.Hiệu(a,b) º (c,b) –(c,a).
III.ỨNGDỤNG
+Bađiểmthẳnghàng.
-BađiểmA,B,Cthẳnghàngkhivàchỉkhi(AB,AC) º 0
( )

p
mod .

BađiểmA,B,Cthẳnghàngkhivàchỉkhi(AB,AM) º(AC,AM)
( )

p
mod (Mtùyý).
+Haiđườngthẳngvuônggóc.
Haiđường thẳng AB,CDvuônggóckhivàchỉkhi(AB,AC) º
( )

p
p

mod
2
.
+Haiđiểm đốixứngquatr ục.
HaiđiểmA,A’đốixứngquatrụcBCkhivàchỉkhi(AB,AC) º (A’C,A’B)
( )

p
mod .
+Gócnộitiế p vaøgócởtâm : M,A,Bởtrênđườngtròn(O):
( )
( )
) (mod ) , ( ,
2
1
,
p
BT BA OB OA MB MA º = ,trongđóBTlàtiếptuyếncủa(O)tạiB.

+Boánđiểmcùngnằmtrênđườngtròn.
w
w
w
w
w
w
w
w
w
.
.
.
l
l
l
a
a
a
i
i
i
s
s
s
a
a
a
c
c

c
.
.
.
p
p
p
a
a
a
g
g
g
e
e
e
.
.
.
t
t
t
l
l
l
B
B
B
À
À

À
I
I
I
T
T
T
O
O
O
Á
Á
Á
N
N
N
H
H
H
Ì
Ì
Ì
N
N
N
H
H
H
H
H

H
Ọ
Ọ
Ọ
C
C
C
P
P
P
H
H
H
Ẳ
Ẳ
Ẳ
N
N
N
G
G
G
QUACÁCHGIẢIBẰNGGÓCĐỊNHHƯỚNG
NGUYỄNLÁI
-BốnđiểmA,B,C,Dcùngnằmtrênđườngtrònkhivàchỉkhi(AB,AD) ) , ( CD CB º (mod
p
)
Hệquả:TậphợpđiểmMnằmtrongmặtphẳngchứatamgiácABCthỏamãn:
(MA, MB) ) , ( CB CA º (mod
p

)làđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.
+Goùccủahaiđườ ngthẳngcócáccạnhđôimộtvuônggóc.
Ta coù HG CD EF AB ^ ^ ; khivàchỉkhi(AB,CD) º (EF;HG) ) (mod
p
 .
+Tậphợpđiểm
-
{ }
= º ) (mod ) , /(
p a
MB MA M cungtrònchứagóc
a
quaA,B.

{ }
= - º ) (mod ) , /(
p a
MB MA M cungtrònkhôngchứagóc
a
 quaA,B.
IV.BÀITẬPMINHHỌA
A.Phươngphápphứngminhhaiđườngthẳngsongsong ,bađiểmthẳnghàng.
+ Haiđườngthẳnga,bcùngphươngkhivàchỉkhi(a,b) º 0
( )

p
mod .
+Haiđườngthẳnga,bcùngphươngkhivàchỉkhi(a;c) º (b,c)(mod
p
),đườngthẳngctùyý

+ BađiểmA,B,Cthẳnghàngkhivàchỉkhi(AB,AC) º 0
( )

p
mod .
+BađiểmA,B,Cthẳnghàngkhivàchỉkhi(AB,EF) º (AC,EF)(mod
p
),đườngEFtùyý.
Bài1.Chohaiđườngtròn(O)và(O’)cắtnhautạiA,B.HaicáttuyếnbấtkìD,D’lầnlượtquaA,B
cắt(O) và(O’)lầnlượttạiM,M’ vàN, N’.ChứngtỏMN//M’N’.
HD. Tacó(MN,MA) º (BN,BA)
( )

p
mod .(1) . vì(AMNB)nộitiếp
(M’A,M’N’,) º (BA,BN’)
( )

p
mod . vì(AM’N’B)nộitiếp
Û
Hay(MA,M’N’) º (BA,BN)
( )

p
mod .(2)
Cộng(1)và(2)theoSaletacó: (MN,M’N’)=0
Þ
MN//M’N’
Bài2.(ĐườngthẳngSimson) .

ÑểđiểmMnằmtrênđườngtrònngoạitiếptam giácABCkhivàchỉkhi
cáchìnhchiếucủaMlầnlượtxuốngbacạnhtamgiácABCthẳng hàng .
HD.Giảsử E,F,HlầnlượtlàhìnhchiếucủaMxuốngcạnh BC, AC,AB.Ta
có
E,F,Hthẳnghàng ) )(mod , ( ) , (
p
HM HF HM HE = Û
( , ) ( , )(mod( )CE CM HF HM
p
Û = .(vìHMECnộitiếp)
( , ) ( , )(mod )CB CM AB AM
p
Û = (HMFAnộitiếp)
Û
AMBCnộitiếp
Î Û M
VòngngoạitiếptamgiácABC.
B.Phươngphápchứngminhhaiđườngthẳngvuônggóc.
+HaiđườngthẳngAB,CDvuônggóckhivàchỉkhi(AB,AC) º
( )

p
p

mod
2
.
+
b d
c d c a

b a
^ Û
î
í
ì
º
^
) )(mod , ( ) , (
p

.
Bài1.Haidâycung AB,CDcủađườngtròn(O)vuônggócnhautạiP.ChứngminhtrungtuyếnPM
củatamgiácBPClàđườngcaocủatamgiácPAD.
HD.Tacó(PM,AD)=(PM,PC)+(PC,AD)=(PM,PC)+(DC,DA).
VìtamgiácPMCcântạiMnên (PM, PC)=(CP,CB)=(CD,CB)=(AD,AB).
thayvào(1)tacó(PM,AD)=(AD,AB)+(DC,DA)=(DC,DA)+(DA,AB)
H
F
E C
B
A
M
O'
O
N'
N
M'
M
B
A

M
P
D
C
B
A
=(DC,AB) ) (mod
2

p
p

Suyra (PM,AB) ) (mod
2

p
p

P M A D ị ^
.
Bi2.Chohai vũngtrũn (O)v(O) ctnhautiA,B.MtimMlungtrờn(O).MAvMBct
vũng(O) tiCvD.Chngminh
CD MO ^
.
HD.TiMktiptuynvũng(O)
Tacú(MA,MT) (BA,BM) ) (mod
p
(1)
Xộtvũng(O)tacú(BA,BD) (CA,CD) ) (mod
p

(2)
hay(BA,BM) (MA,CD) ) (mod
p
(3)
T(1),(2),(3)tacú(MA,MT) (MA,CD) MT CD// ) (mod ị
p

M
CD MO MO MT ^ ị ^
Bi3. Cho tamgiỏcABC. Vphớangoinútadngcỏctamgiỏc uABE,ACF.GiGltõmtam
giỏcABEvKltrungimcaonEF.Chngminhrng tamgiỏcKGCvuụngvcúmtgúc
0
60 .
E A P Lụứi giaỷi.DngimPsaochoEGFPlhỡnhbỡnhhnh
K TachngminhtamgiỏcCGPcõntiC.
G F XộthaitamgiỏcGACvCPFcúEG=PF
PF AG = ị
(1).
CA=CF(2).
Mtkhỏc(FP,FC) (GE,FC) ) (mod
p
.
B C Vy(FP,FC)=(GE,GA)+(GA,CA)+(CA,FC) ) (mod
p

Chn(AB,AC)lgúcdng,tacú
Tacú(GE,GA)
3
2
p

- = (CA,FC) (CA,CF) ) (mod
p
=
3

p

Vy(FP,FC)
3
2
(

p

- +(GA,CA)+
3

p

) ) (mod
p
=(AG,AC) ) (mod
p

PFC GAC é = é ị
(3).
T(1),(2),(3)
CP CG CPF GAC = ị D = D ị
,nờntamgiỏccõnGCPcútrungtuynCKcngval

ngcao,haytamgiỏcKGCvuụngtiK,
Maởt khaựctacú
ẳ
ẳ
ẳ
ẳ
ẳ
ẳ
GCA PCF GCA ACP PCF ACP = ị + = +
, hay
ẳ
ẳ
0
60GCP ACF = =
Doú
ẳ
0
60KGB =
.
Bi4. ChotamgiỏcABCnitipngtrũn(O).MNlmtngkớnhca(O).Chngminhrng
cỏcngthngSớmsontamgiỏcABCngvihaiimM,Nthỡvuụnggúcnhau.
HD.GiX,YlcỏchỡnhchiucaMtrờnAB,BCtheothtvZ,TlcỏchỡnhchiucNtrờnAB,
BCtheotht.Tacnchng minh XY ZT ^ .
Thtvytathybbnim M,B, X,YvN, B,Z,T ng viờn.
Tacú(XY,ZT)=(XY,MY)+(MY,NT) ) (mod
p
.
( , ) ( , ) 0 ( , )(mod )XY ZT XB MB NB ZB ị = + + p
( , ) ( , )(mod )XY ZT NB MB ị p (vỡ XB,ZBtrựng nhau )
( , ) (mod )

2
XY ZT
p
ị = p ( Vỡ MNlngkớnhca(O)).
Suyra XY ZT ^
_Y
_K
_Z
_T
_O
_X
_N
_M
_C
_A
_A
C
D
B
A
T
M
O'
O
C.Phngphỏpchngminhcỏcimngviờn(cuứng nmtrờn mtngtrũn).
-BnimA,B,C,Dcựngnmtrờnng trũnkhivchkhi(AB,AD) ) , ( CD CB (mod
p
)
Hqu:TphpimMnmtrongmtphngchatamgiỏcABCthamón
(MA, MB) ) , ( CB CA (mod

p
)lngtrũnngoitiptamgiỏcABC.
Baứi1.ChohaingtrũnctnhautiAvB.KmtcỏttuynMAN .Caực tiptuyntiMvNvi
ng trũnctnhautiC, ChngminhrngbnimM,N,C,Bcựngnm
trờnmtngtrũn.
HD.VỡMCltiptuynnờntacú(BM,BA) (MC,MA)(mod
p
)(1)
VỡNCltiptuynnờn(BA,BN) (NA,NC)(mod
p
)(2)
Cng(1)v(2)tacú(BM,BN)=(MC,NC)=(CM,CN))(mod
p
)
VybnimC,B,M,Ncựngnm trờnngtrũn.
Bi2.ChotgiỏcABCDnitiptrongngtrũn.
1 1 1 1
, , ,A C B D lhỡnhchiuA, CvB,Dxung
BD, AC.Chngminh
1 1 1 1
A B C D ltgiỏcnitip.
HD.Vỡ
1 1
ABA B nitipnờntacú
( )
1 1 1
,B A B A
( )
1
,BA BA (mod

p
).(1)
VỡABCDnitipnờn(BD,BA) (CD,CA)(mod
p
).
Hay
( )
1
,BA BA (CD,CA)(mod
p
).(2)
Vỡ
1 1
DDC C nitipnờn
( )
1
,CD CD
( )
1 1 1
,C D C D (mod
p
).
hay(CD,CA)
( )
1 1 1 1
,C A C D (mod
p
).(3).
Cng(1),(2),(3)tacú
( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1
, ,B A B A C A C D = (mod
p
).
ị
1 1 1 1
A B C D ltgiỏcnitip.
Baứi3.imixngcatrctõmHquabacnhcamttamgiỏcABCthỡnmtrờnngtrũn
ngoitiptamgiỏcABC.
HD.GiHlimixngcaHquaBC
Tacú(AC,AB) (HB,HC)
( )

p
mod (Gúccúcnhtng ngvuụnggúc
(HB,HC) (HC,HB)
( )

p
mod (HaigúcixngquaBC)
ị
(AC,AB) (HC,HB)
( )

p
mod

HABCnitiphay ẻ ' H vũngABC
Hqu.Bavũngixngvivũngngoi tipquabacnhtamgiỏcthỡquatrctõm H
Baứi 4. ChoM,N,PlnltlbaimtrờnbacnhAB,BC,CAcatamgiỏcABC.

Chngtrngbangtrũn(AMP), (BMN)(CNP)cúmtimchung.
HD.Giaỷ sửỷ haivũng(BMN)v(CNP)ctnhautiH
tacúBMHNnitipnờn:(BMBN) (HM,HN)
( )

p
mod (1)
tacúCNHPnitipnờn:(CN,CP) ((HN,HP)
( )

p
mod
hay(BN,CP) ((HN,HP)
( )

p
mod (2)
Cng(1)v(2)tacú(BM,CP)=(HM,HP)
( )

p
mod
ị
AMHPnụitip.
Hayvũng (AMP)iquaH.
ị
iuphichngminh.
B
C
N

A
M
O'
O
v
D1
D1
C1
A1
D
C
B
A
z
O
H'
H
C
B
A
P
N
M
B
A
C
Bi5. ChotamgiỏcABCvmtimP btk trongmtphng catamgiỏc.Chngminhrngcỏc
vũngtrũnixngcabavũngtrũn ngoitipcỏctamgiỏcPAB,PBC,PCAquacỏccnhAB,BC,
CAcúmtimchung.
HD. Goùi P

1
, P
2
, P
3
laứimixngcaPquaAB,BC,CAvQlgiaoimthhaicahaivũng
(P
1
AB),(P
2
BC).
Vỡtớnhchtixngnờntacú(P
1
A,P
1
B)(PA,PB)(mod
p
).(1)
(P
2
B,P
2
C)(PB,PC)(mod
p
).(2)
(P
3
C,P
3
A)(PC,PA)(mod

p
).(3)
CỏcimP
1
,A,B,Qngviờn,tacú(QA,QB) (P
1
A,P
1
B)(mod
p
).(4)
CỏcimP
2
,C,B,Qngviờn,tacú(QB,QC) (P
2
B,P
2
C)(mod
p
).(5)
Cng(4)v(5)tacú(QA,QC)=(P
1
A,P
1
B)+(P
2
B,P
2
C)
=(PA,PB)(PB,PC)=(PA,PC).(6)

T(6)v(3)tacú(QA,QC) (P
3
A,P
3
C)(mod
p
)
ị
P
3
,Q,A,Cngviờn.
Suyraiuphichngminh.
D.Phngphỏpchngminhtiptuyn ngtrũn.
+ ATltiptuynng trũnngoitiptamgiỏcABCkhivchkhi(AT,AB) (CA,CB)(mod
p
).
Bi1.ChotamgiỏccõnABCnhA.MtimMdichuyntrờnngtrũnngoitiptamgiỏcABC.
ngthngAMctctBCtaiP.
1. Chửựng minhrngcỏcvũngtrũnngoitipcatamgiỏcBMPvCMPtipxỳcviAB vACln
lttiBvC.
2.Tỡm taọp hụùptõmcacỏcngtrũnBMPvCMP.
HD.VỡA,B.C.M ngviờnnờn(BA,BM)=(CA,CM)
= (CA,CB)+(CB,CM)(1).
TheogithittamgiỏcABCcõntiAnờntacú
(CA,CB)(BC,BA)(mod
p
)(2)
(CB,CM) (AB,AM)(mod
p
)(3)

T(1),(2),(3)tacú(BA,BM)=(BC,BA)+(AB,AM)=(BC,AM)
( , ) ( , )(mod )BA BM PB PM
p
ị ị BAltiptuynvũngngoitiptam
giỏcPMB.
TngtACltiptuyncavũngngoitiptamgiỏcCMPtiC
2.GisIltõmngtrũnngoitiptamgiỏcBMPnờnIlgiaoim
ngtrungtrccnhBPvngthng D cnhvuụnggúcAB.Khi
Mlungtrờnngtrũn(ABC)thỡPlungtrờnBC,suyraIlu
ngtrờn D
E.Phngphỏptỡmtphpim.
+TphpimMnmtrờnvũng(ABC)khivchkhi(MB,MC) ) , ( AC AB (mod
p
)
+
{ }
= ) (mod ) , /(
p a
MB MA M cungtrũnchagúc
a
quaA,B.
+
{ }
= - ) (mod ) , /(
p a
MB MA M cungtrũnkhụngchagúc
a
quaA,B.
Bi1.ChotamgiỏcABC.MlmtimlungtrờncnhBC.HaivũngthayiquaM,tipxỳc
viAB,AC,lnlttiA,BctnhautiI.TỡmtphpimIkhiMthayi.

HD.Vỡ AB laứ tiptuynvũng(O
1
)
ị
(IB,IM)=(BA,BM)=(BA,BC)
( )

p
mod (1)
VỡACltiptuynvũng(O
2
)
ị
(IM,IC)=(CM,CA)=(BC,CA)
( )

p
mod (2)
Cng(1)v(2)tacú(IB,IC)=(AB,AC)
( )

p
mod
ị
ABICnitip.VytphpimIlvũngngoitiptam giỏcABC.
Q
B
A
P
C

P1
P2
M
C
P
I
B
A
I
M
B
C
A
O2
O1
Baứi 2. Chongtrũn(O)v(O)cúbỏnkớnhRvRctnhautiA,B.MtimMlungtrờn
(O). MAvMBctng(O)tiCvD.TỡmtphptrungimIcaCDkhiMlungtrờn(O).
HD. Tacú(AD,AC)=(AD,BM)+(BM,AC)
M(AD,BM)=(AD,BD)= ) ' , ' (
2
1
B O A O =(OOOB) ) (mod
p

(BM,AC)=(MB,MA)= ) )(mod ' , ( ) , (
2
1

p
OO OB OA OB = .

Doú(AD,AC)=(OOOB)+ ) ' , ( OO OB =(OB,OB). ) (mod
p
.
hay(AD,AC)=(AOAO) ) (mod
p
.
tgúc

a a
= é ị = é ' OAO CAD
khụngi.
DoúdiCDkhụngi
ị
a
sin 2R CD =
.Nờn khongcỏch

a
cos ' R I O =
.
VytphptrungimIlngtrũntõmObỏnkớnhbng

a
cos R
Bi3.ChotamgiỏcABCnhn,trctõmHvflmtngthngtựyýquaH.Gi , ,
a b c
f f f lnlt
lcỏcngthngixngvifquacỏcngthngBC,CA,AB.Chngminhrng , ,
a b c
f f f ng

quitimtimtrờnngtrũnngoitiptamgiỏcABC(Bungarian1999).
Gii.Gi
1 1 1
, ,A B C theothtlcỏcimixngviHquacỏc
ngthng BC,CA,ABkhiúddngchngminhc
1 1 1
, ,A B C thuc(ABC),ngoira
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
mod
a b a b
f f f BC BC CA CA f
p
= + +
( ) ( ) ( ) ( )
modB C f BC CA f CA
p
= + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 modB C f BC CA f CA
p
+ +
Suyra
( )
a b
f f ABC ầ ẻ tngttacngcú
( )
b c
f f ABC ầ ẻ ,
( )
a c

f f ABC ầ ẻ
Tú,domtngthngvmtngtrũnctnhautinhiunhthaiim,suyraiuphi
chngminh
Bi4.(ThiHSG2006BngA).ChotgiỏcliABCD.Xộtmtim Mdingtrờn ngthngAB
saochoMkhụngtrựngvi AvB.GiNlgiaoimthhaikhỏcMcangtrũniquabaim
(M,A, C)vngtrũniquabaim(M,B,D).Chngminh:
1. imNdingtrờnngtrũncnh .
2. ngthngMNluụniquamtimc nh
HD.1)Gi Ilgiaoim cahaing chộoliABCD.Xột cỏcgúcnh
hng ,tacú(CI,CN)=(CA,CN)=(MA,MN)=(MB,MN)=(DB,DN)
(DI,DN)(mod p )(1).
Vy(CI,CN)=(DI,DN)(mod p)
ị
C,I,D,Nngviờn.Doúim Ndi
ng trờnng trũncnh(C,D,I)
2.ng thng quaI,songsongviABctng thng MNtiK(gilt).
Vỡ(MA,MN)=(KI,KN)(mod p).Doú bnim C,I,K,Nng viờn.hay
im Knm trờnng trũncnhquaC,D,I,N.im Klgiaoim
ng thng tcnhvng trũn(C,D,T)cnhnờnng thng MN
luụniquaim Kcnh.
BITPNGH
I
A
N
M
K
D
C
A
B

j
B
A
Ô
O'
M
C
D
Bài1.TrênmộtđườngtrònlấybốnđiểmA,B,C,D.CácđườngtrònđườngkínhBAvàBC,BCvà
CD,CDvàDA,DAvàABcắtlạinhaulầnlượttạiB’,C’,D’A’.ChứngminhrằngbốnđiểmA’,B’,
C’,D’cùngnằmtrênmộtđườngtròn
Bài2.ChotamgiácABCvớitrựctâmHnooijtiếptrongđườngtròntâm(O).Gọi
1 2
,A A theothứtựlà
điểmđốixứngvớiHquaBCvàtrungđiểmBC.Cácđiểm
1 2 1 2
, , ,B B C C đượcxácđịnhmộtcáchtương
tự.Chứngminhrằng
1 1 1
, ,A B C nằmtrênđườngtròn(O).
Bài3.HaidaycungvuônggócABvàCDcủamộtđườngtròncắtnhautạiP.Chứngminhrằngtrung
tuyếncủatamgiácPBClàđườngcaocủatamgiácPAD.
Bài4.ChotứgiácABCDnộitiếptrongđườngtròn(O).GọiE,F,Gtheothứtựlàgiaođiểmcủacác
cặpđườngthawngrABvàCD,BCvàDA,ACvàBD.Cácđườngtròn(DAE),(DCF)cắtnhautạiđiểm
thứhaiH.Phângiáccủagóc
¼
AHB cắtABtạiI,phângiáccủagóc
¼
DHC
cắtCDtạiJ.Chứngminh

rằngI,G,Jthẳnghàng.
Bài5.ChomộttamgiáccânABCđỉnhA.MộtđiểmMthayđổitrênđườngtrònngoạitiếptamgiác
ABC.ĐườngthẳngAMcắtBcCtạiP
1. ChứngminhrằngcácđườngtrònngoạitiếpcủatamgiácBMPvàCMPtiếpxúcvớiABvàAC
tạiBvàC.
2. TìmtậphợpcáctâmcủacácđườngtrònBMPvàCMP.
Bài6.GọiM.NtheothứtựlàtrungđiểmcáccạnhAB,ACcủatamgiácABC.Mộtđườngthẳngd
quayquanhA.GọiP,QlàhìnhchiếucủaB,Ctrênd.TìmtậphợpgiaođiểmcủahaiđườngthẳngPM
vàQN.
Bài7.ChomộttamgiácABCnộitiếptrongđườngtròn(O).
1. KẽmộtdaycungMNvuônggócvớiBC.ChứngminhrằngđườngthẳngSimsoncủađiểmM
songsongvớiAN.
2. GọiM’làđiểmxuyêntâmđốicủaM.Chứngminhrằng đườngSimsoncủaMvàM’vuônggóc
nhau.
Bài8.Chotrướcđườngtròn(O)vàhaiđiểmA,BsaochoABtiếpxúcvớiđườngtròn(O)tạiB.Lấy
điểmCkhôngnằmtrênđườngtròn(O)saochoACcắt(O)tạihaiđiểmphânbiệt,dựngđườngtròn(O’)
tiếpxúcvớiACtạiC,tiếpxúcvới(O)tạiDsaochoB,Dnằmvềhaiphíacủađường thawngrAC.
ChứngminhrằngtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácBCDnằmtrênđườngtrònngoạitiếptamgiác
ABC.