một số chuyên đề, bài viết về hình học phẳng

Cácchuyênđề,bàiviếtdướiđâydo laisacsưutầmtrênInternetrồibiên soạn,cắtxén vàdánthànhhai
filetổnghợpvớimụcđíchphụgiúp(thờigiantìmkiếm)chocácemởđộituyểntrườngTHPTchuyên
L.V.C.Vìkhôngliênhệđược trựctiếpvớicáctácgiảđểxinphép,mongthôngcảm!
1.ĐịnhLý Ceva
ChotamgiácABC.D,E,FlầnlượtnằmtrêncáccạnhBC,AC,AB.Chứngminhrằngcácmệnhđề
saulàtươngđương:
1.1 AD,BE,CFđồngquytại mộtđiểm.
1.2
·
·
·
·
·
·
sin sin sin
. . 1
sin sin sin
ABE BCF CAD
DAB EBC FCA
= .
1.3 . . 1
AE CD BF
EC DB FA
= .
Chứngminh:
Chúngtasẽchứngminhrằng1.1dẫnđến1.2,1.2dẫn
đến1.3,và1.3dẫnđến1.1.
Giảsử1.1đúng.GọiPlàgiaođiểmcủaAD,BE,CF.
TheođịnhlýhàmsốsintrongtamgiácAPD,ta
có:
·

·
·
·
sin sin
.
sin sin
ABE ABP AP
BP
DAB BAP
= = (1)
Tươngtự,tacũngcó:
·
·
sin
;
sin
BCF BP
CP
EBC
= (2)
·
·
sin
.
sin
CAD CP
AP
FCA
= (3)
Nhântừngvếcủa(1),(2),(3)tađược1.2.

Giảsử1.2đúng.TheođịnhlýhàmsốsintrongtamgiácABDvàtamgiácACDta
có:
·
·
·
·
sin sin
; .
sin sin
ADB AB CAD CD
DB CA
BAD ACD
= = Dođó:
·
·
sin
. .
sin
CAD AB CD
CA DB
BAD
=
·
·
( )
0
180BDA ADC + = (4)
Tươngtự,tacũngcó:
·
·

sin
. .
sin
BCF CA BF
BC FA
FCA
= (5)
www.laisac.page.tl
M
M
Ộ
Ộ
T
T
S
S
Ố
Ố
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N

Đ
Đ
Ề
Ề
,
,
B
B
À
À
I
I
V
V
I
I
Ế
Ế
T
T
V
V
Ề
Ề
H
H
Ì
Ì
N
N

H
H
H
H
Ọ
Ọ
C
C
P
P
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
(
(
T
T
ậ
ậ
p
p
I
I
:
:

V
V
Ậ
Ậ
N
N
D
D
Ụ
Ụ
N
N
G
G
T
T
Í
Í
N
N
H
H
C
C
H
H
Ấ
Ấ
T
T

,
,
Đ
Đ
Ị
Ị
N
N
H
H
L
L
Ý
Ý
N
N
Ổ
Ổ
I
I
T
T
I
I
Ế
Ế
N
N
G
G

)
)
·
·
sin
. .
sin
ABE BC AE
AB EC
EBC
= (6)
Nhântừngvếcủa(4),(5), (6)tađược1.3.
Giảsử1.3đúng,tagọi
1
, .P CF BE D AP BC = = I I
Theo1.1và1.2,tacó:
1
1
. . . . 1
CD
AE BF AE CD BF
EC D B FA EC DB FA
= = hay:
1
1
.
CD
CD
D B DB
= Dođó:

1
D D º .
Nhậnxét.
VớiđịnhlýCeva,tacóthểchứngminhđượccácđườngtrungtuyến,đườngcao,đườngphângiác
trongcủatamgiácđồngquytạimộtđiểm.Cácđiểmđólầnlượtlàtrọngtâm(G),trựctâm(H),tâm
đườngtrònnộitiếptamgiác(I).NếuđườngtrònnộitiếptamgiácABCcắtAB,BC,CAlầnlượtlàtại
F,D,E.Khiđó, tacó:AE=AF; BF=BD;CD=CF.BằngđịnhlýCeva,tachứngminhđượcAD,BE,CF
đồngquytạimộtđiểm,điểmđógọilàđiểm Gergonne (Ge) củatamgiácABC(hìnhdưới).
Lưuý:ĐịnhlýCevacóthểđượcsuyrộngbởinhữnggiaođiểmnằmngoàitam giácABC mà
khôngnhấtthiếtphảinằmtrongnó.Vìvậy,cácđiểmD,E,FcóthểnằmngoàicáccạnhBC,CA,AB
nhưhìnhbên.
VídụsausẽchothấyrõtácdụngcủađịnhlýCeva.
Bàitoán. [IMO2001ShortList]ChođiểmA
1
làtâmcủahìnhvuôngnội tiếptamgiácnhọnABCcó
haiđỉnhnằmtrêncạnhBC.CácđiểmB
1
,C
1
cũnglầnlượtlàtâmcủacáchìnhvuôngnộitiếptamgiác
ABCvớimộtcạnhnằmtrên ACvàAB.ChứngminhrằngAA
1
,BB
1
,CC
1
đồngquy.
Lờigiải:
GọiA
2

làgiaođiểmcủaAA
1
vàBC.B
2
vàC
2
đượcxác
địnhtươngtự.
Theođịnhlýhàmsố sin,ta có:
·
·
1 1
1
1
sin
sin
SA SAA
AA
A SA
= hay
·
µ
( )
1 2
0
1
sin
sin 45
SA BAA
AA

B
=
+
Tươngtự:
·
µ
( )
1 2
0
1
sin
sin 45
TA CAA
AA
C
=
+
hay
µ
( )
·
0
1
1
2
sin 45
sin
C
AA
TA

CAA
+
= .Dođó, tađược:
·
·
µ
( )
µ
( )
0
2 1 1
0
1 1
2
sin 45
sin
. . 1.
sin
sin 45
C
BAA AA SA
TA AA
CAA
B
+
= =
+
(1)
Chứngminhhoàntoàntươngtự, ta cũngđược:
·

·
µ
( )
µ
( )
0
2
0
2
sin 45
sin
. 1.
sin
sin 45
B
BCC
ACA
A
+
=
+
(2)
·
·
µ
( )
µ
( )
0
2

0
2
sin 45
sin
. 1.
sin
sin 45
A
ABB
CBB
C
+
=
+
(3)
Nhântừngvếcủa(1), (2), (3) kếthợpđịnhlýCevatađượcđiềucầnchứngminh.
Bàitập ápdụng:
1. QuacácđiểmAvàDnằmtrênđườngtròn kẻcácđườngtiếptuyến,chúngcắtnhautại
điểmS.TrêncungADlấy cácđiểmA vàC. CácđườngthẳngACvàBDcắtnhautạiđiểmP, các
đườngthẳngABvàCDcắtnhautạiđiểmO.ChứngminhrằngđườngthẳngPQchứađiểmO.
2. Trên cáccạnhcủatamgiácABCvềphía ngoàitadựngcáchinhvuông.A
1
,B
1
,C
1
, là
trungđiểm cáccạnh của các hìnhvuôngnằmđốinhauvới cáccạnhBC,CA,ABtươngứng.
ChứngminhrằngcácđườngthẳngAA
1

,BB
1
,CC
1
đồngquy.
3. Chứngminhcácđườngcao,đườngtrungtuyến,tâmđườngtrònnộitiếp,ngoạitiếptam
giácđồngquy tạimộtđiểm.
4. Trên cáccạnhBC,CA,ABcủatamgiácABClấycácđiểmA
1
,B
1
,C
1
saochocácđường
thẳngAA
1
,BB
1
,CC
1
đồngquy tạimộtđiểm.ChứngminhrằngcácđườngthẳngAA
2
,BB
2
,CC
2
đốixứngvớicácđườngthẳngđó quacácđườngphângiáctươngứng,cũngđồngquy.
2.ĐịnhLýMenelaus
ChotamgiácABC.Cácđiểm H,F,GlầnlượtnằmtrênAB,BC,CA.Khiđó:
M,N, Pthẳnghàngkhi vàchỉkhi . . 1.

AH BF CG
HB FC GA
= -
Chứngminh:
Ø Phầnthuận:
Sửdụngđịnhlýsintrongcáctam giácAGH,BFH,CGF, tađược:
·
·
·
·
·
·
sin sin sin
; ;
sin sin sin
AH AGH BF BHF CG GFC
GA HB FC
AHG HFB CGF
= = = .
(vớilưuý rằng
·
·
·
·
·
·
sin sin ;sin sin ;sin sin .AGH CGF AHG BHF HFB GFC = = = )
Nhântừngvếtađượcđiềuphảichứngminh.
Ø Phầnđảo: Gọi ' .F GH BC = I Hoàntoàntươngtựta cóđược:
( )

'
. . . . 1 .
'
AH BF CG AH BF CG
HB F C GA HB FC GA
= = - Hay
'
'
BF BF
F C FC
= ,suyra
'.F F º
Nhậnxét.ĐịnhlýMenelauscó rấtnhiều ứngdụngtronggiảitoán.Nhiềuđịnhlýnổitiếngđược
chứngminhmột cáchdễdàngnhờđịnhlýMenelausnhưđịnhlýCeva,Pascal,Desargues(sẽđượcnêu
ởphầnbàitậpdướiđây).
Vídụ:
ChoA,B,C,D, E, F làcácđiểmnằmtrênmộtđường
tròn (có thểkoxếptheothứ tựnhưtrên). Gọi
, , .P AB DE Q BC EF R CD FA = = = I I I Chứng
minhrằngP,Q, Rthẳnghàng.
Chứngminh:
Gọi , , .X EF AB Y AB CD Z CD EF = = = I I I
ÁpdụngđịnhlýMenelauschoBc,DE,FA (đốivới
tamgiácXYZ), ta có:
( )
. . . . . . 1 .
ZQ XB YC XP YD ZE YR ZF XA
QX BY CZ PY DZ EX RZ FX AY
= = = -
Dođó:

. . 1
ZQ XP YR
QX PY RZ
= -
.TheođịnhlýMenelausta
đượcP, Q, Rthẳnghàng.
Bàitập ápdụng:
1. ĐiểmPnằmtrênđườngtrònngoạitiếpcủatamgiácABC,A
1
,B
1
,C
1
lầnlượtlàchân
đườngvuônggóchạtừ PxuốngBC,CA,AB.ChứngminhrằngA
1
,B
1
,C
1
thẳnghàng.
2. TrongtamgiácvuôngABCkẻ đườngcaoCKtừđỉnh của gócvuôngC,còntrongtam
giácACKkẻđườngphângiácCE.D làtrungđiểm củađoạnAC,F làgiaođiểmcủacácđường
thẳngDEvàCK.ChứngminhBF//CE.
3. CácđườngthẳngAA
1
,BB
1
,CC
1

đồngquy tạiđiểmO.Chứngminhrằnggiaođiểm của
cácđườngthẳngABvà A
1
B
1
,BC vàB
1
C
1
,CA vàC
1
A
1
nằmtrênmộtđườngthẳng.
4. ChohaitamgiácABC,A’B’C’.NếucácđườngthẳngAA’,BB’,CC’đồngquy tạimột
điểmO,thìcácđiểmP,Q,Rthẳnghàng,trongđó
' ', ' ', ' '.P BC B C Q CA C A R AB A B = = = I I I
P
Y
Z
R
Q
O
F
A
C
D
E
B
X

DIỆNTÍCHTAMGIÁCTHỦYTÚC
IvanBorsenco
Translator:DuyCuong.
TrongToánhọc,HìnhHọcluôngiảiquyếtcácbàitoánvớinhữngkếtquảchínhxácvàhấpdẫn.Bài
viếtsauđâytrìnhbàyvềmột trongnhữngkếtquảtuyệtđẹptrongbàitoánhìnhhọc–ĐịnhlýEulercho
tamgiácthùytúcvàứngdụngcủanó.Chúngtahãybắtđầuvớiphépchứngminhđịnhlý,sauđócùng
nhauthảoluậncácBàitoánOlympiad.
Địnhlý1.ChoC(O,R)làđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.XétmộtđiểmMtuỳýnằmtrong
tamgiác.KýhiệuA
1
,B
1
, C
1
làhìnhchiếucủaMlêncácmặtcủatamgiácthì
1 1 1
2 2
2
.
4
A B C
ABC
R OM
S
S R
-
=
Chứngminh. ĐầutiêntađểýrằngAB
1
MC

1
,BC
1
MA
1
,CA
1
MB
1
lànhữngtứgiácnộitiếp.Ápdụng
định lý Cauchy mở rộng vào tam giác AB
1
C
1
ta được
1 1
sinB C AM
a
= . Tương tự, ta được
1 1
sinAC BM
b
= và
1 1
sinB C CM
g
= .Từđósuyra:
1 1 1 1 1 1
, , .
2 2 2

B C AM AC BM A B CM
BC R AC R BC R
= = =
GiảsửAM, BM, CMcắtđườngtròn C(O,R) tại X, Y,Z.
Tacó:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.A B C A B M MB C ACM MAC ZYB BYX ZYX Ð = Ð + Ð = Ð + Ð = Ð + Ð = Ð Tương tự,
1 1 1
B C A YZX Ð = Ð và
1 1 1
.B AC YXZ Ð = Ð Dođó,
1 1 1
A B C D đồngdạngvới
XYZ D
và
1 1 11 1
.
A B C
R
A B
XY R
=
Mặtkhác,
MAB D
đồngdạngvới
MYX D
nêntacó .
XY MX
AB MB
=

Từcáckếtquảthuvềtađược:
1 1 1
1 1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
. . .
. . . .
. . 2 2 4 4
A B C
ABC A B C
R OM
S
R A B B C AC MX MA MB MA MX
S R AB BC AC MB R R R R
-
= = = =
Từđótacóthểthấybiểuthứctrênkhôngphụthuộcvàovịtríđiểm M(kểcảtronghayngoàiđường
tròn).
Hệquả1:Nếu M nằmtrênđườngtròn,hìnhchiếucủaMlêncáccạnhtamgiácsẽthẳnghàng
(ĐịnhlýSimson).
Mộtđịnhlýnữamàchúngtôimuốngiớithiệu(khôngchứngminh)đếnbạnđọclàđịnhlý
Lagrangenổitiếng.
Địnhlý2 ChoMlàmộtđiểmnằmtrongmặtphẳngtamgiácABC vớibộsố ( , , )u v w .Vớimột
điểm P bấtkỳnằmtrongmp(ABC).Tađược:
2 2 2
2 2 2 2
. . . ( ) .
vwa uwb uvc
u PA v PB w PC u v w PM

u v w
+ +
+ + = + + +
+ +
CáchchứngminhcóthểtìmthấykhiápdụngĐịnhlýStewartmộtsốlần.Địnhlýnàycómộthệquả
rấthaykhi P trùngvớitâm OđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.Khiđó,tađược:
2 2 2
2 2
2
.
( )
vwa uwb uvc
R OM
u v w
+ +
- =
+ +
TừhệquảnàykếthợpđịnhlýEulerchotamgiácthùytúc,tađượcđịnhlýsau:
Địnhlý3:ChoMlàđiểmnằmtrongmặtphẳngtamgiácABC,vớibộsố(u,v,w).KýhiệuA
1
,B
1
,C
1
làhìnhchiếucủaMlêncáccạnhtamgiác.Tađược:
1 1 1
2 2 2
2 2
.
4 ( )

A B C
ABC
S
vwa uwb uvc
S R u v w
+ +
=
+ +
TừkếtquảtrênchúngtacóthểthấyĐịnhlý1vàĐịnhlý3đãđưachúngtanhậnthứcphầnnào về
diệntíchtamgiácthùytúc.ĐịnhlýEulervềdiệntíchtamgiácthùytúcthậtsựlàmộtcôngcụtiệních
choviệcgiải các bàitoán hìnhhọc. Ứng dụng đầu tiênmà chúngtôi sắp giớithiệu sauđây  nóivề
nhữngđiểmBrocard
Địnhngh ĩađiểmBrocard:TrongtamgiácABC,đườngtrònquaAvàtiếpxúcvới BCtại B,đường
trònquaBvàtiếpxúcvớiACtạiCvàđườngtrònquaCtiếpxúcvớiABtạiA.Chúngcắtnhautạimột
điểm,gọilàđiểmBrocard.Mộtcáchtổngquát,tacóhaiđiểmBrocard,điểmthứhaixuấthiệnkhita
quayngượcchiềukimđồnghồsựtiếpxúccủacácđườngtròn.
Bàitoán1:Cho
1
W và
2
W làhaiđiểmBrocardcủatamgiácABC.Chứngtỏrằng
1 2
O O W = W ,với
OlàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.
Hướngdẫn: Từđịnhnghĩađiểm Brocard,tathấy:
1 1 1 1
AB BC CA w ÐW = ÐW = ÐW = ,tươngtự
2 2 1 2
BA AC CB w ÐW = ÐW = ÐW = .Tađichứng
minh

1 2
w w = .
Đểýrằng
1
2
1 1 1
2
. sin sin
. sin sin
B C
ABC
S
B BC w w
S AB BC
b b

W
W
= = vàtươngtự,
1 1
2 2
1 1
2 2
sin sin
, .
sin sin
C A A B
ABC ABC
S S
w w

S S
g a

W W
= =
Cộngcácdiệntíchtađược:
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
sin sin sin
1
sin sin sin
B C C A A B
ABC
S S S
w w w
S
a b g

W W W
+ +
= = + + hay
2 2 2 2
1
1 1 1 1
sin sin sin sinw
a b g

= + +

(1)
Cáchtínhtươngtự,tacũngđược
2 2 2 2
2
1 1 1 1
sin sin sin sinw
a b g

= + +
(2)
Từ(1),(2)suyra
1 2
.w w w = =
Ýtưởngchocáchchứngminhtrênbắt nguồntừĐịnhlýEulerchotamgiácthùytúc.Đểýrằng
1
W và
2
W luônnằmtrongtamgiácABC,bởivìmỗinửađườngtrònnhưtrênđềuthuộcmp(ABC).Từ
đó,
1
W và
2
W luônnằmtrongtamgiác.Đểchứngminh
1 2
O O W = W tachứngminhdiệntíchtamgiác
thùytúccủachúngbằngnhau.Nếuvậy,tacó
2 2 2 2
1 2
R O R O - W = - W .Từđósuyrađpcm.
Kýhiệu

1 1 1
, ,A B Clầnlượtlàhìnhchiếucủa
1
W lêncáccạnhBC,CA,AB.Sauđó,sửdụngđịnhlý
hàm Sin mở rộng, ta được
1 1 1
sinAC B b = W , vì
1
BWlà đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác
1 1 1
BA C W .CũngápdụngđịnhlýSinvàotamgiác
1
ABW tađược:
1
sin sin
B c
w b
W
=
Dẫnđến:
1 1 1
sin sin .AC B b c w = W =
Tươngtự,tacó
1 1
sinB C b w = và
1 1
sinA B a w = .Dễdàngtathấytamgiác
1 1 1
A B Cđồngdạngvới
tamgiácABC theotỉsốđồngdạng sin w.

Từ
1 2
w w w = = , ta kết luận được tam giác thùytúc chứa
1
W và
2
W có cùng diện tích. Suy ra
1 2
O O W = W .
Chúý:Giaocủacácđườngđốitrungtrongtamgiáckýhiệulà KvàđượcgọilàđiểmLemoine.Ta
có thểchứng minh được
1 2
K K W = W . Hơn thế nữa, các điểmO,
1
W , K,
2
W nằm trên đường tròn
đườngkínhOKgọilàđườngtrònBrocard.ChúngtahãycùngnhautìmhiểumộtBàitoánthúvịkhác
sauđây:
Bàitoán2:ChotamgiácABC,kýhiệuO,I,Hlầnlượtlàtâmđườngtrònngoạitiếp,nộitiếpvà
trựctâmcủatamgiácABC.Chứngminhrằng:
.OI OH £
Hướngdẫn:NhiềucáchchứngminhsẽbắtđầutừOIhay OH,nhưngchúngtahãychọnmộthướng
khác,đólàđặtdiệntíchnộitiếpvàoIvàH.Mộtcáchđơngiản,tâmđườngtrònnộitiếpluônnằmbên
trongtamgiácA BC,vànếu OH R ³ ,tađượcđiềucầnchứngminh.Vìvậy,giảsử OH R < .Điềuđó
dẫnđếntamgiácABClàtamgiácnhọn.Đểchứngminh OI OH £ tacóthểsửdụngđịnhlýEulercho
tamgiácthùytúcvàchứngminhdiệntíchtamgiácthùytúctâmI,
I
S lớnhơndiệntíchtamgiácthùy
túc tâmH,

H
S .Từđó,do
I H
S S ³ nên
2 2 2 2
R OI R OH - ³ - hay .OH OI ³
Bây giờ chúng ta hãy tìm cả hai diện tích. Ký hiệu
1 1 1
, ,A B Clần lượt là hình chiếu của H và
2 2 2
, ,A B C lầnlượtlàhìnhchiếucủaIlênBC,CA,AB.Tacó
1 1 1
, ,A B CnằmtrênđườngtrònEulerbán
kính R/2,từđó:
1 1 1
1 1 1 1 1 1
. .
.
4. / 2
A B C
A B B C C A
S
R
=
SửdụngđịnhlýSin,dễdàngtađược
1 1 1 1 1 1
cos , cos , cosB C a AC b A B c
a b g
= = = vàvìthế
1 1 1

.cos cos cos
2 cos cos cos .
2
A B C
abc
S S
R

a b g
a b g
= =
Đểtínhdiệntíchtamgiác
2 2 2
A B C ,đểýrằng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
1 ( )
(sin sin sin )
2 4
A B C A IB A IC B IC
r a b c
S S S S r
R

a b g

+ +
= + + = + + =
.

Mà sin sin sin
4 2 2 2R

p a b g

= Tađược:
2 2 2
2 2 sin sin sin .
4 2 2 2
A B C
r
S S S
R

a b g

= =
Từđóđủđểchứngminh sin sin sin cos cos cos .
2 2 2

a b g
a b g
³
BâygiờchúngtahãysửdụngBấtĐẳngThứcJensenschohàmlõm
: 0, , ( ) ln cos .
2
f R f x x

p

æ ö
® =
ç ÷
è ø
Từđó:
( ) ( ) ( ).
2 2 2
a b b c c a
f f f f a f b f c
+ + +
æ ö æ ö æ ö
+ + ³ + +
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Vìvậy,
( )
ln sin sin sin ln cos cos cos
2 2 2

a b g
a b g

æ ö
³
ç ÷
è ø
,vàbàitoánđãđượcgiảiquyết.
HaivídụkếtiếpđểhướngdẫngiảimộtcáchngắngọnmộtsốbàitoánOlympiadbằngcáchsửdụng
ĐịnhLýEulervềtamgiácthùytúc.
Bàitoán3: (OlympiadToánBalkan).

Chotamgiácnhọn ABC.Kýhiệu
1 1 1
, ,A B Clàhìnhchiếucủatrọngtâm Glêncácmặtcủatamgiác.
Chứngminhrằng:
1 1 1
2 1
.
9 4
A B C
ABC
S
S
£ £
Hướngdẫn:Nhưchúngtađãthấy,yêucâubàitoánhướngchúngtasửdụng trựctiếpđịnhlýEuler
vềtamgiácthùytúc.Ápdụngngaytađược:
2 2
2
2 1
.
9 4 4
R OG
R
-
£ £
Bấtđẳngthứcbênphảiluônđúng.Tađichứngminhbấtđẳngthứcbêntráiđúng.Nhớlạibiểuthức
màchúngtađãbiết
2 2 2
9 (1 8cos cos cos )OG OH R
a b g
= = -

VìtamgiácABCnhọnnêntacócos cos cos 0
a b g
³ ,dẫnđến8cos cos cos 0
a b g
³ .
Vìvậy,
2 2
9OG R £ hay
2
2
.
9
R
OG £
Đưađếnkếtluậnsau:
Bàitoán4.(Toánđốixứng,IvanBorsenco)Vớiđiểm M bấtkìnằmtrongtamgiácABC,xác
địnhbộba(
1 2 3
, ,d d d )lầnlượtlàkhoảngcáchtừ M đếncạnh , ,BC AC AB .Chứngminhrằngtậphợp
cácđiểm M thỏamãnđiềukiện
3
1 2 3
. .d d d r ³ ,với r làbánkínhđườngtrònnộitiếptamgiác,nằm
trongvòngtròntâm
O
bánkính
OI
.
Lờigiải.
Gọi

1 1 1
, ,A B C làhìnhchiếucủa M trêncáccạnh , ,BC AC AB .Xét
1 1 1
A B CV làtamgiácthùytúccho
điểm M,tacó
¼ ¼
¼
1 1 1 1 1 1
180 , 180 , 180B MC A MC A MB
a b g
= - = - = - ,nên:
1 1 1
1 2 3 1 3 1 2
2 2 . .sin . .sin . .sin
A B C 
S S d d d d d d
a b g
= = + +
V
Viếtgọnlại,tađược:
1 1 1
1 2 3
1
1 2 3
. .
2 2 . .
2
A B C 
d d d a b c
S S

R d d d
æ ö
= = + +
ç ÷
è ø
V
Màtađãbiết:
1 2 3
2 2 . . . .
ABC
S S a d b d c d = = + +
V
ÁpdụngBĐTCauchySchwarztađược:
( )
( )
2
1 2 3
1 2 3
1 1 2 3
1 2 3
. . .
. .
4 . . . . .
2 2
d d d a b c
d d d
a b c
S S a d b d c d
R d d d R
+ +

æ ö
= + + + + ³
ç ÷
è ø
SửdụngđịnhlíEulerchotamgiácthùytúc,tacó:
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
3
1 2 3
2
4
. . . .
.
4 2 2
S R OM
d d d a b c r a b c
R R R
-
+ + + +
³ ³
Từđâycóthểsuyra
2 2 2
2 .OI R Rr OM = - ³
Vậyvớimọi điểm M trongtậphợp,tacó
OM OI £
(điềuphảichứngminh).
Bàitoán5:(IvanBorsencođềnghị)
Cho M làđiểmnằmtrongtamgiác

ABC
vàcótọađộlà
( )
; ;x y z .Gọi
M
R làbánkínhđườngtròn
nộitiếptamgiácthùytúccủađiểm M.Chứngminhrằng:
( )
2 2 2
. 6 3. .
M
a b c
x y z R
x y z
æ ö
+ + + + ³
ç ÷
è ø
Lờigiải.
Kíhiệu
N
làđẳnggiáccủađiểm M.Chúngtacần2bổđềsau:
Bổđề1:Nếu
1 1 1
A BC và
2 2 2
A B C là2tam
giácthùytúccủa2đẳnggiácđiểm M và
N
thì

6điểmnàynằmtrênmộtvòngtròn.
Chứngminh.Chúngtasẽchứngminhrằng
1 2 1 2
B B C C làmộttứgiácnộitiếp.Đặt
¼
¼
B AM CAN
f
= = .Vàbởivì
1 1
AB MC nộitiếp,
nên:
¼
¼
¼
1 1 1 1 2 1
90 90 90 .
o o o
AB C C B C C AM
f
= - = - = -
Tươngtự,vì
2 2
AB NC nêntacó:
¼
¼
¼
2 2 1 2 2 2
90 90 90
o o o

AC B B C B B AN
f
= - = - = -
Dođó
¼
¼
1 1 2 2
AB C AC B = nên
1 2 2 1
B B C C làmộttứgiácnộitiếp.Cứthếtathuđượcrằng
1 2 2 1
A A B B và
1 2 2 1
A A C C cũnglàtứgiácnộitiếp.Xét3đườngtrònngoạitiếptứgiáccủachúngta,nếuchúngkhông
trùngnhauthìchúngcómộttâmđẳngphương,đólàđiểmgiaonhaucủa3trụcđẳngphương.Tuynhiên,
chúngtacóthểthấyrằngnhữngtrụcđẳngphươngnày,tứccácđườngthẳng
1 2 1 2 1 2
, ,A A B B C C ,tạothành
mộttamgiác,đặttênlà
ABC
,mộtđiềutráingược.Điềunàychứngtỏ,cácđiểm
1 2 1 2 1, 2
, , , ,A A B B C C
nằmtrêncùng1đườngtròn.
Bổđề2: Nếu ,M N làhaiđẳnggiácđiểm,thìtaluôncó:
. . .
1.
A M AN BM BN CM CN
bc ac ab
+ + =

Chứngmin.Gọi
1 1 1
A BC làtangiácthủytúccủađiểm M.Dễdàngchứngminhđượcrằng
1 1
.B C AN ^ Vậydiệntíchcủatứgiác
1 1
AB NC đượctínhtheocôngthức
1 1
1
. .
2
B C AN.Vì
1 1
.sinB C AM
a
= ,chúngtađược
1 1
1
. . .sin
2
AB NC
S AM AN
a
= .Tươngtự,tatìm đượcrằng
1 1
1
. . .sin
2
BC NA
S BM BN

b
= và
1 1
1
. . .sin
2
CA NB
S CM CN
g
=
Từtrên,tasuyra:
1 1 1 1 1 1
ABC AB NC BC NA CA NB
S S S S = + +
Hay:
1
.( . .sin . .sin . .sin )
2
ABC
S AM AN BM BN CM CN
a b g
= + +
SửdụngĐịnhlíhàmSin,tađượcđiềucầnchứngminh:
. . .
1.
A M AN BM BN CM CN
bc ac ab
+ + =
QuaytrởlạiBàitoán.ÁpdụngBĐTAMGMvàobổđề2,tađược:
3

2 2 2
1 1 . . . . . . . .
27 27
A M AN BM BN CM CN AM AN BM BN CM CN
bc ac ab a b c
æ ö
= + + ³
ç ÷
è ø
Lạicó:
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1 1
, , , , ,
sin sin sin sin sin sin
B C AC A B B C A C A B
AM BM CM AN BN CN

a b g a b g

= = = = = =
Tathuđược:
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
. . . .1
27 .sin .sin .sin
A B B C AC B C A C
a b c
a b g

³

Vì
4
2 2 2 2 2 2
2
4
.sin .sin .sin
S
a b c
R

a b g
= ,nên:
4
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
2
1 4
. . . . . .
27
S
A B B C AC A B B C A C
R
³
Sửdụngbổđề1vàĐịnhlíEulerchodiệntíchcủamộttamgiácthùytúc,tacó:
2 2
1 1 1 1 1 1
2
. . 4 . .
4
M
R OM

A B B C AC R S
R
-
=
2 2
2 2 2 2 2 2
2
. . 4 . .
4
M
R ON
A B B C A C R S
R
-
=
Vậy:
( )( )
2 2 2 2 2
2 2
1
27 4 .
M
R R OM R ON
R S
- -
³
BướctiếptheolàsửdụngĐịnhlí3chođiểm M vàđẳnggiácliênhợpcủanó:
( ) ( )
2 2 2
2 2 2

2 2
2 2
a b c
xyz
x y z
yza xzb xyc
R OM
x y z x y z
æ ö
+ +
ç ÷
+ +
è ø
- = =
+ + + +
Đẳnggiácđiểmcủa M,
N
có
2 2 2
a b c
x y z
æ ö
+ +
ç ÷
è ø
làtọađộkhônggian,vậy:
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2

2 2
2
2 2 2
2 2 2
. . .
.
.
a b c xyz x y z a b c x y z
R ON
a b c
yza xzb xyc
xyz
x y z
+ + + +
- = =
æ ö
+ +
+ +
ç ÷
è ø
Tổnghợp2kếtquảtrênvàBĐTđãchứngminh,tacó:
( )
2 2 2 2
2 2 2
2 2
.1
.
27
4 . . .
M

R a b c
a b c
R S x y z
x y z
³
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
Cuốicùng,tathuđược:
( )
2 2 2
. 6 3. .
M
a b c
x y z R
x y z
æ ö
+ + + + ³
ç ÷
è ø
ĐỊNHLÍPTOLEMY
DựatheobàicủaZaizai
Trêndiễndàntoànhọc
1.Mởđầu.
Hìnhhọclàmộttrongnhữnglĩnhvựctoánhọcmanglạichongườiyêutoánnhiềuđiềuthúvịnhất
vàkhókhănnhất.Nóđòihỏitaphảicónhữngsuynghĩsángtạovàtinhtế.Tronglĩnhvựcnàycũng
xuấthiệnkhôngítnhữngđịnhlí,phươngphápnhằmnângcaotínhhiệuquảtrongquátrìnhgiảiquyết
cácbàitoán,giúptachinhphụcnhữngđỉnhnúingồghềvàhiểmtrở.Trongbàiviếtnàyzaizaixingiới
thiệuđếncácbạnmộtvàiđiềucơbảnnhấtvềđịnhlíPtolemytrongviệcchứngminhcácđặctínhcủa

hìnhhọcphẳng.
2.Nộidung  Líthuyết:
2.1.ĐẳngthứcPtolemy:
Chotứgiác
A BCD
nộitiếpđườngtròn( )O .Khiđó
. . .A C BD AB CD AD BC = +
Chứngminh.
Lấy Mthuộcđườngchéo
AC
saocho
·
·
.ABD MBC =
Khiđóxét ABD D và
MBC D
có:
·
·
,ABD MBC =
·
·
.ABD MCB =
Nên ABD D đồngdạngvới ( . ).MBC g g D
Dođótacó:
. .
A D MC
AD BC BD MC
B D BC
= Þ = (1).Lạicó

BA BM
BD BC
= và
·
·
ABM DBC =
Nên ( . ).ABM DBC g g D D : Suyra
A B BD
A M CD
= hay
. .A B CD AM BD =
(2).
Từ(1)và(2)suyra
. . . . . .AD BC AB CD BD MC AM BD AC BD + = + =
VậyđẳngthứcPtolemyđượcchứngminh.
2.2.BấtđẳngthứcPtolemy.
ĐâycóthểcoilàđịnhlíPtolemymởrộngbởivìnókhônggiớihạntronglớptứgiácnộitiếp.
Địnhlí:Chotứgiác
A BCD
.Khiđó
. . . .A C BD AB CD AD BC £ +
Chứngminh.
Trong
·
ABC
lấyđiểmMsaocho:
·
·
,ABD MBC =
·

·
ADB MCB =
Dễdàngchứngminh:
. .
AD BD
BAD BMC
MC CB
BD CM AD CB
D D Þ = Þ
Þ =
:
Cũngtừkếtluậntrênsuyra:
,
A B BD
B M BC
=
·
·
ABM DBC =
( . . )
. . .
ABM DBC c g c
AB BD
AB DC BD AM
AM CD
Þ D D Þ
= Þ =
:
Ápdụngbấtđẳngthứctrongtamgiácvàcác
điềutrêntacó:

. . ( )AD BC AD DC BD A M CM DBD AC + = + ³ >
VậyđịnhlíPtolemymởrộngđãđượcchứngminh.
3,ỨngdụngcủađịnhlíPtolemy.
Mởđầuchophầnnàychúngtasẽđếnvới1vídụđiểnhìnhvàcơbảnvềviệcứngdụngđịnhlí
Ptolemy.
Bàitoán1. [ĐềthivàotrườngTHPTchuyênLêQuíĐôn,thịxãĐôngHà,tỉnhQuảngTrị,nămhọc
20052006]Chotamgiácđều
ABC
cócáccạnhbằng
( )
0 .a a > Trên
AC
lấyđiểmQ diđộng,trêntiađối
củatia
CB
lấyđiểm P diđộngsaocho
2
. .AQ BP a = GọiMlàgiaođiểmcủa BQ và AP .Chứng
minhrằng
.AM MC BM + =
Chứngminh.
Từgiảthiết
2
.AQ BP a = suyra
.
A Q AB
A B BP
=
Xét ABQ D và B PA D có:
( )

A Q AB
gt
A B BP
= và
·
·
B AQ ABP =
Suyra ( . . )ABQ BPA c g c D D :
·
·
( )
1ABQ APB Þ =
Lạicó
·
·
0
60 (2)A BQ MBP + =
Từ(1),(2) tasuyrađược
·
· ·
·
·
·
0 0 0 0 0 0
180 120 180 180 120 60 .BMP MBP MPB AMB BMP ACB = - - = Þ = - = - = =
Suyratứgiác
A MCB
nộitiếpđượcđườngtròn.
ÁpdụngđịnhlíPtolemychotứgiác
A MCB

nộitiếpvàgiảthiết
.AB BC CA = =
Tacó
. . .A B MC BC AM BM AC AM MC BM + = Þ + =
(đpcm).
Đâylà1bàitoánkhádễvàtấtnhiêncáchgiảinàykhôngđượcđơngiảnlắm.Vìnếumuốnsửdụng
đẳngthứcPtolemytrong1kìthithìcólẽphảichứngminhnódướidạngbổđề.Nhưngđiềuchúýởđây
làtachẳngcầnphảisuynghĩnhiềukhidùngcáchtrêntrongkhiđónếudùngcáchkhácthìlờigiảicó
khilạikhôngmangvẻtườngminh.
Bài toán 2. [Đề thi chọn đội tuyển Hồng Kông tham dự IMO 2000] Tam giác
ABC
vuông
có
B C CA AB > >
.Gọi D làmộtđiểmtrêncạnh ,BC E làmộtđiểmtrêncạnh AB kéodàivềphíađiểm
A saocho
.BD BE CA = =
.Gọi P làmộtđiểmtrêncạnh
AC
saocho , , ,E B D P nằmtrênmộtđườngtròn.
Q làgiaođiểmthứhaicủa BP vớiđườngtrònngoạitiếp
A BC D
.Chứngminhrằng: AQ CQ BP + =
Chứngminh.
Xétcáctứgiácnộitiếp ABCQ và BEPD tacó:
· · ·
CAQ CBQ DEP = =
(cùngchắncáccungtròn)
Mặtkhác
·

·
·
0
108A QC ABC EPD = - =
Xét AQC D và EPD D có:
·
·
,AQC EPD =
· ·
. . . (1)
CAQ DEP AQC EPD
AQ CA
AQ ED EP CA EP BD
EP ED
= Þ D D
Þ = Þ = =
:
(do
A C BD =
)
. . . (2)
A C QC
E D QC AC PD BE PD
ED PD
= Þ = =
(do
A C BE =
)
ÁpdụngđịnhlíPtolemychotứgiácnộitiếp BEPD tacó:
. . . (3)EP BD BE PD ED BP + =

Từ(1),(2),(3)suyra . . .AQ ED QC ED ED BP AQ QC BP + = Þ + = (đpcm).
Cóthểthấyrằngbài1làtưtưởngđơngiảnđểtaxâydựngcáchgiảicủabài2.Tứclàdựavàocác
đạilượngtrongtamgiácbằngnhautheogiảthiếttasửdụngtamgiácđồngdạngđểsuyracáctỉsốliên
quanvàsửdụngphépthếđểsuyrađiềuphảichứngminh.Cáchlàmnàytỏrakhálàhiệuquảvàminh
họarõràngqua2vídụmàzaizaiđãnêuởtrên.Đểlàmrõhơnphươngphápchúngtasẽcùngnhauđến
vớiviệcchứngminh1địnhlíbằngchínhPtolemy.
Bàitoán3.(ĐịnhlíCarnot)Chotamgiácnhọn
ABC
nộitiếptrongđườngtròn( , )O R vàngoại
tiếpđườngtròn ( , ).I r Gọi , ,x y z lầnlượtlàkhoảngcáchtừ
O
tớicáccạnhtamgiác.Chứngminhrằng:
x y z R r + + = +
Chứngminh.
Gọi , ,M N P lầnlượtlàtrungđiểmcủa , , .BC CA AB Giảsử
,x OM = ,y ON = ,z OP = ,BC a = ,CA b =
.AB c =
Tứgiác
OMBP
nộitiếp,theođẳngthứcPtolemytacó:
. . .OB PM OP MB OM PB = +
Dođó: . . . (1)
2 2 2
b a c
R z x = +
Tươngtựtacũngcó:
. . . (2)
2 2 2
. . . (3)
2 2 2

c a b
R y x
a c b
R y z
= +
= +
Mặtkhác:
( )
2 2 2
. . . 4
2 2 2
ABC OBC OCA OAB
a b c
r S S S S
a b c
x y z
æ ö
+ + = = + + =
ç ÷
è ø
= + +
Từ(1),(2),(3),(4)tacó:
( ) ( )
2 2
a b c a b c
R r x y z
R r x y z
+ + + +
æ ö æ ö
+ = + + Þ

ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Þ + = + +
Đâylàmộtđịnhlíkháquenthuộcvàcáchchứngminhkháđơngiản.Ứngdụngcủađịnhlínàynhư
đãnóilàdùngnhiềutrongtínhtoáncácđạilượngtrongtamgiác.Đốivớitrườnghợptamgiácđókhông
nhọnthìcáchphátbiểucủađịnhlícũngcósưthayđổi.
Bàitoán4. [ThiHSGcácvùngcủaMĩ,năm1987]Chomộttứgiácnộitiếpcócáccạnhliêntiếp
bằng , , ,a b c dvàcácđườngchéobằng , .p q Chứngminhrằng
2 2 2 2
( )( ).pq a b c d £ + +
Lờigiải.
ÁpdụngđịnhlíPtolemychotứgiácnộitiếpthì ac bd pq + =
Vậytacầnchứngminh
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )( )p q ac bd a b c d = + £ + +
BấtđẳngthứcnàychínhlàmộtbấtđẳngthứcrấtquenthuộcmàcólẽaicũngbiếtđólàBĐT
CauchySchwarz.Vậybàitoánđượcchứngminh.
Mộtlờigiảiđẹpvàvôcùnggọnnhẹcho1bàitoántưởngchừngnhưlàkhó.Ýtưởngởđâylàđưa
bấtđẳngthứccầnchứngminhvề1dạngđơngiảnhơnvàthuầnđạisốhơn.
ThậtthúvịlàbấtđẳngthứcđólạilàBĐTCauchySchwarz.
Bàitoán5.Chođườngtròn ( )O vàBClàmộtdâycungkhácđườngkínhcủađườngtròn.Tìm điểm
AthuộccunglớnBCsaocho
A B AC +
lớnnhất.
Lờigiải.
GọiDlàđiểmchínhgiữacungnhỏBC.
Đặt
DB DC a = =
khôngđổi.TheođịnhlíPtolemytacó:
. . . ( ) .

BC
A D BC AB DC AC BD a AB AC AB AC AD
a
= + = + Þ + =
DoBCvàAkhôngđổinên
A B AC +
lớnnhấtkhivàchỉkhi AD lớnnhấtkhivàchỉkhiAlàđiểmđối
xứngcủaDquatâmOcủađườngtròn.
4.Bàitập.
Bàitoán 4.1. [CMO1988,TrungQuốc]Cho
A BCD
làmộttứgiácnộitiếpvớiđườngtrònngoại
tiếpcótâm(O)vàbánkínhR.Cáctia , , ,AB BC CD DA cắt ( ,2 )O R lầnlượttại ', ', ', '.A B C D Chứng
minhrằng:
' ' ' ' ' ' ' ' 2( )A B B C C D D A AB BC CD DA + + + ³ + + +
Bàitoán4.2.Chođườngtròn( )O vàdâycungBCkhácđườngkính.Tìm điểmAthuộccunglớn
củaBCđườngtròn để
2AB AC +
đạtgiátrịlớnnhất.
Bàitoán4.3. ChotamgiácABCnộitiếpđườngtròn( ).O Đườngtròn( ')O nằmtrong( )O tiếpxúc
với ( )O tạiTthuộccungAC(khôngchứaB).Kẻcáctiếptuyến ', ', 'AA BB CC tới( ').O Chứngminhrằng
'. '. '.BB AC AA BC CC AB = +
Bàitoán4.4. Cholụcgiác
ABCDEF
cócáccạnhcóđộdàinhỏhơn1.Chứngminhrằngtrongba
đườngchéo , ,AD BE CFcóítnhấtmộtđườngchéocóđộdàinhỏhơn
2.
Bài toán4.5. Chohaiđườngtròn đồngtâm,bánkínhcủađườngtrònnàygấpđôibánkínhcủa
đườngtrònkia.
A BCD

làtứgiánộitiếpđườngtrònnhỏ.Cáctia , , ,AB BC CD DA lầnlượtcắtđường
trònlớntại ', ', ', '.A B C D
Chứngminhrằng:Chuvitứgiác
' ' ' 'A B C D
lớnhơn2lầnchuvitứgiác
.ABCD
ĐỊNHLÝPTOLEMYMỞ RỘNG
1. ĐịnhlýPtolemymởrộng.Cho ABC D nộitiếpđườngtròn
( )
.O Đườngtròn
( )
1
O thayđổi
luôntiếpxúcvới
»
BC
(khôngchứa A).Gọi ', ', 'AA BB CC lầnlượtlàcáctiếptuyếntừ , ,A B C đến
đườngtròn
( )
1
,O thìtacóhệhệthứcsau
. ' . ' . '.BC AA CA BB AB CC = +
Chứngminh.
Xét trường hợp
( )
O và
( )
'O tiếp xúc ngoài
với nhau(trường hợptiếp xúctrongchứng minh
tươngtự).

GiảsửMlàtiếpđiểmcủa
( )
O và
( )
' .O MA,
MB,MCtheothứ tựcắt
( )
'O tạiX,Y,Z.
Lúcđó / / , / / , / / .YZ BC XZ AC XY AB Theo
địnhlýThalèstacó
( )
1
AX BY CZ
AM BM CM
= =
Lạicó
( )
2 2 2
' . , ' . , ' . 2AA AM AX BB BM BY CC CM CZ = = =
Từ(1)và(2)suyra
2 2 2
2 2 2
' ' 'AA BB CC
AM BM CM
= = hay
' ' 'AA BB CC
AM BM CM
= =
TừđịnhlýPtolemychotứ giácnộitiếp MCAB thuđược . . .BC MA CA MB AB MC = +
Dođó . ' . ' . '.BC AA CA BB AB CC = +

2. Cácbàit oánứngdụng.
A’
C’
B’
Z
Y
X
O
O’
M
B
A
C
Bàitoán2.1.Cho2đườngtròntiếpxúcnhau,ởđườngtrònlớnvẽtamgíacđềunộitiếp.Từcác
đỉnhcủatamgíackẻcáctiếptuyếntớiđườngtrònnhỏ.Chứngminhrằngđộdàimộttrongbatiếptuyến
đóbằngtổnghaitiếptuyếncònlại.
Lờigiải.
Coirằngđườngtrònnhỏ tiếpxúc với
»
BC
(khôngchứa A) vàđặt , ,
a b c
l l l lần lượt làđộ dàicác
đườngtiếptuyếnkẻtừ , ,A B C đếnđườngtrònnhỏ.
TừđịnhlýPtolemymởrộngtacó
.
a b c a b c
al bl cl l l l = + Þ = +
Bàitoán2.2.ChohìnhvuôngABCDnộitiếpđườngtròn
( )

O .Mộtđườngtrònthayđổitiếpxúc
vớiđoạnCDvàcungnhỏCD,kẻtiếptuyếnAX,BYvớiđườngtrònnày.ChứngminhrằngAX+BY
khôngđổi.
Lờigiải.
Khôngmấttínhtổngquát,coirằnghìnhvuôngABCD
có độ dài cạnh bằng 1. Từ đó dễ dàng suy ra
2.AC BD = =
Áp dụnh định lý với các tam gíac ACD và BCD, ta
được
. . .
. . .
CD AX AD CM AC DM
CD BY BC DM BD CM
= +
ì
í
= +
î
.Cộnghaiđẳngthức
này,suyra
1 2.AX BY + = +
Bàitoán2.3.
( )
ABC AB BC D < nộitiếpđườngtròn
( )
.O Trêncạnh AC lấyđiểm
1
,B saocho
1
.BB BA c = = Gọi R làbánkínhđườngtròn

( )
1
O tiếpxúc
1 1
,BB B C vàcungnhỏBC(Khôngchứa
A)và r làbánkínhđườngtrònnộitiếp
1
.BB C D Chứngminhrằng .R r =
Lờigiải.
Giảsửđườngtròn
( )
1
O tiếpxúcvới
1 1
,BB B C lần
lượttại ,M N .
Đặt
( )
1 1
0 .B M x B N x c = = < <
Suyra
2 .cos
.
2 .cos
a
b
c
l AM x c A
l BN c x
l CM b x c A

= = +
ì
ï
= = -
í
ï
= = - -
î
Ápdụngđịnhlý,tađược
B
1
O
B
A
C
O
1
N
M
B
X
D
C
O
A
I
M
Y
a b c
al bl cl = + hay

( ) ( ) ( )
2 .cos 2 .cosx x c A b c x c b x c A + = - + - -
Suyra
( )
( )
2
2 .cos .cos .a b c x bc c A ac A + + = - -
Gọi y làđộdàitiếptiếptừ
1
B tớiđườngtrònnộitiếp
1
.BB C D
Thếthìtacó
( ) ( )
( )
1 1
1 1
2 .cos
2 2
y BB B C BC c b c A a = + - = + - -
Lạicó
( )
( )( )
( )
2
2
2 2 2 2
2 2 2 .cos .cos 2 .cos
2 2 .cos 2 .cos .
R r x y bc c A ac A a b c c b c A a

bc b c a bc A a b c bc A
= Û = Û - - = + + + - - Û
Û = + - - Û = + -
Từđâytađượcđiềuphảichứngminh.
3. Bàitập.
3.1. [TH&TT bài T8/369] Cho ABC D nội tiếp đường tròn
( )
O và có độ dài các cạnh
, , .BC a CA b AB c = = = Gọi
1 1 1
, ,A B C theothứtựlàđiểmchínhgiữacung
»
BC
(khôngchứaA),
»
CA
(khôngchứaB),
»
AB (khôngchứaC).Vẽcácđườngtròn
( ) ( )
( )
1 2 3
, ,O O O theothứtựcóđườngkínhlà
1 2 1 2 1 2
, , .A A B B C C Chứngminhbấtđẳngthức
( ) ( )
( )
( )
1 2 3
2

/ / /
.
3
A O B O C O
a b c
P P P
+ +
+ + ³
Đẳngthứcxảyrakhinào?
3.2. [TH&TTbàiT11/359]Cho .ABC D Đườngtròn
( )
1
O nằmtrongtamgiácvàtiếpxúcvớicác
cạnh , .AB AC Đườngtròn
( )
2
O điqua ,B C vàtiếpxúc ngoàivớiđườngtròn
( )
1
O tại .T Chứng
minhrằngđườngphângiáccủagóc BTC điquatâmđườngtrònnộitiếpcủa .ABC D
MỘTTỈSỐVÀỨ NG DỤNG
DựatheobàicủaSonHongTa
TrênMathematicalreflections2(2008)
Trongbài“ĐịnhlýPtolemymởrộng”tađãthấymộttínhchấtthúvịđốivớihaiđườngtròntiếpxúc
nhau,ởbàinàytatiếptụctìmhiểuthêmvềmộttínhchấtkhácđốivớihaiđườngtròntiếpxúctrongvới
nhauvàsựứngdụngcủatínhchấtnày.
BổĐề. Cho Avà B làhaiđiểmnằmtrênđườngtròn
.
g

 Mộtđườngtròn
r
 tiếpxúctrongvới
g
 tại .T Gọi AE
và BF làhaitiếptuyếnkẻtừ Avà Bđến
r
.Thìtacó
.
TA AE
TB BF
=
Lờigiải.Gọi
1
A và
1
B làgiaođiểmthứhaicủa ,TA TB
với
r
.Chúngtabiếtrằng
1 1
A B songsongvới .AB Vì thế
tacó,
F
E
B
1
A
1
T

A
B
2 2
1 1
1 1 1 1 1 1
.
. .
.
AE AA AT BB BT BF
TA AT AT BT BT TB
æ ö æ ö
= = =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Suyra
1
1 1 1
,
AE BF AE TA TA
TA TB BF TB TB
= Þ = = đâychínhlàđiềuphảichứngminh.
Đểminhhọachobổđềnày,chúngtasẽđếnvớimộtvàivídụ.Bàitoánsauđâyđãđượcđềnghịcủa
NguyễnMinhHà,trongtạpchítoánhọcvàtuổitrẻ(2007).
Bàitoán1.Cho W làđườngtrònngoạitiếpcủatamgiác ABC và D làtiếpđiểmcủađườngtròn
( )
I
r
 nộitiếptamgiác ABC vớicạnh .BC Chứngminh
rằng
0

90 .ATI Ð =
Lờigiải.Gọi E và F lầnlượtlàhaitiếpđiểmcủa
đườngtròn
( )
I
r
 vớicạnhCAvà .AB Theobổđềtrênta
có,
.
TB BD BF
TC CD CE
= =
VìvậytamgiácTBF vàTCE đồngdạng.Suyra
,TFA TEA Ð = Ð cónghĩalà , , , ,A I E F T cùngnằmtrên
mộtđườngtròn.
Vậy
0
90 .ATI AFI Ð = Ð =
Bàitoán2.Cho ABCD làtứgiácnộitiếptrongđường
tròn . W Cho
w
 làđườngtròntiếpxúctrongvới W tại ,T
vàtiếpxúcvới ,BD AC tại , .E F Gọi Plàgiaođiểmcủa EF với .AB ChứngminhrằngTP là
đườngphângiáctrongcủagóc .ATB Ð
Lờigiải. Từbổđề,chúngtacóđược ,
AT AF
BT BE
= vìvậybàitoánsẽđượcchứngminhnếutacó
.
AF AP

BE PB
=
A
T
C
B
I
F
D
E
E
P
A
C
D
B
T
F
Chúýrằng ,PEB AFP Ð = Ð vàtừđịnhlýhàmsinđốivớihaitamgiác , ,APF BPE chúngtacó
được
sin sin
.
sin sin
AP AFP BEP BP
AF APF BPE BE
Ð Ð
= = =
Ð Ð
Vìvậy,tađược ,
AF AP

BE PB
= suyrađiềuphảichứngminh.
Sau đây là toán từ “Moldovan Team Selection” năm
2007.
Bài toán 3. Cho tam giác ABC và W là đường tròn
ngoạitiếptamgiác.Đườngtròn
w
 tiếpxúctrongvới W tại
,T vàvới cạnh ,AB AC ở , .P Q Gọi S làgiaođiểmcủa
AT với .PQ Chứngminhrằng .SBA SCA Ð = Ð
Lờigiải.
Dùngbổđề,tacó
sin sin
.
sin sin
BP BT BCT BAT PS
CQ CT CBT CAT QS
Ð Ð
= = = =
Ð Ð
Từđâydễdàngsuyrahaitamgiác BPSvà CQS đồng
dạng.
Vìvậy .SBA SCA Ð = Ð
Bàitoán 4.Chođườngtròn
( )
O códâycung AB .Gọi
( ) ( )
1 2
,O O làhaiđườngtròntiếpxúctrong
với

( )
O và AB .Gọigiaođiểmgiữa
( ) ( )
1 2
,O O là , .M N Chứngminhrằng MN điquatrungđiểm
cung AB (khôngchứa ,M N ).
Lờigiải.Gọi Pvà Q lầnlượtlàtiếpđiểm
củađườngtròn
( )
1
O với
( )
O và .AB R và
S lầnlượclàtiếpđiểmcủađườngtròn
( )
2
O
với
( )
O và .AB Cho T là trung điểm của
cung AB (khôngchứa ,M N ).
Áp dụng bổ đề đối với hai đường tròn
( ) ( )
1
,O O vàhaiđiểm ,A B vớihaitiếptuyến
,AQ BQ tớiđườngtròn
( )
1
O ,thìchúngtacó
.

PA QA
PB QB
=
Điềunàycónghĩalà PQ điqua .T
Tươngtự, RS cũngđiqua .T
Mặtkhác,talạicó
,
PQA QTA QAT
PRA ART PRS
Ð = Ð + Ð =
= Ð + Ð = Ð
P
N
M
T
B
A
S
Q
R
S
B
P
C
A
T
Q
K
M
A

Q
P
T
B
C
Nênbốnđiểm , , ,P Q R S cùngnằmtrênmộtđườngtrònvàgọinólàđườngtròn
( )
3
O .
Chúýrằng PQ làtrụcđẳngphươngcủa
( )
1
O và
( )
3
,O RS làtrụcđẳngphươngcủa
( )
2
O và
( )
3
,O còn MN làtrụcđẳngphươngcủa
( )
1
O và
( )
2
.O Vìvậybađườngthẳng , ,PQ RS MN sẽđồng
quytạitâmđẳngphươngcủabađườngtrònnày.
Vậytasuyrađược MN sẽđiqua .T

Chúngtasẽtiếptụcvớimộtbàitoántrong“MOSPTests”năm2007.
Bàitoán5.Chotamgiác ABC .Đườngtròn
w
 điqua , .B C Đườngtròn
1

w
 tiếpxúctrongvới
w

vàhaicạnh ,AB AC lầnlượttại , , .T P Q Gọi M làtrungđiểmcủacung BC(chứaT)củađườngtròn
.
w
 Chứng minh rằng ba đường
thẳng , ,PQ BC MT đồngquy.
Lờigiải.
Gọi K PQ BC = Ç và
' .K MT BC = Ç Áp dụng định
lý Menelaos trong tam giác
ABC ,tađược
. . 1
.
KB QC PA
KC QA PB
KB BP
KC CQ
= Þ
Þ =
Mặt khác, M làtrung điểm
của cung BC(chứa T) của

w

nên MT là đường phân giác
ngoài của góc .BTC Ð Vì vậy,
bàitoánsẽđượcchứngminhnếu
ta có
.
BP TB
CQ TC
=
Nhưng điều
này đúng theo bổ đề, nên ta có điều phải
chứngminh.
Bàitoán6. Cho
( ) ( )
1 2
,O O làhaiđường
tròntiếpxúctrongvớiđườngtròn
( )
O tại
, .M N Tiếp tuyến chung trong của hai
đườngtrònnàycắt
( )
O ởbốnđiểm.Gọi B
và C làhaitrongbốnđiểmtrênsaocho B
và C nằmcùngphíavới
1 2
.O O Chứngminh
rằng BC song song với một tiếp tuyến
chungngoàicủahaiđườngtròn

( ) ( )
1 2
, .O O
Lời giải. Vẽ hai tiếp tuyến chung trong
,GH KL của
( ) ( )
1 2
,O O saocho ,G L nằm
trên
( )
1
O và ,K H nằmtrên
( )
2
.O Gọi EF
M
Y
X
A
C
K
L
B
H
G
Q
P
F
E
N

làtiếptuyếnchungngoàicủa
( ) ( )
1 2
,O O saocho ,E B nằmcùngphíasovới
1 2
.O O ,P Q làgiaođiểm
của EF với
( )
.O Giờđâytachỉcầnchứngminh BC songsongvới .PQ Gọi Alàtrungđiểmcung
PQ khôngchứa , .M N Vẽhaitiếptuyến ,AX AY đếnđườngtròn
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
, , .O O X O Y O Î Î
Trongbàitoán4tađãchứngminhđượcrằng , ,A E M thẳnghàng; , ,A F N thằnghàng,và MEFN là
tứgiácnộitiếp.Vìvậy,
2 2
. .AX AE AM AF AN AY = = = hay .AX AY =
Theobổđềtacó, .
MA MB MC
AX BG CL
= = MặtkháctheođịnhlýPtolemy,tađược
. . . ,MA BC MB AC MC AB = +
Suyra . . . .AX BC BG AC CL AB = +
Tươngtựtacũngcó . . . .AY BC BH AC CK AB = +
Nên
( ) ( )
. . ,AC BH BG AB CL CK - = - hay . . ,AC GH AB KL = suyra .AC AB = Điềunàycó
nghĩalà Alàtrungđiểmcung BC củađườngtròn
( )

.O
Vìvậy BC// .PQ
CỰCVÀĐỐICỰC
1.1. Địnhnghĩa:
Chođườngtròn(C)tâmObánkínhr,mộtđiểmPởngoài(C).TrênOPlấyP’saochoOP.OP
2
=r
2
.
Tanói:đốicựccủaPlàđườngthẳngdvuônggócvớiOPtạiP’.Ngượclại,vớimọiđườngthẳngd
khôngquatâmO,tanóiPlàcựccủađườngthẳngd.
1.2. Tínhchất:
1. VớiđiểmPởngoài(O,r),từPkẻ2tiếptuyếnPX,PYcủa(O,r).GọiP’làgiaođiểmcủaXYvà
OP.Tacó OP XY ^ .KhiđótanóiđốicựcdcủađiểmPlàđườngXY.Ngượclại,vớihaiđiểmphân
O
P
P'
X
Y
biệtX,Ytrênđườngtròn(O,r),cựccủaXYlàđiểmP(điểmgiaonhaucủahaitiếptuyếntạiX,Ycủa
(O,r).ĐiểmPnằmtrênđườngtrungtrựccủađoạnthẳngXYvà
·
·
90
o
OXP OYP = =
.
2. Chox,ylầnlượilàđốicựccủaX,Y,tacó X y Y x Î Û Î (Địnhlý LaHire).
3. Chox,y,zlầnlượtlàđốicựccủabađiểmphânbiệtX,Y,Z,tacó Z x y z XY = Ç Û º
· Chứng minh. Sử dụng định lý La Hire, ta có Z x y = Ç Û X thuộc z và Y thuộc z

z XY Û =
4. Cho W, X, Y, Z nằm trên (O,r). Đối cực p của WZP XY = Ç là đường thẳng qua điểm
WXQ ZY = Ç và ZR X YW = Ç .
· Chứngminh:lấyS,Tlầnlượt làcựccủas=XY,t=WZ, P s t = Ç .Sửdụngtínhchất(3.),
, wS x y T z = Ç = Ç và p ST = . Với lục giác WXXZYY, ta có:
WX , X ,Q ZY S X YY R XZ YW = Ç = Ç = Ç
XXlàtiếptuyếntạiX.tacóS,Q,Rcùngthuộcmộtđườngthẳng.Tươngtựđốivớilụcgiác
XWWYZZ,tathấyQ,T,Rcùngthuộcmộtđườngthẳng.Từđótasuyrađượcp=ST=QR.
Mộtsốvídụứngdụngcáctínhchấtcựcđốicực:
1.3.1 ChonửađườngtròntâmOđườngkínhUV.P,Qlàhaiđiểmthuộcnửađườngtròn đósaocho
UP<UQ.RlàgiaođiểmcủahaitiếptuyếncủanửađườngtròntạiP,QvàSlàgiaođiểmcủaUPvàVQ.
Chứngminhrằng SR UV ^ .
Hướnggiải
Lấy K PQ UV = Ç .Theotínhchất(4.)tacóđườngđốicựccủaKđíquađiểmS.Haitiếptuyến
củanửađườngtròntạiPvàQcắtnhautạiRnênđốicựccủaRlàPQ.TừđiểmKtrênPQ,ápdụngđịnh
2.39cmO
2 .39cm
2.39c
U V
S
R
P
Q
O
R
lýLaHire,tacóRnằmtrênđườngđốicựccủaK,dođóđốicựccủaKlàđườngRSvàKthuộcđường
thẳngchứađườngkínhUVnêntacó SR UV ^ .
1.3.2 ChotứgiácABCDvàđườngtròn(O,r)nộitiếptứgiác.GọiG,H,K,Llầnlượtlàtiếpđiểm
củaAB,BC,CD,DAvới(O).KéodàiAB,CDcắtnhautạiE,ADvàBCcắtnhautạiF,GKvàHLcắt
nhautạiP.Chứngminhrằng EFOP ^ .

Hướnggiải.
Sửdụngtínhchất1vềcựcvàđốicực,tacóđốicựccủahaiđiểmphânbiệtE,FlàGKvàHL.Lại
cóGKcắtHLtạiP.Ápdụngtínhchất3tacóđốicựccủaPlàEF.Theođịnhnghĩavềđốicựctacó
EFOP ^ .
1.3.3 ChonửađườngtròntâmOđườngkínhAB.Clàmộtđiểmnằmngoàiđườngtròn.TừCvẽcát
tuyếncắt(O) theothứtựtạiD,E.Gọi(O1)làtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácOBDcóđườngkính
OF.ChứngminhbốnđiểmO,A,E,Gcùngthuộcmộtđườngtròn.
Hướnggiải.
P
E
D
C
B
A
H
O1
Q
O
F
O
A
B
C
D
K
P
H
G
L
E

F
KéodàiAEcắtBDtạiP,theotínhchất4tacóđốicựccủaPvớiđườngtròntâmOlàđườngthẳng
quaCvàHvớiHlàgiaođiểmcủaADvàEB.TacóOP CH ^ .LấyQlàgiaođiểmcủaOPvàCH.
Lại có
· ·
·
0
90PQH PDH PE H = = = , nên P, E, Q, H, D cùng thuộc một đường tròn, mà
·
·
·
PQD PED DBO = = ,nênQ,D,P,Ocùngnằmtrênmộtđườngtròn.TừđótasuyraQtrùngG,và
đâylàgiaođiểmcủađườngtrònngoạitiếptamgiácOBDvàđườngtròn đườngkínhOC.
Vì D . D. .P B OG PE PA P PB PG PO = Ç Þ = = nênO,A,E,Gcùngthuộcmộtđườngtròn.
1.3.4 ChotứgiáclồiABCDnộitiếpđườngtròntâmO,ElàgiaođiểmcủaACvàBD.Chọnmột
điểmPthuộc(O)saocho
·
·
·
·
D B C 90
o
PA PC PB PDC + = + =
.ChứngminhrằngO,P,Ethẳnghàng.
Hướnggiải.
Gọi
( ) ( ) ( )
1 2
, ,O O O lầnlượtlàcácđườngtrònngoạitiếpABCD, , DPAC PB D D .
Ta có đốicực của

1
O đối với
( )
O làđường
AC.
Tacó:
·
·
·
·
·
·
360 ( )
270 90 D
o
o o
APC PAB PCB ABC
ABC A C
= - + + =
= - = +
Và
·
·
1 2.(180 )
o
AO C APC = -
·
2.(90 D )
o
A C = -

·
180 2 D
o
A C = -
·
180
o
AOC = -
Nên
·
·
1 180
o
AOC AO C + =
.
Tươngtự,đốicựccủa
2
O với(O)làBD.Theotínhchất3tacó:ElàgiaođiểmcủaACvàDB,nên
đốicựccủaEđốivới(O)là
1 2
O O .Vìthế
1 2
.OE OO ^
1.3.5 ChoIlàtâm đườngtrònnộitiếptamgiácABC.AB,AC,BCtiếpxúc(I)lầnlượttạiM,L,K.
ĐườngthẳngquaBsongsongvớiMKcắtLM,LKlầnlượttạiRvàS.ChứngminhtamgiácRISlàtam
giácnhọn.
Hướnggiải.
O1
O2
E

A
B
O
D
C
P