sử dụng hệ thặng dư đầy đủ, thặng dư thu gọn, thặng dư trung hoa để giải toán số họ

1
BàiviếtnàycủathầyNguyễnDuyLiênđãđượcđăngtrongTạpchíToánHọcvà
TuổiTrẻtronghaisốtháng8và9năm2013.Cảm ơnthầygửiđến chia sẻ với
www.laisac.page.tl
SỞGIÁODỤCVÀ ĐÀOTẠOVĨNHPHÚC
TRƯỜNGTHPTCHUYÊNVĨNHPHÚC
BÁOCÁOKẾTQUẢ
SÁNGK IẾNK INHNGHIỆM
TÊNSÁNGKIẾNKINHNGHIỆM:SỬDỤNGHỆTHẶNGDƯĐẦYĐỦ,
THẶNGDƯTHUGỌN,THẶNGDƯTRUNGHOAĐỂGIẢITOÁNSỐHỌC.
MÔN :TOÁNHỌC
TỔBỘMÔN :TOÁNTIN
MÃ :55
NGƯỜITHỰCHIỆN:NGUYỄNDUYLIÊN
ĐIỆNTHOẠI:01233045361
Email:
2
LỜINÓIĐẦU
Ngạn ngữ Pháp có câu: "Le Mathématique est le Roi des Sciences mais
L’ArithmétiqueestlaReine",dịchnghĩa:"Toánhọclàvuacủacáckhoahọcnhưng
SốhọclàNữhoàng".ĐiềunàynóilêntầmquantrọngcủaSốhọctrongđờisốngvà
khoahọc.Sốhọcgiúpconngườitacócáinhìntổngquát,sâurộnghơn,suyluận
chặtchẽvàtưduysángtạo.
TrongcáckìthichọnhọcsinhgiỏicáccấpTHCS,THPTcấptỉnh,cấpQuốc
gia,cấpkhu vực, cấp quốc tế,cácbàitoán về Số họcthườngđóngvaitròquan
trọng.ChúngtacóthểlàmquennhiềudạngbàitoánSốhọc,biếtnhiềuphương
phápgiải,nhưngcũngcóbàichỉcómộtcáchgiảiduynhất.Mỗikhigặpmộtbài
toánmớichúngtalạiphảisuynghĩtìmcáchgiảimới.Sựphongphúđadạngcủa
các bàitoánSốhọcluôn làsựhấpdẫnđốivớimỗi giáoviên,họcsinhgiỏi yêu
toán.Xuấtpháttừnhữngýnghĩđótôiđãsưutầmvàhệthốnglạimộtsốbàitoán
đểviếtlênchuyênđề"Sửdụnghệthặngdưđầyđủ,hệthặngdưthugọn,thặngdư

TrungHoađểgiảitoán Sốhọc".
Chuyênđềgồmcácphần:
PhầnI:Kiếnthứccơbản.
PhầnII:Ứng dụnghệthặngdưđểgiảitoán
· Ứng dụng1: Sửdụnghệthặngdưđểtínhtổng
· Ứng dụng2:Sửdụnghệthặngdưtrongcácbàitoánđathức,dãy sốnguyên.
· Ứngdụng3:Sửdụnghệthặngdưtrongtậpcontậpsốnguyêndương,bài
toánsốhọcchiahết
· Ứng dụng4: Sửdụnghệthặngdưtrongphươngtrình Đi ÔPhăng bậcnhất.
Phần III:Bàitậptươngtự.
Mụctiêuởđâylàmộtsốbàimẫu,mộtsốbàikhácbiệtcănbảnđãnóilên
được phần chính yếu của chuyên đề. Tuy vậy, những thiếu sót nhầm lẫn cũng
khôngthểtránhkhỏiđượctấtcả,vềphươngdiệnchuyênmôncũngnhưphương
diệnsưphạm.Lốitrìnhbàybàigiảicủatôikhôngphảilàmộtlốiduynhất.Tôiđã
cốgắngápdụngcáchgiảichophùhợpvớichuyênđề,họcsinhcóthểtheomà
khônglạchướng.Ngoàiralúcviếttôiluônluônchúýđếncácbạnvìnhiềulído
phảitựhọc,vìvậygiảndịvàđầyđủlàphươngchâmcủatôikhiviếtchuyênđề
này.
Tôixintrânthànhcảmơncácthầycôgiáo,cácemhọcsinhgópýthêmcho
nhữngchỗthôlâuvàphêbìnhchânthànhđểcódịptôisửachữachuyênđềnày
hoànthiệnhơn.
VĩnhYên,TrungThu,năm2012
NGUYỄNDUYLIÊN
3
PHẦNI.KIẾNTHỨCCƠBẢN
1.Hệthặngdưđầyđủ
Chotập
{ }
1 2 n
A a ,a , ,a . = Giảsử

i i
r ,0 r n 1 £ £ - làsốdưkhichia
i
a cho
i
r.
Nếutậpsốdư
{ }
1 2 n
r ,r , ,r trùngvớitập
{ }
0,1, ,n 1 - thìtanóiAlàmộthệthặng
dưđầyđủ(gọitắtlàHĐĐ)modunn.
Dễ thấy: Tập A lập thành một HĐĐ(modun n) nếu và chỉ nếu:
( )
i j
i j a a modn ¹ Þ ¹ .
Nếu
{ }
1 2 n
A a ,a , ,a = làHĐĐmodnthìtừđịnhnghĩadễsuyra
· Vớimọi mÎZ tồntạiduynhất
i
a A Î saocho
( )
i
a m modn º .
· Vớimọi a ÎZ tập
{ }
1 2 n

a A a a ,a a , ,a a + = + + + làHĐĐmodn
· Vớimọi cÎZ,
( )
c,n 1 = ,tập
{ }
1 2 n
cA ca ,ca , ,ca = làHĐĐmodn.
Tập
{ }
*
A 0,1,2, ,n 1 = - làHĐĐmodnkhôngâmnhỏnhất.
SốphầntửcủatậpAbằng A n =
2.Hệthặngdưt hugọn.
Chotập
{ }
1 2 k
B b ,b , ,b = làmộttậphợpksốnguyênvà
( )
i
b ,n 1 = vớimọi
i 1,2, ,k = .Giả sử
i i i i
b q n r ,1 r n = + £ < .Khi đó dễ thấy
( )
i
r ,n 1 = . N ếu tập
{ }
1 2 k
r ,r , ,r bằngtập K gồmt ất cả các sốnguyêndươngbé hơn nvà nguyên tố
cùngnhauvớinthìBđượcgọilàhệthặngdưthugọnmodn,gọitắtlàHTGmod

n.
Dễthấytập
{ }
1 2 k
B b ,b , ,b = gồmksốnguyênlậpthànhmộtHTGmodn
khivàchỉkhi:
1)
( )
i
b ,n 1 = ;
2)
( )
i j
b b modn ¹ với1 i j k £ ¹ £ ;
3)SốphầntửcủaBlà
( )
n j (trongđó
( )
n j làhàmƠlecủan.
Điềukiện3)tươngđươngvới
'
3 )Vớimọi x ΢ ,
( )
x,n 1 = tồntạiduynhất
i
b B Î saochox º
( )
i
b modn .
Từ định nghĩa ta suy ra nếu tập

{ }
1 2 k
B b ,b , ,b = là HTG mod n
vớic , ΢
( )
c,n 1 = thìtập
{ }
1 2 k
B cb ,cb , ,cb = cũnglàHTGmodn.
4
Ngy xa ngi ta ó s dng H,HTG chng minh cỏc nh lớ
le,Fộcma.trongchuyờntakhụngnúilina.
2.nhlýthngdTrungHoa.
nh lớthng d Trung Hoa l mt trong nhng viờn Kimcngca toỏn hc
.nhlớnyvamangtớnhpmtcaToỏnhcthuntuý,vacúngdngsõu
xa.Triquanhiuthii,núccibiờndinhiuhỡnhthc,chocToỏnhc
cinlnhini.
a)nhlýthngdTrungHoadngngin.
Gi r v
s
lcỏcsnguyờndngnguyờntcựngnhau,
a
v blhaisnguyờn
tuý.Khiútntimtsnguyờn N saocho:
( )
( )
mod
mod
N a r
N b s

ỡ
ù
ớ

ù
ợ
ngoira, N c
xỏcnhduynhttheomodulo
rs
b)nhlýthngdTrungHoadngtngquỏt.
Cho k s nguyờn dng
1 2 3
, , , ,
k
n n n n ụi mt nguyờn t cựng nhau v k s
nguyờnbtkỡ
1 2 3
, , , ,
k
a a a a .Khiútntisnguyờn
a
thomónh:
( )
mod
i i
a a n vi 1,2, ,i k " = (1).S nguyờn btho món (1) khi v ch khi
( )
modb a n trongú
1 2 3

.
k
n n n n n = .
PHNII.NGDNGHTHNGDGIITON
ã ngdng1.Sdnghthngd tớnhtng,snghim
camtphngtrỡnh.
Vớd1.1.
Vimicpsnguyờndngnguyờntcựngnhau
( )
p,q t
( )
p 1 q
q 2q
S
p p p
-
ộ ự
ộ ự ộ ự
= + + +
ờ ỳ
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
ở ỷ
L ,trong ú
[ ]
x l s nguyờn ln nht khụng vt
quỏx.Hóyxỏcnhcỏcgiỏtrcap,qSlmtsnguyờnt.
Ligii:
Vimi a ẻĂ t
{ }

[ ]
a a a = - .Khiúvi k ẻƠ tacú
k
kq r
p p
ỡ ỹ
=
ớ ý
ợ ỵ
õy
k
r lsdtrongphộpchia kq chopdovy:
k
0 r p 1 Ê Ê - ,
( )
p 1
1 2
r
p 1 q
q 2q r r
S
p p p p p p
-
-
ổ ử
= + + + - + + +
ỗ ữ
ố ứ
L L
5

vì
( )
p,q 1 =
k
r 0 k 1,2, ,p 1 Þ ¹ " = - từ đó ta thấy tập
{ }
1 2 p 1
A r ,r , ,r
-
= chính là
mộthoánvịcủatập
{ }
A 1,2, ,p 1 = - thậyvậyngượclại:
{ }
i, j 1,2, ,p 1 ,i j $ Î - < mà
i j
r r =
( )
1 j i p 2
1 j i p 2
j i q p j i p
£ - £ -
£ - £ - ì
ì
Þ Û
í í
- -
î
î
M M

vôlí
Từđó
p 1
1 2
r
r r 1 2 p 1 p 1
p p p p 2
-
+ + + - -
+ + + = =
L
L
( )( )
p 1 q 1
S
2
- -
Þ =
( )
1
Từ
( )
1
đểSlàsốnguyêntốcầncóp 1,q 1 ¹ ¹ vàítnhất1trong2sốp,qlẻ
Trườnghợp1:p,qcùnglàsốlẻ p,q 3,p q Þ ³ ¹ do
( )
p,q 1 = ,kếthợp(1)
S Þ làsốchẵnlớnhơn2 S Þ khônglàsốnguyêntố.
Trườnghợp2: plàsốchẵnqlàsốlẻ.
( )

( )
( )
( )
( )
p,q 1
p 1 1
p 2
q 1
q 2h 1 h
2
S
q 3
p,q 1
p t 1 t ,t 2 mod3
p 1
q 1
1
2
é
ì
ê
=
ï
ê
ï
- =
í
ê
=
é

ì
ï
ê
-
ê
í
ï
ÎÃ
ê
= + ÎÃ
î
ê
î
ê
ÎÃÛ Û
ê
ê
=
ì
ì
ï
ê
ê
í
= ï
ê
= + ÎÃ º
/
ê
ï

î
ï
ë
- ÎÃ
ê
í
ê
ï
-
ê
ï
=
î
ë
(2)
ởđâykíhiệu Ãlàtậpsốnguyêntố
Trườnghợp3:qlàsốchẵnplàsốlẻdotínhđốicủap,qcủabiểuthứcxácđịnhS
theotrườnghợp2:
( )
( )
( )
p 2m 1 m
q 2
p 3
q n 1 n ,n 2 mod3
é
= + ÎÃ
ì
êí
=

î
ê
ê
=
ì
ï
ê
í
ê
= + ÎÃ º
/
ï
î
ë
(3)
Vậytómlạitấtcảcácgiátrịp,qcầntìmlàcáccặpxácđịnhở(2)và(3).
Vídụ1.2.Tínhtổng:
k
2006
k 4
17
S
11
=
é ù
=
ê ú
ë û
å
.

Lờigiải:
Nhậnxét1:nếu
( )
a r modb º ,vớia,b,r ,0 r b 1 Î £ £ - Z thì
a a r
b b
-
é ù
=
ê ú
ë û
6
Nhnxột2:Vỡ
( )
10
17 1 mod11 nờntp
{ }
10t 10t 1 10t 9
B 17 ,17 , ,17
+ +
= l HTG mod
11núlmthoỏnvcatp
{ }
1,2, ,10 .
Nhnxột3:
mi
[ ]
i 09 ẻ ầ Z gi
i
nl s phn t ca tp hp

( )
{ }
i
D k 4 k 2006,k i mod10 = ẻ Ê Ê Z
kimtratadthy:
4 5 6
n n n 201, = = = v
0 1 2 3 7 8 9
n n n n n n n 200 = = = = = = = .
Tcỏcnhnxộtsuyra:
( )
2006
k
k
2006
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k 4
k 1
17 n 6n 3n 7n 9n 10n 5n 8n 4n 2n
17
11 11
=
=
- + + + + + + + + +
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
ồ
ồ

( )
2003
10
4
j 1
17 1
17 . 9 10 15 200 j
17 1
11
=
-
- + + -
-
=
ồ
2007
17 259905
176
-
= .
Vy
2007
17 259905
S
176
-
=
Vớd1.3.Chom,nl2snguyờndngnguyờntcựngnhauvimchnvnl
.Chngminhrng:Tng
( )

mk
n 1
n
k 1
mk
S 1 .
n
-
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
=
ỡ ỹ
= -
ớ ý
ợ ỵ
ồ
1
2n
+ khụngphthucvom,n.
Ligii:
Tachngminhrng
( )
mk
n 1
*
n
k 1
mk 1 1
S 1 .

n 2 2n
-
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
=
ỡ ỹ
= - = -
ớ ý
ợ ỵ
ồ
Tacú:
k
mk
mk n r
n
ộ ự
= +
ờ ỳ
ở ỷ
trongú
{ }
k
0 r n 1 k 1,2, ,n 1 Ê Ê - " ẻ - .
Tathyrng:
a) Do
( ) { }
k
m,n 1 r 0 k 1,2, ,n 1 = ị ạ " ẻ - tútp
{ }

1 2 n 1
B r ,r , ,r
-
= lmthoỏnvcatp:
{ }
1,2, ,n 1 - .
b)
k
mk r
n n
ỡ ỹ
=
ớ ý
ợ ỵ
vik 1,2, ,n 1 = - .
c) Vimchnnl
( )
k
mk
r mod2
n
ộ ự

ờ ỳ
ở ỷ
.
Tú
( ) ( )
k
nk

r
m
1 1 k 1,2,3, ,n 1
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
- = - " = -
( ) ( ) ( )
k
n 1
r
*
k
k 1
1
S 1 r 2 4 n 1 1,3, ,n 2
n
-
=
= - = + + + - - -
ộ ự
ở ỷ
ồ
L L
1 1
2 2n
= - (pcm)
Vớd1.4.
Choplsnguyờnt
( ) ( )

p 3 mod8 p 5 mod8 ,vp=2q+1
( )
qẻ
7
Tớnhtng
p 1
2 4 2
S
-
= w + w + + w L
(vi 1 w ạ lnghimcapt:
p
1 w =
)
Ligii:
( )
p 3 mod8 ị 2khụnglschớnhphngmodp
2
1
p
ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ
( ) ( )
( )
( )
p 1
*
q 2q

2
2 1 modp 2 1 modp 2 1 mod p
-
- - ị .Gihlcpca2theo
modp
( )
h
2 1 modp ị .Vytacú h p 1 2q - =
doqẻ h 1 h 2 h q h 2q ị = = = = .
ã h 1 =
( ) ( )
2 1 mod p 1 0 modp ị (loi)
ã h 2 =
( )
2
2 1 mod p p 3 q 1 ị ị = ị = khụnglsnguyờnt(loi)
ã h q =
( )
( )
**
q
2 1 modp ị t(*),(**)
( )
2 0 modp ị p 2 ị = (loi)
ã h 2q p 1 = = - ị 2lcnnguyờnthumodp
ị
{ }
1 2 p 1
A 2 ,2 , ,2
-

= lHTG
modpnúlmthoỏnvcatp
{ }
1,2,3, ,p 1 - tútacútng
( )
p 1
p 1
2 4 2 2 p 1
1
S
1
-
-
-
w w -
= w + w + + w = w+ w + + w =
w -
L L
p
1
1
1 1
w -w - w
= = = -
w - w-
Vớd1.5.
Cho p l s nguyờn t l vi mi i 1,2, ,p 1 = - .Kớ
hiu:
( )
p

i
i r modp (
i
rphn d ca
p
i khi chia cho p).Tớnh tng :
1 2 p 1
S r r r
-
= + + + L .
Ligii:
( ) ( ) ( )
1 p 1 2 p 2 p 1 1
2S r r r r r r
- - -
= + + + + + + L tacú
( )
p
p
i p i
r r i p i i 1,2, ,p 1
-
+ = + - " = - m
( )
p
p p 1 p 1 2 p 2 2 p 11 p 1
p p p
i p i p C p i C p i C pi
- - - -
+ - = - + + + L

do
( )
i
p
p C 0 modp i 1,2, ,p 1 ẻị " = -
( )
2
i p i
r r 0 mod p
-
ị +
m
2 2 2
i p i i p i
0 r p ,0 r p r r p i 1,2, ,p 1
- -
< < < < ị + = " = - .Tútathuc
( )
2
3 2
p 1 p
p p
S
2 2
-
-
= = .
Vớd1.6
Tỡmsnguyờndngnhnhtcútớnhcht:Chia7d5,chia11d7vchia13d3.
Gii

8
Xét hệ phương trình:
( )
( )
( )
5 mod7
7 mod11
3 mod13
x
x
x
º
ì
ï
º
í
ï
º
î
ta có
( ) ( ) ( )
7,11 11,13 13,7 1 = = = nên theo
địnhlýthăngdưTrunghoahệtrêncó1nghiệmlà
3
1
j j j
j
a N b a
=
=

å
trongđó
1 1 2 2 3 3
7, 11 13143, 11, 13.7 91, 13, 7.11 77n N n N n N = = × = = = = = = .Nêntacó:
( )
1 1 1 1
3 1 mod7 2N b b b º º Þ = - tươngtự
2 3
4, 1b b = = - vậy
( ) ( )
143. 2 .5 91.4.7 77. 1 .3 887a = - + + - = .Tấtcảcácnghiệmcủahệcódạng
( )
887 1001b t t = + Î¥ .Vậysốcầntìmlà887.
Vídụ1.7.
Cho
m
làmộtsốnguyêndương,tìmsốnghiệmcủaphươngtrình:
( )
2
modx x m º .
Giải.Giảsử
( )
1 2
1 2
,
k
k i i
m p p p p
a a a
= Îà a Î¥ .Tacó

( )
2
modx x m º khivàchỉkhi
( )
( ) ( )
( )
( )
2
mod 1,2, , 1 0 mod 1,2, ,
i i
i i
x x p i k x x p i k
a a
º " = Û - º " =
Vì
( ) ( )
( )
, 1 1 : 1 0 mod
i
i
x x pt x x p
a
- = Þ - º cóhainghiệmmodulo
i
i
p
a
là
( )
0 mod

i
i
x p
a
º và
( )
1 mod
i
i
x p
a
º .TheođịnhlíthặngdưTrungHoa,vớimỗibộ
1 2
, , ,
k
a a a .Hệphươngtrình
( )
mod
1,2, ,
i
i i
x a p
i k
a
ì
º
ï
í
=
ï

î
luôncónghiệmduynhấtmodulo
m
.
Do mỗiphương trình.
( )
( )
1 0 mod
i
i
x x p
a
- º đềucó hai nghiệm modulo
i
i
p
a
nên
phươngtrìnhđãchocó 2
k
nghiệm.
Vídụ1.8(VMO2008)
Cho
2008
2007 .m =
Hỏicóbaonhiêusốnguyêndương
n m £
thoảmãn điềukiện:
( )( )
2 1 5 2n n n m + + M .

Giải:
Tacó
2008 2008 4016 2008
1 2
9 .223 3 .223 . .m n n = = = Do
( )
10, 1m = nên
( )( )
2 1 5 2n n n m + + M
( )( ) ( )( ) ( )( )
|10.5.2 . 2 1 5 2 10 10 5 10 4 | 5 4m n n n n n n m x x x Û + + = + + Û + + trong
đó 10x n = .Tacó
( )( )
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
2
0 mod10
| 5 4 5 4 0 mod
5 4 0 mod
x
m x x x x x x n
x x x n
º
ì
ï
+ + Û + + º
í
ï

+ + º
î
Vì3khônglàướcchungcủa , 4, 5x x x + + nên
( )( ) ( )
1
5 4 0 modx x x n + + º khivà
chỉkhi
( )
1 1
modx r n º ởđó
{ }
1
0, 4, 5r Î - - .Tươngtự
( )( ) ( )
2
5 4 0 modx x x n + + º
khivàchỉkhi
( )
2 2
modx r n º ởđó
{ }
1
0, 4, 5r Î - - .
Vậy
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
| 2 5 5 4 0 mod10 ; mod ; modm n n n x x r n x r n + + Û º º º .(1)
9
Vậycácsố
n m £

thoảmãn điềukiện bằngsốcácsố
1 2
10 .x n n £ thoảmãn(1).Với
mỗicáchchọn
{ } { }
1 2
0, 4, 5 & 0, 4, 5r r Î - - Î - - theođịnhlíTrungHoatacóduy
nhấtmộtsố
1 2
10 .x n n £ thoảmãn(1).Vậycó9sốthoảmãn điềukiệnbàira.
· Ứngdụng2 :Sửdụngh ệthặngdưtrong cácbàitoánđa
thức,dãysống uyên…
Vídụ2.1.Chosốnguyêndươngnvàsốnguyêntốplớnhơnn+1.Chứngminh
rằngđathức
( )
2 p
x x x
P x 1
n 1 2n 1 pn 1
= + + + +
+ + +
L khôngcónghiệmnguyên.
Lờigiải:
( )
p p 1 2
p p 1 2 1 0
P x 0 a x a x a x a x a 0
-
-
= Û + + + + + = L (*)trongđó

( )( ) ( )
( )
i
n 1 2n 1 pn 1
a i 0,1,2, ,p
in 1
+ + +
= Î =
+
Z .Từgiảthiết
( )
p,n 1 = Þ
Tập
{ }
A 1.n 1,2.n 1, ,p.n 1 = + + + là HĐĐ mod p k Þ $ duy nhất
{ }
k 1,2, ,p Î
saocho
( )
kn 1 0 modp + º hơnnữa
2
k 1,0 kn 1 p kn 1 ¹ < + < Þ + M
2
p .
Vìvậyvớisốkđócó
k
a M pđồngthờiphệsốcònlạitrongđócó
0 1
a ,a của
pt(*)đềuchiahếtchopnhưngkhôngchiahếtcho

2
p (**).
Giảsửpt(*)cónghiệmnguyên
x c =
.Khiđó:
p p 1 2
p p 1 2 1 0
a c a c a c a c a 0
-
-
Þ + + + + + = L ,
theo(**)thì
{ }
i
a p i 0,1,2, ,0 ,i k,k 0;1 " Î ¹ ¹ M .Từđósuyra
k
k
a c pM
(do p ) ÎÃ
{ }
( )
k i 2 2
i 1
c p c p a c p i 2,3, p & a c p Þ Þ Þ " Î M M M M vì
1
a p,c pM M .Từđósuy
ra
2
0
a pM mâuthuẫnvới(**)vậyđiềugiảsửlàsai,tứclàpt(*)khôngcónghiệm

nguyên
( )
P x Û khôngcónghiêmnguyên(đpcm).
Vídụ2.2.Chođathức
( )
3 2
P x x 11x 87x m = - - + trongđó mÎZ.Chứng minh
rằngvớimọimtồntạisốnguyênnsaocho
( )
P n 191M .
Lờigiải:
Bổđề:Cho
( ) ( ) ( )
3 3
p ,p 2 mod3 , x,y ,x y modp x y modp ÎÃ º " Î º Þ º Z
Thậtvậy:
· Nếu
( ) ( ) ( ) ( )
3
x 0 modp y 0 modp y 0 modp x y mod p º Þ º Þ º Û º
· Nếu x p y p
/ /
Þ M M ,do
( ) ( )
p 2 mod3 p 3k 2 k º Þ = + Î¥ ,theođịnh lí Fécma:
( ) ( )
p 1 3k 1 p 1 3k 1
x x 1 mod p , y y 1 mod p
- + - +
= º = º

10
( )
3k 1 3k 1
x y modp
+ +
Þ º theogiảthiết
( ) ( )
3 3 3k 3k
x y modp x y mod p º Þ º
Vậy
( ) ( ) ( )
( )
3k 1 3k 3k
y x.x x.y modp x y modp do y,p 1
+
º º Û º =
Trởlạibàitoán:
( )
3 2
P n n 11n 87n m = - - +
Tachứngminh
( ) ( )( )
1 2
P n P n mod191 º với
1 2
n ,n ÎZ thì
( )
1 2
n n mod191 º .Thật
vậydo

( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1 2 1 2
P n P n mod191 27P n 27P n mod191 º Û º Û
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
1 1 2 2
3n 11 18.191n 11 27m 3n 11 18.191n 11 27m mod191 - - + + º - - + +
( ) ( ) ( )
3 3
1 2
3n 11 3n 11 mod191 Û - º - theobổđềtacó:
( ) ( )
1 2 1 2
3n 11 3n 11 mod191 n n mod191 - º - Û º (do(27,191)=(3,191)=1)
{ }
1 2
n ,n A 1,2, ,191 " Î = A là HĐĐ mod191 thoả mãn
1 2
n n ¹ thì
( ) ( )( )
1 2
P n P n mod191 º
/
.
( ) ( ) ( )
{ }
*
A P 1 ,P 2 , ,P 191 Û = làHĐĐmod191
Từđósuyra

{ }
n A 1,2, ,191 $ Î = saocho
( ) ( )
P n 191 mod191 º
( )
P n 191 Û M .Vậyvớimọimtồntạisốnguyênnsaocho
( )
P n 191M .
Vídụ2.3.
Chodãysố
{ }
n
n 1
a
+¥
=
đượcxácđịnhbởi
1 n n 1
n
2
a 1,a a a
-
é ù
ê ú
ë û
= = + với n 2,3, " =
Chứngminhrằngdãy
{ }
n
n 1

a
+¥
=
chứavôsốsốnguyênchiahếtcho7.
Lờigiải:
Phảnchứng.Giảsửchỉcóhữuhạnsốtrongdãychiahếtcho7và
k
a làsố
cuốicùngcủadãychiahếtcho7,khiđótừcôngthứcxácđịnhcủadãytacó:
2k 2k 1 k 2k 1 2k k
a a a ;a a a
- +
= + = + nên
( )
2k 1 2k 2k 1
a a a b mod7
- +
º º º ,
( )
b 0 mod7 º
/
( )
bÎZ
Mặtkhác:
4k 3 4k 3
a a 0.b
- -
= +
( )
4k 2 4k 3 2k 1 4k 3

a a a a 1.b mod7
- - - -
= + º +
( )
4k 1 4k 2 2k 1 4k 3
a a a a 2.b mod7
- - - -
= + º +
( )
4k 4k 1 2k 4 k 3
a a a a 3.b mod7
- -
= + º +
( )
4k 1 4k 2 k 4k 3
a a a a 4.b mod7
+ -
= + º +
( )
4k 2 4k 1 2k 1 4k 3
a a a a 5.b mod7
+ + + -
= + º +
( )
4k 3 4k 2 2k 1 4k 3
a a a a 6.b mod7
+ + + -
= + º +
do
( )

b,7 1 = Þtập
{ }
6
4k 3
i 0
A a ib
-
=
= + làHĐĐmod7
nêntrongbảysố:
4k 3 4k 2 4 k 1 4k 4k 1 4 k 2 4 k 3
a ;a ;a ;a ;a ;a ;a
- - - + + +
tồntaimộtsốchiahết
cho7màsốnàylạilớnhơn
k
a mâuthuẫnvới
k
a làsốcuốicùngcủadãychiahết
cho7.Điềugiảsửsainêntacóđpcm.
11
Vídụ2.4.
Chodãysố
{ }
n
n 1
u
+¥
=
được xácđịnhbởi

3 2
1 n n 1
u 2,u 3u 2n 9n 9n 3
-
= = + - + -
vớin 2,3, = .Chứngminhrằngvớimỗisốnguyêntốpthì
p 1
i
i 1
u
-
=
å
chiahếtchop.
Lờigiải:
Từgiảthiếttacó
( )
3
3
n n 1
u n 3 u n 1
-
é ù
+ = + -
ë û
Từđó
Þ
( )
3
3

n n 1
u n 3 u n 1
-
é ù
+ = + -
ë û
( )
( )
3
2 n 1 3 n
n 2 1
3 u n 2 3 u 1 3
-
-
é ù
= + - = = + =
ë û
L
n 3
n
u 3 n n 1,2, Û = - " =
·
1
p 2 u 2 2 = Þ = M
· p ,p 3 ÎÃ ³ thì
( )
p 1
3
2 p 1 3 3
i

i 1
u 3 3 3 1 2 p 1
-
-
=
é ù
= + + + - + + + -
ë û
å
L L
Tathấy
( )
{ }
3
3 3 3
A 1 ,2 ,3 , , p 1 = - làHTGmodp.Vớimọii 1,2, ,p 1 = -
tacó:
( ) ( )
3
3
i p i 0 modp + - º
( )
( )
( )
p 1 p 1
3
3 3
i 1 i 1
1
i i p i 0 modp

2
- -
= =
Þ = + - º
å å
trongkhiđó
( )
p 1
2 p 1 p
3 1 1
3 3 3 3. . 3 3 p
3 1 2
-
-
-
+ + + = = -
-
L M .
Vậyvớimỗisốnguyêntốlẻpthì
p 1
i
i 1
u p
-
=
å
M
Có thể nói
( )
( )

p 1 p 1
3
i 1 i 1
p p 1
i i 0 modp
2
- -
= =
-
º º º
å å
do
( )
{ }
3
3 3 3
A 1 ,2 ,3 , , p 1 = - là HTG
modp.
Vídụ2.5.
Cho p 3 ³ làmộtsốnguyêntốvà
1 2 p 2
a ,a , ,a
-
làmộtdãy cácsốnguyên
dươngsaochopkhônglàướcsốcủa
k
a và
k
k
a 1 - với k 1,2, ,p 2 " = - .Chứng

minhrằngtồntại mộtsốphầntửtrongdãy
1 2 p 2
a ,a , ,a
-
cótíchđồngdưvới2
modulop.
Lờigiải:
Tachứngminhbằngquynạpmệnhđềsau:
Với mỗi số nguyên k 1,2, ,p 1 = - tồn tại một tập các số nguyên
{ }
k,1 k,2 k,k
b ,b , ,b thoảmãn
1. Mỗi
k,i
b hoặc bằng 1 hoặc bằng tích của một số phần tử trong dãy
1 2 p 2
a ,a , ,a
-
.
2.
( )
k,i k, j
b b modp º
/
với1 i j k £ ¹ £
Thậtvậy:
12
Vớik 2 = chọn
( )
21 22 1

b 1,b a 1 mod p = = º
/
(do
1
1
a 1 p
/
- M )
Giảsửvới2 k p 2 £ £ - tađãchọnđượctập
{ }
k,1 k,2 k,k
b ,b , ,b thoảmãn2t/ctrên.
Tacó:
· Vì
k
a p
/
M nên hai phần tử khác nhau bất kì trong tập
{ }
k k,1 k k ,2 k k ,k
a b ,a b , ,a b làphânbiệttheomodp
· Vì
( )
( )( ) ( )
k
k k k ,1 k k,2 k k ,k k,1 k,2 k,k
a 1 mod p a b a b a b b b b º Þ º
/ /
( )
modp

Từhaiđiềutrênsuyratồntạichỉsố j,1 j k £ £ saocho
{ }
k k,j k,1 k ,2 k,k
a b b ,b , ,b Î
/
.
Xéttập
{ }
k,1 k ,2 k,k k k, j
b ,b , ,b ,a b ,saukhiđánhsốlạicácphầntửtađượctập:
{ }
k 1,1 k 1,2 k 1,k k 1,k 1
b ,b , ,b ,b
+ + + + +
tathấytậphợpnàycó k 1 + phầntửthoảmãnhaitính
chấttrên,theonguyênlíquynạpmệnhđềđượcchứngminh.
Ápdụngxéttập
{ }
p 1,1 p 1,2 p 1,p 1
b ,b , ,b
- - - -
tathấytậphợpnàylàmộtHTGmodpnên
nóchứađúngmộtphầntửđồngdưvới2modp.Vìphầntửnàykhác1nênnóphải
đồngdưvớitíchcủamộtsố
k
a ,suyrađpcm.
Vídụ2.6. Giảiphươngtrình
( ) ( )
4 3
2 8 9 0 mod35f x x x x = + + + º

Giải:Phươngtrình
( ) ( )
0 mod5f x º cótậpnghiệm
{ }
1
1;4 .C =
Phươngtrình
( ) ( )
0 mod7f x º cótậpnghiệm
{ }
2
3;5;6 .C =
Tagiảihệphươngtrình
( )
( )
1
2
mod5
mod7
a a
a a
º
ì
ï
í
º
ï
î
ởđó
1 1 2 2

,a C a C Î Î .Từđịnhlíthặngdư
TrungHoatatìmđược
( )
1 2
21 15 mod35a a a º + .Từđólầnlượtcho
1 1 2 2
,a C a C Î Î
tatìm được
{ }
6,19,24,26,31,34A =
Vídụ2.7. Chứngminhrằngkhôngtồntạiđathức
( )
[ ]
P x x ÎZ
( )
deg 1P ³ sao
cho
( )
P k làsốnguyêntốvớimọisốnguyêndương .k
Giải.
Xétđathứctrênbằngđathứcnhậngiátrịnguyênkhi
( )
.deg 1x P n n Î = ³ Z .Ta
chứngminh
( )
[ ]
!n P x x ÎZ
Thậtvậy:
( ) ( )
( )

( )
0 0, 0
1
1
j
n n n
n j
n
i
i
i j i j j
i j
C f j
x x
P x f x
x x j
-
= = ¹ =
-
= = -
- -
å å å
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
[ ]
0
1
! 1 2 
n i
i

n
n
i
f i C
n P x x x x x n x
x i
-
=
-
Þ = - - - Î
-
å
Z
Giảsửtồntạiđathức
( )
[ ]
P x x ÎZ
( )
deg 1P ³ saocho
( )
P k làsốnguyêntốvới
mọisốnguyêndương .k.Chonhaisốnguyêntốphânbiệt , ,p q p q n > > thoảmãn
13
( ) ( )
( )
*
; ,P a p P b q a b = = Î¥ . Theo định lý thặng dư Trung Hoa thì tồn tại
*
:cÎ¥
( )

( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
mod ! ! 0 mod
mod ! ! 0 mod
c a p n P c n P a p
c b q n P c n P b q
º º º
ì ì
ï ï
Û
í í
º º º
ï ï
î î
( )
! !n P c pq n pq Þ Þ M M vôlído
( )
, , , ! 1p q p q n pq n ÎÃ > > Þ = còn
( )
P c ÎÃ.
Vídụ2.8. Chứngminhrằngphươngtrình
( )
2 2
34 1 modx y m - º - cosnghiệmvới
mọi
*
mÎ¥
.
Giải.Trườnghợp1

( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 2
,3 1 34 1 mod 5 5 3 1 3 1m x y m x y x y y y = Þ - º - Û - + º + -
( )
modm
Tập hợp các số
{ }
3 1,3 1y y + - chạy qua các số không chia hết cho 3
( )( )
0 0 0
: 3 1 3 1y y y m Þ $ Î + - M Z chọn
0 0
5x y =
( )
0 0
,x y Þ cầntìm.
Trườnghợp2
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
2 2
,5 1 34 1 mod 3 3 5 1 5 1 modm x y m x y x y y y m = Þ - º - Û - + º + -
Tập hợp các số
{ }
5 1,5 1y y + - chạy qua các số không chia hết cho 5
( )( )
0 0 0
: 5 1 5 1y y y m Þ $ Î + - M Z chọn
0 0
3x y =
( )
0 0

,x y Þ cầntìm.
Trườnghợp3
( ) ( )
,3 ,5 1m m = ¹
đặt
1 2
.m m m = với
( )
( ) ( )
* *
1 2 1 2 1
3 , : ; 1, ,5 1m m m m m
a
= aÎ Î = = ¥ ¥
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2 1 1 1 1 2
3, 1 ; : 34 1 modm x y x y m
+
= Þ $ Î - º Z
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
1 2 2 2 2 1
5, 1 ; : 34 1 modm x y x y m

+
= Þ $ Î - º Z từđótheođnhlí
thặngdưTrungHoatồntại
( )
*
,x y Î¥ saocho
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2
1 1 2 2
mod mod
&
mod mod
x x m x x m
y y m y y m
º º
ì ì
ï ï
í í
º º
ï ï
î î
tacóđiềuphảichứngminh.
· Ứng dụng 3: Sửdụng hệ thặng dư trong tập con tập số
ngu yêndương ,bàitoánsốhọcchiahết
Vídụ3.1.Chon,klàcácsốnguyêndươngthoảmãncácđiềukiệnsau:
1. n 3
/

M .
2. k n ³ .
14
Chngminhrngtnti snguyờndngTsaocho
( )
T n &S T k = M (trongú
( )
S x ltngcỏcchscasnguyờndngxtrongbiudinthpphõn)
Ligii:
t
1
n 2 .5 .n
a b
= vi
( )
*
1 1
n , n ,10 1& , ẻ = a bẻ Ơ Ơ .
Do
( )
1 1
n 3 n 3 n ,9 1
/ /
ị = M M .Tp
( )
{ }
1
A k,k 9,k 9.2, ,k 9. n 1 = + + + - l H
mod
1

n
{ }
1
t 0,1,2, ,n 1 ị $ ẻ - saocho
( )
1
k 9t 0 modn + .
Vỡ
( )
*
1
n ,10 1 m = ị $ ẻƠ saocho
( )
m m
1 1 1
m
111 11 n 10 1 n 10 1 modn - M M
14243
.
Xộts
( ) ( ) ( ) ( )
( )
k 1 m 1 k 2 m 1 k t m 1 k t 1 m
m
1
tso
k t so
T 10 10 10 10 10 1
- + - + - + - -
-

= + + + + + + + L L
144444424444443 144424443
Ta cú
( )
im *
1
10 1 modn i " ẻƠ
( )
1 1
T 10t k t 9t k modn ị + - + v
( )
1
S T t k t k = + - = tús
1
T 10 .T
a+b
= thomónyờucubitoỏn.
Vớd3.2 Chonlsnguyờndngllnhn1.Cỏctphpsnguyờndng
{ }
*
A k / kn 1 cp = ẻ + ẻ Ơ v
{ }
*
B j / jn cp = ẻ ẻ Ơ ( vi kớ hiu cp ẻ l s chớnh
phng).
Chngminhrng:
k n 2 k A
n
j n j B
- " ẻ

ỡ
ẻ
ớ
" ẻ
ợ
Ligii:
ị
k n 2 k A
n
j n j B
- " ẻ
ỡ
ẻị
ớ
" ẻ
ợ
ã
( )
( )( )
2 *
x 1 n
kn 1 x x x 1 x 1 kn
x 1 n
+
ộ
+ = ẻ + - =
ờ
-
ở
M

Ơ
M
(don ẻ)
x n 1 ị - vy
( )( ) ( )
kn x 1 x 1 n n 2 k n 2 = + - - - .
ã
2 2
jn y y n y n = ị ị M M (don ẻ) y n ị vy
2 2
jn y n j n =
ĩ
k n 2 k A
n
j n j B
- " ẻ
ỡ
ị ẻ
ớ
" ẻ
ợ
Phnchng.Gisnlhps n 4 ị
Trnghp1:n p
a
= vi
*
p , , 1 ẻ aẻ a > Ơ
ã Nu
a
chnchn j 1 n = < m jn p cp

a
= ẻ (vụlớ)
ã Nu
a
l
( )
*
2t 1 t a = + ẻƠ chn j p n = < m
( )
2
t 1
jn p cp
+
= ẻ (vụlớ)
Trnghp2:n pq = vi
{ } ( )
*
p,q \ 1 , p,q 1 ẻ = Ơ .
Tachngminh:$1 k n 2 Ê < -
( )
kẻƠ
15
m kn 1 cp + ẻ
Xột
{ }
p 1
x 0
D xq 2
-
=

= + l H mod p
{ }
x 0,1,2, ,p 1 ị $ ẻ - sao cho
( )
xq 2 0 modp xq 2 mp + ị + = vi
*
mẻƠ
.
Chn
( ) ( )
k mx m p 1 xq p 1 q n 2 = Ê - < Ê - < -
Tacú:
( ) ( )
2
kn 1 mx.n 1 mpxq 1 xq xq 2 1 xq 1 cp + = + = + = + + = + ẻ (vụlớ)
Thaitrnghptathyiugislsai.Vyn ẻ.
Vớd3.3Cho
( ) ( ) ( )
p 2 p 3 2
p ,p 3,f x p 1 x p 2 x 3x 2x 1
- -
ẻ = - + - + + + + L .
Tp
{ }
1 2 p
A a ,a , ,a = lHmod p .
Chngminhrngtp
( ) ( )
( )
{ }

1 2 p
B f a ,f a , ,f a = cnglHmod p .
Ligii:
( ) ( ) ( )
p 2 p 3 2
f x p 1 x p 2 x 3x 2x 1
- -
= - + - + + + + L
Nu
( ) ( ) ( )
( )
p p 1
x 1 f 1 p 1 p 2 2 1 p
2
-
= ị = - + - + + + = L M
Nu: x 1 ạ
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
p 1 p 2 p 2 p 3 3 2 2
1
f x p 1 x x p 2 x x 3 x x 2 x x x 1
x 1
- - - -
ộ ự
= - - + - - + + - + - + -
ở ỷ
-

L
( ) ( ) ( )
( )
p 1 p 2 p 3 2
x 1 f x p 1 x x x x x 1
- - -
- = - - + + + + + L
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
2
p 1 p 1
x 1 f x p 1 x 1 x x 1 1 x modp
- -
- = - - - - -
GisBkhụnglHmodp
( )
i j
a ,a A 1 i j p ị $ ẻ Ê < Ê saocho
( )
( )
( )
i j
f a f a m modp khiútacú
:
( ) ( )
( )
( )
2
i i

2
j j
m a 1 m 1 a modp
m a 1 m 1 a mod p
ỡ
- -
ù
ớ
- -
ù
ợ
[ ]
( )
m 0p 1 ẻ -
ã Num 0 = th
( )
i j
a a mod p ị (vụlớ)
ã Num 0 ạ do
( )
i j
f 1 p a 1,a 1 ị ạ ạ M thsuyra:
( )
( ) ( )
( )( )
2
2
i j j i
m a 1 1 a m a 1 1 a modp - - - -
( ) ( )

i j i j
1 a 1 a modp a a mod p - - (vụlớ).
Vyiugislsai.VytpBcnglHmod p .
Vớd3.4.Chosnguyờntl p mk 2 = + trongú
*
m,k ,m 2. ẻ > Ơ Tỡmsd
caphộpchiaca
( )
p
m 1 m 2
t 1
S t t t 1
- -
=
= + + + +
ế
L chop.
16
Lờigiải:
Bổđề:nếu
{ }
1 2 p
A a ,a , ,a = làHĐĐmod p .
Thì
{ }
m m m
1 2 p
B a ,a , ,a = cũnglàHĐĐmod p .Thậtvậy
Giảsử:
m m

i j
a ,a B Î saocho
( )
m m
i j
a a modp º
( )( )
km km
i j
a a modp * Þ º
· Nếu
( ) ( )
i j
a 0 modp a 0 modp º Þ º
( )
i j
a a modp i j Û º Þ =
· Nếu
( )
( )
i j
a ,p 1 a ,p 1 = Þ = theo định lí Fécma
( ) ( )
p 1 km 1 p 1 km 1
i i j j
a a 1 modp ,a a 1 mod p
- + - +
= º = º
( )( )
km 1 km 1

i j
a a modp **
+ +
Û º
Từ
( ) ( )
* , **
( )
i j i j
a a modp a a Þ º Þ = nênBlàHĐĐmod p.
Ápdụng:
( )
p
m 1 m 2
t 1
S t t t 1
- -
=
= + + + +
Õ
L
( )
p
m 1 m 2
t 2
m t t t 1
- -
=
= + + + +
Õ

L
( )
( )
p p
m
t 2 t 2
S. t 1 t 1
= =
- = -
Õ Õ
( )
S. p 1 Þ - !
( )
p
m
t 2
m t 1
=
= -
Õ
(1)
Do
{ }
A 1,2, ,p = làHĐĐmod p
Þ
{ }
m m m
B 1 ,2 , ,p = làHĐĐmodp
{ }
* m m m

B 1 1,2 1, ,p 1 Û = - - - là HĐĐ mod
p
{ }
** m m m
B 2 1,3 1, ,p 1 Û = - - - là HTG mod p.Từ (1)
( )
S. p 1 Þ - !
( )
p
m
t 2
m t 1
=
= -
Õ
( )
m p 1 º - !
( ) ( )
modp S m modp Û º
VậySchiachopđượcsốdưlàm.
Vídụ3.5.Chocácsốnguyênkhôngâm:
1 2 101
a a a 5050 < < < < L .Chứngminh
rằng tồn tại bốn số nguyên phân biệt
k l m n
a ,a ,a ,a thoả mãn
( )
k l m n
a a a a 5050 + - - M
Lờigiải:

Xétcáctổng
( )
i j
a a 1 i j 101 + £ < £ cótấtcả
2
101
C 5050 = tổngnhưvậy.
· Nếu tồn tại 2 tổng
( )
k l m n
a a a a mod5050 + º + với
{ } { }
k l,m n, k,l m,n < < ¹ thìk,l,m,nphảilà4sốphânbiệt.Khiđóbộ4
số
k l m n
a ,a ,a ,a thoảmãn điềukiện
( )
k l m n
a a a a 5050 + - - M .
· Nếukhôngtồntại4sốk,l,m,nvới
{ } { }
k l,m n, k,l m,n < < ¹ saocho
( )
k l m n
a a a a mod5050 + º +
{ }
i j
S a a 1 i j 101 Þ = + £ < £ là HĐĐ mod
5050.
Từđó

( )
( )
i j
1 i j 101
a a 0 1 2 5049 25255049 mod5050
£ < £
+ º + + + + º
å
L Þ
( )
i j
1 i j 101
a a
£ < £
+
å
làmộtsốlẻ(1)
17
Mặtkhác
( )
i j
1 i j 101
a a
£ < £
+
å
( )
1 2 100
100 a a a = + + + L làmộtsốchẵn(2).
Tathấy(1)và(2)mâuthuẫn.Vậyđiềugiảsửlàsaivàtacóđpcm.

Vídụ3.6.Chứngminhrằngvớimọisốnguyêndươngn,tồntạisốtựnhiêngồmn
chữsốđềulẻvànóchiahếtcho
n
5
.
Lờigiải:
Xétsố
n
1 2 n
a a a 5 .a = thoảmãn(với
i
a
+
ÎZ lẻ, i 1,2, ,n " = và
a
+
ÎZ
)
Tachứngminhbàitoánbằngquynạptoánhọc.
Với
1
1
n 1 a 5 5 = Þ $ = M vậymệnhđềđúngvớin 1 = .
Giả sử mệnh đề đúng với
n Û
n
1 2 n
a a a 5 .a = ,cần chứng minh mệnh đề
đúngvới n 1 + .
Xét5sốsauđây :

·
( )
n n
1 2 n
1a a a 5 1.2 a = +
·
( )
n n
1 2 n
3a a a 5 3.2 a = +
·
( )
n n
1 2 n
5a a a 5 5.2 a = +
·
( )
n n
1 2 n
7a a a 5 7.2 a = +
·
( )
n n
1 2 n
9a a a 5 9.2 a = +
Do
{ }
B 1,3,5,7,9 = làHĐĐmod5
{ }
* n n n n n

B 1.2 a,3.2 a,5.2 a,7.2 a,9.2 a Þ = + + + + + cũng là HĐĐ mod 5 nên tồn
tạimộtsốduynhấttrong
*
Bchiahếtcho5
Þ
trong5số
1 2 n
1a a a ,
1 2 n
3a a a ,
1 2 n
5a a a ,
1 2 n
7a a a ,
1 2 n
9a a a ,cómộtsốduynhấtchiahếtcho
n 1
5
+
màsốnàygồm n 1 + chữsốlẻvậymệnhđềđúngvới n 1 + .Theonguyênlí
quynạpmệnhđềđúngvớimọin.Vậyvớimọisốnguyêndươngn,tồntạisốtự
nhiêngồmnchữsốđềulẻvànóchiahếtcho
n
5
.
Vídụ3.7Cho
{ } ( )
*
, \ 1 , , 1p q p q Î = ¥ .Chứngminhrằngtồntại k ÎZ saochota
cósố

( )
1 1
n
pq k - + làhợpsốvớimọi
*
nÎ¥
Giải
( )
, 1Do p q = theođịnhlíthặngdưTrungHoa
*
k $ Î¥
thoảmãn
( )
( )
1 mod
1 mod
k p
k q
º
ì
ï
í
º -
ï
î
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 mod 1 1 mod 1 1 0 mod
n n n
n pq q pq k q pq k q Þ - º Þ - º - Û - + º M
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 mod 1 1 mod 1 1 0 mod
n n n
n pq p pq k p pq k p Þ - º - Þ - º - Û - + º M
Do
( )
, 1p q =
Þ
( )
1 1
n
pq k - + pqM
Û
( )
1 1
n
pq k - + làhợpsốvớimọi
*
nΥ
18
Vídụ3.8. Chứngminhrằngvớimọi
*
nÎ¥
tồntại
n
sốtựnhiênliêntiếpsaocho
bấtkìsốnàotrongcácsốấycũngđềukhôngphảilàluỹthừa(vớisốmũnguyên
dương)củasốnguyêntố.
Giải: Cách1.Mỗi
*
nÎ¥

xét
n
sốnguyêntốphânbiệt
1 2
, , ,
n
p p p
Xéthệphươngtrình
( )
( )
( )
2
1 1
2
2 2
2
1 mod
1 mod

1 mod
n n
x p p
x p p
x p p
ì
º -
ï
º -
ï
í

ï
ï
º -
î
TheođịnhlýthặngdưTrungHoathìhệ
phươngtrìnhtrêncónghiệm
( )
2
: 1 mod 1,
i i
a a p p i n Û $ Î º - " = Z .Từđósuyra
cácsố 1, 2, ,a a a n + + + đềukhôngphảilàluỹthừavớisốmũnguyêndươngcủa
mộtsốnguyêntố.
Cách2.Mỗi
*
nÎ¥
xét2n sốnguyêntốphânbiệt
1 2 1 2
, , , , , , ,
n n
p p p q q q
Xéthệphươngtrình
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 mod
2 mod


mod
n n
x p q
x p q
x n p q
º -
ì
ï
º -
ï
í
ï
ï
º -
î
TheođịnhlýthặngdưTrungHoathìhệ
phương trình trên có nghiệm
( )
: mod 1,
i i
a a i p q i n Û $ Î º - " = Z . Từ đó suy ra
cácsố 1, 2, ,a a a n + + + đềukhôngphảilàluỹthừavớisốmũnguyêndươngcủa
mộtsốnguyêntố.
Vídụ3.9.(ShortlistedIMO1998)Xácđịnhtấtcả
*
nÎ¥
saochovới
n
nàytồntại
mÎZ saocho:

2
2 1| 9
n
m - + .
Giải.Tachứngminh
2
2 1| 9
n
m - +
( )
*
2
s
n s Û = Î¥
Điềukiệncần .
Đặt
( )
( )
*
2 , , ,2 1
s
n t s t t = Î Î = ¥ ¥ .Nếu
2
3 2 1| 2 1 2 1| 9
t n t
t m ³ Þ - - Þ - + .
Tacó
( ) ( ) ( )
2 1 1 mod4 : 1 mod 4 , | 2 1 3
t t

p p p p - º - Þ $ ÎÃ º - - ¹
2
| 9p m Þ +
2 2
| 3p m Û + theo định lý Fecma
( )
( ) ( )
1
1
1 2
2
2
1 9 1 mod
p
p
p
m m p
-
-
-
º º º - º - vô lí
điềunàykhôngxẩyranếutồntại 3t p Þ = mâuthuẫn,Nên
( )
2 1 1 mod
t
p º - º
vậy
( )
*
2

s
n s = Î¥
Điềukiện đủ.
( )( )
( )
( ) ( )
2 1
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
s s
n
-
- = - = - + + + + từđósuyra
2 2 2
2 1| 9 2 1| 9 1, 1
t
n
m m t s Þ - + Þ + + " = - .Mà
( )
( )
2 2
2 1;2 1 1
a b
+ + = a ¹ b
19
TheoĐịnhlíthặngdưTrungHoahệphươngtrình
( )
2 2
2 mod2 1 0, 2
t t

x t s º + " = -
cónghiệmnêntồn tại
( ) ( )
1 1
2 2 2 2
: 2 mod 2 1 1 0 mod2 1 0, 2
t t t
c c c t s
+ +
Î º + Þ + º + " = - Z từđâysuyra
( )
2 2
2 1| 9 1 9
n
c m - + = + trongđó 3m c =
Vídụ3.10.(ShortlistedIMO2001)Chosốnguyêndương
a
chỉcóướcnguyêntố
dạng
( )
*
4 1k k + Î¥ .Chứngminhrằngtồntại
*
bÎ¥
saocho
2 4 2
1b a a + + M
.
Giải.Bổđề;cho
* 2

, 4 1 : 1
n
p p k x x p ÎÃ = + Þ $ Î + ¥ M (
*
nÎ¥
chotrước)Quynạp
1n = chọn
( )
2 !x k = thoảmãnbổđề
Giảsửbổđềđúngvới
*
n h = Υ
( )
2 2 *
: 1 1
h h
h h h
x x p x up u Û $ + Û + = Î M ¥
Đặt
( )
( )
2
2 2 2 1
1 1
1 1 2
h h h h h
h h h h h
x x tp x x tp p u x t p t p
+
+ +

= + Þ + = + + = + + M
Tacầnchọn : 2
h
t u x t p Î + ¥ M
Ápdụng
( )
( )
2
1
1 mod4
h
x
h h
h
a p p
a
=
= º
Õ
( )
( )
2
1
1 1 mod4
h
s
h h
h
a p p
a

=
Þ + = º
å
( )
2 2
1
1
k
s
k
k
a a p
a
=
+ =
å
2
1,2, , : 1
h
h h
h s b b p " = Þ $ Î + M Z (theobổđề),
( )
2
0 0
1 2b b + Î M Z
Xéthệ
( )
( )
0
mod

mod
h
s
h
s s
x b p
x b p
a
a
ì
º
ï
í
º
ï
î
theođịnhlíthặngdưTrungHoathìhệcónghiệm
2
1
: 1
h
s
h
h
x b b p
a
=
= Î +
Õ
M Z

· Ứngdụng4:Sửdụnghệthặngdưtrongphươngtrình
ĐiÔPhăngbậcnhất.
Vídụ4.1:Cho
( )
a,b , a,b 1.
+
Î = Z Sốnguyêndươngnđượcgọilàđẹpnếutồntại
x, y
+
ÎZ ,
saocho:n ax by = + .
1. Chứngminhrằng:n ab = làsốxấulớnnhất.
2. Chứngminhrằngnếu
[ ]
n I a b;ab Î = + ,nlàđẹp
Û
số ab a b n + + - làxấu
3. Tìmsốlượng cácsốxấu.
Lờigiải:
1/Tachứngminh n ab = làsốxấulớnnhất.
20
· Giảsử n ab = đẹp
Û
phươngtrình ab ax by = + (*) cónghiệmnguyên
dương
( )
( )
( )
1
1 1

1
x bx
ax b x b
do a,b 1 x ,y
by a y a y ay
+
=
ì
ì ì
Þ = Þ Þ Î
í í í
=
î î
î
M M
M M
Z khiđóphươngtrình(*)
( )
1 1 1 1
ab x y ab x y 1 Û + = Û + = Vôlí.Vậyđiềugiảsửsaitứclà n ab = làsốxấu.
· Tachứngminhmọi n ab > thìthìphươngtrình n ax by = + cónghiệm
nguyêndương.
Do
( ) { }
b
i 1
a,b 1 A ai
=
= Þ = là HĐĐ mod b
{ }

x 1,2, ,b Þ $ Î sao cho
( ) ( )
ax n modb n ax by y º Û - = ÎZ ax by n Û + =
do1 x b n ax n ab 0 by 0 y
+
£ £ Þ - ³ - > Þ > Þ ÎZ vậytồntại
x, y : ax by n
+
Î + = Z n ab Û " > đềulàsốđẹp.
Từhaiđiềutrêntathấyn ab = làsốxấulớnnhất.
2/ Þ nlàđẹp x, y :ax by n
+
$ Î + = Z .
Khiđó
( ) ( ) ( )
ab a b n ab a b ax by ab x 1 a y 1 b + + - = + + - + = - - - - (**)
Giảsử ab a b n + + - làsốđẹp
1 1 1 1
x ,y :ab a b n ax by
+
$ Î + + - = + Z (***)từ
(**) và (***) ta có
( ) ( )
1 1
ab x x 1 a y y 1 b = + - + + - mà
1 1
x x 1 , y y 1 n ab
+ +
+ - Î + - Î Þ = Z Z đẹpvôlí.
Ü đặt k ab a b n = + + - .Do

( ) { }
b
i 1
a,b 1 A ai
=
= Þ = làHĐĐmodb
{ }
x 1,2, ,b Þ $ Î saocho
( ) ( )
ax k modb k ax 0 modb k ax by º Û - º Û - = ax by k Û + =
( )
yÎZ .Theo
giảthiếtklàsốxấu k ab Þ £ y 0 Þ £ .Khiđótacó:
( ) ( ) ( )
n ab a b k ab a b ax by a b 1 x b 1 y = + + - = + + - + = + - + - đẹpdo
b 1 x ,
+
+ - ÎZ 1 y
+
- ÎZ .
3/Theophần(1)mọi n ab > đềulàsốđẹp.
·
[ ]
n 1;a b 1 " Î + - đềulàsốxấu,trongđoạnnàycótấtcảa b 1 + - sốxấu
·
[ ]
n a b;ab " Î + thì
[ ]
ab a b n a b;ab + + - Î + theophần(2)tathấynếulấy
một số đẹp thuộc đoạn

[ ]
a b;ab + thì có một số xấu cũng thuộc đoạn
[ ]
a b;ab + ,từđósốsốxấutrongđoạn
[ ]
a b;ab + là:
ab a b 1
2
- - +
.
Vậytổngcộngcótấtcả:
ab a b 1 ab a b 1
a b 1
2 2
- - + + + -
+ - + = sốsốxấu.
Vídụ4.2:Cho
( ) ( ) ( )
a,b,c , a,b b,c c,a 1.
+
Î = = = Z Sốnguyêndươngnđượcgọilà
đẹpnếutồntại x, y,z
+
ÎZ , saocho:n bcx cay abz = + + .
21
1.Chứngminhrằng:n 2abc = làsốxấulớnnhất.
2.Chứng minh rằng nếu
[ ]
n I ab bc ca;2abc Î = + + ,n là xấu
Û

số
k 2abc ab bc ca n = + + + - làđẹp.
3.Tìmsốlượng cácsốxấu.
Lờigiải:
1/Tachứngminh n 2abc = làsốxấulớnnhất.
· Giả sử n 2abc = đẹp
Û
phương trình 2abc bcx cay abz = + + (*)  có
nghiệmnguyêndương
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1 1 1 1
1
x ax
bcx a x a
cay b do a,b b,c c,a 1 y b y by x ,y ,z
abz c z c
z cz
+
=
ì
ì ì
ï
ï ï
Þ = = = Þ Þ = Î
í í í
ï ï ï
=

î î
î
M M
M M
M M
Z
khiđóphươngtrình(*)
( )
1 1 1 1 1 1
abc x y z 2abc x y z 2 Û + + = Û + + = Vô lí.Vậyđiều giảsử làsaitứclà
n 2abc = làsốxấu.
· Tachứngminhmọi n 2abc > thìthìphươngtrình n bcx cay abz = + +
cónghiệmnguyêndương.
Do
( ) ( ) ( ) { }
c
i 1
a,b b,c c,a 1 A n abi
=
= = = Þ = - làHĐĐmodc
{ }
z 1,2, ,c Þ $ Î sao
cho
( ) ( )
n abz 0 modc n abz tc t - º Û - = ÎZ ,mà
n 2abc >
n abc 2abc abc
t ab
c c
- -

Þ = > = tức là t ,t ab
+
Î > Z vậy tồn tại
x, y :bx ay t
+
Î + = Z
từđó ta có :
( )
n abz bx ay c n bcx cay abz - = + Û = + + n 2abc Û " > đều làsố
đẹp.
Từhaiđiềutrêntathấyn 2abc = làsốxấulớnnhất
2/Tươngtựphần2củavídụ4.1
3/ Tương tự phần 3 của ví dụ 4.1.Ta tính được số lượng số xấu là:
2abc bc ca ab 1
2
+ + + -
.
Vídụ4.3:Choa,b,clàcácsốnguyêndươngthoảmãn:
( )
a b c, a,b,c 1 £ £ = .Chứng
minhrằngnếu: n ac b > + thìphươngtrình: n ax by cz = + + cónghiệmnguyên
dương.
Lờigiải:
Gọi
( ) ( ) { }
d
i 1
a,c d b,d 1 A bi
=
= Þ = Þ = làHĐĐmodd

{ } ( )
y 1,2, ,d : by n modd n by d Þ $ Î º Û - M .
22
Do
( ) ( )
( )
1 1 1 1 1 1
a,c d a a d,c c d a ,c , a ,c 1
+
= Þ = = Î = Z
{ }
1
c
1
j 1
B a j
=
Þ =
làHĐĐmodc
1
.
{ }
1
x 1,2, ,c Þ $ Î :
( )
1 1
n by
a x modc
d
-

º
1 1
n by
z : a x c z
d
-
Þ $ Î = + Z .Mặtkhácta
có:
( )
1
1 1 1 1 1
n by ac b by ca b
d 1 a c a c a x
d d d
- + - -
> = - + ³ ³
z
+
Þ ÎZ
.
Từđây n by ax cz n ax by cz Þ - = + Û = + + tacóđpcm
Vídụ4.4:Chocácsốnguyêndươnga,bthoả mãn
( )
a,b 1 = .Chứng minhrằng
phươngtrình: ax by 1 + = cóvôsốnghiệmnguyên
( )
x, y và
( ) ( )
x,a y,b 1 = = .
Lờigiải:

Do
( )
a,b 1 =
{ }
b
i 1
A ai
=
Þ = làHĐĐmodb
{ } ( )
x 1,2, ,b :ax 1 modb y :ax by 1 Þ $ Î º Û Î + = Z
( )
a,b 1 =
{ }
a
j 1
B x jb
=
Þ = +
làHĐĐmoda
{ } ( ) ( )
k 1,2, ,a : x kb 1 moda x kb,a 1 Þ $ Î + º Þ + =
( )
x kb mab,a 1 m
+
Þ + + = " ÎZ .Từđótacó:
( )
( ) ( )
2 2
1 a x kb mab b y ka ma b t ma - + + = - - = - với

t y ka = - ÎZ
( )
2
0 0
m : t m a 1 mod b
+
Þ $ Î - º Z
( ) ( )
2 2
0 0
t m a ,b 1 t m a nab,b 1 - = Û - - = vớimọin
+
ÎZ .Cácbộ
( )
( )
2 2 2
0 0
x, y x kb m ab nab ,y ka m a na b = + + + - - -
2
ÎZ thoảmãn đềbàivớimọi
n
+
ÎZ .
Vídụ4.51/Tìmsốnguyêndương
n
saochotồntạidãy
{ }
1 2
, , ,
n

x x x
{ }
1,2, ,n =
thoảmãn:
1 2 k
x x x k + + + L M vớimọi 1,2, ,k n =
2/Tồntạihaykhôngmộtdãyvôhạn
{ }
1 2
, , x x
{ }
1,2, = saocho
i j
x x i j ¹ " ¹ và
thoảmãn:
1 2 k
x x x k + + + L M vớimọi 1,2, ,k n = ?
Giải.1/ 1n = thoảmãn, 3n = thoảmãnvớidãytươngứnglà1,3,2
Giảsử
*
nÎ¥
thoảmãn đềbàikhiđótacó:
( )
1 1
1
2
n n
i
i i
n n

x i n n
= =
+
= = Þ
å å
M làsốlẻ
.Giảsử 5,n ³ đặt
1
.
2
n
m
+
= theogt
1 1
1 1
1
n n
i n
i i
x i mn x n
- -
= =
= = - -
å å
M nênsuyra
( )
1
mod 1 ,1 1
n n n

x mn m n x n x n
-
º º - £ £ Þ = - .Tươngtựtacó
( )
2 2
1
1 1
1 2
n n
i n
i i
x i m n x n
- -
-
= =
= = - - -
å å
M
23
ị
( ) ( )
1 1 1
1 mod 2 ,1
n n n n
x m n m n x n x m x
- - -
- - Ê Ê ị = = Vụlý.
Vychcú 1, 3n n = = thomón iukinbi.
2/Tasxõydngmtdóy
( )

1
n
n
x
+Ơ
=
thomón iukinbi.
Ly
1 2 3
1, 3, 2x x x = = = .Gis
1 2 3
, , , ,
N
x x x x lmtdóythomón iukin
1 2 k
x x x k + + + L M vimi 1,2, ,k N = .t
1 2 3 N
x x x x s + + + + = L
Gi
n
l s nguyờn dng bộ nht khụng nm trong dóy
1 2 3
, , , ,
N
x x x x .Do
( )
1, 2 1N N + + = nờn theo nh lớ thng d Trung Hoa tn ti mt s nguyờn
1 2 3
, , , ,
N

m x x x x > tho món
( )
( )
mod 1
mod 2
m s N
m s n N
- +
ỡ
ù
ớ
- - +
ù
ợ
t
1 2
,
N N
x m x n
+ +
= = ta cú
dóy
1 2 3 1 2
, , , , , ,
N N N
x x x x x x
+ +
Thomón
1 2 3 1
1

N N
x x x x x s m N
+
+ + + + + = + + L M
1 2 3 1 2
2
N N
x x x x x s m n N
+ +
+ + + + + = + + + L M v
1 2 k
x x x k + + + L M vi mi
1,2, ,k N = .Doú
1 2 k
x x x k + + + L M vimi 1,2, , 2k N = + hinnhiờndóy
( )
1
n
n
x
+Ơ
=
xõydngnhtrờnthomón iukinbi.
PHNIII.BITPTNGT
Bi1:Cho
( )
n ,p ,p 7 mod8 ẻ ẻ Ơ .Chngminhrng:
n
2
p 1

k 1
k 1 p 1
p 2 2
-
=
ỡ ỹ
-
+ =
ớ ý
ợ ỵ
ồ
Bi2:Chop ,p 3 ẻ > .Tớnhtng:
1.
p 1
2 2
2
k 1
2k k
S 2
p p
-
=
ổ ử
ộ ự ộ ự
= -
ỗ ữ
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
ố ứ
ồ

nu
( )
p 1 mod 4
2.
p 1
2
2
k 1
k
Q
p
-
=
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
ồ
nu
( )
p 1 mod8
Bi3:Chop ,p 3 ẻ .Chngminhrng:
( )
p
p 1
k 1
k k p 1
modp
p 2
-

=
- +

ồ
Bi4:Chop ,p 3 ẻ .Tớnhtng
3
p 1
k 1
k
T
p
-
=
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
ồ
Bi5:Chop ,p 3 ẻ ,q
+
ẻZ ,q p
/
M
Chngminhrng:
( )
( )
( )
2
p 1
k

4
k 1
q p 1 p p 1
q p 1
1 k
p 2 2
-
=
- - -
ộ ự
-
- = -
ờ ỳ
ở ỷ
ồ
24
Bài 6: Cho
( )
*
p ,p 3k 2 k Îà = + Î¥ .Hỏi
( )
p
2
k 1
S k k 1
=
= + +
å
chia cho p dư bao
nhiêu?

Bài7:Cho
( )
*
p ,p 3k 2 k Îà = + Î¥ ,
( )
4 2 2 4 *
A x x y y x,y = + + Î¥ .
ChứngminhrằngnếuA pM thì
4
A pM
Bài8:Tìmtấtcả
*
n Î¥
saochotồntạitập
{ }
1 2 n
A a ,a , ,a = làmộthoánvịcủatập
{ }
B 1,2, ,n = thoảmãn
{ }
1 1 2 1 2 n
C a ,a a , ,a a a = làHĐĐmodn
Bài9:Liệucóthểđặt12số1,2,…,12theođườngtrònsaochovới3sốliềnnhau
a,b,cbấtkìsố
2
b ac -
chiahếtcho13.
Bài10: Cho
( ) ( )
{ }

2
p ,p 1 mod 4 ,L 1 r p r x modp ,x
+
ÎÃ º = £ < º ÎZ
.
Tínhtổng
r L
S r
Î
=
å
Bài11:Cho
( )
m,n , m,n 1
+
Î ¹ Z .
{ }
m
i
i 1
A a
=
= làHĐĐmodmvà
{ }
n
j
j 1
B b
=
= làHĐĐ

modn .Hỏi
{ }
i j
i 1,m ,j 1,n
C a b
= =
= cólàHĐĐmodmnhaykhông?
Bài 12: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n đều tồn tại số nguyên
dươngk,saocho:
n
m m 1 2 1
k.5 a a a a
-
= viếttronghệthậpphânthoảmãn i và
i
a có
cùngtínhchẵnlẻvới i 1,n " = .
Bài13: Cho
( )
p ,p 2,p 2 mod3 ÎÃ > º .
Chứngminhrằng:
{ }
2 3
A y x 1 x,y ,x p, y p = - - Î < < ¥ cónhiềunhất p 1 - sốchi
hếtchop.
Bài14:
Chosốnguyêndươngnthoảmãn:
( ) ( )
n 1
n 1 n 1

1 1 2 n 1 0 modn
-
- -
+ + + + - º L .Chứng
minhrằngnkhôngcóướcchínhphươngkhác1.
Bài15:Cho
{ }
A 1,2, ,17 = ,vớimỗihàm:f : A A ® .
kí hiệu
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 n 1 n
f x f x ,f x f f x n
+
= = " Î¥ ,Tìm số tự nhiên M lớn nhấtsao
chotồntạisongánhf : A A ® thoảmãncácđiềukiệnsau:
1. Nếum M < và1 i 17 £ £ thì
( ) ( ) ( )
m m
f i 1 f i 1 mod17 + - º ±
/
.
2. Với1 i 17 £ £ Thì
( ) ( ) ( )
M M
f i 1 f i 1 mod17 + - º ± .(quyước
( ) ( )
m m
f 18 f 1 = )
Bài16:Tồntạibaonhiêusốtựnhiênnhỏhơn10000,saocho

n 2
2 n 7 - M
Bài17:Sốnguyêndươngnđượcgọilàđẹpnếuphươngtrình:2x 4y 5z n + + = có
nghiệmnguyêndương.Tìmsốxấulớnnhất.
Bài18: Sốnguyêndươngnđượcgọilàđẹpnếuphươngtrình:6x 10y 15z n + + =
cónghiệmnguyêndương.Tìmsốxấulớnnhất.
25
Bài 19: Cho
( )
1 2 k 1 2 k
a ,a , ,a : a ,a , ,a 1
+
Î = Z .Chứng minh rằng:Nếu
( )
1 2 k
n k 1 a a a > - thìphươngtrình
k
i i
i 1
n a x
=
=
å
cónghiệm
*
i
x Î¥ vớii 1,2, ,k = .
Bài 20: Cho m
+
ÎZ . Chứng minhrằng tồntại các số nguyêna,b,k sao cho a,b

cùnglẻ,kkhôngâmvà
19 5 2011
2m a b 2 k = + +
.
Bài21:Tìm tất cả nhữngsố nguyêndươngnđểtồn tạicác hệthặng dưđầyđủ
modn:
{ }
1 2 n
A a ,a , ,a = và
{ }
1 2 n
B b ,b , ,b = cũnglàhệthặngdưđầyđủmodn.
Bài22:Chodãysốnhậncácgiátrịtrongcácsố1,2, ,k 1 - đượcđịnhnghĩanhư
sau:
( )
1 n n 1
a 1,a a n modk
-
= º + .Vớigiátrịnàocủa k thìdãynàynhậntấtcả k giá
trị1,2, ,k 1. -
Bài23:Chứngminhrằngtrong1900sốtựnhiênliêntiếpcómộtsốcótổngcác
chữsốchiahếtcho27.
Bài24: Choplàsốnguyêntốlớnhơn5.Chứngminhrằngtồntạisốnguyêndương
akhôngđổi: 2 a p 2 £ £ - ,saochotậphợpcácsốcódạng:
nc/s1
111 11
14243
( )
a n 1,2, + =
khôngcósốnàochiahếtchop.

Bài25(SécSlovak1997).Chứngminhrằngtồntạimộtdãytăng
( )
1
n
n
a
+¥
=
cácsốtự
nhiênsaochovớimọik 0 ³ ,dãy
{ }
n
k a + chỉchứahữuhạncácsốnguyêntố.
Bài26(Korea 1999).Xácđịnhtất cả
*
nÎ¥
sao cho:
2 1 3
n
- M
.và
2 1
3
n
-
làướcsố
củamộtsốnguyêncódạng
( )
2
4 1m m + ÎZ .

Bài27(Balkan2000).Cho Alàmộttậpkhácrỗngcácsốnguyêndươngchứngminh
rằngtồntạimộtsốnguyêndương
m
saochomọiphầntửcủatập mA đềulàluỹ
thừa.
Bài28.Cho
n
làsốnguyêndươngxéttậphợp
( ) ( )
{ }
1 : , 1, 1
n
A a n a n a n = £ £ = + =
Chứngminhrằng
| ,
2
1
n
p n p
A n
p
ÎÃ
æ ö
= -
ç ÷
è ø
Õ
.
Bài29.Xácđịnhtấtcả
*

nÎ¥
thoảmãntínhchất:Nếu
( )
, 1x n = thì
( )
2
1 modx n º
Bài 30. Xác định tất cả
{ }
*
\ 1nÎ¥ sao cho tồn tạiđa thức
( )
P x với các hệ số
nguyênthoảmãn.
1. Vớimỗi
( ) ( )
, 0 1 moda f a n Î º Ú Z
2. Tồntại
( ) ( ) ( ) ( )
, : 0 mod , 1 modu v f u n f v n Î º º Z
Bài31Chứngminhrằngcóvôsốsốtựnhiên k saochocácsố
.2 1
n
k +
( )
*
nÎ¥
đềulàhợpsố.