chuyên đề đối xứng trong khảo sát hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (281.28 KB, 14 trang )
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C)
1.N
ế
u f(x) là hàm s
ố
ch
ẵ
n :
Đồ
th
ị
c
ủ
a có
đố
i x
ứ
ng nhau qua tr
ụ
c Oy - Có ngh
ĩ
a là ,tr
ụ
c Oy
là trục đối x
ứng của nó .
2. Nếu f(x) là hàm số lẻ :
Đồ thị của nó nhậ
n gốc tọa độ O làm tâm
đối xứng
3. Cho hai
đ
i
ể
m
11 2 2
;; ;
A
xy Bxy
và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B
đối xứng
nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :
21
AB
21
.1
;i:k
êm I d
AB d
kk
y y
vo
Trungdi x x
4. Cho
đ
i
ể
m I(
00
;)
x
y
. Nếu chuyển h
ệ tọa độ Oxy dọc theo ph
ương của véc tơ OI thì công
thức chuyển trục là :
0
0
x
xX
y yy
Khi đó phươ
ng trình của
đồ thị (C) trong h
ệ mới : Y=F(X;y
0
;x
0
)
B. GHI NHỚ :
-
Đố
i v
ớ
i
đồ
th
ị
hàm phân th
ứ
c , thì giao hai ti
ệ
m c
ậ
n là tâm
đố
i x
ứ
ng
- Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng
-
Đố
i v
ớ
i hàm s
ố
trùng ph
ươ
ng thì tr
ụ
c Oy là tr
ụ
c
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
C. CÁC BÀI TOÁN TH
ƯỜ
NG G
Ặ
P
I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG
CÁCH GIẢI
Có hai cách
* Cách 1.
- Giả sử trục đối xứng có phương trình :
0
x
x
. G
ọ
i
đ
i
ể
m
0
;0Ix
- Chuyển
0
Oxy IXY
OI
x
xX
yY
- Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x
0
;y
0
) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 )
- Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm .
* Cách 2. Nếu với
0
x
x là trục đối xứng thì : f(
00
)
x
xfxx đúng với mọi x , thì ta
cũng thu được kết quả .
Ví dụ 1. Cho hàm số
432
4764yxxxxC . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là
trục đối xứng của đồ thị (C)
( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối
xứng đó ? )
GIẢI
Cảm
ơ
n
Quocbao84@
gm
ail.
co
m
g
ửitớ
i
www.
laisac.
pag
e.
tl
C
C
C
H
H
H
U
U
U
Y
Y
Y
Ê
Ê
Ê
N
N
N
Đ
Đ
Đ
Ề
Ề
Ề
Đ
Đ
Đ
Ố
Ố
Ố
I
I
I
X
X
X
Ứ
Ứ
Ứ
N
N
N
G
G
G
T
T
T
R
R
R
O
O
O
N
N
N
G
G
G
K
K
K
H
H
H
Ả
Ả
Ả
O
O
O
S
S
S
Á
Á
Á
T
T
T
H
H
H
À
À
À
M
M
M
S
S
S
Ố
Ố
Ngu
yễ
n
Đì
nh
Sỹ
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 2
- Giả sử đường thẳng x=
0
x
là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I(
0
;0)x
- Chuyển :
0
Oxy IXY
OI
x
xX
yY
- Ph
ươ
ng trình c
ủ
a (C) trong h
ệ
t
ọ
a
độ
m
ớ
i là :
432
0000
432232 432
0000000000
4764
44 65 4576 4764
Yxx xx xx xx
YX x X x xX x x x X x x x x
- Để hàm s
ố là chẵn thì các hệ số c
ủa ẩn bậc lẻ
và số hạng tự do b
ằng không :
0
32
00 0 0
432
0000
440
45760 1
47640
x
xxx x
xxxx
Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , và phương trình của trục đối xứng là : x=1.
Ví d
ụ
2. Tìm tham s
ố
m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
:
43 2
4
m
yx x mx C có trục đối xứng song
song vớ
i trục Oy.
GIẢ
I
- Giả
sử đườ
ng thẳng x=
0
x
là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I(
0
;0)x
- Chuy
ể
n :
0
Oxy IXY
OI
x
xX
yY
- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :
432232 432
000 000000
44 63 4122 4YX x X x xmX x x mxXx xmx
- Để là hàm số chẵn thì :
0
0
32
00 0
410
1
4
4122 0
x
x
m
xmx
II. Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng .
CÁCH GIẢI
Ta cũng có hai cách giải
Cách 1.
- Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng là
00
;
I xy
- Chuy
ể
n :
0
0
Oxy IXY
OI
x
xX
yyY
- Viết phương trình (C) trong hệ tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn )
- Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả .
Cách 2.
Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng thì :
000
()()2
f
xxfxx y với mọi x
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 3
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1
. ( ĐH-QG-98). Cho (C) :
2
1
x
y
x
a. Khả
o sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị (C)
b. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm t
ọa độ tâm đối xứ
ng đó .
GIẢI
a. Họ
c sinh tự vẽ đồ th
ị (C)
b. Giả sử (C) có tâm
đối xứng là I
00
;I xy
- Phương trình (C) viết lạ
i thành dạng :
1
1
1
yx
x
- Chuyển :
0
0
Oxy IXY
OI
x
xX
yyY
- Phươ
ng trình (C) trong hệ m
ới là :
00
0
00
0
1
1
1
1
1
1
Yy x X
xX
YX x y
Xx
- Để hàm số là lẻ :
00 0
00
10 1
1; 2
10 2
xy x
I
xy
Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2).
Ví d
ụ
2
. (
Đ
H-NNI-99). Cho hàm s
ố
1
x
yC
x
a. Kh
ả
o sát và v
ẽ
đồ
th
ị
(C)
b. Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)
GI
Ả
I
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Hàm số viết lại :
1
1
1
y
x
- Giả sử (C) có tâm đối xứng là
00
;
I
xy
- Chuyển :
0
0
Oxy IXY
OI
x
xX
yyY
- Phương trình (C) trong hệ mới là :
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Yy
xX
Yy
Xx
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 4
- Để hàm số là lẻ
:
00
00
10 1
1;1
10 1
yx
I
xy
Nh
ận xét : Giao hai tiệm cận là (-1;1) trùng vớ
i I . Chứng tỏ giao hai tiệm c
ận là tâm đối
xứ
ng của (C).
III. Tìm tham số m để (
)
m
C : y=f(x;m) nhận điểm I(
00
;)
x
y là tâm đối xứng .
CÁCH GIẢI
1. N
ế
u f(x;m) là hàm s
ố
phân th
ứ
c h
ữ
u t
ỷ
:
- Tìm tọa độ giao hai ti
ệm cận . Giả sử giao hai ti
ệm cận là J(a;b)
-
Để
I là tâm
đố
i x
ứ
ng thì bu
ộ
c J trùng v
ớ
i I ta suy ra h
ệ
:
0
0
ax
m
by
2. Nếu f(x;m) là hàm s
ố bậc ba .
- Tìm tọa độ điểm uốn :
''( ; ) 0
;
(; )
yxm x a
Jab
yfxm yb
- T
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên ,
đẻ
I là tâm
đố
i x
ứ
ng , ta cho J trùng v
ố
I ta suy ra h
ệ
:
0
0
ax
m
by
Víd
ụ
3
. Tìm m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
3
2
32;0
m
x
ymxCm
m
nh
ậ
n
đ
i
ể
m I(1;0) là tâm
đố
i
xứng .
GI
Ả
I
Ta có :
2
36
'6''6
xx
y
mx y m
mm
. Cho y''=0
2
6
60;
u
x
mxmx
m
- Tính
6
45 25
;3.222;22
uu
m
yyxm mm m Umm
m
- Để I là tâm đối xứng thì : cho U trùng với I :
2
5
5
1
1
1
1
220
m
m
m
m
m
- Vậy với m=-1 và m=1 thì I(1;0) là tâm đối xứng của đồ thị .
Ví dụ 4. (ĐH-Luật -99) .
Cho hàm số
2
2421
2
m
xm xm
y C
x
Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng .
GIẢI
- Ta viết lại hàm số ;
1
2
2
yxm
x
. Chứng tỏ với mọi m đồ thị luôn có tiệm cận xiên
với phương trình là : y=2x+m và tiệm cận đứng : x=2 .
- Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J(2;m+4)
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 5
-
Để
I làm tâm
đố
i x
ứ
ng thì ta bu
ộ
c J trùng v
ớ
i I , ngh
ĩ
a là ta có h
ệ
:
22
3
41
m
m
- Vậy vớ
i m=-3 thì I là tâm đối xứng của
đồ thị .
Ví d
ụ
5
.(
Đ
H-C
Đ
-2000).
Cho hàm s
ố
32
33 34
m
yx x mx m C
Tìm m để
m
C
nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng .
GIẢI
- Tìm tọa độ đ
iểm uốn :
Ta có :
2
'3 6 3; ''6 6 ''0 6 60; 1
u
yxxmy x y x x x
Tính
1133 3 46 2; 1;6 2
u
yy mm m U m
- Để I là tâm đố
i xứng thì :
11
0
622
m
m
- Vậy vớ
i m=0 , thì I là tâm đối xứ
ng của
đồ thị .
IV. TÌM CÁC
Đ
I
Ể
M
ĐỐ
I X
Ứ
NG NHAU TRÊN
ĐỒ
TH
Ị
Bài toán
: Cho
đồ
th
ị
(C) : y=f(x) , tìm trên
đồ
th
ị
nh
ữ
ng c
ặ
p
đ
i
ể
m M,N
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đ
i
ể
m A ho
ặ
c
đườ
ng th
ẳ
ng d: Ax+By+C=0 ( cho s
ẵ
n )
CÁCH GIẢI
- Gi
ả
s
ử
00 0 0
;() 1Mxy C y fx
- Tìm t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m N theo
00
,
x
y
sao cho N là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a M qua A ( ho
ặ
c qua d )
Nên ta có :
2
NN
yfx
- Từ (1) và (2) ta tìm được tọa độ của điểm M,N .
Ví d
ụ
6
. (
Đ
H-GTVT-97)
Cho hàm s
ố
32
94yx mx x
. Xác
đị
nh m
để
trên
đồ
th
ị
hàm s
ố
có m
ộ
t c
ặ
p
đ
i
ể
m
đố
i
x
ứ
ng nhau qua g
ố
c t
ọ
a
độ
O.
GIẢI
Giả sử
00 0 0
;à N-x;
M
xy v y
là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có :
32
00 0 0
32
0000
941
942
yxmx x
yxmxx
Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có :
2
0
40 3mx
Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m<0 . Khi đó :
0
4
x
m
Thay vào (1) ta tìm dược
0
y . Vậy đáp số : m< 0 .
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 6
Ví d
ụ
7
. (
Đ
H GQTPHCM-97) . Cho hàm s
ố
2
2
1
xx
y C
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(0;5/2)
GIẢI
a. H
ọc sinh tự vẽ đồ th
ị
b. Giả sử
11 2 2
;; ;
M
xy Nxy thuộc (C) và I là trung đ
iểm của M và N. Ta có :
12 2 1
11
12 2 1
20
;5
25 5
I
I
xx x x x
Nx y
yy y y y
M và N đều thuộ
c (C) nên ta có hệ :
2
11
1
1
2
11
1
1
2
1
1
2
52
1
xx
y
x
xx
y
x
; Lấy (1) cộng vớ
i (2) ta được :
22
11 11
11
22
5
11
xx xx
xx
22 2
1111111
2
1
51 1 2 1 2
93
xxxxxxx
xx
- V
ớ
i
11
22
32;3;2,3;2
37;3;7,3;2
xyM N
xyMN
Ví d
ụ
8
. (
Đ
H-Hàng H
ả
i -99). Cho hàm s
ố
2
1
x
y C
x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm hai
đ
i
ể
m A,B n
ằ
m trên (C) và
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng d : y= x-1 .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Ta có hai cách giải .
* Cách 1.
- Viết lại phương trình (C)
1
1
1
yx
x
. G
ọ
i
11 2 2
;, ;
A
xy Bxy C
. Nên ta có
-
21
21
21 21 1 2 1 2
22
11
11 11
AB
xx
yy
k
xx xx x x x x
; 1
d
k
- Nếu A,B đối xứng nhau qua d thì :
12 1212
12
.11
2
1:1 1; 1 1 1; . 2 0(*)
11
2
AB d
kk
xx xxxx
xx
Id
Nếu I là trung điểm của AB thì :
12
1212
12
2
;2
2
I
I
xx x
Id y y xx
yy y
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 7
12 12
12
12
12
12
12
11
22
11
2
40420
11
6 (**)
xx xx
xx
xx
xx
xx
xx
Từ (*) và (**) ta có hệ :
12
02
12
12
6
;à 2 n: 6 40
.4
xx
xxl ptX X
xx
Vậ
y :
12 1
1
35, 35 45
25
XX Y
Chú ý : Ta còn có cách giải khác
- Gọi d' là đường th
ẳng vuông góc với d suy ra d': y=-x+m ( m là tham số )
- Do A,B thuu
ộ
c d'
đồ
ng th
ờ
i thu
ộ
c (C) , cho nên t
ọ
a
độ
A,B là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
:
2
1
x
x
m
x
yxm
( có hai nghiệm khác 1)
2
(; ) 2 1 0(1)gxm x m x m( có 2 nghiệm khác 1)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n :
2
2
18 0
610 322 322(*)
(1; ) 2 1 1 0
mm
mm m m
gm m m
Với điều kiện (*) thì (1) có hai nghiệm khác 1 , đó cũng chính là hoành độ của A và B.
- G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB t
ọ
a
độ
I :
12
12
11
244
2131
44
2
III
II
I
xx
mm
xxx
xx m m m
ymy
y
- Để A và B đối xứng nhau qua d thì I thuộc d :
31 1
11;22;1
44
II
mm
yx m m
. V
ớ
i m=-1 , th
ỏ
a mãn (*)
- Khi m=-1 (1) tr
ở
thành :
1
1
2
22
11 1
1
1
1
222
1
22
210
1111
1
1
22 22
1
2
y
x
x
xy
Ví dụ 9.( ĐH-ThủyLợi -99) . Cho hàm số
2
22
1
xx
y C
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho A,B đối xứng nhau
qua đường thẳng d': y= x+3 .
GIẢI
A. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 8
b. Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm A,B có hoành độ là nghiệm của phương trình :
2
2
22
1(;)23 2 02
1
xx
xm gxm x mx m
x
( có hai nghiệ
m khác 1)
2
2
3820
29; 110 110(*)
(1; ) 2 3 2 1 0
mm
mm om m
gm m m
- Gọi I là trung diểm của AB thì :
12
3
24
333
44
I
II
xx m
x
mm
yxmm
- Để A,B đối xứng nhau qua d thì I phải thuộc d :
333
33;218;9
44
II
mm
yx m m
- V
ớ
i m=9 thì (2) tr
ở
thành :
11
2
22
6 14 6 14 12 14
9
222
212110
6 14 6 14 12 14
9
222
xy
xx
xy
Ví d
ụ
10.
(
Đ
H-Hu
ế
-2001). Cho hàm s
ố
323
31
22
m
y xmxmC
a. Tìm tham số m để đồ thị
m
C có CĐ, CT đồng thời các điểm CĐ,CT đối xứng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng d : y=x
b. Tìm m để
m
C
cắt trục OX tại ba điểm A,B,C sao cho : AB=BC.
GI
Ả
I
a. Ta có :
2
0
'3 3 3 0
x
yxmxxxm
x
m
- Để tồn tại cực đại , cực tiểu :
0m (*)
- G
ọ
i A(0;
3
1
2
m
) và B(m; 0) là hai điểm cực trị .
- Tính :
3
2
1
0
1
2
;1
02
AB
AB d
AB
m
yy
kmk
xx m
.
- Gọi I là trung điểm của AB :
3
3
0
22
2
1
0
1
2
2
24
AB
I
I
AB
I
I
mm
xx
x
x
yy
m
y
y m
- Để A,B đối xứng nhau qua d thì :
2
2
3
1
2
.1
.1 1
;2
2
1
42
AB d
II
m
kk
m
m
m
Id
m
yx
Thỏa mãn điều kiện (*).
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 9
b. Nếu
m
C cắt Ox tại ba đi
ểm phân biệt A,B,C thì :
323
31
01
22
xmxm
, có ba nghiệm.
Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hoành độ của A,B,C theo thứ tự là :
123
,,
x
xx
. Áp dụ
ng vi ét cho phương trình (1).
123
13 2
22
21 3 13
12 23 31
22
13 2
3
3
213
123
23
13 2
21 32
3
3
11
2
2
22
.0
0
1
.22
4
1
1
.
11 1
2
2
2
22 2
b
xxx m
xx x m
xm xm
a
c
xx x xx
xx xx xx
xx x m x
a
d
xxx m
xxx m
mm ma
xx x
xxxx
2
13
1
.
2
0
x
m
m
Nhưng khi m=0 ,thì đồ thị hàm s
ố chỉ cắt trụ
c hoành tại duy nhất một
điểm .Cho nên ,
không tồn tại giá trị m nào để hàm số cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng .
Ví dụ
11 .((HVKTQS-2001). Cho hàm số
2
21
1
m
xm xm
y C
x
a. Kh
ảo sát sự bi
ến thiên và vẽ
đồ thị
(C) khi m=2
b. Tìm m để trên
m
C có hai điểm A,B sao cho : 530;530
AA BB
xy xy
. Tìm m để A,B
đối xứng nhau qua đường thẳng x+5y+9=0.
GI
Ả
I
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta th
ấ
y t
ọ
a
độ
A,B th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình : 5x-y+9=0 . Có ngh
ĩ
a là A,B
n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng d' : y=5x+9 .Nh
ư
ng A,B l
ạ
i n
ằ
m trên
m
C , cho nên A,B là giao c
ủ
a d'
v
ớ
i
m
C .
2
2
21
(; ) 4 10 2 0 1
53
1
53
53
xm xm
gxm x m x m
x
x
yx
yx
2
4680
(1; ) 4 10 2 2 0
mm
mR
gm m m
.
- G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB :
12
10
28
10 5 26
535 3
88
I
II
xx m
x
mm
yx
- Nếu A,B đối xứng nhau qua d : x+5y+9=0 , thì I phải thuộc d . ( Thỏa mãn tính chất d'
vuông góc với d rồi ).
55 26
10 34
90;
88 13
m
m
m
.
Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số
2
23
2
m
xmxm
y C
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m=3.
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 10
b. Chứng minh rằng với một điểm M tùy ý thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt (C) tại hai điểm
A,B tạo với I ( là giao hai ti
ệm cận ) một tam giác có diệ
n tích không đổi ,không phụ thuộc
vào vị
trí của M.
c. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
luôn có c
ự
c
đạ
i ,c
ự
c ti
ể
u v
ớ
i m
ọ
i m . Tìm m
để
hai
đ
i
ể
m c
ự
c
đại , cực tiểu đố
i xứng nhau qua đường thẳng d : x+2y+8=0 .
GIẢI
a. Khi m=3 . (C) :
2
33 1
1
22
xx
yx
xx
. ( Học sinh tự v
ẽ đồ thị (C) )
b. Ta có :
2
1
'1
2
y
x
. Gọi
00 0 0
0
1
;() 1 (*)
2
Mxy C y x
x
Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C) t
ạ
i M là
00
2
0
0
11
:1 1
2
2
yxxx
x
x
- N
ế
u
2x
tại đ
iểm A , thì
0
00
2
00
0
11
121
22
2
A
x
yxx
xx
x
0
0
2;
2
x
A
x
- Tiếp tuyến cắt tiện cận xiện y=x+1 tại điểm B.
00 0 0
2
0
0
11
111;22123
2
2
BBBBB
xx x x x x yx x
x
x
00
22;23
Bx x
- N
ế
u I là giao hai ti
ệ
m c
ậ
n , thì I có t
ọ
a
độ
I(-2;-1).
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng : x=-2 suy ra H(-2;
0
23
x
)
- Di
ệ
n tích tam giác AIB
0
0
0
11 1
1222
22 22
AIBH
x
SAIBH yyxx x
x
0
0
12
.2 2 2 dvdt
22
Sx
x
Chứng tỏ S là một hằng số , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
c.Ta có :
2
2
22
22 23
1
43
'0
3
22
xmx x mx m
x
xx
y
x
xx
Chứng tỏ y' không phụ thuộc vào m , hay với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trị .
- Gọi hai điểm cực trị là :
1; 2 ; 3; 6Mm Nm
- Tính :
62
1
2;
31 2
MN d
mm
kk
.
Gọi J là trung điểm của MN ,
13
2
2
26
4
2
J
J
x
mm
ym
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 11
- Để M,N đối xứng nhau qua d thì :
1
2. 1
.1
2
1
22 4 80
MN d
kk
m
Jd
m
V
ậy m=1 thì hai điểm cự
c đại , cực tiểu
đối xứng nhau qua d .
V. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG
CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG
A. BÀI TOÁN :
Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) và một điểm
00
;
M
xy
(cho sẵn)
1.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua điểm M.
2. Lập phương trình đường cong (C')
đối xứng với đườ
ng cong (C) qua đừng thẳng d:
y=kx+m .
B.CÁCH GIẢ
I
1. G
ọ
i N(x;y) thu
ộ
c (C) : y=f(x) là m
ộ
t
đ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
.
- Gọi N' là điểm đối xứng với N qua M thì :
0
0
'2 1
'';' '
'2 2
xxx
Nxy C
yyy
- Từ (1) và (2) ta có :
0
0
2'
2'
x
xx
y yy
, Thay x,y tìm được vào : y=f(x) ,ta suy ra y'=g(x';x0;y0)
Đó chính là phương trình của đường cong (C').
2. G
ọ
i
;();';''
Axy C y fx Bx y C
- Nếu (C) và (C') đối xứng nhau qua d thì A,B đối xứng nhau qua d :
'
11
.1
'
''
2
22
AB d
yy
k
kk
xx
Id
yy xx
kb
Ở (1) và (2) thì k,b là những số đã biết . Ta tìm cách khử x và y trong (1) và (2) để được
một phương trình có dạng y'=g(x') .Đó chính là phương trình của (C') cần tìm .
C. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hàm số
2
31
1
22
xx
y xC
xx
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(-1;1).
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 12
b. Gọi một điểm bất kỳ
1
;1 ; ';' '
2
Axx C Bxy C
x
- Khi A chạy trên (C) qua điểm I , thì B chạy trên (C'), cho nên nếu (C') đối xứng với (C)
qua I thì A và B đối xứ
ng nhau qua I
2'
2'
11
2'2'1 ; ' '5
2' 2'
2'2 '
I
I
xxx
xx
yx yx
yyy y y
x
x
V
ậy (C') có phương trình :
1
5'
yx C
x
Ví dụ 2. Cho hàm số
4
2
5
3
22
x
y xC
a. Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
(C)
b. L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng cong (C')
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i (C) qua
đ
i
ể
m I(0;2)
GIẢI
a. H
ọc sinh tự
vẽ đồ
thị (C)
b. Gọ
i
4
2
5
;3;';''
22
x
Axy C y x Bx y C
- Nếu (C') đối xứng với (C) thì tức là A và B đối xứng nhau qua I
- Do
đ
ó :
4
4
2
2
2.0 '
'
5'3
4' 3' ' 3'
2.2 '
2222
xx
x
x
yxyx
yy
-K
ế
t lu
ậ
n : ph
ươ
ng trình c
ủ
a (C') :
4
2
3
3
22
x
yx
, đối xứng với (C) qua I.
Ví d
ụ
3. Cho hàm s
ố
2
33 1
1
22
xx
y
xC
xx
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b.L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng cong (C')
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i (C) qua
đườ
ng th
ẳ
ng d: x-2y-1=0
GI
Ả
I
a. Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
(C)
b. Gọi A(x;y) thuộc (C) và B(x';y') thuộc (C')
- N
ế
u (C')
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i (C) qua d , thì A và B
đố
i x
ứ
ng nhau qua d
'1
.1
'2 '1
'2 '
.1
'2
1
'2 ' 2 0
''
''22
210
2
22
AB d
yy
yy xx
yy xx
kk
xx
Id
xx yy
xx yy
yy xx
2 '2' 5 3'4'4
;
2 '2'2 5 3'4'4
yxyx y yx
yxx y x x y
Từ phương trình hàm số :
10 10
555 4'3'44'3'45
510 4'3'410
yx xy yx
xyx
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 13
Ví dụ 4 . (ĐHLâm Ngiệ
p -2001 ). Cho hàm số
31
3
x
y
C
x
a. Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
(C)
b. Lậ
p phương trình đường cong (C') đối x
ứng với (C) qua đừng thẳ
ng d : x+y-3=0.
GI
Ả
I
a. H
ọ
c sinh t
ự
v
ẽ
đồ
th
ị
(C)
b. G
ọ
i
10
;();';' '; 3
3
Axy C Bx y C y
x
- G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB
'
2
'
2
I
I
x
x
x
y y
y
; Và
'
;1
'
AB d
yy
kk
xx
- N
ế
u (C')
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i (C) qua d , thì A và B ph
ả
i
đố
i x
ứ
ng nhau qua d :
'
.1 1
.1
'' ''
'
;
''6 ''6
''
30
22
AB d
yy
kk
yy xx yxyx
xx
xyxy yx yx
xx yy
Id
'3
10 10
'3 3 '
'3
'33 '
yx
xy
xy
y
x
- V
ậ
y ph
ươ
ng trình c
ủ
a (C')
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i (C) :
10
y
x
Ví dụ 5. (HVKTQS-99) . Cho hàm số
2
24
3
22
xx
y
xC
xx
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng cong (C')
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i (C) qua
đườ
ng th
ẳ
ng d : y=2
GIẢI
a. H
ọ
c sinh t
ự
v
ẽ
đồ
th
ị
(C)
b. Gọi :
4
;();';' '; 3
2
Axy C Bx xy C y x
x
- N
ế
u (C')
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i (C) qua d , thì A và B ph
ả
i
đố
i x
ứ
ng nhau qua d :
- Ta có : y'+y=2.2. Suy ra : y=4-y' .
- Do A thuộc (C) , cho nên :
44
4''3 ; '1'
'2 '2
yx y x
xx
- Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) qua d :
4
1
2
yx
x
Ví dụ 6. Cho hàm số
2(4 )y xxC
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox. Chứng minh rằng (C) cắt
(C') theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ?
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 14
b. Gọi A(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc (C) . B(x';y') là điểm bất kỳ thuộc (C') đồng thời
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i A qua Ox. Khi
đ
ó : x=x' và y=-y'
- Do A thuộc (C) :
'2'4' ' 2'4'y xxy xx
(*)
- Phương trình (*) chính là ph
ương trình của (C') :
24
y xx
- Nếu (C) cắ
t (C') thì phương trình hoành dộ đi
ểm chung :
2
2
22 22
22
4
24
2
28 2 448 1(*)
48
24
28
x
yxx
x
y
yxxyxx
yxx
yxx
- V
ậy (C) giao với (C') bằng E-Líp :
2
2
2
1
48
x
y
BÀI T
ẬP TỰ
LUYỆN
Bài 1
.( Đề 27). Cho hàm số
432
4212
a
y xaxx axC
Tìm a để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy.
Bài 2
.(
Đề
66). Cho hàm s
ố
2
34
22
xx
y
C
x
a. Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
(C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A ,B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x
Bài 3.(Đề 89). Cho hàm số
2
22
1
xx
y H
x
và
đườ
ng th
ẳ
ng d' : y=-x+m ( m là tham s
ố
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm m để d cắt (H) tại hai điểm A,B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d :
y=x+3.
Bài 4
. (
Đề
142). Cho hàm s
ố
43 2
321
m
y xm x mxC
Tìm tham s
ố
m
để
hàm s
ố
có tr
ụ
c
đố
i x
ứ
ng song song v
ớ
i tr
ụ
c Oy ?
Bài 5
. (
Đ
H-Hàng H
ả
i -99). Cho hàm s
ố
2
1
x
y C
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm trên (C) hai điểm A,B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x-1.
Bài 6. ( HVKTQS-99). Cho hàm số
2
1y xxx C
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) :
2
22
2
x
y
x
qua đường thẳng y=2
Bài 7. ( ĐH-Luật -99 ). Cho hàm số
2
2421
2
m
xm xm
y C
x
