Bất đẳng thức và cực trị trong toán THCS

BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
BÀI GIẢNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN HỌC
Sưu tầm giả : HS Trần Anh Tuấn
Niên khóa : 2008-2012

Bao gồm :
• Lý thuyết hướng dẫn và phương pháp giải toán
• Bài tập vận dụng cơ bản và nâng cao
• Những lời khuyên lí thú và bổ ích
• Bài tập cuối chuyên đề phong phú đa dạng
1 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Bài giảng 1: ỨNG DỤNG CỦA MỘT BĐT ĐƠN GIẢN
Chứng minh BĐT luôn là những bài toán hấp dẫn. Với bài viết này chúng ta sẽ khám phá một số bài BĐT hay và
khó nhờ một BĐT đơn giản trong chương trình toán THCS.
Bài toán xuất phát: Cho a, b là hai số bất kì và x, y là hai số dương. Chứng minh rằng:

yx
ba
y
b
x
a
+
+
≥+
222
)(
(*)

Chứng minh: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

.0)(
2
)()()(
2
2222
222
≥−⇔
≥+⇔
+≥+++
bxay
abxyxbya
xybayxxbyxya
BĐT sau cùng hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.
y
b
x
a
=
Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta được
zyx
cba
z
c
y
b
x
a

++
++
≥++
2222
)(
(**)
với ba số a, b, c và ba số dương x, y, z bất kì. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.
z
c
y
b
x
a
==
Bây giờ, ta sẽ áp dụng hai BĐT trên để chững minh một số bài toán sau.
Bài toán 1. Cho hai số a, b, c bất kì. Chứng minh rằng
.
8
)(
4
44
ba
ba
+
≥+
Chứng minh. Sử dụng BĐT (*) hai lần ta có :
.
8
)(

2
)(
2
1
112
1
2
)(
11
4
2
2
2
2222244
44
bababababa
ba
+
=








+
≥









+=
+
≥+=+
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Bài toán 2. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn
.4
111
=++
zyx
Chững minh rằng:
1
2
1
2
1
2
1
≤
++
+
++
+
++ zyxzyxzyx

.
Chứng minh: Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta có:
.
112
16
1
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2222222









++=






+






+






+







=
+






+
+






≤
++






+
=
++ zyxzxyxzxyxzyxzyx
Tương tự, ta có:









++≤
++








++≤
++
.
211
16
1
2
1
,
121
16

1
2
1
zyxzyx
zyxzyx
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, chú ý tới giả thiết dẫn đến điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
4
3
.
Bài toán 3. Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh rằng:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
.
(Bất đẳng thức Nasơbit)
Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) ta có:
2 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012

.
)(2
)(
2222
cabcab
cba
cbca
c
cabc
b
acab
a
ba
c
ac
b
cb
a
++
++
≥
+
+
+
+
+
=
+
+
+

+
+
Bây giờ chúng ta cần chứng minh BĐT:
.
2
3
)(2
)(
2
≥
++
++
cabcab
cba
Nhưng BĐT này tương đương với
Đây là BĐT luôn đúng. Từ đó suy ra BDT cần phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c.
Bài toán 4. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

2
3
)(
1
)(
1
)(
1
333
≥
+

+
+
+
+ bacacbcba
( Vô địch Quốc tế năm 1995 tổ chức tại Canađa )
Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) với lưu ý rằng
222
cba
= 1 ta có:
).(
2
1
)(2
)(
)()()(
)(
1
)(
1
)(
1
2222222
333
cabcab
cabcab
cabcab
bac
ba
acb
ac

cba
cb
bacacbcba
++=
++
++
≥
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
Vì thế ta chỉ cần chứng minh ab + bc + ca
≥
3. Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương a, b, c kết hợp với
giả thiết abc = 1 ta suy ra điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
.
222222
cba
ac
ac

cb
cb
ba
ba
++≥
+
+
+
+
+
+
+
+
Bài 2. Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng:
a)
2
1
323232
≥
++
+
++
+
++ yxz
z
xzy
y
zyx
x
;

b)
.
4
3
))(())(())((
222
≥
++
+
++
+
++ yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x
Bài 3. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 3(ab + bc+ ca) = 1. Chứng minh rằng:
.
1
111
222
cba
abc
c
cab
b
bca
a
++

≥
+−
+
+−
+
+−
Bài 4. Cho các số dương a, b, c, d, e . Chứng minh rằng:
.
2
5
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ba
e
ae
d
ed
c
dc
b
cb
a
Bài 5.Cho 3 số dương x, y, z. Chứng minh rằng :

zyxxzzyyx ++
≥
+
+
+
+
+
9222
.
3 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
0)()()(
)(2(2
222
222
≥−+−+−⇔
++≥++
accbba
cabcabcba
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Bài giảng 2:TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN, CƠ BẢN ĐỂ PHÁT TRIỂN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI.
Khi chứng minh BĐT, ta thường phải dùng đến nhiều phương pháp khác nhau. Đôi khi, việc ta sử dụng những
BĐT đơn giản, quen thuộc lại mang đến hiệu quả bật ngờ.
Bài toán cơ sở. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
.
222
cabcabcba ++≥++
(1)
Nhân 2 > 0 vào hai vế của BĐT (1) vào rồi chuyển vế, biến đổi tương đương ta được một BĐT đúng. Dấu “=” xảy
ra khi và chỉ khi a = b = c.

Bây giờ, vận dụng kết quả trên, ta chứng minh một số BĐT sau.
Bài toán. Cho a, b, c là các số thực dương:
a) thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc. Chứng minh rằng:






++≥++
cba
cba
111
3
(2)
b) Chứng minh rằng:
)(
444
cbaabccba ++≥++
(3)
c) thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
(4)
d) thỏa mãn
1
222
=++ cba
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
.
b
ca

a
bc
c
ab
++
Lời giải:
a) Ta có: (2)
abc
abcabc
cba
++
≥++⇔ 3
cabcabcba
cabcabcba
cba
abcabc
cba
++≥++⇔
++≥++⇔
++
++
≥++⇔
222
2
)(3)(
3
( Do giả thiết a + b + c = abc)
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do (1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
3
.

b) Áp dụng trực tiếp (1), ta có:
)(
)()()()()()(
222222222222222444
cbaabccaabbccaabbc
cabcabaccbbacbacba
++=++≥
++=++≥++=++
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
c) Ta có: (4)
2
2
2
2
2
2
111
1
1
1
1
1
1
c
c
b
b
a
a
cabcab

+
+
+
+
+
≥






−+






−+






−⇔
2
2
2

2
2
2
111
c
ccabcab
b
bcabcab
a
acabcab
ca
ca
bc
bc
ab
ab +++
+
+++
+
+++
≥
−
+
−
+
−
⇔
( do giả thiết ab + bc + ca = 1)
222
222

))(())(())(()()()(
))(())(())((
c
accb
b
bacb
a
acba
ca
acb
bc
cba
ab
bac
c
accb
b
bacb
a
acba
ca
bcab
bc
abca
ab
cabc
++
+
++
+

++
≥
+
+
+
+
+
⇔
++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+
⇔
Đặt x =
ab
bac )( +
; y =
bc
cba )( +
; z =
ca
acb )( +
với x, y, z > 0. Bất đẳng thức cuối được chuyển về dạng của (1).

Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
3
1
.
4 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
1
1
1
1
1
1
3
222
++++++≥
++
cbaabc
cba
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
d)






+++++=







++=
c
ab
b
ca
b
ca
a
bc
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb
c
ba
b
ca
a
bc
c
ab
S 2
2

22
2
22
2
22
2
2

3)(3
)(2)(
)(2
222
222222
222
222
=++=
+++++≥
+++






+







+






=
cba
cbacba
cba
b
ca
a
bc
c
ab
( do áp dụng (1))
( Do giả thiết a
2
+ b
2
+ c
2
= 1)
Mà S > 0 nên S
3≥
. Min S =
3

khi và chỉ khi a = b = c =
3
1
Nhận xét.
1) Trong ví dụ a) và c), ta thay thế giả thiết vào bất đẳng thức cần chứng minh một cách thích hợp để chúng có
những hân thức mà tử và mẫu cùng bậc.
2) Giả thiết ab + bc + ca = 1 thường được dùng trong bài toán chứng minh BĐT hay tìm cực trị mà dạng biến
đổi thông thường của nó là a
2
+ 1 = a
2
+ ab + bc + ca = (a + b)(a + c).
Bây giờ, hãy vận dụng BĐT (1) trên để chứng minh hoặc tìm cực trị của các bài toán dưới đây.
Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
.
63
1
cabcabcba ++
≥
++
+
Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
2

222
)( cabcab
cabcab
++
++
.
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
abc
cba
cba
cabcab
3
222
)( ++
+
++
++
.
Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
.
2
9
2
2
22
2
22
2
22333

≥
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
cab
ac
bca
cb
abc
ba
abc
cba

5 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Bài giảng 3: ĐỔI BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH BĐT.
Có rất nhiều phương pháp chứng minh BĐT. Mỗi bài toán cũng có nhiều phương pháp để chứng minh. Bài viết này
trình bày về một phương pháp được cho là khá thú vị và nếu tinh ý, chúng ta có thể sáng tạo thêm các bài toán khó
hơn.
Bài toán 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
≤

abc. (1)
Lời giải: Đặt a + b – c = x; b + c – a = y; c + a – b = z. (x; y; z là các số tự nhiên > 0)
Suy ra a =
2
zx +
; b =
2
yx +
; c =
2
zy +
. Thay vào (1), ta được:
xyz
8
))()(( xzzyyx +++
≤
xyzxzzyyx 8))()(( ≥+++⇔
(2)
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho bộ 2 số dương, ta có:
xyyx 2≥+
;
yzzy 2≥+
;
zxxz 2≥+
.
Nhân từng vế các BĐT trên ta suy ra (2). Nghĩa là (1) được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác đó đều.
Chú ý:
1) Ta có thể sử dụng phương pháp khác để chứng minh BĐT (1). Hầu hết các bài toán có dạng a + b – c; b + c
– a; c + a – b đều có chung một hướng giải là đổi biến.

2) Bất đẳng thức (1) có thể mở rộng thành bài toán khó hơn bằng cách xem a; b; c là 3 số thực dương.
Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
7(ab + bc + ca)
≤
2 + 9abc. (3)
Lời giải: Đặt x = 1 – a; y = 1 – b; z = 1 – c. Khi đó x, y, z là các số không âm và x + y + z = 2. Bất đẳng thức (3)
được viết về dạng như sau :
(4)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có :
3
3 xyzzyx ≥++
> 0

3
222
3 zyxzxyzxy ≥++
> 0
Nhân các vế tương ứng của hai BĐT trên thì được (4), nghĩa là (4) đúng. Vậy BĐT (3) được chứng minh. Đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, suy ra a = b = c =
3
1
.
Bài toán 3. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
)()()(
222
bac
ab
cab
ac

cba
bc
+
+
+
+
+
.
Lời giải : Đặt x =
a
1
; y =
b
1
; z =
c
1
thì x, y, z > 0 và xyz = 1. Khi đó
P =
2
3
2
3
2
3
222
=≥
++
≥
+

+
+
+
+
xyz
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
( BĐT Cauchy cho 3 số dương, kết hợp với giả thiết xyz = 1).
Min P =
2
3
khi và chỉ khi x = y = z = 1, tức là a = b = c = 1.
Bài toán 4. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb

a
.
( Bất đẳng thức Nêsơbit )
Đây là bài toán cơ bản, là BĐT được sử dụng không nhiều trong chương trình toán THCS. Có nhiều cách để chứng
minh nó. Xin giới thiệu phương pháp: Đổi biến!
6 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
[ ]
[ ] [ ]
))((9)(29
)(2)(510
)()(192)(237
)1)(1)(1(92)1)(1()1)(1()1)(1(7
zxyzxyzyxxyzzxyzxyxyz
zxyzxyzyx
xyzzxyzxyzyxzxyzxyzyx
zyxxzzyyx
++++≤⇔++≤⇔
+++++≤⇔
−+++++−+≤+++++−⇔
−−−+≤−−+−−+−−
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Lời giải: Đặt x = b + c; y = c + a; z = a + b.
Ta có : a =
2
xzy −+
; b =
2
yzx −+
; c =

2
zyx −+
. Bất đẳng thức trên chuyển về dạng sau
.
2
3
2
3
3
2
3
222222222
=−≥−








++






++









+=
−+
+
−+
+
−+
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
z
zyx
y
yzx
x

xzy
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài tập vận dụng :
Bài 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
26
1694
≥
−+
+
−+
+
−+ cba
c
bac
b
acb
a
Bài 2. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
M =
.
)(
1
)(
1
)(
1
333
baccabcba +
+
+

+
+
Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng :
.
6416411
dcbadcba +++
≥+++
Bài 4. Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
a) 3abc( a+ b + c)
≤
1
b) Nếu a, b, c dương thì:
)(2111
222
cbacba ++≤+++++
c) Nếu a, b, c dương thì:
.
111222
444464646
cbaac
c
cb
b
ba
a
++≤
+
+
+
+

+

7 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Bài giảng 4: VẬN DỤNG LINH HOẠT CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHỨNG MINH HOẶC TÌM
CỰC TRỊ.
Trong chứng minh BĐT, việc vận dụng một cách linh hoạt các BĐT phụ khác cho ta đến một hiệu quả bất ngờ.
Chúng ta cùng xét các ví dụ sau:
Bài toán 1. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có:
f(a, b, c, d) =
0≥
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
da
ac
ac
cb
cb
bd
bd

da
.
Lời giải: Bằng cách cộng 4 vào mỗi vế của BĐT trên, ta được:
4
)(4
4
)(4)(4
4
11
)(
11
)(
4
≥
+++
+++
⇔
≥
+++
+
+
+++
+
⇔
≥







+
+
+
++






+
+
+
+⇔
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
dcba
dcba
dcba

dc
dcba
ba
dacb
dc
acbd
ba
da
dc
ac
ab
cb
cd
bd
ba
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c = d.
Bài toán 2. Hai số dương a, b có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
a)
6
11
22
≥
+
+
ba
ab
; b)
14
32

22
≥
+
+
ba
ab
.
Nhận xét: Để làm được bài toán này, chúng ta cần xác định được điểm rơi và cách biến đổi chúng cũng như sử
dụng các BĐT phụ khác.
Lời giải: a)
6
)(
2
2
4
2
1
2
1111
2222222
=
+
+
++
≥+







+
+
=
+
+
baabba
abab
baba
ab
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0,5.
b)
.14
)(
2
)(
12
2
1
2
11
3
32
222222
=
+
+
+
≥+







+
+
=
+
+
baba
abab
baba
ab
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0,5.
Bài toán 3.Cho n số dương bất kì a
1
; a
2
; ; a
n
> 0. Chứng minh rằng:
( 1 + a
1
)(1 + a
2
) (1 + a
n
)
n

aaa
221
1( +≥
)
Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta nhận được:
Bất đẳng thức, cực trị
.
)1)(1(
1
1
1

1
1
1
1
,
)1)(1(

1

11
1
21
1
21
2
2
1
1

n
n
n
n
n
n
n
n
n
aa
n
aaa
aa
aaa
n
a
a
a
a
a
a
++
≥
+
++
+
+
+
++
≥

+
++
+
+
+
Cộng các vế tương ứng của hai BĐT này thì được điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số trên bằng nhau.
Bài toán 4. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có:






++≤
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
≤
+++ cbadcdbcbdacabadcba
111
4

311111112
*
dcbadcbadcbadcbadcdbcbdacaba +++
=






+++
+
+++
+
+++
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
12111
4
111111

* Trường hợp còn lại xin dành bạn đọc.
Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1. Chứng minh rằng:
8 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
3)(7
111
4)(2
222
−++≥






+++++ cba
cba
cba
.
( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 8 + 9 / 2011)
Lời giải: Đặt S = a + b + c. Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số thức dương ta có: S
33
3
=≥ abc
. Do đó:

3)(7
111
4)(2

222
+++−






+++++ cba
cba
cba
=
3)(7.4)(2
222
−++−
++
+++ cba
abc
cabcab
cba
=
3)(7)(4)(2
222
+++−+++++ cbacabcabcba
=
3)(7)(2
2
+++−++ cbacba
= 2S
2

– 7S + 3 = (2S – 1)(S – 3)
≥
0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài toán 6. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
)(29
)()()(
222
ba
c
ac
b
cb
a
ca
ac
bc
cb
ab
ba
+
+
+
+
+
+≥
+
+
+
+

+
( Xem toán học và tuổi trẻ tháng 2/2012)
Lời giải: Đặt A =
ca
ac
bc
cb
ab
ba
222
)()()( +
+
+
+
+
.292
2
3
.26
226
444
6
111111
6222
222
222222







+
+
+
+
+
+=






+
+
+
+
+
++≥






+
+
+
+

+
+






+
+
+
+
+
+≥
+
+
+
+
+
+≥






++







++






++=++++++++=
++
+
++
+
++
=
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
ba

c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
ab
c
ca
b
cb
a
c
a
a
c
b
c
c

b
a
b
b
a
ca
acac
bc
cbcb
ab
baba
Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét: Việc vận dụng BĐT Cauchy và các BĐT phụ khác đem lại một hiểu quả bất ngờ!
* Trong giải toán, một số BĐT cần phải chứng minh mới sử dụng được.
Bất đẳng thức, cực trị đại số
Bài giảng 5: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC
9 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn






−+≥++
cbaab
c
ca
b
bc
a 111

2
BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS
2012
Bi toỏn 1. a. Với a,b, c > 0. Chứng minh:
b. Cho a c > 0, b c. Chứng minh:
Li gii:
a.

<=> a
2
+b
2
+ c
2
2 (bc + ac - ba) (Vì abc > 0)
<=> a
2
+ b
2
+ c
2
- 2bc - 2ac + 2ab 0
<=> (a + b - c)
2
0 (hiển nhiên đúng).
Vậy:
Bi toỏn 2. Cho a, b, c l cỏc s thc dng tha món
cba
v 3a 4b + c = 0. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu
thc: M =

.
222222
b
ac
a
cb
c
ba




( Xem toỏn tui th 2 thỏng 2/2011)
Li gii: Vỡ
cba

nờn:
M =
b
abbc
a
cb
c
ba
b
ac
a
cb
c
ba

22222222222222
+




=





=
.0
11
)(
11
)(
2222







+

+
ab
cb
bc
ba
M = 0 khi v ch khi a = b. Vỡ 3a 4b + c = 0 nờn a = b = c.
Vy giỏ tr nh nht ca M bng 0.
Bi toỏn 3. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng không thể đồng thời xảy ra các bất đẳng thức sau:
a + b < c + d ; (a + b) (c + d) < ab + cd ; (a + b) cd < (c + d) ab.
Li gii: Giả sử xảy ra đồng thời các bất đẳng thức trên. Từ hai bất đẳng thức đầu ta có:
(a + b)
2
< (a + b) (c + d) < ab +cd => cd > (a + b)
2
- ab 3ab
=> cd > 3ab (1)
Mặt khác, ta có:
(a + b) cd < (c + d) ab => (a + b)
2
cd < (c + d) ab (a + b) < ab (ab + cd)
=> 4abcd (a + b)
2
cd < ab (ab + cd) = a
2
b
2
+abcd

=> a
2
b
2
> 3abcd => ab > 3cd (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ab >3cd > 9ab, vô lý!
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bi toỏn 4.Cho a
k
, b
k
l cỏc s dng thay i luụn tha món iu kin:
a
1
+ a
2
+ + a
n
= b
1
+ b
2
+ + b
n
= 1.
Tỡm giỏ tr ln nht ca tng: P =

22
22
11

11
nn
nn
ba
ba
ba
ba
ba
ba
+
++
+
+
+
Li gii: p dng BT Cauchy, ta cú:
kkkk
baba 2+
hay
.
4
4)(
2
kk
kk
kk
kkkk
ba
ba
ba
baba

+

+
+
10 Biờn son v tuyn tp : HS Trn Anh Tun
abcbccac + )()(






+++
cbaab
c
ca
b
bc
a 111
2






++++
cbaab
c
ca

b
bc
a 111
2
BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS
2012
Cho k = 1, 2, , n, ri cng cỏc v tng ng ca n BT nhn c, ta cú:
P
2
1
4

2121
=
+++++++

nn
bbbaaa
.
Hn na nu chn a
k
= b
k
=
n
1
vi mi 1
nk
thỡ P = 0,5.
Vy giỏi tr ln nht ca P l 0,5.

Bi toỏn 5. Cho S = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ ac + bd trong đó ad - bc =1. Chứng minh rằng S
3
.
Li gii: (ac + bd)
2
+ (ad - bc)
2
= a
2
c
2
+ 2abcd + b
2
d
2
+ a
2
d
2
- 2abcd + b
2
c

2
= a
2
(c
2
+ d
2
) + b
2
(c
2
+ d
2
) = (a
2
+ b
2
) (c
2
+d
2
)
Vì ad - bc = 1 nên: 1 + (ac + bd)
2
= (a
2
+ b
2
)(c
2

+d)
2
p dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
S = (a
2
+ b
2
) + (c
2
+ d
2
) + ac + bd 2
bdacdcba ++++ ))((
2222
.
n õy bn c t gii tip.
Bi toỏn 6. Cho cỏc s dng a, b, c, d. Bit
1
1111

+
+
+
+
+
+
+ d
d
c
c

b
b
a
a
.
Chng minh rng: abcd
81
1

.
Li gii: T gi thit suy ra:

aa
a
d
d
c
c
b
b
+
=
+

+
+
+
+
+ 1
1

1
1
111
. p dng BT Cauchy cho 3 s dng, ta cú:
3
)1)(1)(1(
3
1111
1
+++

+
+
+
+
+

+ dcb
bcd
d
d
c
c
b
b
a
. Tng t, ta cú:
3
)1)(1)(1(
3

1
1
+++

+ dca
acd
b
;
.
)1)(1)(1(
3
1
1
;
)1)(1)(1(
3
1
1
33
+++

++++

+ cba
abc
ddba
abd
c
Nhõn tng v bn BT, ta c 1
abcd81

. Nờn abcd
81
1

.
Vy: BT ó c chng minh. Du = khi v ch khi a = b = c = d =
.
3
1
Bi toỏn 7. Cho tam giác ABC và một điểm Q nào đó ở trong tam giác. Qua Q kẻ đờng thẳng
song song với AB cắt AC ở M và cắt BC ở N. Qua Q kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB ở F và cắt BC ở E.
Qua Q kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AC ở P và cắt AB ở R. Ký hiệu S
1
= dt (QMP), S
2
= dt(QEN), S
3
=
dt(QFR) và S = dt (ABC). Chứng minh rằng:
a. b.
Li gii: a. Ta có QMP BAC
(Tỷ số ) , suy ra:
(Bn c t v hỡnh)
T-
ơng tự, ta cú:
11 Biờn son v tuyn tp : HS Trn Anh Tun
2
321
)( SSSS ++=
.

3
1
321
SSSS ++
AC
MP
AC
MP
S
S
AC
MP
S
S
=






=
1
2
1
22
2

=






=
AC
PC
AC
QE
S
S
.;
3
22
AC
AM
S
S
AC
PC
S
S
AC
PC

S
S
===>=
BT NG THC, CC TR TRONG TON HC THCS
2012
Suy ra:
Do đó:
Suy ra:
b. p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:
S = (1
2
+ 1
2
+1
2
)(S
1
+S
2
+ S
3
)
Suy ra: S
1
+ S
2
+ S
3
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
S

1
= S
2
= S
3
<=> Q là trọng tâm ABC.
Bi toỏn 8. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau õy vi mi x thuc R.
B = |x| + |2x + 1| + |3x + 2| + + |99x + 98|
Li gii : ý rng |70x + 69| = |70(x +
70
69
)|

|50(x +
70
69
)|.
Vỡ vy : B = | x| + | 2x 1| + + | 69x 68| + |70x + 69| + |71x + 70| + + |99x + 98|

| x| + | 2x 1| + +
| 69x 68| +






+
70
69

50 x
+ |71x + 70| + +|99x + 98|

| x + (2x 1) + + (69x 68) 50
+






+
70
69
x
(71x + 70) + + (99x + 98)| =
7
285
.
Du bng xy ra khi v ch khi x =
70
69
. Vy, giỏ tr nh nht ca B l min B =
7
285
.
C s õu, nguyờn nhõn no v ti sao li bin i c nh vy ?
Cú cỏch no khỏc na hay khụng ?
Cỏch gii trờn dựng tớnh cht gỡ ca giỏ tr tuyt i ?
Bi toỏn 9. Cho x l s thc thay i trờn on

[ ]
1;0
. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc :
A =
4242
913 xxxx ++
.
Li gii : p dng BT Bunhiacopxki, ta cú :
A =
[ ]
.)(3)(13)2713()(3.27)(13.13
42424242
xxxxxxxx +++++
Hay :
A
.16
5
4
5
5
16
80)58(80
2
242

= xxx
Hn na, A = 16 khi v ch khi x =
5
52
. Vy, giỏ tr ln nht
ca A l max A = 16.
Bi toỏn 10. Cho 3 s thc dng x, y, z. Chng minh rng
12
9425
>
+
+
+
+
+ yx
z
xz
y
zy
x
Li gii: t a = y + z, b = z + x ; c = x + y. Khi ú x =

2
acb +
; y =
2
bca +
; z =
2
cba +
.
Ta chng minh c rng VT

12. Du = xy ra khi v ch khi : 5b + 5c = 5a, suy ra x = 0, vụ lý.
Du ng thc khụng xy ra, suy ra iu phi chng minh.
Bi toỏn 11. Cho 3 s thc dng a, b, c tha món: a + b + c

3. Chng minh rng:
12 Biờn son v tuyn tp : HS Trn Anh Tun
1
321
==
++
=
++
AC
AC
AC
AMPCMP
S
SSS
( )

2
321321
SSSSSSSS ++==>++=
++
2
321
).1.1.1( SSS
3
1

BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
670
20091
222
≥
++
+
++
cabcab
cba
Lời giải: Ta có,
1
)(
9111
2222
≥
++
≥
++

+
++
+
++ cba
cabcabcabcab
cba
(1)
Mặt khác: 3(ab + bc + ca)
2
)( cba ++≤
suy ra :
669
)(
2007.32007
2
≥
++
≥
++
cba
cabcab
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Bài toán 12. Cho hai dãy số sắp thứ tự:
cba
≥≥
và
zyx ≤≤
. Chứng minh rằng:
(a + b + c)(x + y + z)

≥
3(ax + by + cz)
( BĐT Trê – bư - sép)*
Lời giải: Xét hiệu:
(a + b + c)(x + y + z) – 3(ax + by + cz)
= a(x + y + z) – 3ax + b(x + y + z) – 3by + c(x + y + z) – 3cz
= a(y + z – 2x) + b(x + z – 2y) + c(x + y – 2z)
= a
[ ] [ ] [ ]
)()()()()()( yzzxcxyyzbzxxy −−−+−−−+−−−
= (y – x)(a – b) + (x – z)(c – a) + (z – y)(b – c)
0≥
( Vì theo giả thiết, ta có
cba ≥≥
và
zyx ≤≤
)
Nên suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z và a = b = c.
* Trê – bư – sép (1821 – 1894), nhà toán học Nga.
Bài toán 13. Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:
.
6416411
dcbadcba +++
≥+++
Lời giải: Áp dụng BĐT
yxyx +
≥+
411
với mọi x, y là các số dương, ta có:

dcbadcbadcbadcbadcbadcba +++
≥






+
++
=+
++
≥+






+
+
=++
+
≥+++
6411
16
16161611
4
164416411
.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d.
Cũng có thể dùng BĐT Bunhiacopxki để chứng minh như sau:
64
16
.
4
.
1
.
1
.
16411
)(
2
=








+++≥







++++++
d
d
c
c
b
b
a
a
dcba
dcba
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét: * Việc áp dụng linh hoạt nhiều BĐT hoặc một BĐT nhiều lần giúp ta chứng minh bài toán thuận lợi
hơn.
* Trong bài toán BĐT, việc xác định điểm rơi của biến là rất cần thiết. Nó góp một phần nhỏ vào việc
áp dụng các BĐT phụ.
Bài toán 14. Cho a > b là các số không âm. Chứng minh rằng: a +
3
)1)((
4
2
≥
+− bba
.
Chúng ta thử xác định điểm rơi của bài toán. Ta có: 2a – 1 = 3b suy ra a – b =
2
1+b
.
Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số thực không âm, ta có:
13 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn

BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
(a – b) +
4
22
)1)((4
)1)(1(4
)(4
)1)((
4
2
1
2
1








+−
++
−≥
+−
+
+
+
+

bba
bb
ba
bba
bb
= 4.
Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
*Xem dòng trên, tại sao lại có “2a – 1 = 3b suy ra a – b =
2
1+b
” ? Đó chính là một quá trình suy luận? Bạn đọc
hãy thử tìm tòi, khám phá xem?
HD: Chú ý tới giả thiết và vế cần phải chứng minh.
Bài toán 15. Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
2
9
222
abc
cba +++
. ( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 1/2011)
Lời giải: Dễ dàng chứng minh được BĐT sau với a, b, c là các số thực không âm tùy ý:
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
≤
abc (1)
Từ (1) kết hợp với giả thiết a + b + c = 1, ta có:
abc
≥
(1 – 2c)(1 – 2a)(1 – 2b) = 1 – 2(a + b + c) + 4(ab + bc + ca) – 8abc
⇒
9abc

≥
4(ab + bc + ca) – 1
⇒
P =
2
9
222
abc
cba +++

≥
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) -
2
1
= (a + b + c)
2
-
2
1
= 1 -
2
1
=
2

1
.
Min P =
2
1
khi và chỉ khi (1) trở thành đẳng thức. Suy ra a = b = c, hoặc
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) = abc .
⇔
a = b = c =
3
1
hoặc (a , b , c) là một hoán vị của bộ số






2
1
;
2
1
;0
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0,5.
Bài toán 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
11
20
11

20
11
20
x
z
z
y
y
x
++
trong đó x, y, z là các số dương thỏa mãn a + b +
c = 2001. ( Xem Toán học và Tuổi trẻ tháng 11/2001)
Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy cho 20 số, trong đó có 11 số y và 8 số 667, ta có:
xy
y
x
y
y
x
20667
667
20667.811
667
20
811
811
20
811
20
=≥++

Tương tự:
yz
z
y
20667.811
667
811
20
≥++

zx
x
z
20667.811
667
811
20
≥++
Cộng theo từng vế các BĐT trên và bằng biến đổi đơn giản, ta thu được BĐT:
11
20
11
20
11
20
x
z
z
y
y

x
++

≥
(9(x + y + z) – 3.8.667).667
8
= 3.667
9
với BĐT xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 667.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức cần tìm là 3.667
9
.
Bài toán 17. Gọi x là số lớn nhất trong 3 số thực dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A =
3
11
x
z
z
y
y
x
++++
. (Xem Toán học và Tuổi trẻ tháng 12/2001)
Lời giải: Sử dụng BĐT Cauchy cho các số trong căn, ta có:
A =
3
11
x
z
z

y
y
x
++++

6
3
6
4
6
3
4
22
6
2
22
1
164
22
1
22
x
z
y
x
x
z
z
y
y

x
x
z
z
y
y
x






−+






−+








++=++≥

(1)
Sử dụng BĐT Cauchy cho 11 số, ta có:
14 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
22
11
22
11
64
22
1
11
6
4
=≥








++
x
z
z
y
y

x
x
z
z
y
y
x
(2)
Mặt khác theo giả thiết đã cho x = max(x , y , z), cho nên
x
z
y
x
≥≥ 1
và vì
22
6
20
22
1
3
−>>−
nên từ (1) và (2)
ta có: A
.221
22
6
2
22
1

1
22
11
33
++=






−+






−+≥

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
3
221 ++
.
Bài toán 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của BT:
Q =
( ) ( )
2
221616
2

10
2
10
1
4
1
2
1
yxyx
x
y
y
x
+−++








+
Lời giải: Sử dụng BĐT Cauchy cho 4 số, ta có:
22
2
10
2
10
211

2
1
yx
x
y
y
x
≥








+++
;
441616
)11(
4
1
yxyx ≥+++
.
Suy ra:
( )
2
5
)1(
2

5
4
1
2
1
2221616
2
10
2
10
−≥⇒+≥+++








+ Qyxyx
x
y
y
x
.
Q =
.1
2
5
22

==⇔
−
yx
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là
2
5−
.
* Bạn có thắc mắc gì không? Tại sao lại dùng BĐT Cauchy cho 4 số?
HD: Phát hiện từ giả thiết bài toán bằng cách quan sát thật kĩ. Sỡ dĩ dùng BĐT Cauchy cho 4 số
là để đưa biểu thức Q về dạng lớn hơn hoặc bằng biểu thức trừ. Từ đó chuyển vế, chú ý giả thiết ta suy ra được kết
quả cần tìm. Nếu biết quan sát kĩ bài toán trên ta sẽ thấy điều đặc biệt và dẫn đến lời giải.
Bài toán 19. Cho x, y là những số thực lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của BT:
P =
)1)(1(
)()(
2233
−−
+−+
yx
yxyx
Lời giải: Viết P về dạng:
P =
)1)(1(
)()(
2233
−−
+−+
yx
yxyx
=

.
11)1)(1(
)1()1(
2222
−
+
−
=
−−
−+−
x
y
y
x
yx
yyxx
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương, ta có:
P
8
2
11
.
2
11
2
)1)(1(
2
=







+−






+−
≥
−−
≥
y
y
x
x
yx
xy
.
P = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8 khi x = y = 2.
Bài toán 20. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn:
574
4
235
35
1

1
+
≤
+
+
+ c
c
ba
. Tìm min abc ?
Lời giải: Ta có:
0
)235)(1(
35
2
235
35
1
1
574
4
>
++
≥
+
+
+
≥
+ babac
c
. (1)

Mặt khác
bc
c
abc
c
a 235
35
574
4
1
1
235
35
574
4
1
1
+
−≤
+
−
+
⇔
+
−
+
≤
+

(2)

15 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
0
)574)(1(
57
2
574
57
1
1
235
2
235
2
235
35
11
574
4
1
1
>
++
≥
+
+
+
≥
+
⇔
+

=
+
−≤+
+
−
+
⇔
cacab
b
b
b
bc
c
a
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Ta có:

(3)
Từ (1); (2) và (3) ta có:
)352)(574)(1(
57.35.8
)352)(574)(1(
8
+++
≥
+++ bcabca
abc

199557.35 =≥⇒ abc

.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 2; b = 35; c = 57/2.
Vậy min abc = 1995 khi và chỉ khi a = 2; b = 35; c = 57/2.
Bài toán 21. Cho x, y là hai số thỏa mãn đồng thời:
632,0,0 ≤+≥≥ yxyx
và
42 ≤+ yx
. Tìm max và min của
biểu thức K = x
2
– 2x – y.
Lời giải: Từ 2x + 3y
6≤
suy ra y
2
3
2
3
2
2 −≥−⇒−≤ xyx
K = x
2
– 2x – y
9
22
9
22
3
2
2

3
2
2
2
2
−≥−






−=−+−≥ x
x
xx
Suy ra min K =
9
22
−
khi x =
9
14
;
3
2
=y
.
Ta có: 2x
2
+ xy

x4≤
( x
0≥
). Suy ra: x
2
– 2x – y
0
2
)2(
2
≤
+−
=−−≤
xy
y
xy
y = 0 y = 0
Suy ra max K = 0 khi và chỉ khi hoặc
x = 0 x = 2
* Nhiều khi việc tìm trực tiếp GTNN của biểu thức K gặp khó khăn. Tuy nhiên, ta có thể bắc cầu K qua biểu thức B
(bé hơn)theo sơ đồ ‘‘ bé dần’’ : K
≥
B. Rồi đi tìm GTNN của B, từ đó suy ra GTNN của biểu thức K. Các mối liên
hệ gữa K và giả thiết sẽ chỉ dẫn chúng ta đến tìm B.
* Chắc chắn bạn còn thắc mắc bài toán có hai giả thiết, thế nhưng khi giải lại chỉ sử dụng đến một giả thiết mà
thôi (!)
* Trong quá trình đánh giá có thể tìm được nhiều biểu thức B. Gọi B
k
là một trong những biểu thức đó và có min
B

k
=
β
mà ta cũng có K = B
k
thì mới có min K = min B
k
=
β
. Trong trường hợp đó biểu thức B
k
được gọi là ‘‘
kết’’. Trong bài toán trên, sử dụng giả thiết còn lại không dẫn tới
‘‘ kết’’.
* Trong bài toán trên, hình thức các giả thiết trên chưa đủ để chỉ dẫn bắt mạch sử dụng giả thiết này hay giả thiết
kia. Nhiều bài toán phức tạp phải liên kết sử dụng tất cả các giả thiết mới tìm được ‘‘ kết’’.
Bài toán 22. Cho 3 số dương x, y, z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng :
P =
14
23
222
>
++
+
++
zyx
zxyzxy
Lời giải : Với x, y, z là các số bất kì, ta có BĐT luôn đúng : (x + y + z)
2

≥
3(xy + yz + zx)
Vì x + y + z = 1 nên suy ra
3
1
≥
++ zxyzxy
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
1
.
Ta có :
4
)(
41
)(2
1
2222
=
++
≥
++
+
++
zyxzyx
zxyzxy
16 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
bc
c

a 235
35
574
4
1
1
1
1
+
+
+
−≥
+
−
0
)235)(457(
57.35
2
235
35
457
57
1
>
++
≥
+
+
+
≥

+
⇔
bcbca
a
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
144.23.2
2
)(2
2
)(2
423
222222
=+≥
++
+
++
+
++
=
++
+
++
⇒
zyx
zxyzxyzxyzxy
zyx
zxyzxy
. (1)
x = y = z = 1/3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2(xy + yz + zx) = x
2
+ y
2
+ z
2
Hệ này vô nghiệm nên BĐT không trở thành đẳng thức.
Vậy BĐT được chứng minh.
* Bài toán này có ‘‘ kết’’ là ở (1).
* Việc vận dụng hai BĐT phụ trên và áp dụng giả thiết, đó là con đường đi tìm‘‘ kết’’ nhanh nhất.
Bài toán 23. Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện x
2
+ (3 – x)
2

≥
5.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q = x
4
+ (3 – x)
4
+ 6x
2
(3 – x)
2
.
Lời giải : Đặt y = 3 – x, bài toán đã cho trở thành : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x
4
+ y

4
+

6x
2
y
2
, trong đó x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn
5
3
22
≥+
=+
yx
yx


Từ các hệ thức trên, ta có : x
2
+ y
2
+ 2xy = 9
x
2
+ y
2

≥
5
Suy ra (x

2
+ y
2
) + 4(x
2
+ y
2
+ 2xy)
≥
5 + 4.9 = 41
⇒
5(x
2
+ y
2
) + 4(2xy)
≥
41
Mặt khác : 16(x
2
+ y
2
)
2
+ 25(2xy)
2

≥
40(x
2

+ y
2
)(2xy) (1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4(x
2
+ y
2
) = 10xy
Cộng hai vế của (1) với 25(x
2
+ y
2
)
2
+ 16(2xy)
2
ta có :
41
[ ] [ ]
2
2
222222
41)2(4)(5)2()( ≥++≥++ xyyxxyyx
hay (x
2
+ y
2
)
2
+ (2xy)

2

≥
41 khi và chỉ khi Q
≥
41.
Min Q = 41, đạt được khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = 2.
Bài toán 24. Cho a, b, c
[ ]
3;2−∈
thỏa mãn a + 2b + 3c = 2. Tìm max M = a
2
+ 2b
2
+ 3c
2
.
Lời giải: Đây là bài toán thuộc dạng tìm cực trị có điều kiện, hay và khó trong chương trình toán THCS nói chung
và BĐT nói riêng. Chúng ta sử dụng giả thiết để đi tìm “kết”.
Vì: a, b, c
[ ]
3;2−∈
suy ra: (a + 2)(a – 3)
≤
0
⇒
a
2
– a – 6
≤

0
⇒
a
2

≤
a + 6.
Tương tự : b
2

≤
b + 6
⇒
2b
2

≤
2b + 12;
c
2

≤
c + 6
⇒
3c
2

≤
3c + 18 .
Từ các BĐT trên, suy ra: M = a

2
+ 2b
2
+ 3c
2
≤
a + 2b + 3c + 36 = 38.
Max M = 38 khi và chỉ khi a = 3; b = 3; c = 3.
Bạn hãy giải bài toán tìm cực trị có điều kiện dưới đây xem:
Bài toán 25. Cho a, b, c
[ ]
1;0∈
. Chứng minh rằng:
.2
111
≤
+
+
+
+
+ ab
c
ca
b
bc
a
HD: Biết được vai trò của các biến là như nhau. Vì vậy ta có thể giả sử
cba ≥≥
và đi xét các trường hợp cần thiết
cho bài toán, ta suy ra điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số có 1 số bằng 0 và 2 số

kia bằng 1.
Bài toán 26. Cho hàm số: f(x;y) = (1 + x)(1 +
y
1
) + (1+ y)(1 +
x
1
) với x, y > 0 và x
2
+ y
2
= 1.
Tìm min f(x ;y) ?
Lời giải : f(x ;y) = (1 + x)(1 +
y
1
) + (1+ y)(1 +
x
1
)
= 1 +
y
x
y
+
1
+ x + 1 +
x
y
x

+
1
+ y
17 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
= 2 + (x +
x2
1
) + (y +
y2
1
) + (
yx 2
1
2
1
+
) + (
x
y
y
x
+
)
= 2 +
)
2
1
2

1
(2
2
2
yx
+++
.
Mặt khác :
2
)(2
4
2
4
)(
4
2
1
2
12
)(2
4
2
1
2
1
22222
2
=
+
≥

++
=
+
≥








+⇒
+
=
+
≥+
yxyxyxyx
yxyxyxyx
Suy ra
yx 2
1
2
1
+
2≥

⇒
f(x ;y)
2342

2
2
4 +=++≥
.
Min f(x ;y) =
.
2
2
234 ==⇔+ yx
Bài toán 27. Cho biểu thức P =
.2)3(5. xxxx +−+−
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P biết x nằm trong
khoảng từ 0 cho đến 3.
Lời giải : * Giá trị nhỏ nhất :
Vì 0
≤
x
≤
3 nên
0
2355
≥
=−≥−
x
x

Đẳng thức xảy ra khi x = 3 hoặc x = 0.

03
22

≥−
≥+
x
x

2)3(2)3( xxx −≥+−⇒
Đẳng thức xảy ra khi x = 3 hoặc x = 0.
P
≥
x.
⇔=−+ 2.32).3(2 x
x = 3 hoặc x = 0.
Vậy Min P = 3.
2
khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 3.
* Giá trị lớn nhất:
Dễ thấy P > 0 và P lớn nhất khi P
2
lớn nhất. Ta có:
P
2
= x
2
.(5 – x) + (3 – x)
2
. (2 – x) + 2
.2)3.(5. xxxx +−−
.
= x
2

– 3x + 18 + 2
.2)3.(5. xxxx +−−
= 18 + x(3 – x) . ( 2
).12.5 −+− xx
)
Ta có : 0
≤
x(3 – x) =
4
9
2
3
4
9
2
≤






−− x
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1,5.
Vì (
xx +−− 25
)
2

7252.5.20 =++−≤+−⇒≥ xxxx

. Đẳng thức xảy ra khi x = 1,5.
Mặt khác 2
012.521402.35.22.5 ≥−+−⇒>=+−≥+− xxxx
.
P
2

2
63
)17.(
4
9
18 =−+≤
. Mà P > 0 nên P
2
143
≤
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1,5.
Vậy giá trị lớn nhất của P là
2
143
.
Bài toán 28. Cho biểu thức : P =
zyxyxx ++
−
+
−−
111
2
1

.
Với giá trị nào của các số nguyên dương x, y, z thì P đạt giá trị dương bé nhất ?
(Thi HSG Quốc gia 1988 – 1989, Bảng A)
Lời giải : Vì P > 0 suy ra
2
1111
<
++
+
+
+
zyxyxx
.
Đặt Q =
QP
zyxyxx
−=⇒
++
+
+
+
2
1111
.
Do đó : P
min
khi và chỉ khi Q
max
khi và chỉ khi x
min.

18 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Ta có :
332
2
11
=⇒≥⇔>⇔< xxx
x
(Vì x nhỏ nhất)
Khi x = 3
6
1
3
1
3
1
2
1
3
1
3
1
3
1
<
++
+
+
⇒<

++
+
+
+=⇒
zyyzyy
Q
Vì
3
1
không đổi nên Q
max
khi và chỉ khi y
min
.
Mà :
447363
6
1
3
1
=⇒≥⇒≥+⇒>+⇔<
+
yyyy
y
(Vì y nhỏ nhất)
Khi y = 4
42
1
7
1

6
1
7
1
7
1
<
+
⇒<
+
+⇒
zz
. Q
max
khi z
min
. Suy ra z = 36 (Vì z nhỏ nhất)
Suy ra
43
1
7
1
3
1
2
1
43
1
7
1

3
1
−−−≥⇒++≤ PQ
.
Min P =
⇔−−−
43
1
7
1
3
1
2
1
(x, y, z) = (3, 4, 36).
Vậy : Giá trị nhỏ nhất của P là
43
1
7
1
3
1
2
1
−−−
.
Bài toán 29. Cho a, b, c là các số dương a + b + c = abc. Chứng minh rằng :
a
5
(bc – 1) + b

5
(ca – 1) + c
5
(ab – 1)
354≥
HD: Bằng cách khai triển VT vủa BĐT trên, kết hợp với giả thiết bài toán, áp dụng thêm các BĐT phụ và biến đổi
khéo léo, ta suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải: Xin dành cho bạn đọc (!)
Bài toán 30. Cho biểu thức: P =
xyz
zxyyzxxyz 321 −+−+−
. Tìm giá trị lớn nhất của P.
Lời giải: ĐKXĐ của biểu thức P: x
≥
1; y
≥
2 và z
≥
3.
Ta có: P =
z
z
y
y
x
x 3
2
1 −
+
−

+
−
.
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm, ta có:
32
13
2
33
3.3
22
1
2
2
22
2.2
2
11
2
11
1
≤
−
⇒
+−
≤−
≤
−
⇒
+−
≤−

≤
−
⇒
−+
≤−
z
zz
y
y
y
y
y
x
xx
x
Suy ra P








++≤
3
1
2
1
1

2
1
. Max P =








++
3
1
2
1
1
2
1
khi và chỉ khi x = 2; y = 4; z = 6.
Bài toán 31. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M =
.
111







+
++






+
++








+
+
x
z
xz
z
y
zy
y
x
yx
Lời giải : Bằng cách khai triển, ta thu được

M =
.
111
222
x
z
z
y
y
x
zxyzxy
+
+
+
+
+
+++
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm, ta có :
19 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
x
x
y
yxy
y
x
==
+
+

≥
+
+
+ 2
.2
)1(4
)1(
2
4
1
1
22
. Tương tự, ta cũng có :
y
z
z
y
≥
+
+
+ 4
1
1
2
;
z
x
x
z
≥

+
+
+ 4
1
1
2
. Cộng từng vế các BĐT trên, ta có :
2
3
4
3
.3.
4
3
4
3
)(
4
3
111
3
222
=−≥−++≥
+
+
+
+
+
xyzzyx
x

z
z
y
y
x
(Vì xyz = 1)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Suy ra M
2
9
2
3
3 =−≥
. Min M =
.1
2
9
===⇔ zyx
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là
.
2
9
Bài toán 32. Cho các số thực dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
với P =
c
ba
b
ac
a
cb

+
++
+
+
++
+
+
++
3
3
2
4
1
5
.
Lời giải: Từ giả thiết, ta suy ra P =
c
c
b
b
a
a
+
−
+
+
−
+
+
−

3
9
2
10
1
11
.
Biến đổi biểu thức P, ta được P =
3
3
1
2
1
1
1
12 −






+
+
+
+
+ cba
. Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số thực không âm, ta
có:
12

9
3
321
3
)3)(2)(1(
3
3
1
2
1
1
1
3
=
+++++
≥
+++
≥
+
+
+
+
+
cba
cba
cba
Suy ra P
6≥
. Min P = 6 khi và chỉ khi 1 + a = 2 + b = 3 + c suy ra (a, b, c) = (3, 2, 1).
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6.

Bài toán 33. Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn 0 < x, y, z
≤
1. Chứng minh rằng :
zyxzxyzxy ++
≤
+
+
+
+
+
5
1
1
1
1
1
1
Lời giải : Vì 0 < x, y, z
≤
1 suy ra :
(xy + 1) – (x + y) = (1 – x)(1 – y)
≥
0 suy ra xy + 1
≥
x + y.
Tương tự : yz + 1
≥
y + z ; zx + 1
≥
z + x.

.5515
1
1
3
1
3
1111
1
1
1
1
1
)(
=+








+
−
+
−≤+









+
−
+
−
+
=
+
+
+
+
+
+
≤+
+
+
+
+
+
≤









+
+
+
+
+
++⇒
zy
y
yx
z
x
zxy
y
yzx
z
yz
x
zxy
z
yzx
y
yz
x
xy
z
zx
y
yz
x

zxyzxy
zyx
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 34. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
2
332
2
3
1
3
1
<
+
+
+
+






++
+
+
+
+ ba
c
ca
b

cbacaba
a
Lời giải : Đặt
zay
ac
x
ba
==
+
=
+
;
2
;
2
. (x, y, z > 0)
Suy ra x + y > z ; y + z > x ; z + x > y.
Bằng cách khai triển, vế trái thu được bằng :
VT =
yx
z
xz
y
zy
x
cba
a
ba
ca
ca

ba
+
+
+
+
+
=
++
+
+
+
+
+
+
2
2
33
. Đến đây có hai cách :
Cách 1 : Sử dụng phương pháp làm trội.
20 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Cách 2 : x + y > z
⇒
z(x + y + z) < 2z(x + y)
⇒
zyx
z
yx
z

++
<
+
2
.
Tương tự :
zyx
y
xz
y
zyx
x
zy
x
++
<
+++
<
+
2
;
2
. Cộng theo từng vế các BĐT trên, ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 35. Cho x, y thuộc (0 ; 1). Tìm min A =
.
1
11
22
yx
yxy

y
x
x
++
+
+
−
+
−
Lời giải : Ta có :
A =
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
22
−
+
+
−
+
−

=−
+
+








++
−
+








++
− yxyxyx
y
y
y
x
x
x

Vì :
( )
2
91
1
1
1
1
911
1
1
1
1
1
≥
+
+
−
+
−
⇒≥++−+−








+

+
−
+
− yxyx
yxyx
yxyx
⇒
A
2
5
2
2
9
=−≥
.
Min A = 5/2 khi và chỉ khi x; y thỏa mãn các điều kiện:
yx −
=
− 1
1
1
1
và
yxx +
=
−
1
1
1
3

1
==⇒ yx
.
Bài toán 36. Cho 3 số x, y, z > 1 thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P
=
222
222
z
x
y
z
x
y −
+
−
+
−
.
Lời giải: Từ giả thiết, ta suy ra
1
111
=++
zxyzxy
. Ta biến đổi biểu thức P như sau:
P =









++−
−+−
+
−+−
+
−+−
zyx
z
zx
y
zy
x
yx 111)1()1()1()1()1()1(
222
=








++−









+−+








+−+






+−
zyx
zy
z
yx
y
zx
x
11111

)1(
11
)1(
11
)1(
222222

2
111111)1(2)1(2)1(2
−++=








++−
−
+
−
+
−
≥
zyxzyxyz
z
xy
y
xz

x
Mặt khác
233
111
3
111
2
−≥⇒=








++≥








++ P
zxyzxyzyx
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z =
3

. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là min P =
23 −
.
Bài toán 37. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
2
y(4 – x – y) trong đó x, y là các số không
âm thay đổi và luôn thỏa mãn x + y
≤
6.
Lời giải: * Tìm giá trị lớn nhất:
Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của A khi 4 – x – y
≥
0. Khi đó áp dụng BĐT Cauchy ta được:
A =
.4
4
2282
4
1
)228.(2
4
1
4
=







−−+++
≤−−
yxyxx
yxyxx
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2, y = 1.
* Tìm giá trị nhỏ nhất:
Ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của A khi 4 – x – y
≤
0. Khi đó vì x + y
≤
6 nên
B = - A= x
2
y(4 – x – y)
≤
2x
2
y. Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
2x
2
y = x.x.2y
6464644
3
2
3
3
−≥⇒≤⇒=≤







++
≤ AB
yxx
.
21 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 4, y = 2.
Bài toán 38. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x
3
(2 – x)
5
khi x thay đổi trên đoạn
[ ]
2;0
.
Lời giải: Ta viết lại f(x) dưới dạng f(x) =
5
33
)2(
3
5
5
3
xx −













.
Áp dụng BĐT Cauchy cho năm số (2 – x) và ba số
3
5x
, ta có:
5(2 – x) + 3.
3
5x
= (2 – x) + (2 – x) + (2 – x) + (2 – x) + (2 – x) +
3
5x
+
3
5x
+
3
5x

8
3

5
3
5
)2(8






−≥
x
x
, hay
8
3
5
3
5
)2(810






−≥
x
x
tức là

3
3
8
8
3
5
4
5
≥
.f(x) suy ra
f(x)
65536
84357
4
3.5
8
33
=≤
dấu bằng khi và chỉ khi x =
4
3
.
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là max f(x) =
65536
84357
.
Bài toán 39. Cho x, y, z là 3 số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ của biểu thức :
P =









++






++








+
xy
z
z
zx
y
y
yz

x
x
1
2
1
2
1
2
Lời giải : Bằng cách khai triển, ta được
P =
( )








+++++
xy
z
zx
y
yz
x
zyx
222
2
1

(Với x, y, z > 0)
Mà ta luôn có BĐT
( )
2
222
3
1
zyxzyx ++≥++
. Mặt khác, áp dụng BDDT Cauchy cho 3 số thực không âm, ta
có :
zyx
xyz
xy
z
zx
y
yz
x
++
≥≥++
93
3
.
Suy ra P
2
9
2
9
.
2

9
.
6
1
3
)(2
9
)(2
9
)(
6
19
)(
6
1
3
22
=≥
++
+
++
+++=
++
+++≥
zyxzyx
zyx
zyx
zyx
.
Min P =

2
9
khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là min P =
2
9
.
Bài toán 40. Cho x, y, z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =
yyxx
yxz
xxzz
xzy
zzyy
zyx
2
)(
2
)(
2
)(
222
+
+
+
+
+
+
+
+

.
( Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ khối A – 2007 )
Lời giải : Vì xyz = 1 suy ra
xxyzxzyx 22)(
22
=≥+
Tương tự
yyxzy 2)(
2
≥+
và
zzyxz 2)(
2
≥+
Suy ra
yyxx
zz
xxzz
yy
zzyy
xx
P
2
2
2
2
2
2
+
+

+
+
+
≥
.
Đặt
cxxzzbzzyyayyxx =+=+=+ 2;2;2
9
24
;
9
24
;
9
24 acb
zz
cba
yy
bac
xx
−+
=
−+
=
−+
=⇒
22 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
2)633.4(

9
2
64
9
2
242424
9
2
=−+≥






−






+++






++=







−+
+
−+
+
−+
≥⇒
a
c
c
b
b
a
a
b
c
a
b
c
a
acb
c
cba
b
bac

P
Min P = 2 khi và chỉ khi a = b = c khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Bài giảng 6 : MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z
1≤
. Chứng minh rằng :
82
111
2
2
2
2
2
2
≥+++++
z
z
y
y
x
x
.
Bài 2. Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện x + y =
.
4
5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S =
yx 4
14
+

.
Bài 3. Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x + y
1≤
.
23 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A =
xy
x
11
+
.
Bài 4. Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
33
1
11
33
3333
≥
++
+
++
+
++
zx
xz
yz
zy
xy

yx
Bài 5. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng :
36
941
≥++
zyx
.
Bài 6. Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A =
111 +
+
+
+
+ z
z
y
y
x
x
Bài 7. Cho x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1 và x > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = x
2
y
3
.
Bài 8.Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
)1)(1)(1(
)1)(1)(1(
cba
cba
−−−

+++
.
Bài 9. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc đoạn
[ ]
4;1
và
zxyx ≥≥ ,
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
xz
z
zy
y
yx
x
+
+
+
+
+ 32
.
Bài 10. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz thì :
333
)(5))()((3)()( zyyzzxyxzxyx +≤+++++++
Bài 11.Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn
24)(
3
≥++ xyyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 3(x
4

+
y
4
+ x
2
y
2
) – 2(x
2
+ y
2
) + 1.
Bài 12. Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
( )( )
( ) ( )
22
11
1
yx
xyyx
++
−−
.
Bài 13. Cho x, y là các số thực thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
2)1()1(
2222
−+++++− yyxyx
.
Bài 14. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
194592194592194592194592 ++
+
++
+
++
+
++
.
Bài 15. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
cabcab
cba
1111
222
+++
++
.
Bài 16. Cho các số x, y, z, t > 0 thỏa mãn : xy + 4zt + 2yz + 2xt = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S =
ztxy 2+
.
Bài 17. Cho
6211 =+++ yx

. Chứng minh rằng :
10≥+ yx
.
Bài 18. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
3
4
3
=++ xyzxyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của x + y +
z ?
Bài 19. Cho các số thực a, b, c
≥
1. CMR:
( )
201020102010
20106029 cbaabc ++≥+
.
Bài 20. cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z
≥
12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
H =
.
x
z
z
y
y
x
++
Bài 21.Cho a ; b ; c là ba số dương khác nhau đôi một. Tìm min :

24 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG TOÁN HỌC THCS
2012
F =
))((
))((
))((
))((
))((
))((
bcacc
ycxc
cbabb
xbyb
cabaa
yaxa
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
trong đó x ; y là hai số dương có tổng bằng 1
Bài 22. Cho a
1
+ a
2
+ + a

n
= k. Tìm cực trị của biểu thức: A = a
2
1

+ a
2
2
+ + a
2
n
Bài 23. Cho x; y; z
≥
0 thỏa mãn điều kiện: x + y+ z = a.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
)1)(1)(1(
z
a
y
a
x
a
+++
.
Bài 24. Cho các số thực a , b ,c
≥
1 thỏa mãn a
2
+ b
2

+ c
2
+ d
2
= 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
1111 −+−+−+− dcba
.
Bài 25. Cho a + b = 16. Tìm min của biểu thức: N = 5ab
2
+
)16( +ba
+2(a - 1) + 3(b + 1).
Bài 26. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a)
4
)()()(
2
3
2
3
2
3
cba
ac
c
cb
b
ba
a ++
≥

+
+
+
+
+
b)
2
22
3
22
3
22
3
cba
ac
c
cb
b
ba
a ++
≥
+
+
+
+
+
c)
5
333
22

3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++
≥
++
+
++
+
++
.
Bài 27. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c + abc = 4. Chứng minh rằng:
a + b + c
≥
ab + bc + ca
Bài 28. Cho các số thực a, b, c
[ ]
1;0∈
. Chứng minh rằng: a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a)
1≤
Bài 29. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
3≥

−+
+
−+
+
−+ cba
c
bac
b
acb
a
.
Bài 30. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:
( )
xzyzxy
x
z
z
y
y
x
+++≥
+
+
+
+
+
27
2
9
1

888
3
3
3
3
3
3
( Thi Iran MO – 2008 )

* Trên đây là các bài toán về BĐT, cực trị trong chương trình THCS. Nó góp phần vào việc vận dụng linh hoạt trí
óc, tư duy lô – rích, giúp các em học khá hơn, giỏi hơn về chuyên đề BĐT trong chương trình toán THCS, giúp các
thầy, cô giáo dạy toán thêm một tài liệu bổ ích, dùng để ôn thi, dạy các em học sinh khá, giỏi.
* Tất nhiên là các bài toán trên đây có nhiều cách giải khác nhau. Bài viết này chỉ mang tính gợi ý
giúp các em học sinh nâng cao dần khả năng học toán, rồi từ đó trở nên yêu thích môn toán hơn, mang trào lưu
đam mê toán ra khắp cộng đồng.
* Mong các đồng nghiệp tích cực tham khảo, nghiên cứu chuyên đề này, giúp các em định hướng cách học môn
toán tốt hơn. Xin cảm ơn!
=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=
25 Biên soạn và tuyển tập : HS Trần Anh Tuấn