MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT DẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (571.86 KB, 4 trang )
1
DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN
LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
1/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTNN của BT:
=
( + )
+
( + )
+
( + )
Giải: Theo BĐT Cô-si ta có:
+
+
+ + + + +
=
2/ Cho 3 số thực dương x, y, z. Tìm GTLN của BT:
=
+
+
( + )
+
+
+
( + )
+
+
+
( + )
Giải: Ta có:
+
+
( + )
=
+
( + )
+
+
+ ( + )
+ +
=
+
2( + + )
Tương tự cho các số hạng khác; từ đó suy ra:
+
2( + + )
+
+
2( + + )
+
+
2( + + )
= 1
3/ Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn đk:
+
+
= . Tìm GTLN của BT:
= + + + ( + + )
Giải: Ta có:
+
+
+ +
+
+
+ +
= + +
+ +
+ ( + + )
=
+
= ()
=
4/ Cho tg ABC có độ dài các cạnh là a, b, c. CMR:
+
+
+
+
+
+
+ (
+
)
Giải: BĐT cần chứng minh tương đương với:
2
DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ( + )( )
+
+ ( )
× ( + + ) ( + )
+
+
+ ( + )( )
5/ Cho , , > 0& + + =
. Tìm GTNN của BT:
=
+
+
+
+
+
Giải: Ta có =
+
. .
+
+
. .
+
+
. .
+ +
+
+ +
+
+ +
×
+ +
+
=
=
6/ Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn đk: + 2 + 3 3. Chứng minh BĐT:
3
625
+ 4 + 15
+ 4 + 5
81
+ 4 45
5
Giải: Đặt =
; 3 =
; 5 =
ì ó:
+
+
3 . Theo BĐT Cô-si ta có:
3
+ 2 5
+
+
3. Cũng theo BĐT Cô-si ta có:
3
625
+ 4 =
+ 4
5
=
5
5
×
+
+
5
× 9
+
+
3
5
.
7/ Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn đk a + b + c = 1. Tìm GTNN của BT:
=
( )
2
+
( )
2
+
( )
2
Giải: Theo BĐT Cô-si ta có:
( )
2
+
1
8
+
1
8
3
4
. ó á á; :
+
1 + 1 + 1
4
3( + + )
4
3
4
2
4
=
1
4
= 0,25
3
DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN
8/ Cho x, y > 0 TMĐK + 4. ì :
23
2
3 4 2
4
xy
P
xy
.
Giải: Theo BĐT Cô-si ta có:
23
22
3 4 2 1 2
2 1 1,5 4,5
4 2 4 4 4
x y x y x y y
P
x y x y
9/ Cho 2 số thực x, y TMĐK
2
+
2
= 1. Tìm GTNN và GTLN của BT:
= (
+
+ 1) (
2
+
2
+ 1)
.
Giải:Từ GT ta suy ra: ( )
2
= 1 0; ( + )
2
= 1 + 3 0 1 = 1 3
Ta có:
2
22
()
2
tt
P f t
t
. Do PT f’(t) = 0 có nghiệm
6 2 ( 1/3;1)t
nên
=
6 2
= 6 2
6 ; =
1
= 1 .
10/ Cho 2 số thực x, y TMĐK (
2
+
2
) = + 1. Tìm GTNN và GTLN của BT:
= (
+
) (2 + 1)
.
Giải:Từ GT ta suy ra: ( )
2
= 0,5 1,5 0; ( + )
2
= 0,5 + 2,5 0
1
5
=
1
3
à =
7
2
+ 2 + 1
4(2 + 1)
=
= 0 = 0 ê
=
0
= 1 4
; = ( 1 5)
=
1 3
= 2 15
11/ Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn đk
2
+
2
= 1 à = 3. CMR:
= + (9 + 6
2) 4
.
Giải:Từ GT ta suy ra: c = d + 3 và theo BĐT Bunhiacốpxki ta có:
2
+
2
.
2
+
2
+ 3
=
( + )
2
+
2
2
+ 3
= 0,5(
2
9)
= (
2
+ 2 + 9) 2
=
. ó:
2
= 2( + , )
2
+ 4,5 4,5
3
2
= 1 > 0 3
2
3
2
= (9 6
2) 4
3
2
(1) ;
= 1 < 0 3
2
3
2
= (9 + 6
2) 4
3
2
(2). Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm.
4
DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN
